SAMPLING RANDOM SEDERHANA UNTUK PROPORSI
3.5 Klasifikasi ke Dalam Lebih Dari Dua Kelas
pengaruhnya terhadap V(p). Namun jika P < 30 % atau P > 70 %, maka pengaruhnya terhadap V(p) sangat besar.
3.4 Batas-Batas Konfidensi
Dalam sampling random sederhana berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N, banyaknya unit sampel yang masuk kelas C yaitu a, berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas,
P(a = ) = , = 0, 1, 2,..., n
dan pada populasi yang berukuran sangat besar, distribusi dari a akan mendekati Binomial,
P(a = ) =
Pendekatan selanjutnya, jika ukuran sampel relatif besar, maka distribusi dari a akan mendekati normal dengan mean, E(a) = nP dan variansi v(a) = v(p). Dalam keadaan ini pula, p berdistribusi mendekati normal dengan mean, E(p) = P dan variansi v(p). Berdasarkan distribusi ini, diperoleh batas-batas konfidensi (1 ) untuk P, yaitu :
= p , = p +
Batas-batas konfidensi ( 1 ) untuk A adalah
=N , =N
Batas-batas konfidensi tersebut berlaku untuk sampel berukuran besar.
3.5 Klasifikasi ke Dalam Lebih Dari Dua Kelas
Dalam sebuah survei, seringkali responden diminta memilih salah satu dari beberapa (lebih dari dua) jawaban yang tersedia. Maka hasil pencacahan unit-unit sampel akan terklasifikasi lebih dari dua kelas. Pertanyaan kepada mahasiswa tentang merk motor yang dipakai ke tempat kuliah dengan jawaban pilihan:
34 Honda, Yamaha, Suzuki, dll. Maka klasifikasi yang terjadi adalah 4 kelas. Pertanyaan berapa jumlah anggota rumah tangga Anda? Jawaban yang masuk adalah 1, 2, 3, 4, 5, lebih dari 5. Disini terjadi klasifikasi ke dalam 6 kelas. Pertanyaan, siapa calon yang akan Anda pilih dalam Pilkada yang akan datang diantara tiga calon yang sudah ditetapkan? Unit atau jawaban akan terklasifikasi ke dalam 3 kelas.
Jika terjadi klasifikasi unit ke dalam lebih dari dua kelas, maka permasalahan yang harus diselesaikan dapat berupa,
(a) Estimasi proporsi unit populasi yang masuk kelas C.
(b) Estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. (c) Estimasi proporsi unit sub-populasi yang masuk kelas C.
(d) Estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C. Sebagai contoh, misalkan di kota Baru beredar 7 merk sabun cuci dalam pasaran, yaitu merk , , , , , , .
Merk , dan adalah produk pabrik K, merk dan adalah produk pabrik L, dan adalah produk pabrik yang lainnya. Dalam sampling random sederhana, terdiri n rumah tangga yang diambil dari seluruh ( N ) rumah tangga yang tinggal di kota Baru tersebut, kita diminta menyelesaikan masalah estimasi beberapa parameter, yaitu :
(1) Proporsi rumah tangga pemakai merk , dari seluruh rumah tangga di kota Baru.
(2) Total banyaknya rumah tangga di kota Baru yang memakai merk produk pabrik L
(3) Proporsi rumah tangga pemakai merk dari seluruh rumah tangga pemakai produk pabrik K di kota Baru.
(4) Total banyaknya rumah tangga pemakai merk atau di kota Baru. Penyelesaian masalah :
(1) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk , maka (1) merupakan masalah estimasi proporsi unit populasi yang masuk kelas C.
35 (2) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk produk L maka (2) merupakam masalah estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. Adanya informasi yang lebih banyak seperti misalnya informasi tentang total banyaknya rumah tangga pemakai merk produk K dan L, maka (2) dapat dipandang sebagai masalah estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C, dengan memandang informasi tersebut sebagai ukuran sub-populasi.
(3) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk dan seluruh rumah tangga pemakai produk pabrik K sebagai sub-populasi, maka (3) merupakan masalah estimasi proporsi unit sub-populasi yang masuk kelas C.
(4) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk atau , maka (4) merupakan masalah estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. Dengan informasi yang lebih seperti yang tersebut dalam (2), maka (4) dapat dipandang sebagai masalah estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C.
Adanya informasi yang lebih banyak seperti yang tersebut dalam penyelesaian masalah (2) dan (4), menjadikan masalah estimasi total banyaknya unit yang masuk kelas C memiliki estimator yang tidak tunggal. Masing-masing masalah (2) dan (4) di atas mempunyai dua buah estimator dan kita dapat menunjuk estimator manakah yang lebih akurat berdasarkan nilai kesalahan standarnya.
Misalkan unit-unit populasi diklasifikasikan ke dalam salah satu dari k kelas, yaitu kelas , , ,... . Misalkan N adalah ukuran populasi, adalah total banyaknya unit populasi yang masuk kelas , dengan tidak diketahui, maka,
= + = N
Dengan sampling random sederhana berukuran n, akan dipelajari masalah estimasi untuk beberapa parameter, yaitu seperti misalnya,
36 (1) Estimasi untuk (2) Estimasi untuk (3) Estimasi untuk (4) Estimasi untuk (5) Estimasi untuk (6) Estimasi untuk + (7) Estimasi untuk +
Misalkan dari sampel yang diambil diperoleh banyaknya unit sampel yang masuk kelas adalah ; i = 1, 2, 3,...k
Maka
Berdasarkan pembahasan dimuka bahwa p adalah estimator tak bias untuk P dengan estimasi variansi tak biasnya,
v(p) = (1 f)
dan adalah estimator tak bias untuk A dengan estimasi variansi tak biasnya,
v( ) = (1 f)
maka diperoleh hasil-hasil sebagai berikut,
(1) Estimator tak bias untuk adalah p = , dengan estimasi variansi tak
biasnya v( ) = v(p) = (1 f) , dengan p =
(2) Estimator tak bias untuk adalah p = dengan variansi tak
37
(3) Dengan memandang gabungan kelas , dan sebagai
sub-populasi atau domain penelitian, estimator tak bias untuk
adalah, = , dengan = dengan estimasi variansi tak
biasnya, v( ) = v( ) = (1 ) , dengan = dan =
.
(4) Dengan memandang hal yang sama seperti dalam (3), estimator tak bias
untuk adalah = dengan = ,
dengan estimasi variansi tak biasnya v( ) = v( ) = (1 ) ,
dengan = dan = .
Hasil-hasil estimasi dalam (5), (6) dan (7), jika = diketahui
nilainya, maka ada dua buah estimator, tetapi jika tak diketahui nilainya, hanya ada sebuah estimator hasilnya sebagai berikut,
(5) Jika = diketahui, maka estimator tak bias untuk
adalah :
Pertama ; = , dengan = dan = , dengan
estimasi variansi v( ) = v( ) = (1 )
Kedua ; = Np , dengan p = dan dengan estimasi variansi
v( ) = v(p) = (1 f)
(6) Jika = diketahui, maka estimator tak bias untuk
38
Pertama ; = dengan = dan = , dengan
estimasi variansi, v( ) = v( ) = (1 )
Kedua ; = Np , dengan p = dan dengan estimasi variansi
v( ) = v(p) = (1 f)
(7) Jika = diketahui maka estimator tak bias untuk
( ) adalah seperti pada (6) dengan = dan p =
dalam masalah estimasi (5), (6) dan (7) jika tidak diketahui maka hanya estimator kedua yang dapat digunakan.
Soal-soal latihan :
1. Unit-unit sebuah populasi diklasifikasikan ke dalam kelas-kelas , , dan . Misalkan adalah banyaknya unit populasi yang masuk kelas , i =1, 2, 3, 4 ; dan = . Nilai dan tidak diketahui. Dari populasi ini diambil sampel random sederhana berukuran n dan misalkan adalah banyaknya unit sampel yang masuk kelas .
a) Tentukan estimator untuk dan tuliskanlah rumus variansinya. b) Tentukan estimator untuk dan tuliskanlah variansinya. c) Jika nilai diketahui, tentukanlah dua buah estimator untuk
dan tuliskanlah masing-masing variansinya.
2. Sebuah kota dihuni 12.000 rumah tangga, dengan mata pencaharian pokok diklasifikasikan : petani, pedagang, peg. Swasta dan PNS. Sebuah sampel random yang terdiri 800 rumah tangga yang diambil dari kota tersebut diketahui mata pencaharian pokok mereka sbb : petani 350 rt, pedagang 200 rt, peg. Swasta 175 rt, dan PNS 75 rt. Diketahui total banyaknya
39 rumah tangga dengan mata pencaharian pokok peg. Swasta atau PNS adalah 3200 rt.
a) Estimasikanlah proporsi banyaknya rumah tangga dengan mata pencaharian pokok petani di kota tersebut dan hitunglah pula kesalahan standarnya.
b) Berikanlah dua buah nilai estimasi untuk total banyaknya rumah tangga dengan mata pencaharian pokok pedagang di kota tersebut (berapa rt) dan hitunglah pula kesalahan standar dari masing-masing estimasi tersebut.
3. Terkait dengan program wajib belajar 9 tahun,akan diestimasi total banyaknya penduduk kota K yang saat ini berusia antara 6 th dan 16 th. Sebuah sampel random sederhana terdiri 200 rumah tangga diketahui distribusi banyaknya anak yang berusia antara 6 th dan 16 th dalam rumah tangga tersebut sbb :
Banyaknya anak usia antara 6 th dan 16 th
Banyaknya rumah tangga
0 60 1 70 2 30 3 20 4 15 5 5
Diketahui kota K dihuni 3000 rumah tangga, dengan 2000 rumah tangga diantaranya mempunyai anak (anggota rt) yang berusia antara 6 th dan 16 th. Estimasikanlah total banyaknya rumah tangga kota K yang punya anak usia 6 th-16 th lebih dari 2 orang (dua estimasi). Estimasikan pula total banyaknya penduduk kota K ( berikan 2 estimasi ) yang berusia antara 6 th dan 16 th. Hitunglah pula kesalahan standar masing-masing estimasi tersebut.
40 4. Dari seluruh mahasiswa Universitas U diketahui 5000 orang mahasiswa memiliki ponsel dan 600 orang diantara mereka harga ponselnya lebih dari Rp.2.000.000,-. Sebuah sampel random sederhana terdiri 300 orang mahasiswa pemilik ponsel dari universitas tersebut diketahui merk ponsel dan harganya sbb:
Harga Merk Merk Merk Merk Lain
Tak lebih dari
Rp.2.000.000,- 100 68 54 38
Lebih dari
Rp.2.000.000,- 20 12 6 2
a. Dari seluruh mahasiswa Universitas U, estimasikanlah total banyaknya mahasiswa pemilik ponsel Merk dan hitung pula kesalahan standarnya.
b. Dari seluruh mahasiswa pemilik ponsel Merk ,
estimasikanlah proporsi mahasiswa yang harga ponselnya tak lebih dari Rp. 2.000.000,-
c. Dari seluruh mahasiswa pemilik ponsel yang harganya tak lebih dari Rp. 2.000.000,-, estimasikanlah proporsi mahasiswa pemilik ponsel Merk dan hitung pula kesalahan standarnya. d. Berikanlah dua buah estimasi untuk total banyaknya
mahasiswa Universitas U pemilik ponsel Merk yang harganya tak lebih dari Rp.2.000.000,- dan hitunglah variansi dari masing-masing estimasi tersebut.
5. Estimator tak bias bagi V(p) = adalah v(p) = pq. Jadi
(p) = adalah bias bagi V(p). Tentukanlah besarnya bias tersebut, B( (p)).
41 BAB IV