1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Kegunaan Metode Sampling
Pengambilan sampel dari suatu survei telah menjadi sesuatu yang besar kegunaannya dalam kehidupan. Sebuah sampel terdiri sejumlah bola lampu dalam satu periode waktu produksi dapat memberikan gambaran kualitas dari seluruh bola lampu yang diproduksi dalam periode waktu tersebut. Tingkat sosial ekonomi keluarga atau rumah tangga dari sejumlah keluarga yang diambil dari seluruh keluarga yang tinggal di sebuah kota dapat menggambarkan tingkat sosial ekonomi seluruh keluarga yang tinggal di kota tersebut. Sebuah jajak pendapat terhadap sejumlah calon pemilih pada Pilkada disuatu kabupaten dapat memberikan ramalan siapa calon kepala daerah yang akan terpilih pada Pilkada yang akan datang. Gambaran atau ramalan seperti tersebut diatas akan sangat bermanfaat bagi setiap yang berkompeten untuk mengambil sikap atau tindakan sesuai dengan kepentingannya.
Dalam survei sampel, sampel diambil dari populasi, kemudian dihitung nilai statistik guna menarik inferensi tentang parameter populasi. Pemilihan jenis sampel yang sesuai serta metode estimasi yang tepat akan memberikan hasil yang optimum dengan keakuratan yang tinggi. Keuntungan atau manfaat penggunaan metode survei sampel adalah antara lain, mengurangi biaya, memberikan kecepatan yang lebih besar, cakupan lebih besar, dan tingkat ketelitian sesuai dengan yang diinginkan.
1.2 Tahap-Tahap dalam Survei Sampel
Tahapan-tahapan yang perlu dilakukan daalam sebuah survei sampel ada 11 tahap, yaitu :
1. Tujuan survei.
Merupakan pernyataan yang jelas tentang maksud dan tujuan survei. Tanpa tujuan yang jelas, keputusan yang dapat diambil akan melenceng dengan tujuannya.
2 2. Populasi yang akan diambil sampelnya.
Populasi adalah himpunan seluruh obyek penelitian yang mengandung paramater-parameter yang akan dicari. Sampel adalah himpunan bagian dari populasi tersebut. Dari sampel yang diambil, ditetapkan statistik-statistik estimator untuk parameter-parameter tersebut.
3. Data yang dikumpulkan.
Data atau informasi yang dikumpulkan harus sesuai dengan tujuan survei. 4. Tingkat ketelitian yang diinginkan.
Kesimpulan dalam estimasi selalu mengandung ketidakpastian yang dapat diukur dengan probabilitas. Kesalahan dalam estimasi dengan probabilitas tertentu dapat diperkecil dengan memperbesar sampel.
5. Metode pengukuran.
Suatu survei dapat dilaksanakan dengan menggunakan kuesioner disertai wawancara atau dikirimkan lewat media komunikasi kepada responden, seperti pos atau telepon. Selanjutnya dari isian kuesioner yang masuk kembali disusun ringkasan dalam bentuk tabel-tabel.
6. Kerangka atau frame.
Sebelum pengambilan sampel, populasi dibagi dalam bagian-bagian yang disebut unit pengambilan sampel atau unit. Dalam pengambilan sampel penduduk sebuah kota, unit dapat berupa orang, atau berupa keluarga, atau berupa semua penduduk yang tinggal di tiap rukun tetangga. Daftar unit pengambilan sampel ini disebut kerangka.
7. Pemilihan sampel.
Perlu ditetapkan jenis sampel yang akan diambil, sesuai dengan keadaan, serta ukuran sampel yang disesuaikan dengan tingkat ketelitian.
8. Uji pendahuluan.
Perlu sekali dilakukan uji coba terhadap kuesioner dalam lingkup yang lebih kecil, guna mendeteksi kemungkinana adanya kesulitan responden dalam jawabannya.
3 9. Organisasi lapangan.
Perlu antisipasi masalah-masalah administrasi dan pelatihan terhadap tenaga-tenaga pencacah.
10. Ringkasan dan analisis data.
Dari jawaban kuesioner, perlu dilakukan editing untuk menghindari salah catat atau kesalahan lainnya. Perlu diputuskan prosedur pengisian atau penghitungan apabila jawaban untuk pertanyaan tertentu tidak diisi oleh beberapa responden.
11. Keterangan yang bermanfaat untuk survei mendatang.
Semakin banyak informasi yang dapat dikumpulkan akan semakin mudah memperoleh sampel yang memberikan perkiraan yang akurat. Setiap sampel yang lengkap merupakan petunjuk yang baik untuk perbaikan pengambilan sampel yang akan datang.
Pengambilan sampel membutuhkan perhatian pada seluruh tahap tersebut, karena pelaksanaan yang buruk pada tahap tertentu dapat menyebabkan gagalnya suatu survei. Teori pengambilan sampel mencoba mengembangkan jenis sampel dan metode estimasi atau perkiraan dengan tujuan memperoleh hasil yang efisien, biaya yang lebih kecil namun keakuratannya tinggi. Jenis-jenis sanpel yang dikembangkan adalah sampel-sampel yang diambil dengan kaidah probabilitas.
1.3 Sifat-Sifat Baik Untuk Sebuah Estimator
Misalkan sebuah populasi mempunyai parameter . Dari sampel yang diambil dari populasi tersebut misalkan suatu statistik estimator untuk . Selanjutnya misalkan seluruhnya terdapat K sampel-sampel yang mungkin terambil dari populasi tersebut dan masing-masing akan terambil dengan probabilitas
.
4 dengan adalah nilai pada sampel ke-k.
Variansi dari didefinisikan dengan :
Rata-rata kuadrat kesalahan dari didefinisikan dengan
Statistik estimator dikatakan tak bias untuk parameter ⊝ jika E( ) = ⊝, dikatakan konsisten untuk ⊝ jika sama dengan ⊝ pada sampel yang berhimpitan dengan populasi dan dikatakan efisien jika V( ) adalah terkecil diantara semua estimator untuk ⊝.
Sifat-sifat tak bias, konsisten dan efisien adalah sifat-sifat baik yang mungkin dimiliki oleh sebuah estimator. Dengan sifat-sifat tersebut keakuratan yang tinggi dari sebuah estimator dapat diperoleh. Jika tak bias untuk ⊝, maka E( ) = ⊝, dan ini berakibat RKK( ) = V( ). Tetapi jika bias untuk ⊝, maka
E( ) ⊝, dan RKK ( ) V( ).
Deviasi standar dari , ditulis , didefinisikan sebagai akar dari variansinya. Kesalahan standar dari
,
ditulis S( ) adalah akar dari RKK( ). Jadi= , S( ) =
5 0,025 0,95 0,025 1,96 1,96 ⊝ m ⊝ 1.4 Bias dan Pengaruhnya.
Bias dari suatu estimator untuk ⊝, ditulis B( ), didefinisikan dengan
B( ) = E( ) ⊝
Jika m = E( ) dan tak bias untuk ⊝, maka m = ⊝, dan B( ) = 0. Tetapi jika bias untuk ⊝, maka m ⊝ dan B( ) = m ⊝ 0
Untuk sampel berukuran besar, distribusi dari statistik estimator akan mendekati normal dengan mean E( ) dan variansi V( ). Pada kasus tak bias untuk ⊝, maka E( ) = ⊝ dan
P( 1,96 ⊝ + 1,96 ) = 0,95
Tetapi pada kasus bias untuk ⊝, maka E( )= m ⊝ dan
P( 1,96 m + 1,96 ) = 0,95
Kedua grafik distribusi tersebut pada kasus tak bias dan kasus bias adalah sebagai berikut,
Kasus tak bias untuk ⊝
(Gambar 1)
Kasus bias untuk ⊝ dengan E( ) = m>⊝
(Gambar 2)
Jika kesalahan dalam estimasi ⊝ didefinisikan sebagai nilai mutlak dari selisih dengan ⊝, yaitu | ⊝|, maka pada kasus tak bias,
6 P (| ⊝| >1,96 ) = 0,05 ( daerah diarsir dalam gambar 1), dan pada kasus bias untuk ⊝dengan E( ) = m > ⊝,
nilai P (| ⊝| > 1,96 ) >0,05 (daerah diarsir dalam gambar 2). Sebagai contoh, untuk B( ) = m ⊝ = (0,1) , maka
P (| ⊝| > 1,96 ) = P( ⊝ < 1,96 ) + P( ⊝ > 1,96 )
= P( < 2,06) + P( > 1,86)
= 0,0197 + 0,0314 = 0,0511
Demikian pula, untuk B( ) = m ⊝ = (0,1) , maka
P (| ⊝| >1,96 ) = P( < 1,86) + P( > 2,06)
= 0,034 + 0,0197 = 0,0511
Dan untuk B( ) = (0,6) atau B( ) = (0,6) , akan diperoleh P (| ⊝| > 1,96 ) = 0,0052 + 0,0869 = 0,0921
Jadi, ketika kita menyangka tak bias untuk ⊝, maka probabilitas terjadi kesalahan estimasi yang melebihi 1,96 hanya kita sangka sebesar 0,05. Tetapi jika kenyataannya bias untuk ⊝, maka nilai sebenarnya probabilitas tersebut adalah lebih dari 0,05. Dan nilai probabilitas tersebut semakin besar untuk |B( )| yang semakin besar. Jadi adanya bias mengakibatkan semakin besar probabilitas terjadinya kesalahan dalam estimasi dan hal ini tentu saja akan mengurangi keakuratan dalam estimasi.
Dengan adanya pengaruh bias terhadap keakuratan hasil estimasi tersebut, maka pengetahuan tentang sifat bias atau tak biasnya suatu estimator diperlukan sekali. Dari hasil diatas, jika estimator untuk ⊝ dan |B( )| (0,1) , maka
7 P (| ⊝| > 1,96 ) 0,0511 jauh berubah dan lebih besar dari 0,05. Tetapi jika |B( )| (0,1) , maka P (| ⊝| >1,96 ) < 0,0511,tak jauh beda dengan 0,05.
Jadi jika bias untuk ⊝ namun |B( )| kecil yaitu kurang dari (0,1) , maka pengaruhnya kecil, dan bias tersebut dapat diabaikan.
1.5 Rata-Rata Kuadrat Kesalahan
Dari definisi rata-rata kuadrat kesalahan, RKK ( ), diperoleh hubungan antara RKK ( ), V( ) dan B( ) sebagai berikut,
RKK ( ) = E ( ⊝ = E(( m) + (m ⊝)
= E (
= V( ) + (B( )
Jika tak bias untuk , maka B( ) = 0 dan RKK ( ) = V( ).
Untuk membandingkan dua buah estimator dan , digunakan kesalahan standar dari kedua estimator tersebut, yaitu ( ) dan ( ), yang nilainya
( ) = , ( ) =
pada keadaan umum dan
( ) = , ( ) =
jika dan tak bias untuk , nilai kesalahan standar yang lebih kecil menunjukkan keakuratan yang lebih tinggi. Berikut ini diberikan ilustrasi visual tentang bias dan kesalahan standar.
Misalkan terdapat 4 jenis senapan yang harus dipilih salah satu yang akan memberikan hasil tembakan yang tepat dan keakuratan yang tinggi. Setiap senapan dicoba sebanyak 8 kali tembakan dengan target titik pusat sebuah papan lingkaran yang radiusnya sama. Misalkan hasil tembakan 4 jenis senapan tersebut sebagai berikut,
8 X X X X X X X X Senapan 1 X X X X X X X Senapan 2 Senapan 4 Senapan 3 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
Hasil tembakan senapan 1 memberikan gambaran bias (tembakan melenceng) dengan kesalahan standar yang tinggi (keakuratan rendah), senapan 2 tak bias dengan kesalahan standar yang tinggi, senapan 3 bias namun kesalahan standarnya rendah dan senapan 4 tak bias dengan kesalahan standar rendah. Dalam kasus real target bukan merupakan titik, namun merupakan bidang yang kecil. Jadi urutan senapan dimulai yang terbaik adalah: 4, 3, 2, 1 dan pilihan terbaik adalah senapan 4.
9 BAB II
SAMPLING RANDOM SEDERHANA
2.1 Pengambilan Sampel Random Sederhana
Ditentukan sebuah populasi berukuran N, yaitu banyaknya anggota atau unit populasi adalah N. Dari populasi ini akan diambil sampel berukuran n, yaitu sampel dengan anggota atau unit sebanyak n. Jika pengambilan tanpa pengembalian, maka terdapat
sampel-sampel yang mungkin terambil. Jika pengambilan dilakukan dengan pengembalian maka terdapat sampel-sampel yang mungkin terambil.
Sebuah sampel disebut sampel random sederhana jika setiap sampel yang mungkin terambil, diperoleh dengan probabilitas sama. Jadi, pada pengambilan tanpa pengembalian, jika setiap sampel yang mungkin terambil diperoleh dengan probabilitas :
maka sampel yang diperoleh adalah sampel random sederhana. Pada pengambilan dengan pengembalian, sebuah sampel random sederhana akan diperoleh dengan probabilitas :
Dalam pembahasan selanjutnya, akan dibatasi pada sampel random sederhana yang diambil tanpa pengembalian. Sebagai contoh, dari populasi berukuran 8 akan diambil sampel random sederhana berukuran 3. Maka terdapat :
sampel-sampel yang mungkin terambil, masing-masing terpilih dengan probabilitas .
10 Pengambilan sampel random sederhana dapat dilakukan antara lain dengan menggunakan Tabel bilangan-bilangan random.
2.2 Definisi dan Notasi
Unit-unit populasi berukuran N, ditulis dengan notasi atau lambang :
.
Parameter-parameter populasi ditulis dengan notasi huruf kapital, yaitu : Total populasi , Y, didefinisikan :
Mean atau rata-rata populasi, , didefinisikan :
Variansi populasi, ada dua definisi yang harus dibedakan, ditulis dengan notasi dan ,
Dalam pembahasan selanjutnya akan digunakan untuk menyatakan variansi populasi. Rumus lain untuk ,
11 atau
=
Deviasi standar dari populasi adalah , yaitu akar dari variansi.
Statistik-statistik sampel, ditulis dengan notasi huruf-huruf kecil. Unit-unit sampel random sederhana berukuran n, ditulis dengan notasi :
Mean atau rata-rata sampel , , didefinisikan
=
Variansi sampel, , didefinisikan :
=
Rumus lain untuk ,
atau
=
12 2.3 Sifat-Sifat Estimator Mean dan Total Serta Variansinya
Dari sebuah populasi berukuran N, misalkan , Y dan adalah mean, total dan variansinya. Nilai parameter-parameter tersebut tidak diketahui. Dengan sampling random sederhana berukuran n, akan dipelajari estimator dari masing-masing parameter tersebut yang ditulis :
, dan
beserta sifat-sifatnya. Dipelajari pula variansi dari dan variansi dari yang ditulis,
V( ) dan V(Y)
Dalam sampling random sederhana berukuran n, estimator dari adalah , estimator dari Y adalah N dan estimator dari adalah .
Jadi
, = N dan
Teorema 2.1
Dalam sampling random sederhana berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N, mean sampel, , adalah suatu estimator tak bias untuk mean populasi .
Bukti :
Dalam sampling ini terdapat sampel-sampel yang mungkin terambil,
masing-masing akan terpilih dengan probabilitas . Misalkan adalah mean sampel
ke-k, k =1,2,... , maka
dengan adalah unit k-i di dalam sampel ke-k, i=1, 2,..., n. Setiap unit tertentu, , dalam populasi, i=1,2,...N,
13 dalam jumlahan :
akan memberikan kontribusi sebesar jika berada dalam sampel ke-k dan tidak memberikan kontribusi atau kontribusinya nol, jika tak berada dalam sampel ke-k. Dari seluruh sampel yang mungkin terambil, banyaknya sampel yang memuat unit tertentu tersebut adalah .
Jadi kontribusi dalam jumlahan :
Jadi secara umum sebarang unit ke-i dalam populasi akan memberikan kontribusi
sebesar dalam jumlahan tersebut, sehingga
Terbukti bahwa adalah tak bias untuk . Akibatnya, karena Y = N , maka adalah tak bias untuk Y.
Variansi dari yang ditulis V( ) = V( ) dan rumus umumnya dapat diperoleh dan dijabarkan dari definisi,
Teorema 2.2
Dalam sampling random sederhana berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N dengan variansi , variansi mean sampel, V( ), memenuhi rumus
14 Bukti :
Dalam jumlahan pertama, yaitu
setiap unit populasi, , memberikan kontribusi sebesar ,
Jadi
Dalam jumlahan kedua, yaitu
, setiap pasang unit populasi , dan dengan j > i, memberikan kontribusi sebesar
15 Jadi = = 0 – (N 1) = (N 1) = Jadi V( ) =
=
V( ) sering ditulis dengan rumus V( ) = (1 f )
dengan f = dan disebut fraksi sampel. Kesalahan standar dari ,
=
2.4 Koreksi Pada Populasi yang Berhingga
Jika ukuran populasi, N, sangat besar terhadap ukuran sampel, n, maka fraksi sampel, f = , mendekati nol. Dalam kasus seperti ini rumus variansi dari
16 = Demikian pula, V( ) dan menjadi V( ) = , (tanpa faktor
(1 f)), dan
=
Faktor (1 f) dalam rumus-rumusV( ) dan V( ) disebut faktor koreksi pada populasi yang berhingga yang dalam bahasa Inggris, finite population correction, ditulis fpc. Faktor fpc berperan memberikan koreksi pada V( ) maupun V( ) pada kasus populasi berhingga, apabila fraksi sampel , f, tidak terlalu kecil. Jadi, jika f sangat kecil maka fpc diabaikan dan jika f tak terlalu kecil maka fpc tak diabaikan. Dalam praktek biasanya fpc diabaikan jika f < 5 %.
2.5 Estimasi Kesalahan Standar
Dalam praktek, variansi populasi, pada umumnya tidak diketahui. Pengetahuan tentang nilai , jika ada biasanya hanya melalui asumsi atau anggapan saja. Akibatnya V( ), V( ), , dan tak dapat diperoleh nilainya. Perlu ada estimasi untuk variansi dan kesalahan standar dari dan .
Estimasi untuk V( ) akan ditulis atau v ( ) Estimasi untuk V( ) akan ditulis atau v( Estimasi untuk akan ditulis s( )
Estimasi untuk akan ditulis s( )
Teorema 2.3
Dalam sampling random sederhana berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N, variansi sampel, , adalah suatu estimator tak bias untuk variansi populasi
Bukti :
17 Jadi
=
( N 1)=
( nN n N+n)=
Ini berarti tak bias untuk
Berdasarkan teorema 2.3, dengan mengganti diganti dalam rumus untuk V( ) dan V( ) diperoleh hasil,
= v ( ) = (1 f) , tak bias untuk V( ) dan
= (1 f) tak bias untuk V( )
Dalam praktek variansi dari dihitung dengan menggunakan rumus estimasi, yaitu,
= v ( ) = (1 f)
18 = v( = (1 f)
Dan selanjutnya kesalahan standar dari dihitung dengan rumus s( = s
Dan kesalahan standar dari dihitung dengan rumus s( ) = Ns
2.6 Batas-Batas Konfidensi
Untuk sampel berukuran besar, mean sampel, , berdistribusi mendekati normal dengan mean dan variansi V( ) yang estimasinyav( ). Berdasarkan distribusi tersebut diperoleh batas-batas konfidensi ( 1 ) untuk adalah,
= -
,
= +atau
= -
,
= +bila fpc dapat diabaikan.
Nilai dan disebut batas konfidensi bawah dan batas konfidensi atas untuk ,
dan berlaku P( ) = ( 1 )
Demikian pula batas-batas konfidensi ( 1- ) untuk Y adalah
= N( )
,
= N( )atau
= N( )
,
= N( ) bila fpc dapat diabaikan.2.7 Estimator Rasio
Dalam suatu survei sampel, kadang-kadang paramater yang akan diestimasi adalah rasio dari dua parameter yang berbeda. Sebagai contoh, jika Y adalah total
19 biaya hidup per bulan dan , adalah total penghasilan per bulan seluruh rumah tangga di kota K, maka rasio yang didefinisikan
=
menunjukkan proporsi atau persentase dari penghasilan rumah tangga yang dibelanjakan untuk keperluan biaya hidup. Selanjutnya jika adalah total banyaknya anggota seluruh rumah tangga di kota K, maka rasio yang didefinisikan
=
menunjukkan mean penghasilan per bulan per anggota rumah tangga di kota K. Kiranya perlu kejelian untuk dapat membedakan interpretasi
= dengan
dalam contoh ini, menunjukkan mean penghasilan per bulan per rumah tangga dari seluruh rumah tangga di kota K. Dalam contoh ini pula, parameter apakah yang menyatakan :
mean biaya hidup per bulan per anggota rumah tangga di kota K ? Dan parameter apakah yang menyatakan :
mean biaya hidup per bulan per rumah tangga di kota K?
Misalkan unit-unit populasi berbentuk pasangan, , i =1,2,..., N, dan misalkan
= , = ,
20 R
=
atau R=
Dalam pasal ini, dengan sampling random sederhana berukuran n akan dipelajari estimator untuk R beserta sifatnya.
Misalkan adalah unit-unit sampel dalam sampling
random sederhana berukuran n. Maka
dan
Merupakan estimator tak bias untuk dan . Jadi beralasan untuk menggunakan
=
sebagai estimator untuk R. Estimator, , bersifat bias untuk R, karena E ( ) R.
Jadi RKK( = E E = V( )
Namun jika ukuran sampel, n , besar, maka mendekati tak bias untuk R dengan variansi seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut,
Teorema 2.4
Dalam sampling random sederhana berukuran n, ,
jika n besar maka mendekati tak bias untuk R dan variansinya
Lambang “ “ artinya “ mendekati “. Bukti :
21
= R =
Sehingga E( ) E ( = ( E( ) E( ) ) = 0, jadi mendekati tak bias untuk R.
Selanjutnya V( ) = E E E =
adalah mean sampel dari = R dengan mean populasi
Jadi
V( ) = (1 f ) =
= (1 f )
Dalam praktek rumus pendekatan variansi, V( ) , pada kasus n besar, nilai V( ) tidak dapat diperoleh, sehingga diperlukan estimasinya.
Estimator tak bias untuk V( ) adalah,
) =
v( )=
Jika dalaam rumus ini nilai tidak diketahui, dapat diganti dengan . Selanjutnya kesalahan standar dari adalah,
s(
=
=
Untuk maksud penghitungan dapat dipakai rumus lain untuk pada kasus n besar,
22 Pada kasus tidak diketahui, diganti dengan , dan kasus fraksi sampel kecil, fpc,( 1 ) , dapat diabaikan dalam penghitungan.
2.8 Estimasi Mean dan Total Sub-Populasi
Dalam beberapa survei, kadang-kadang estimasi dilakukan untuk parameter-parameter bagian dari populasi atau sub-populasi. Jadi, sampling dilakukan pada populasi guna mengestimasi paramater-parameter sub-populasi. Sub-populasi tersebut dinamakan domain penelitian. Dalam survei rumah tangga misalnya, estimasi diinginkan untuk paramater rumah tangga yang memiliki anak usia balita atau estimasi parameter rumah tangga yang masuk kategori pra sejahtera Dalam pasal ini parameter-parameter yang akan diestimasi adalah mean dan total sub-populasi.
Misalkan sub-populasi atau domain penelitian ke-j mempunyai ukuran dan dalam sampling random sederhana berukuran n, terdapat unit sampel yang berasal dari sub-populasi tersebut. Misalkan adalah unit-unit sub-populasi. Maka total sub-populasi tersebut adalah,
dan meannya adalah, =
Serta variansi sub-populasi adalah,
=
Misalkan adalah unit-unit dalam sampling random sederhana
23 dan variansinya,
=
Dari seluruh sampel berukuran n dengan tertentu, n, probabilitas diperoleh unit-unit spesifik dari unit sub-populasi adalah,
=
Nilai probabilitas ini memberi gambaran seolah-olah sampling random sederhana berukuran diambil dari sub-populasi berukuran . Berdasarkan hasil-hasil di muka maka estimator tak bias untuk mean sub-populasi, , adalah,
dengan variansi,
V( ; = ,
dan kesalahan standarnya,
Dalam praktek, variansi dan kesalahan standar dari dihitung dengan rumus estimasinya, yaitu,
= v( ) = ( )
s( ) = =
kecuali jika diketahui,
Untuk mengestimasi total sub-populasi, , perlu ditinjau pengetahuan tentang ukuran sub-populasi, , dalam kasus 1 dan kasus 2 berikut :
24 Estimator tak bias untuk adalah
dengan variansi,
V ( = = ( 1 )
dan kesalahan standarnya
= =
Estimasi untuk variansi dan kesalahan standar dari adalah
) = v( = (
s( ) =
Kasus 2, tidak diketahui.
Estimator untuk total sub-populasi dalam kasus ini diperoleh demikian : Untuk setiap unit populasi, , didefinisikan dengan
Maka total dalam populasi adalah memenuhi,
Mean dalam sampel berukuran n adalah
25 dengan variansi,
V( ) = V( ) = (1 f)
dengan
Kesalahan standar dari adalah,
Penghitungan variansi dan kesalahan standar dari dalam praktek digunakan rumus estimasinya, yaitu,
) = v( ) = (1 f)
s( ) = =
Dari kasus 1 dan kasus 2 diatas, jika diketahui maka terdapat dua buah estimator untuk total sub-populasi, , yang dapat digunakan yaitu,
= dan = N
dan jika tidak diketahui, hanya estimator yang dapat digunakan.
Apabila terdapat dua atau lebih estimator untuk suatu parameter, yang dipilih adalah estimator dengan kesalahan standar yang terkecil, yang berarti memiliki keakuratan yang tertinggi.
Soal-soal latihan :
1. Sebuah kota mempunyai 50 buah hotel dengan kamar sebanyak 1500 buah. Sebuah sampel random sederhana 5 buah jotel diketahui jumlah kamar dan timgkat hunian ( persen kamar terisi saat musim liburan )
26
No Hotel Jumlah Kamar Tingkat Hunian
1 40 80 %
2 25 100 %
3 60 90 %
4 100 60 %
5 30 90 %
a. Estimasikanlah mean tingkat hunian seluruh hotel di kota tersebut saat musim liburan.
b. Jika tiap kamar rata-rata terisi 2 orang tamu (bagi kamar yang terisi), estimasikanlah total jumlah tamu yang tinggal diseluruh hotel di kota tersebut saat musim liburan.
2. Sebuah Kabupaten dihuni 4.000 rumah tangga (rt), dan diketahui 500 rt diantaranya memiliki sapi. Sebuah sampel random sederhana terdiri 250 rt diketahui distribusi banyaknya sapi yang dimiliki sebagai berikut :
Banyaknya sapi Banyaknya rumah tangga
0 215
1 5
2 14
3 10
4 6
a. Dari seluruh rumah tangga pemilik sapi di Kabupaten tersebut, estimasikanlah total banyaknya rt yang sapinya lebih dari 2 ekor,
(berikanlah dua buah nilai estimasi), dan hitunglah kesalahan standarnya masing-masing.
b. Berikanlah dua buah estimasi untuk total banyaknya sapi yang dimiliki seluruh rumah tangga di Kabupaten tersebut, dan hitung variansi masing-masing.
27 3. Sebuah sampel random sederhana 50 orang mahasiswa FMIPA diketahui terdapat 28 orang dari jurusan Matematika, 8 orang dari jurusan Fisika dan yang lainnya dari jurusan Kimia.
Dari sampel random tersebut, diperoleh data IPK mahasiswa Fisika sebagai berikut :
3,14 2,98 3,57 2,81 2,97 3,36 3,05 2,52
Diketahui pula total mahasiswa FMIPA 1700 orang, terdiri 675 orang dari jurusan Matematika, 550 orang dari jurusan Fisika, dan yang lainnya dari jurusan Kimia.
a. Estimasikanlah mean IPK seluruh mahasiswa jurusan Fisika FMIPA, dan hitunglah pula kesalahan standarnya.
b. Berikanlah dua buah nilai estimasi total IPK seluruh mahasiswa jurusan Fisika FMIPA, dan hitunglah dari masing-masing estimasi tersebut nilai kesalahan standarnya.
4. Populasi berukuran 5 unit dengan nilai sebagai berikut : 7, 10, 2, 11, 20. Diperhatikan sampel random sederhana berukuran 3, dan dua buah estimator bagi total populasi, Y sebagai berikut :
Estimator pertama, = 5 , estimator kedua yang didefinisikan:
a. Daftarkanlah seluruh sampel yang mungkin terambil, dan hitunglah dan dari masing-masing sampel.
b. Tunjukkanlah bahwa dan masing-masing merupakan estimator tak bias bagi Y.
c. Hitunglah variansi dari dan .
d. Untuk nilai k berapakah V( mencapai minimum? Hitunglah pula ( ).
28 5. Suatu sampel random sederhana berukuran 50 dengan mean diambil dari sebuah populasi berukuran 1000 dengan variansi 2500. Dari sampel tersebut diambil sub-sampel random sederhana berukuran 30 dengan mean
. Misalkan adalah mean dari 20 unit sampel sisanya. Hitunglah :
a. V( )
b. V( )
29 BAB III
SAMPLING RANDOM SEDERHANA UNTUK PROPORSI
3.1 Karakteristik Kualitatif
Dalam survei sampel, kadang-kadang parameter yang akan diestimasi adalah total banyak unitt, proporsi atau persentase unit populasi yang mempunyai karakteristik atau sifat tertentu. Dalam survei rumah tangga misalnya, ingin diestimasi berapa total banyaknya rumah tangga yang berhak mendapatkan bantuan dalam Program Sosial Pemerintah dari seluruh rumah tangga yang tinggaldi kota K. Hal ini diperlukan sekali untuk menetapkan anggaran yang perlu disediakan dalam program tersebut untuk seluruh rumah tangga di kota K. Dari pengamatan sejumlah komponen tertentu dari hasil produksi, diinginkan untuk mengetahui berapa persentase komponen-komponen yang cacat dari seluruh hasil produksi tersebut. Dari seluruh mahasiswa di sebuah universitas yang menggunakan ponsel, ingin diestimasi proporsi dan total banyaknya mahasiswa yang ponselnya merk M. Hasil pencacahan terhadap setiap unit sampel dijawab dengan “ ya ” ( berhak mendapatkan; cacat; memakai merk M ) atau “ tidak ”. Dengan demikian setiap unit akan masuk kedalam salah satu dari 2 kelas klasifikasi, sebut saja kelas C dan kelas .
Misalkan N adalah ukuran populasi, A adalah total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C dan P adalah proporsi atau persentase unit populasi yang masuk kelas C, yaitu P = . Parameter P dan A tidak diketahui nilainya dan dalam bab ini akan dipelajari statistik estimator untuk parameter-parameter tersebut beserta sifat-sifatnya.
3.2 Estimator Untuk Proporsi dan Total Banyak Unit Serta Variansinya. Dalam sampling random sederhana berukuran n, misalkan aadalah banyaknya unit sampel yang masuk kelas C, dan p adalah proporsi unit sampel yang masuk kelas C, yaitu p = . Maka diperoleh teorema berikut :
30 Teorema 3.1
Proporsi sampel, p = , adalah estimator yang tak bias untuk proporsi populasi,
P = , dengan variansi V(p) = E(p P = ( ), dengan Q = 1 P Bukti :
Untuk setiap unit dalam populasi didefinisikan = 1, jika masuk kelas C dan = 0, jika unit masuk kelas . Maka untuk nilai-nilai populasi ini, total populasi,
dan mean populasi,
= = = P Mean untuk sampelnya,
= = = p
dengan demikian total banyak unit populasi yang masuk kelas C dapat dipandang atau merupakan total populasi khusus yaitu populasi yang nilai unit-unitnya 1 atau 0, dan proporsi populasi adalah mean dari populasi tersebut.
Berdasarkan Teorema 2.1, maka p tak bias untuk P. Untuk populasi tersebut,
sehingga
= ( NP N )
31 Secara sama, untuk sampel , diperoleh
= pq, dengan q = 1 p.
Dan berdasarkan teorema 2.2 diperoleh bukti,
V(p) = V( ) = =
=
(
)Dari teorema 2.3, =
adalah estimator tak bias untuk = , jadi estimator tak bias untuk V(p) adalah,
(p) =v(p) = = =
(
)
Karena A = NP, maka estimator tak bias untuk A adalah = Np dengan variansi,
V( ) = V(p) = PQ
Estimator tak bias untuk V( ) adalah
( ) = v ( ) = v(p) = pq
Dari rumus-rumus diatas, jelas bahwa dalam terapan V(p) dan V( ) tidak dapat dihitung nilainya, karena memuat parameter P yang tidak diketahui nilainya, dan justru akan diestimasi. Maka variansi dari p dan variansi dari dihitung dari rumus estimatornya saja, yaitu v(p) dan v( ).
Rumus lain untuk v(p) dan v( ) adalah v(p) = (1 f)
v( ) = (1 f)
Dari rumus ini, jika faktor koreksi dapat diabaikan maka v(p) dan v( ) menjadi, v(p) = , v( ) =
32 3.3 Pengaruh Nilai Proporsi P Pada Kesalahan Standar
Dari rumus V(p) dimuka,
V(p) = ,
jika faktor koreksi diabaikan, maka V(p) = , dan kesalahan standarnya,
=
Nilai PQ dan untuk beberapa nilai P seperti dalam tabel berikut ( P dalam persen ),
P 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
PQ 0 900 1600 2100 2400 2500 2400 2100 1600 900 0
0 30 40 46 49 50 49 46 40 30 0
Nilai maksimum adalah 50 % dicapai pada nilai P = 50 %. Pada selang
30 % P 0,70 % nilai tak jauh berubah dari 50 %, tetapi pada selang P < 30 % atau P > 70 %, nilai akan jauh berubah dari 50 % .
Untuk P = 50 %, keinginan untuk mendapatkan kesalahan standar dari estimasi , = 5 %, diperlukan sampel sebesar n =100. Dan n = 100 ini tidak berubah banyak untuk 40 % P 60 %.
Jika diinginkan kesalahan yang lebih kecil lagi pada nilai P dalam selang tersebut, misalnya kesalahan standar sebesar 2 %, maka ukuran sampel yang diperlukan jauh meningkat menjadi 625. Ini berarti untuk nilai P sekitar 50 %, untuk menurunkan kesalahan standar dari 5 % menjadi 2 %, diperlukan penambahan ukuran sampel dari 100 menjadi 625.
Pada kondisi sebaliknya, untuk n tetap, kesalahan standar dari p sekitar untuk 40 % P 60 %, tidak banyak berubah yang berarti tidak besar
33 pengaruhnya terhadap V(p). Namun jika P < 30 % atau P > 70 %, maka pengaruhnya terhadap V(p) sangat besar.
3.4 Batas-Batas Konfidensi
Dalam sampling random sederhana berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N, banyaknya unit sampel yang masuk kelas C yaitu a, berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas,
P(a = ) = , = 0, 1, 2,..., n
dan pada populasi yang berukuran sangat besar, distribusi dari a akan mendekati Binomial,
P(a = ) =
Pendekatan selanjutnya, jika ukuran sampel relatif besar, maka distribusi dari a akan mendekati normal dengan mean, E(a) = nP dan variansi v(a) = v(p). Dalam keadaan ini pula, p berdistribusi mendekati normal dengan mean, E(p) = P dan variansi v(p). Berdasarkan distribusi ini, diperoleh batas-batas konfidensi (1 ) untuk P, yaitu :
= p , = p +
Batas-batas konfidensi ( 1 ) untuk A adalah
=N , =N
Batas-batas konfidensi tersebut berlaku untuk sampel berukuran besar.
3.5 Klasifikasi ke Dalam Lebih Dari Dua Kelas
Dalam sebuah survei, seringkali responden diminta memilih salah satu dari beberapa (lebih dari dua) jawaban yang tersedia. Maka hasil pencacahan unit-unit sampel akan terklasifikasi lebih dari dua kelas. Pertanyaan kepada mahasiswa tentang merk motor yang dipakai ke tempat kuliah dengan jawaban pilihan:
34 Honda, Yamaha, Suzuki, dll. Maka klasifikasi yang terjadi adalah 4 kelas. Pertanyaan berapa jumlah anggota rumah tangga Anda? Jawaban yang masuk adalah 1, 2, 3, 4, 5, lebih dari 5. Disini terjadi klasifikasi ke dalam 6 kelas. Pertanyaan, siapa calon yang akan Anda pilih dalam Pilkada yang akan datang diantara tiga calon yang sudah ditetapkan? Unit atau jawaban akan terklasifikasi ke dalam 3 kelas.
Jika terjadi klasifikasi unit ke dalam lebih dari dua kelas, maka permasalahan yang harus diselesaikan dapat berupa,
(a) Estimasi proporsi unit populasi yang masuk kelas C.
(b) Estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. (c) Estimasi proporsi unit sub-populasi yang masuk kelas C.
(d) Estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C. Sebagai contoh, misalkan di kota Baru beredar 7 merk sabun cuci dalam pasaran, yaitu merk , , , , , , .
Merk , dan adalah produk pabrik K, merk dan adalah produk pabrik L, dan adalah produk pabrik yang lainnya. Dalam sampling random sederhana, terdiri n rumah tangga yang diambil dari seluruh ( N ) rumah tangga yang tinggal di kota Baru tersebut, kita diminta menyelesaikan masalah estimasi beberapa parameter, yaitu :
(1) Proporsi rumah tangga pemakai merk , dari seluruh rumah tangga di kota Baru.
(2) Total banyaknya rumah tangga di kota Baru yang memakai merk produk pabrik L
(3) Proporsi rumah tangga pemakai merk dari seluruh rumah tangga pemakai produk pabrik K di kota Baru.
(4) Total banyaknya rumah tangga pemakai merk atau di kota Baru. Penyelesaian masalah :
(1) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk , maka (1) merupakan masalah estimasi proporsi unit populasi yang masuk kelas C.
35 (2) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk produk L maka (2) merupakam masalah estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. Adanya informasi yang lebih banyak seperti misalnya informasi tentang total banyaknya rumah tangga pemakai merk produk K dan L, maka (2) dapat dipandang sebagai masalah estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C, dengan memandang informasi tersebut sebagai ukuran sub-populasi.
(3) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk dan seluruh rumah tangga pemakai produk pabrik K sebagai sub-populasi, maka (3) merupakan masalah estimasi proporsi unit sub-populasi yang masuk kelas C.
(4) Dengan mendefinisikan kelas C sebagai kelas rumah tangga pemakai merk atau , maka (4) merupakan masalah estimasi total banyaknya unit populasi yang masuk kelas C. Dengan informasi yang lebih seperti yang tersebut dalam (2), maka (4) dapat dipandang sebagai masalah estimasi total banyaknya unit sub-populasi yang masuk kelas C.
Adanya informasi yang lebih banyak seperti yang tersebut dalam penyelesaian masalah (2) dan (4), menjadikan masalah estimasi total banyaknya unit yang masuk kelas C memiliki estimator yang tidak tunggal. Masing-masing masalah (2) dan (4) di atas mempunyai dua buah estimator dan kita dapat menunjuk estimator manakah yang lebih akurat berdasarkan nilai kesalahan standarnya.
Misalkan unit-unit populasi diklasifikasikan ke dalam salah satu dari k kelas, yaitu kelas , , ,... . Misalkan N adalah ukuran populasi, adalah total banyaknya unit populasi yang masuk kelas , dengan tidak diketahui, maka,
= + = N
Dengan sampling random sederhana berukuran n, akan dipelajari masalah estimasi untuk beberapa parameter, yaitu seperti misalnya,
36 (1) Estimasi untuk (2) Estimasi untuk (3) Estimasi untuk (4) Estimasi untuk (5) Estimasi untuk (6) Estimasi untuk + (7) Estimasi untuk +
Misalkan dari sampel yang diambil diperoleh banyaknya unit sampel yang masuk kelas adalah ; i = 1, 2, 3,...k
Maka
Berdasarkan pembahasan dimuka bahwa p adalah estimator tak bias untuk P dengan estimasi variansi tak biasnya,
v(p) = (1 f)
dan adalah estimator tak bias untuk A dengan estimasi variansi tak biasnya,
v( ) = (1 f)
maka diperoleh hasil-hasil sebagai berikut,
(1) Estimator tak bias untuk adalah p = , dengan estimasi variansi tak
biasnya v( ) = v(p) = (1 f) , dengan p =
(2) Estimator tak bias untuk adalah p = dengan variansi tak
37
(3) Dengan memandang gabungan kelas , dan sebagai
sub-populasi atau domain penelitian, estimator tak bias untuk
adalah, = , dengan = dengan estimasi variansi tak
biasnya, v( ) = v( ) = (1 ) , dengan = dan =
.
(4) Dengan memandang hal yang sama seperti dalam (3), estimator tak bias
untuk adalah = dengan = ,
dengan estimasi variansi tak biasnya v( ) = v( ) = (1 ) ,
dengan = dan = .
Hasil-hasil estimasi dalam (5), (6) dan (7), jika = diketahui
nilainya, maka ada dua buah estimator, tetapi jika tak diketahui nilainya, hanya ada sebuah estimator hasilnya sebagai berikut,
(5) Jika = diketahui, maka estimator tak bias untuk
adalah :
Pertama ; = , dengan = dan = , dengan
estimasi variansi v( ) = v( ) = (1 )
Kedua ; = Np , dengan p = dan dengan estimasi variansi
v( ) = v(p) = (1 f)
(6) Jika = diketahui, maka estimator tak bias untuk
38
Pertama ; = dengan = dan = , dengan
estimasi variansi, v( ) = v( ) = (1 )
Kedua ; = Np , dengan p = dan dengan estimasi variansi
v( ) = v(p) = (1 f)
(7) Jika = diketahui maka estimator tak bias untuk
( ) adalah seperti pada (6) dengan = dan p =
dalam masalah estimasi (5), (6) dan (7) jika tidak diketahui maka hanya estimator kedua yang dapat digunakan.
Soal-soal latihan :
1. Unit-unit sebuah populasi diklasifikasikan ke dalam kelas-kelas , , dan . Misalkan adalah banyaknya unit populasi yang masuk kelas , i =1, 2, 3, 4 ; dan = . Nilai dan tidak diketahui. Dari populasi ini diambil sampel random sederhana berukuran n dan misalkan adalah banyaknya unit sampel yang masuk kelas .
a) Tentukan estimator untuk dan tuliskanlah rumus variansinya. b) Tentukan estimator untuk dan tuliskanlah variansinya. c) Jika nilai diketahui, tentukanlah dua buah estimator untuk
dan tuliskanlah masing-masing variansinya.
2. Sebuah kota dihuni 12.000 rumah tangga, dengan mata pencaharian pokok diklasifikasikan : petani, pedagang, peg. Swasta dan PNS. Sebuah sampel random yang terdiri 800 rumah tangga yang diambil dari kota tersebut diketahui mata pencaharian pokok mereka sbb : petani 350 rt, pedagang 200 rt, peg. Swasta 175 rt, dan PNS 75 rt. Diketahui total banyaknya
39 rumah tangga dengan mata pencaharian pokok peg. Swasta atau PNS adalah 3200 rt.
a) Estimasikanlah proporsi banyaknya rumah tangga dengan mata pencaharian pokok petani di kota tersebut dan hitunglah pula kesalahan standarnya.
b) Berikanlah dua buah nilai estimasi untuk total banyaknya rumah tangga dengan mata pencaharian pokok pedagang di kota tersebut (berapa rt) dan hitunglah pula kesalahan standar dari masing-masing estimasi tersebut.
3. Terkait dengan program wajib belajar 9 tahun,akan diestimasi total banyaknya penduduk kota K yang saat ini berusia antara 6 th dan 16 th. Sebuah sampel random sederhana terdiri 200 rumah tangga diketahui distribusi banyaknya anak yang berusia antara 6 th dan 16 th dalam rumah tangga tersebut sbb :
Banyaknya anak usia antara 6 th dan 16 th
Banyaknya rumah tangga
0 60 1 70 2 30 3 20 4 15 5 5
Diketahui kota K dihuni 3000 rumah tangga, dengan 2000 rumah tangga diantaranya mempunyai anak (anggota rt) yang berusia antara 6 th dan 16 th. Estimasikanlah total banyaknya rumah tangga kota K yang punya anak usia 6 th-16 th lebih dari 2 orang (dua estimasi). Estimasikan pula total banyaknya penduduk kota K ( berikan 2 estimasi ) yang berusia antara 6 th dan 16 th. Hitunglah pula kesalahan standar masing-masing estimasi tersebut.
40 4. Dari seluruh mahasiswa Universitas U diketahui 5000 orang mahasiswa memiliki ponsel dan 600 orang diantara mereka harga ponselnya lebih dari Rp.2.000.000,-. Sebuah sampel random sederhana terdiri 300 orang mahasiswa pemilik ponsel dari universitas tersebut diketahui merk ponsel dan harganya sbb:
Harga Merk Merk Merk Merk Lain
Tak lebih dari
Rp.2.000.000,- 100 68 54 38
Lebih dari
Rp.2.000.000,- 20 12 6 2
a. Dari seluruh mahasiswa Universitas U, estimasikanlah total banyaknya mahasiswa pemilik ponsel Merk dan hitung pula kesalahan standarnya.
b. Dari seluruh mahasiswa pemilik ponsel Merk ,
estimasikanlah proporsi mahasiswa yang harga ponselnya tak lebih dari Rp. 2.000.000,-
c. Dari seluruh mahasiswa pemilik ponsel yang harganya tak lebih dari Rp. 2.000.000,-, estimasikanlah proporsi mahasiswa pemilik ponsel Merk dan hitung pula kesalahan standarnya. d. Berikanlah dua buah estimasi untuk total banyaknya
mahasiswa Universitas U pemilik ponsel Merk yang harganya tak lebih dari Rp.2.000.000,- dan hitunglah variansi dari masing-masing estimasi tersebut.
5. Estimator tak bias bagi V(p) = adalah v(p) = pq. Jadi
(p) = adalah bias bagi V(p). Tentukanlah besarnya bias tersebut, B( (p)).
41 BAB IV
ESTIMASI UKURAN SAMPEL
4.1 Analisis Masalah dan Spesifikasi Ketelitian
Dalam setiap rancangan survei sampel, penentuan ukuran sampel merupakan tahap yang harus dilewati. Ukuran sampel yang diambil akan berhubungan langsung dengan biaya dan waktu. Semakin besar sampel diambil, akan semakin besar pula biaya dan waktu yang diperlukan. Bagaimana hubungan ukuran sampel dengan spesifikasi ketelitian? Spesifikasi ketelitian dalam estimasi merupakan pernyataan ketelitian yang diinginkan dalam estimasi tersebut. Pernyataan ini dapat berupa keakuratan yang diinginkan yang dapat dinyatakan dengan atau melalui kesalahan standar dari estimatornya. Ketelitian yang diinginkan dapat pula dinyatakan melalui tingkat kesalahan dalam estimasi yang masih dapat ditoleransi yang terjadi pada tingkat keyakinan atau probabilitas tertentu. Tingkat kesalahan tersebut harus ditetapkan dengan baik sesuai bidang penerapan estimasi tersebut. Jika diinginkan ketelitian yang tinggi, maka tingkat kesalahan harus ditetapkan dengan nilai yang kecil.
4.2 Rumus Untuk n Dalam Sampling Untuk Proporsi
Dalam sampling random sederhana untuk proporsi, misalkan tingkat kesalahan estimasi yang masih dapat ditoleransi adalah d pada tingkat keyakinan atau tingkat konfidensi 1 , Ini berarti,
P( |p P| d ) = 1
Dengan menganggap p berdistribusi normal dengan mean, E(p) = P dan variansi V(p) = , maka diperoleh hubungan antara n dan d yaitu,
d =
42 n =
Untuk penggunaan praktis, sebuah perkiraan awal p diperlukan untuk mengganti P dalam rumus di atas sehingga n dapat dihitung. Perkiraan awal p ini dapat diperoleh dengan mengambil sampel awal dan menghitung nilai p dalam sampel tersebut atau menggunakan perkiraan lainnya, misalnya dari hasil survei yang lampau. Dengan nilai perkiraan awal p tersebut, estimasi pertama ukuran sampel adalah,
=
Jika < 5% , ambil n = . Namun jika 5% , maka ukuran sampel yang diambil,
n =
=
Kesalahan relatif sebuah estimator untuk didefinisikan dengan
koefisien variasi dari didefiniskan dengan
Misalkan dalam estimasi total banyak unit populasi yang masuk kelas C, yaitu A = NP, kesalahan relatif dalam estimasi diinginkan tidak lebih dari r pada tingkat konfidensi 1 . Maka,
P( r) = 1
P(|p P| rP) = 1
Dari hasil di muka, dengan mengganti d dengan rP diperoleh, = dengan p adalah perkiraan awal untuk P.
43 4.3 Rumus Untuk n Dengan Data Kontinu
Dalam estimasi mean atau total populasi, atau Y, sering diinginkan sebuah kesalahan relatif tidak lebih dari r dalam estimasinya. Jadi,
P( r) = 1 .
Dengan menganggap berdistribusi normal dengan mean dan variansi V( ),
maka, r = dengan penyelesaian untuk n
n =
Estimasi pertama, =
Jika < 5 %, ukuran sampel yang diambil n = , dan jika 5% , maka
n = =
Kadang-kadang sampel yang akan diambil diinginkan agar mempunyai nilai koefisien variasi tertentu. Sebagai misal, untuk mengestimasi , diinginkan agar estimatornya mempunyai nilai koefisien variasi kv = , maka = ;
= ; n = Estimasi pertama,
= dengan C = , kuadrat dari koefisien variasi.
Dalam rumus penghitungan ukuran sampel di atas, sampel awal diambil untuk sekedar memperoleh perkiraan untuk P atau , yang digunakan untuk menghitung dan menetapkan n, dan sampel awal tersebut tak digunakan lagi dalam
44 sampling selanjutnya. Dalam praktek metode ini jarang sekali dipakai karena akan memperlambat penyelesaian survei. Metode lain diberikan oleh Cox dan Stein, yaitu dengan mengkombinasikan sampel awal atau sampel pertama yang diambil berukuran , dengan unit-unit tambahan yang diambil dari populasi dan menjadikan ukuran sampel menjadi n. Estimator untuk P atau dari kombinasi sampel tersebut akan berubah sifatnya menjadi bias. Dengan menambahkan estimasi dari bias pada estimator yang bersangkutan akan didapat estimator baru yang tak bias untuk P dan . Hasilnya diberikan dalam rumus-rumus berikut :
a) Sampling untuk
dengan koefisien variasi ditetapkan kv = .
Diambil sampel awal atau sampel pertama berukuran , selanjutnya dihitung mean dan variansinya dan . Dengan menganggap y berdistribusi normal, ambil unit-unit tambahan sehingga ukuran sampel menjadi,
n = ( 1 + 8C + + )
Mean sampel akhir, , merupakan estimator yang bias untuk . Ambil estimator yang baru untuk yaitu :
= (1 2C)
b) Sampling untuk
dengan variasi ditetapkan V.
Ambil unit-unit tambahan untuk membuat ukuran sampel menjadi, n = (1 + )
c) Sampling untuk P
dengan variansi ditetapkan V
Misalkan adalah estimasi untuk P dari sampel pertama. Ambil unit-unit tambahan sehingga ukuran sampel menjadi,
45
n = + +
Proporsi dalam sampel akhir, p, merupakan estimator yang bias untuk P. Untuk menghilangkan bias tersebut gunakan estimator baru untuk P yaitu, = p +
d) Sampling untuk P
dengan koefisien variasi ditetapkan kv =
Ambil unit-unit tambahan untuk membuat ukuran sampel menjadi, n = + +
proporsi dalam sampel akhir, p, merupakan estimator yang bias untuk P, dan untuk menghilangkannya, digunakan estimator baru,
= p
dalam rumus-rumus untuk (a), (b), (c) dan (d) diatas, dianggap < n. Unit-unit tambahan diambil untuk menjadikan sampel tersebut menjadi berukuran n. Jadi sampel baru berukuran n merupakan gabungan sampel pertama dengan unit-unit tambahan tersebut.
Soal-soal latihan :
1. Fakultas Teknik mempunyai mahasiswa sebanyak 2800 orang. Sebuah sampel random sederhana akan diambil dari mahasiswa fakultas tersebut guna mengestimasi total banyaknya mahasiswa yang tinggal di tempat kos. Kesalahan estimasi diinginkan tidak lebih dari 50 orang pada tingkat konfidensi 95 %. Berapa ukuran sampel yang harus diambil jika estimasi untuk banyaknya mahasiswa yang tinggal di tempat kos adalah 500 orang?
2. Wilayah Kecamatan Duren merupakan penghasil buah durian. Hampir di setiap halaman rumah tangga tertanam pohon durian. Guna mengestimasi
46 total banyaknya pohon durian yang tumbuh di kecamatan tersebut akan digunakan sampling random sederhana, terdiri beberapa rumah tangga. Hasil estimasi nanti diinginkan memiliki koefisien variasi 0,18. Telah diambil sampel pertama berukuran 60 rumah tangga dan diperoleh mean banyaknya pohon tiap rumah tangga 4,8 dan deviasi standar 7,1. Tentukan ukuran sampel yang harus diambil, n. Selanjutnya jika dari sampel tersebut diperoleh Y = 8604 pohon. Tentukan estimasi akhir total banyaknya pohon durian di kecamatan Duren.
47 BAB V
SAMPLING RANDOM BERSTRATA
5.1 Pengambilan Sampel Random Berstrata
Untuk mengambil sampel random berstrata dari populasi berukuran N, mula-mula populasi dibagi menjadi beberapa bagian yang masing-masing berukuran , , ..., unit. Bagian-bagian populasi tersebut dinamakan strata atau lapisan, dan tidak boleh overlap, sehingga,
+ + ...+ = N
dengan L = banyaknya strata. Untuk memperoleh manfaat, nilai , h = 1,2,...,L harus diketahui. Jika strata-strata sudah ditentukan, sebuah sampel diambil dari masing-masing strata secara random dan independen gabungan dari seluruh sampel yang diambil dari setiap strata disebut sampel random berstrata. Jadi, jika adalah ukuran sampel dari strata ke-h, h =1,2,...,L dan n adalah ukuran sampel random berstrata, maka < n untuk setiap h,
dan
+ + ...+ = n
Nilai-nilai , h = 1,2,...,L disebut alokasi sampel.
Stratifikasi atau pembagian populasi menjadi sejumlah strata, adalah sebuah teknik biasa, namun ada beberapa prinsip atau alasan mengapa hal tersebut dilakukan. Alasan dimaksud antara lain :
1) Jika dalam estimasi diinginkan ketelitian atau keakuratan pada bagian-bagian dari populasi, per lakukan bagian-bagian-bagian-bagian tersebut sebagai sub-populasi dan selanjutnya dipandang sebagai strata.
2) Administrasi yang baik dapat menarik manfaat dari stratifikasi. Sebagai contoh sebuah pusat agensi dapat menggunakan kantor-kantor cabang sebagai strata. Lebih konkritnya misalnya, hasil UNAS SMA di wilayah sebuah kantor Diknas di kota K dapat menggunakan hasil UNAS semua siswa di seluruh SMA di wilayah kota tersebut. Semua siswa peserta UNAS di setiap SMA tersebut dipandang sebagai strata.
48 3) Masalah sampling dapat berbeda diantara bagian-bagian populasi. Perbedaan itu dapat berupa biaya per unit sampling, dapat pula berupa adat atau kebiasaan responden. Sebuah survei yang berpusat di kota Yogyakarta pada populasi rumah tangga yang tinggal di provinsi DIY, biaya per unit sampling di kota Yogyakarta, dan 4 kabupaten lainnya, Sleman, Bantul, Kulonprogo dan Gunung Kidul dapat berbeda. Responden yang tinggal di rumah dinas mempunyai adat kebiasaan yang berbeda dengan responden yang tinggal di rumah-rumah biasa.
5.2 Definisi dan Notasi
Misalkan N adalah ukuran populasi, dan adalah ukuran strata ke-h, h = 1,2,3,...L. Unit-unit strata ke-h ditulis dengan lambang , ,... , . Total strata ke-h dan mean strata ke-h ditulis dan adalah,
=
Variansi strata ke-h, ditulis adalah,
atau
Dalam sampling random berstrata berukuran n, misalkan adalah alokasi sampel pada strata ke-h. Mean dan variansi sampel dari strata ke-h ditulis dan adalah :
49 atau
Nilai disebut bobot strata dan = disebut fraksi sampel dari strata ke-h.
5.3 Sifat-Sifat Estimator Mean dan Total Serta Variansinya
Dalam sampling random berstrata, estimator untuk total populasi, Y, ditulis dengan adalah :
dan estimator untuk mean populasi, , ditulis atau adalah :
Rumus-rumus estimator tersebut diperoleh dengan alasan sebagai berikut. Mean sampel dari strata ke-h, , adalah estimator tak bias untuk , sehingga tak
bias untuk . Karena Y = , maka tak bias untuk Y dan selanjutnya
tak bias untuk . Variansi dari diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 5.1
Dalam sampling random berstrata, variansi dari adalah,
50 Karena tak bias untuk , maka menurut teorema 2.2 ,
V( )
=
=
( 1 )dan karena sampel-sampel dari setiap strata independen, maka,
dari teorema 5.1 akan diperoleh variansi dari , yaitu, V(
)
= V(N ) = V( )Dalam kasus faktor koreksi, fpc, dapat diabaikan maka,
dan
Ada beberapa alokasi sampel yang mempunyai sifat tertentu yaitu alokasi sama untuk setiap strata dan alokasi proporsional. Sampling random berstrata dikatakan mempunyai alokasi sama, jika nilai sama untuk semua h, dan dikatakan mempunyai alokasi proporsional jika sebanding dengan ukuran
strata. Jadi dalam alokasi sama, = dan dalam alokasi proporsional, = n. Rumus variansi dari dalam alokasi proporsional mempunyai bentuk yang lebih sederhana yaitu,
51 Nilai V( ) tidak bergantung pada n, tetapi bergantung pada alokasi sampel. Meskipun ukuran sampel, n , sama, tetapi jika alokasinya berbeda akan menghasilkan variansi yang berbeda. Sebuah pertanyaan yang menarik adalah, jika n ditetapkan, alokasi manakah yang akan menghasilkan V( ) minimum? Masalah ini akan dipelajari dalam pasal 5.5
5.4 Estimasi Variansi dan Batas-Batas Konfidensi
Dalam sampling random berstrata estimator dan selalu dapat dihitung nilainya, tetapi variansinya dalam terapan umumnya tidak dapat dihitung karena memuat parameter yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu diperlukan estimasi untuk V( ). Berdasarkan teorema 2.3, diperoleh bahwa adalah estimator tak bias untuk . Jadi estimator tak bias untuk V( ) adalah,
dan estimator tak bias untuk V( ) adalah,
Dalam terapan variansi dari estimator untuk mean dan variansi dari estimator untuk total populasi dihitung dengan rumus-rumus yang terakhir ini.
Jika ukuran sampel, besar maka akan berdistribusi mendekati normal dengan mean dan variansi v( ). Dari distribusi ini batas-batas konfidensi (1 ) untuk adalah,
dan batas-batas konfidensi (1 ) untuk Y adalah, =
52 =
5.5 Alokasi Optimum
Dalam sampling random berstrata, misalkan ukuran sampel, n, ditetapkan nilainya, alokasi manakah yang memberikan V( ) minimum? Alokasi seperti ini disebut alokasi optimum pada n tetap.
Masalah yang lebih umum, misalkan biaya survei sampel dirumuskan sebagai jumlah dari biaya pokok, , dan jumlah biaya sampling dari seluruh strata. Misalkan biaya per unit sampel dari strata h adalah , h = 1,2,...,L, maka biaya survei sampel semuanya adalah C, mempunyai rumus,
dengan adalah alokasi sampel, dan diketahui nilainya. Akan dipelajari dua masalah, yaitu,
(a) Jika biaya C ditetapkan, alokasi manakah yang meminimumkan V( )? Alokasi seperti ini, yaitu alokasi yang meminimumkan V( ) pada biaya C yang ditetapkan disebut alokasi optimum pada C tetap.
(b) Jika V( ) ditetapkan sebesar V, alokasi manakah yang meminimumkan biaya C? Hasilnya disebut alokasi optimum pada variansi tetap.
Masalah (a) dan (b) merupakan masalah ekstrem minimum fungsi L variabel dengan sebuah kendala.
Dalam (a) dicari alokasi sampel,
,
h =1,2,...L yang meminimumkan53 Penyelesaian dapat menggunakan metode Lagrange. Dibentuk fungsi Lagrange :
Syarat esktrim, = 0, h =1,2,...,L dan = 0, menghasilkan,
−
+
= 0 , h =1,2,...,L (1) danDari (1) diperoleh penyelesaian untuk ,
= = = Jumlahkan, Jadi =
.
n =(3) Substitusikanlah (3) ke (2) menghasilkan,
54 n = (C )
(4) Substitusikan (4) ke (3) menghasilkan,
= (C )
(5) dengan syarat
Rumus alokasi (5) akan menghasilkan nilai minimum dari V( ), yang diperoleh dengan substitusi pada (5) ke rumus V( ).
Dalam (b), dicari alokasi sampel, , h =1,2,...L yang meminimumkan,
dengan kendala,
V( ) V = 0
Penyelesaiannya dapat dilakukan secara sama dan menghasilkan rumus alokasi,
=
(6) dengan syarat
Nilai minimum biaya survei diperoleh dengan substitusi dalam (6) ke rumus C. Rumus alokasi (5) dan (6) menunjukkan bahwa semakin besar dan semakin kecil , alokasinya semakin besar. Pada keadaan khusus, jika = k , suatu konstan untuk semua h, maka,
atau n =
55 Dalam kasus ini alokasi optimum pada C tetap ekuivalen dengan alokasi optimum pada n tetap. Rumus alokasi optimum pada n tetap adalah diperoleh dari (3),
=
.
n (7) dengan nilai minimum variansi,( ) = dengan syarat
5.6 Keakuratan Relatif Sampling Random Berstrata Terhadap Sampling Random Sederhana
Rumus variansi dari estimator , yaitu V( ) memperlihatkan bahwa nilainya akan kecil bilamana kecil untuk semua h. Hal ini berarti bahwa sampling random berstrata akan memiliki keakuratan yang tinggi jika stratifikasi yaitu pembagian populasi menjadi beberapa strata dapat menghasilkan strata-strata yang unitnya bersifat homogen. Pada populasi penghasilan per bulan, rumah tangga di sebuah kecamatan misalnya, dengan mendefinisikan kelompok-kelompok penghasilan rendah, sedang, tinggi sebagai strata-strata kiranya dapat diharapkan sampling random berstrata akan menghasilkan keakuratan yang lebih tinggi dari pada sampling random sederhana. Secara umum, perbandingan antara sampling random sederhana dan sampling random berstrata pada ukuran sampel, n, tetap, diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 5.2
Jika diabaikan, maka untuk n tetap,
Bukti :
= (1 f)
56 Perhatikan kesamaan berikut,
Jika diabaikan, maka juga diabaikan dan kesamaan tersebut menjadi,
Oleh karena itu,
Dari definisi jelas bahwa . Jadi terbukti bahwa jika diabaikan. Dalam kasus ini,
Dengan = , yaitu rata-rata tertimbang dari
5.7 Alokasi yang Melampaui 100 %
Penghitungan alokasi optimum pada biaya, C, tetap maupun alokasi optimum pada variansi, V, tetap dengan rumus-rumus yang telah diberikan di muka ada kemungkinan menghasilkan nilai alokasi > , untuk suatu strata h. Kondisi seperti ini dikatakan telah terjadi alokasi yang melampaui 100 %. Karena tidak mungkin mengambil sampel yang ukurannya melampaui strata, maka untuk
57 strata tersebut diambil = , dan sisa unit ditambahkan alokasinya pada sampel dari strata yang lain sebanding dengan bobot alokasinya.
Memperhatikan rumus alokasi optimum pada n tetap,
=
.
ntampak bahwa sebanding dengan . Ini berarti untuk kecil dan besar, berpotensi terjadi alokasi yang melampaui 100 %, untuk menghindari penghitungan alokasi yang berulang, sebaiknya dihitung lebih dahulu alokasi sampel pada strata tersebut. Setelah itu dihitung alokasi sampel yang berpotensi pada urutan kedua melampaui 100 %, dan seterusnya. Sebagai contoh, dari L strata, misalkan strata ke-3 adalah yang paling berpotensi memiliki alokasi yang melampaui 100 %. Maka kita hitung dahulu alokasinya,
=
.
nJika ternyata > , maka pada strata ke-3 ditetapkan alokasinya, = , alokasi pada strata yang lain menjadi,
= ( n ) ,
Selanjutnya misalkan strata ke-1 berpotensi pada urutan ke dua terjadi alokasi melampaui 100 %, maka hitung dahulu alokasinya,
= ( n )
Jika , maka teruskan penghitungan alokasi untuk strata yang lainnya. Tetapi jika > , maka tetapkan alokasi pada strata ke-1, = dan alokasi
pada strata yang lain, , menjadi
58 5.8 Sampling Random Berstrata Untuk Proporsi
Misalkan sebuah populasi berukuran N terbagi menjadi L strata dengan ukuran strata , h =1,2,...L dan unit-unit populasi maupun strata diklasifikasikan ke dalam kelas C atau . Misalkan A adalah banyaknya unit populasi yang masuk kelas C dan adalah banyaknya unit strata ke-h yang masuk kelas C. Maka,
+ +...+ = A
Selanjutnya misalkan P = , yaitu proporsi unit populasi yang masuk kelas C dan
=
,
yaitu proporsi unit strata ke-h yang masuk kelas C. Akan dipelajari estimator untuk P dan A beserta sifatnya.Dalam sampling random berstrata berukuran n dengan alokasi , misalkan adalah banyaknya unit sampel dari strata ke-h yang masuk kelas C, dan misalkan = adalah proporsi unit sampel dari strata ke-h yang masuk kelas C. Dari hasil-hasil yang diperoleh dalam Bab III, maka adalah estimator tak bias untuk , dengan variansi,
V( =
Selanjutnya
= adalah estimator tak bias untuk . Jadi
adalah tak bias untuk A, dan akhirnya,
59 Variansi dari adalah,
dalam kasus faktor koreksi, fpc , dapat diabaikan maka,
dan
Pada alokasi proporsional, = . n, variansi dari mempunyai rumus,
Dalam hampir semua aplikasi, jika faktor koreksi, fpc, tidak diabaikan,
,
akan diabaikan, sehingga rumus yang lebih sederhana untuk V( ) adalah :Dalam terapannya di dalam praktek, nilai V( ) tidak dapat dihitung. Penghitungan variansi tersebut dilakukan melalui estimasinya, yang diperoleh
dengan substitusi menggantikan
.
Jadi,
60 =
dan alokasi optimum pada biaya C = + tetap dihitung dengan rumus,
= . n
Soal-soal latihan :
1. Untuk mengestimasi mean IPK tahun pertama seluruh mahasiswa FMIPA, diambil sampel random berstrata 20 orang mahasiswa dengan jurusan Fisika, kimia, dan Matematika dipandang sebagai strata.
Diperoleh data IPK mereka sbb :
Jurusan Fisika : 2,85 ; 2,90 ; 3,45 ; 2,70 ; 3,10
Jurusan Kimia : 2,40 ; 2,25 ; 2,95 ; 2,10 ; 2,95 ; 3,25 ; 2,65 Jur. Matematika: 3,05 ; 2,15 ; 1,95 ; 2,85 ; 2,30 ; 2,80 ; 3,30 ; 2,00 Estimasikanlah mean IPK tahun pertama seluruh mahasiswa FMIPA, dan hitunglah variansi dari estimasi ini. Diketahui total banyaknya mahasiswa FMIPA jurusan Fisika, Kimia dan Matematika berturut-turut 600, 500, dan 700 orang.
2. Suatu survei dilakukan untuk mengestimasi proporsi pemirsa TV yang paling menyenangi beberapa program/acara terpilih yaitu musik, olahraga, kesenian tradisional, film kartun. Sampel yang diambil adalah sampel random berstrata kelompok usia pemirsa, dengan alokasi yang diperkirakan proporsional. Diperoleh data program/acara yang paling disenangi sbb :
Kelompok Usia
Jumlah responden
Program/acara yang paling disenangi Musik Olahraga Film
kartun
Kesenian tradisional
61 diketahui total banyaknya pemirsa TV 42 juta orang. Saudara diminta mengestimasi dan menghitung kesalahan standarnya :
a) proporsi pemirsa TV yang paling menyenangi acara musik b) proporsi pemirsa TV yang paling menyenangi bukan olahraga c) total banyaknya pemirsa TV yang paling menyenangi film kartun
atau kesenian tradisional
3. Sebuah kota mempunyai wilayah terdiri 7 buah kecamatan. Dengan memperhatikan penduduk yang tinggal di setiap kecamatan sebagai strata, diambil sampel random berstrata untuk mengestimasi :
a) proporsi penduduk di kabupaten tsb yang usianya di atas 60 tahun b) total banyaknya penduduk di kabupaten tsb pada usia wajib belajar
(6 th – 15 th)
dari sampel yang diambil diperoleh data sbb : Nomor kecamatan 1 2 3 4 5 6 7 Ukuran sampel 150 240 120 210 170 200 160 Usia 60 th 20 30 20 25 30 30 25 Usia wajib belajar 45 40 15 50 40 35 20
Jumlah penduduk di kecamatan 1,2,...7 berturut-turut : 2500, 4500, 2000, 4000, 3000, 3500, 2500.
Berikanlah hasil estimasi saudara tsb pada (a) dan (b) dan hitunglah variansinya.
4. Sebuah populasi terbagi menjadi 3 strata dengan Strata
1 600 2 9
2 300 3 16
12 sd 30 th 900 70 100 60 40
62
3 100 10 25
Fungsi biaya, C = 500 + . Dikehendaki V( ) = 0,05. Tentukanlah alokasi sampel yang meminimumkan biaya C, dan hitunglah biaya minimumnya.
5. Sebuah populasi terbagi 4 strata dengan ukuran strata 1,2,3 dan 4 berturut-turut 500, 250, 150 dan 100 dan variansinya berberturut-turut-berturut-turut 1,4,16,36. Dalam sampel random berstrata ditetapkan fungsi biaya,
C = 2.220 + dengan = 16, = 25, = 64
dan = 144.
a) Jika tersedia biaya C = 7500, tentukanlah alokasi sampel yang meminimumkan variansi dari dan hitunglah variansi minimum tersebut.
b) Jika dari ukuran sampel seperti tersebut pada (a), digunakan alokasi proporsional, hitunglah variansi dari .
