DEFINISI 23 : Poligon adalah gabungan himpunan titik-titik P1, P2, P3, . . . P n - 1, Pn
dengan ruas-ruas garis : P1 P2,P2 P3, . . . . P n - 1 Pn , Pn P1. sedemikian rupa hingga jika dua sebarang dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik P1, P2, P3, . . . ,
P n - 1, Pn dan tidak ada titik lain.
P1, P2, P3, . . . P n - 1, Pn disebut titik-titik sudut
Poligon, sedangkan P1 P2,P2 P3, . . . . P n - 1 Pn disebut sisi- sisi poligon.
Suatu poligon dinamakan dengan titik-titik sudutnya secara berurutan dengan cara searah
jarum jam, atau berlawan arah jarum jam.
Contoh : EDCBA, atau ABCDE, dan
sebagainya.
DEFINISI 24 : korespodensi sudut-sudut dari dua poligon adalah dua sudut dengan titik sudut dengan titik sudutnya berpasangan, yang merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut-titik sudut dua poligon.
DEFINISI 25 : korespodensi sisi-sisi dari dua poligon adalah dua sisi dengan titik ujung-titik ujungnya berpasangan yang merupakan korespodensi unsur-unsur yang
E D C B A P1 P2 P3 P4 P5 Pn-1 Pn
DEFINISI 26 : dua poligon adalah kongruen, jika ada korespodensi 1-1 diantara titik-titiknya sedemikian rupa hingga: (1) semua sisi yang korespondensi kongruen, dan (2) semua sudut yang korespondensi kongruen.
DEFINISI 27 : segitiga adalah poligon yang bersisi tiga.
POSTULAT 13 : dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya sedemikianrupa hingga dua sisi dan sudut apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga kedua. ( sd – s – sd ).
ABC DEF
POSTULAT 14 : dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya sedemikianrupa hingga dua sudut dan sisi apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga yang kedua. ( sd – s – sd ). ABC DEF F N E D C A B B F D C E A
Contoh : Diketahui : AB DC ; DE AC BC CE Buktikan : DC AC Bukti : Pernyataan Alasan 1. AB DC
2. < ABC sudut siku-siku 3. DE AC
4. < DEC sudut siku-siku 5. < ABC < DEC 6. BC CE 7. < C < C 8. CDE ABC 9. DC AC 1. Diketahui
2. Def. 2 garis saling
3. Diketahui 4. Sama No. 2 5. Def. 6. Diketahui 7. Sifat refleksif 8. ( sd – s – sd )
9. Akibat dari kongruensi dua segitiga
Spesifikasi segitiga :
1. Berdasarkan sisinya : Sebutan/Nama : a. 3 sisinya kongruen segitiga sama sisi b. 2 sisinya kongruen segitiga sama kaki c. tidak ada sisinya yangg kongruen segitiga sembarang
2. Berdasarkan sudutnya : Sebutan/Nama : a. 3 sudutnya sama segitiga sama sudut b. 1 sudutnya siku – siku segitiga siku- siku c. 1 sudut tumpul segitiga tumpul
E D
C B
DEFINISI 28 – 31 tentang : segitiga sama sudut, segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. (sebagai latihan).
ABC sama kaki : BC alas segitiga, < B dan < C sudut – sudut alas segitiga, AB dan AC kaki-kaki segitiga. <A dibentuk oleh sisi-sisi yang kongruen, yang disebut : sudut verteks.
DEFINISI 32 A : Interior dari sebuah sudut adalajh suatu himpunan titik-titik
sedemikian rupa hingga jika sebuah sinar yang titik pangkalnya adalah verteks sudut tersebut, ditarik melalui sembarang sebuah titik pada himpunan titik-titik itu, sinar akan terletak diantara sisi-sisi sudut tersebut.
DEFINISI 32 B : Interior pada suatu segitiga adalah himpunan titik-titik yang merupakan persekutuan sembarang dua interior-interior sudut segitiga tersebut.
POSTULAT 15 ( AKSIOMA PASCH ) : suatu garis berinteraksi dengan salah satu sisi segitiga dan masuk pada daerah interiornya, pasti berinteraksi dengan sisi yang kedua dari segitiga tersebut.
POSTULAT 16 : setiap sudut mempunyai bisektor.
TEOREMA 9 : jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen, maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi tersebut kongruen. (Bukti sebagai latihan).
TEOREMA 10 : jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi-sisinya dihadapan kedua sudut tersebut kongruen.
C B
Diketahui : < B < C. Buktikan : AB AC Bukti : Pernyataan Alasan 1. < B < C
2. BP dan CQ masing – masing bisektor < ABC dan < ACB
3. BP dan CQ pasti memotong sisi AB dan AC masing – masing pada E dan D 4. < EBC < DBC 5. BC BC 6. EBC DCB 7. BE CD 8. < BDC < BEC 9. < ADC < AEB 10. < ABE < ACD 11. ABC ACD 12. AB AC 1. Diketahui
2. Setiap sudut mempunyai bisektor
3. Aksioma Pasch
4. kongruensi sudut – sudut yang kongruen 5. Sifat reflektif.
6. ( sd – s – sd )
7. Def. kongruensi poligon 8. Def. kongruensi poligon
9. Dua sudut bersuplemen dengan dua sudut yang kongruen.
10. Sama No. 4 11. ( sd – s – sd ) 12. Sama No.7 Q P E D C B A
DEFINISI 33 : garis tinggi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks ( titik sudut ), tegak lurus terhadap sisi dihadapannya (dapat diperpanjang, jika diperlukan) pada segitiga tersebut.
DEFINISI 34 : garis berat pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks ke titik tengah sisi dihadapan sudut tadi .
DEFINISI 35 : garis bagi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang membagi dua sama ukurannya sembarang sudut pada segitiga dan berujung pada sisi hadapannya.
TEOREMA 11 : jika dua segitiga adalah kongruen terhadap segitiga yang sama, maka kedua saling kongruen, ( Buktikan dengan memakai postulat s – sd – s ).
POSTULAT 17A : jika suatu titik P terletak pada suatu garis yang diketahui, adalah mungkin untuk mendapatkan titik yang kedua Q pada garis tersebut sedemikian rupa sehingga PQ akan kongruen pada sembarang segmen garis AB yang diketahui.
POSTULAT 17B : jika suatu titik diketahui terletak pada suatu garis, ada suatu sudut yang titik sudutnya adalah titik tadi dan satu pada sisinya terhadap garis tadi adalah suatu sinar sedemikianrupa hingga sudut tersebut kongruen dengan sembarang sudut yang diketahui.
Penjelasan :
Dengan garis l yang diketahui dan titik P pada l, adalah mungkin untuk mendapatkan titik kedua Q pada l, sehingga PQ kongruen dengan segmen AB yang diketahui.
P Q l
B A
Titik P pada garis PQ adalah mungkin untuk mendapattkan suatu sudut (misalnya ) RPQ sedemikinrupa hingga kongruen dengan ABC yang diketahui.
TEOREMA 12 : dua segitiga adalah kongruen jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya, ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah kongruen terhadap sisi-sisi yang korespondensi pada segitiga yang lain. ( s – s – s ) I. II. Q P R C B A F E D C B A S E F D C B A R
Diketahui : AB DE BC EF AC DF Buktikan : ABC DEF Bukti : Pernyataan Alasan
1. Titik B pada BC, terdapat < SBC < DEF 2. Memperluas BS sehingga RB DE 3. RC garis yang melalui titik R dan C 4. RA garis yang melalui titik R dan A 5. BC EF 6. DEF RBC 7. RC DF 8. AC DF 9. Jadi AC RC 10. <CAR < CRA 11. AB DE 12. RB DE 13. Jadi AB RB 14. <BAR < BRA 15. <BAC < BRC 16. DEF RBC 17. ABC DEF 1. Postulat 17 2. Postulat garis 3. Postulat garis 4. Idem 5. Diketahui 6. (s-sd-s)
7. Def .kongruensi poligon 8. Diketahui
9. Sifat transitif kongruensi 10. Teorema segitiga sama kaki 11. Diketahui 12. Sama no. 2 13. Sama no. 9 14. Sama no. 10 15. Postulat (+) 16. ( s – ds – s ) 17. Teorema 11
DEFINISI 36 : suatu lingkaran adalah suatu himpunan titik sedemikian rupa hingga segmen garis-segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan tersebut ke titik tetap adalah kongruen.
Catatan : notasi lingkaran sebagai O, dan titik tetap
Lingkaran disebut titik pusat.
Menurut gambar, segmen-segmen :
AB, AC, AD kongruen dengan AE , maka gambar
tersebut lingkaran.
DEFINISI 37 : jari-jari suatu lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sebarang titik pada lingkaran tersebut ke pusat lingkaran.
TEOREMA 13 : semua jari-jari pada suatu lingkaran adalah kongruen. (bukti sebagai latihan).
TEOREMA 14 : dua segitiga siku-siku kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik suduttnya, hipotenosa dan satu kaki siku-siku segitiga yang satu kongruen dengan yang berkorespondensi pada segi tiga yang lain. (bukti seperti teorema 12).
Dapatkah anda membuktikan bahwa dalam segitiga ABC dengan AB AC , maka <ABC <ACB ?.
Diketahui : ABC AB AC , BD CE.
Buktikan : <ABC <ACB A B C D E A D E
Soal-soal
1. Jika <A <B, <C <F dan <E <D, maka tulislah korespondensi poligon-poligon ACE dan BDF, dan bahwa korespondensi sudut-sudutnya kongruen.
2. Jika RS WY , ST YX dan TR XW , maka tulislah korespondensi diantara poligon-poligon RST dan XYW, dengan korespondensi sisi –sisinya kongruen. Apakah komentar anda selanjutnya ?.
a. Gambarlah suatu diagram untuk poligon-poligon RST dan XYW, dengan korespondensi sisi-sisinya kongruen.
b. Gambarlah poligon untuk ACE dan BDF dari soal no. 1, sudut – sudutnya adalah kongruen. Apakah korespondensi sisi-sisinya juga kongruen ?. Jika sudut yang berkorespondensi kongruen, dapatkah poligon tersebut digambarkan bahwa korespondensi sisi-sisinya tidak kongruen ?.
3. Pada poligon berikut, tulislah suatu korespondensi sisi-sisinya yang kongruen, sebagai tertanda diagram.
a. Apakah sudut-sudut korespondensinya dalam korespondensi juga kongruen ?.
b. Jika sisi-sisi korespondensinya dalam berkorespondensi diantra dua poligon adalah kongruen, maka sudut-sudut korespondensinya juga kongruen ?. A D E H
B C F G
4. Suatu korespondensi ABCD RSTW merupakan kongruensi korespondensi diantara titik sudut-titik sudut poligon ABCD dan RSTW. Apakah akibat dari pernyataan tersebut ?.
5. Dalam hal apakah sehingga mungkin dua segitiga kongruen menurut dua perbedaan kongruensi-kongruensi ?.
6. Jika ada suatu korespondensi diantra titik sudut-titk sudut dua segitiga siku-siku sedemikian hingga sebuah kaki dan sudut lancip dengan titik sudutnya,
merupakan suatu titik ujung kaki dalam segitiga suku-siku yang satu adalah kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga siku-siku yang lain; mungkinkah kedua segitiga tersebut kongruen ?, jelaskan jawabannya !. 7. Jiak definisi kongruensi poligon-poligon digunakan untuk membuktikan dua
segitiga menjadi kongruen, apakah dapat ditunjukkan kebenarannya ?.
8. Kongklusi apakah yang dapat ditarik, jika garis berat dan garis tinggi terhadap suatu sisi segitiga, merupakan suatu segmen garis yang sama ?.
9. Jika segitiga ABC kongruen dengan segitiga EFG, maka <A <E. Kerjakan implikasi ini, jika ABC EFG, maka maka <A <E .
10. Dengan memakai metode yang sama terhadap hal yang diketahui pada soal no.5, buktikan suatu teorema bahwa : Jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka sisi-sisi dihadapan sudut tersebut adalah kongruen.
Tes Formatif
1. Perhatikan ilustrasi 1.
Diketahui: CA DB, CB DA.
Buktikan: ABC BAD.
2. Perhatikan ilustrasi 1.
Diketahui: AD AC, AB AE.
Buktikan: ADBACE.
3. Perhatikan ilustrasi 3. C A E B D Illustration 1 D E B A Illustration 2 F C D C
BD AC .
Buktikan: DC BC. 4. Perhatikan ilustrasi 4.
Diketahui: DC AB, CDABAD.
Buktikan: AC DB.
5. Perhatikan ilustrasi 5.
Diketahui: Segitiga sama sisi ABC . D titik tengan AB.
E titik tengan BC . F titik tengan CA .
Buktikan: ADF , BED , dan CFE adalah segitiga-segitiga yang kongruen, dan DEF adalah sama sisi.
6. Perhatikan ilustrasi 6.
Diketahui: Segitiga sama kaki ABC dan ABD dengan alas AB.
Buktikan: 12.
7. Perhatikan ilustrasi 7. Diketahui:
Segitiga sama kaki AFC dengan alas AC . Segitiga sama kaki BGD dengan alasBD.
Illustration 4 D C B A Illustration 5 F E D C B A Illustration 6 2 1 C D B A H G F E
Segitiga sama kaki BHC dengan alas BC . Buktikan: AED adalah sama kaki.
8. Perhatikan ilustrasi 8.
Diketahui: Titik-titik A, B, dan C segaris. AE
CA , 2 A.
Buktikan: BCF sama kaki.
9. Perhatikan ilustrasi 9.
Diketahui: ABC sama kaki dengan alas
AB. BD AC . BC AE . 2 1 . Buktikan: 34. 10. Perhatikan ilustrasi 10.
Diketahui: ABC sama kaki dengan alas
AB. ) ( ) ( ) (AD m DF m DC m . Illustration 8 G F E D C B A 1 2 A Illustration 9 E D C B 1 3 2 4 F C B 3 4
DC AD
BAB VI KETEGAKLURUSAN
POSTULAT 18 : Jika dua bilangan adalah sama, suatu sibsutitusi pada yang satu ke yang lain diperbolehkan.
DEFINISI 38 : Sinar PB terletak diantara sinar-sinar PA dan PC berarti bahwa u <APB + <BPC = u <APC. (Seperti definisi 19).
DEFINISI 39 : Sudut-sudut ABC dan <DBC berserikat, adalah dus sudut sedemikian hingga keduanya mempunyai titik sudut persekutuan B dan sisi persekutuan BC
yang terletak diantara BA dan BD .
Pada gambar I : B adalah titik sudut serikatnya dan BC sisi serikat yang terletak diantara BA dan BD . Pada gambar II : B adalah titik sudut serikatnya. < ABC merupakan sudut tumpul dan <CBD merupakan sudut lancip, sedemikian
D C B A II D C B A I B C P A
diantara BA dan BD . Cobalah jika <ABC dan <CBD masing-masing sudut tumpul, apa kesimpulan yang anda peroleh untuk selanjutnya ?. (Lihat definisi 19)
TEOREMA 15: Jika dua garis berpotongan membentuk sudut sudut bersisihan yang kongruen, maka dua garis tersebut adalah tegak lurus. (Bukti anda coba).
DEFINISI 40: Jarak antara dua bangun geometri adalah ukuran garis hubung yang terpendek diantaranya.
POSTULAT 19: Garis hubung diantara dua titik adalah segmen garis adalah yang dibentuk oleh dua titik tersebut.
TEOREMA 16 : Jika dua titik masing-masing berjarak sama dari titik ujung-titik ujung suatu segmen garis, maka perpotongan garis persekutuannya merupakan bisektor tegak lurus segmen garis tadi. (Bukti anda coba).
TEOREMA 17 : Jika suatu titik terletak pada bisektor tegak lurus segmen garis, maka titik tersebut berjarak sama dari titik ujung- titik ujung segmen garis. (Bukti sebagai latihan, dan ujilah konversnya)
POSTULAT 20 : Setiap segmen memiliki sebuah titik tengah.
TEOREMA 18 : Jika sebuah titik berjarak sama dari titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis, maka titik tersebut terletak pada bisektor tegak lurus segmen garis tersebut. (Bukti anda coba).
Tes Formatif
Pada masing-masing soal ini gambarlah diagramnya, kemudian tulislah yang diketahui dan kesimpulannya, dan lengkapi buktinya :
1. Diketahui : segitiga sama kaki dengan bisektor sudut pada titik sudutnya. Buktikan : bisektor sudut pada titik sudutnya adalah tegak lurus terhadap alas. 2. Diketahui : segitiga samakaki dengan dua garis berat terhadap kaki-kaki.
Buktikan : garis yang ditarik dari titik sudut terhadap titik potong dua garis berat akan tegak lurus terhadap alas.
3. Diketahui : Dua lingkaran berpotongan , sebua ssegmen garis persekutuan dengan titik persekutuannya , dan sebuah garis ditarik dari sebuah lingkkaran ke titik tengah segmen tersebut.
Buktikan : garis tersebut akan melalui pusat lingkaran yang lain.
Pada masing-masing proposisi berikut , gambarlah diagramnya dan tulislah diketahui , buktikan , dan bukti.
4. Jika pada poligon bersisi empat sisi-sisi berhadapannya kongruen , maka garis persekutuan titik sudut-titik sudut yang berhadapan membagi poligon kedalam dua segitiga kongruen.
5. Jika suatu titik berjarak sama dari titik sudut-titik sudut suatu sudut alas segitiga samakaki , maka titik tersebut terletak pada bisektor sudut segitiga.
BAB VII