BAB III ALJABAR MAX-PLUS
E. Matriks dan Graf di ℝ
1. Konsep Dasar Graf
� =
≼ . ∎
Contoh 3.9 Diberikan matriks = [ ]dan vektor = [ ] , = [ ]. Jelas
bahwa ≼ dan =[ ] [ ] = [ ]
=[ ] [ ] = [ ].
Terlihat bahwa � ≼ � . E. Matriks dan Graf di ℝ
Pada bagian ini dijelaskan tentang hubungan matriks dan graf dalam ℝ . Namun sebelumnya akan dijelaskan secara singkat konsep dasar mengenai teori graf. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Bacelli (2001), Heidergott, dkk (2006), West (2001), Farlow (2009), Andersen (2002).
1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan dijelaskan konsep graf secara umum yang mencakup definisi graf, graf berarah dan graf berbobot serta graf berarah berbobot, lintasan
53
dan sirkuit dalam graf dan graf yang terhubung kuat. Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan graf secara umum.
Definisi 3.14 Suatu graf � didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, � dengan � adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggota-anggotanya disebut simpul (atau titik) dan � adalah himpunan pasangan (tak terurut) titik-titik yang anggota-anggotanya disebut busur (atau rusuk).
Contoh 3.10 Perhatikan graf � di bawah ini
Gambar 3.1 Graf secara umum
Graf pada Gambar 3.1 adalah graf � = � , dengan himpunan simpul adalah � = { , , } dan himpunan busurnya adalah � yaitu , , , , , .
Setelah didefinisikan graf secara umum, selanjutnya akan didefinisikan graf berarah dan graf berbobot.
Definisi 3.15 Suatu graf berarah � adalah pasangan �, � , dengan � adalah himpunan simpul (atau titik) dan � adalah himpunan pasangan terurut dari simpul-simpul. Anggota himpunan � disebut busur; dan untuk busur , ∈ �, disebut titik awal busur dan disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur
54
Definisi 3.15 menjelaskan bahwa graf berarah � adalah graf yang setiap busurnya mempunyai arah. Dengan demikian kata terurut dalam Definisi 3.15 mengandung arti bahwa busur , dan busur ,
merupakan dua busur yang berbeda. Jika , ∈ � maka dikatakan bahwa � memuat satu busur dari ke , sehingga busur , dikatakan mempunyai satu busur masuk ke dan satu busur keluar dari . Oleh karena itu, busur , ∈ � secara geometri dinyatakan dengan suatu anak panah yang arahnya dari ke . Berikut ini diberikan contoh graf berarah.
Contoh 3.11 Perhatikan graf � berikut
Gambar 3.2 Graf berarah
Graf pada Gambar 3.2 di atas adalah graf berarah � = � , dengan � = { , , } dan� = { , , , , , }. Perbedaan antara Contoh 3.10 dan Contoh 3.11 terletak pada anggota-anggota himpunan � yang dinyatakan sebagai pasangan terurut. Elemen pertama pada setiap pasangan terurut pada anggota himpunan � dalam Contoh 3.11 menyatakan titik awal busur sedangkan elemen keduanya menyatakan titik akhir busur.
Berdasarkan Definisi 3.14 dan Definisi 3.15 serta Contoh 3.10 dan Contoh 3.11 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf sebagai berikut: jika suatu graf dinyatakan dalam gambar, simpul dinyatakan sebuah noktah (lingkaran
55
kecil) dengan label yang berfungsi sebagai nama simpul; rusuk dinyatakan sebagai ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah; sedangkan busur dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian, dengan titik awal busur dan titik akhir busur ditentukan oleh arah anak panah.
Sesudah mendefinisikan graf berarah, selanjutnya akan didefinisikan graf berbobot.
Definisi 3.16 Graf berbobot � adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuk atau busurnya. Bobot setiap rusuk atau busur dinotasikan dengan , ∈ ℝ.
Selanjutnya, akan diberikan contoh graf dengan bobot pada masing-masing rusuknya.
Contoh 3.12 Perhatikan graf � berikut ini
Gambar 3.3 Graf Berbobot �
Graf pada Gambar 3.3 merupakan graf berbobot � = � , dengan � = { , , } dan � = , , , , , sedangkan bobot-bobot dari setiap rusuknya dinyatakan dengan , , ∈ ℝ untuk setiap rusuk yang bersesuaian.
56
Berdasarkan Definisi 3.15 dan Definisi 3.16 berikut ini akan didefinisikan graf berarah berbobot.
Definisi 3.17 Suatu graf berarah � disebut berbobot jika bobot , ∈ ℝ dapat dihubungkan dengan setiap busur , ∈ �.
Menurut Definisi 3.17 suatu graf berarah � disebut berbobot jika setiap busur , ∈ � dapat dipasangkan dengan suatu bilangan real yang merupakan bobot busur , . Bobot busur , adalah nilai dari yang dinotasikan , = . Dengan demikian, suatu busur dari titik j ke titik i ada bila ≠ �. Oleh karena itu, busur , ∈ � dalam graf berarah berbobot secara geometri dinyatakan dengan suatu anak panah yang arahnya dari ke dan mempunyai bobot , = ≠ �. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 3.13 Perhatikan graf � berikut ini
Gambar 3.4 Graf berarah berbobot �
Graf pada Gambar 3.4 merupakan graf berarah berbobot � = � , dengan � = { , , } dan � = { , , , , , } bobot untuk setiap busurnya adalah
57
Setelah didefinisikan graf berarah, graf berbobot dan graf berarah berbobot selanjutnya akan didefinisikan graf terhubung kuat. Namun sebelumnya akan dijelaskan definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan yang berguna untuk mendefinisikan graf terhubung kuat.
Defenisi 3.18 Diberikan suatu graf berarah � �, � , dengan � = { , … , }.
Lintasan � dari ke adalah barisan berhingga busur , , , , … , − , dengan , + ∈ � dan = , , … , − .
Himpunan busur yang dijelaskan pada Definisi 3.18 dapat direpresentasikan dengan → →. . . → . Simpul disebut sebagai simpul awal sedangkan simpul disebut sebagai simpul akhir. Suatu lintasan disebut lintasan elementer jika tidak ada simpul yang muncul dua kali (Baceli dkk, 2001).
Selanjutnya didefinisikan panjang lintasan, bobot lintasan, dan bobot rata-rata lintasan.
Definisi 3.19 Untuk suatu lintasan � pada suatu graf berarah berbobot �, panjang lintasan � adalah banyaknya busur pada lintasan tersebut. Panjang lintasan � dinotasikan dengan |�|.
Definisi 3.20 Misalkan � = ( , , … , ) adalah lintasan dari simpul ke simpul pada graf berarah berbobot � dengan panjang . Bobot lintasan � adalah hasil penjumlahan bobot setiap busur pada lintasan tersebut. Bobot lintasan � dinotasikan dengan |�| (Bacelli dkk, 2001).
58
|�| = + + ⋯ + − = , + , + ⋯ + , −
Definisi 3.21 Bobot rata-rata suatu lintasan didefinisikan sebagai bobot lintasan |�| dibagi dengan panjang lintasan |�| . Bobot rata-rata suatu lintasan
dinotasikan dengan |�̅|.
Dari Definisi 3.21 dapat ditulis rumus menentukan bobot rata-rata lintasan
adalah
|�̅| =|�||�|
Setelah dijelaskan konsep tentang lintasan, selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan suatu lintasan dan cara menghitung panjang lintasan dan bobot lintasan serta bobot rata-rata lintasan.
Contoh 3.14 Perhatikan graf � berikut ini
Gambar 3.5 Graf berarah berbobot � Perhatikan barisan busur berikut:
� : → → ;
59 � : → → → → →
Himpunan busur � ,� , � , adalah lintasan. Dari ketiga lintasan tersebut � , � , disebut lintasan elementer karena setiap simpulnya muncul sekali; sedangkan � bukan lintasan elementer karena terdapat simpul yang muncul lebih dari sekali, yaitu simpul 1. Selanjutnya Lintasan � mempunyai jumlah busur sebanyak 2; jumlah busur pada lintasan � adalah 4 dan lintasan � mempunyai busur sebanyak 5. Oleh karena itu berdasarkan Definisi 3.19, panjang lintasan |� | = ; panjang lintasan |� | = 4 dan panjang lintasan |� | = . Berdasarkan Definisi 3.20, bobot � ,� , � , diberikan oleh:
|� | = + = + =
|� | = + + + = + + + =
|� | = + + + + = + + + + =
Berdasarkan Definisi 3.21, bobot rata-rata lintasan diberikan oleh |�̅̅̅| =|� ||� | = ; |�̅̅̅| =|� |
|� | = ; |�̅̅̅| = |� |
|� | = .
Selanjutnya akan dijelaskan tentang sirkuit. Sirkuit adalah lintasan tertutup, yaitu barisan busur , , , , … , − , . Dengan demikian sirkuit adalah suatu lintasan yang memiliki simpul awal dan simpul akhir yang sama.
Sirkuit elementer adalah lintasan elementer yang memiliki simpul awal dan
simpul akhir yang sama; atau dengan cara yang lain dapat dikatakan bahwa sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Cara menghitung panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu sirkuit sama dengan cara menghitung
60
panjang, bobot dan bobot rata-rata pada suatu lintasan yang dijelaskan pada Definisi 3.19, Definisi 3.20 dan Definisi 3.21. Berikut ini akan diberikan contoh graf yang mempunyai sirkuit.
Contoh 3.15 Perhatikan graf � berikut ini
Gambar 3.6 Graf berarah dengan lintasanya
Barisan busur yang direpresentasikan oleh → → → → adalah lintasan pada � , tetapi bukan sirkuit; lintasan → → → → adalah sirkuit karena simpul awal dan simpul akhir busur berada pada simpul yang sama, yaitu simpul 3. Sedangkan lintasan → → → disebut sirkuit elementer karena masing-masing simpul hanya muncul satu kali, kecuali simpul satu yang menjadi titik awalnya yang muncul dua kali.
Pada Definisi 3.18 telah dijelaskan tentang definisi lintasan, selanjutnya akan diberikan definisi suatu graf berdasarkan lintasan pada simpul-simpulnya. Definisi 3.22 suatu graf berarah � �, � , dengan � = { , … , } adalah
terhubung kuat jika untuk setiap , ∈ �, ≠ terdapat suatu lintasan dari ke .
Selanjutnya diberikan contoh graf terhubung kuat dan graf tak terhubung kuat.
61 Contoh 3.16 Perhatikan dua graf berikut
Gambar 3.7a Graf berarah berbobot � yang mempunyai sirkuit
Gambar 3.7b Graf berarah berbobot � tanpa sirkuit.
Pada Gambar 3.7a diberikan graf berarah berbobot � . Pada graf � terdapat lima sirkuit yang direpresentasikan oleh → ; → → ; → → ; → ; dan → . Akibatnya, pada graf � untuk setiap simpul yang berbeda dapat dibentuk sebuah lintasan, graf � adalah grap berarah berbobot yang terhubung
kuat. Sedangkan pada Gambar 3.7b diberikan juga graf berarah berbobot � ; namun pada graf � tidak memuat satupun sirkuit. Akibatnya untuk setiap simpul yang berbeda tidak dapat dibentuk suatu lintasan, graf � adalah graf berarah berbobot tak terhubung kuat.
Setelah membahas konsep tentang graf secara umum, selanjutnya akan dijelaskan hubungan antara matriks dan graf diℝ .
62 2. Matriks dan Graf di ℝ
Pada Bagian D telah dijelaskan tentang matriks atas ℝ ; dan Bagian E sub bagian pertama telah dijelaskan konsep graf secara umum. Pada bagian ini akan dijelaskan hubungan antara matriks dengan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di ℝ . Penjelasan tentang topik ini diawali dengan definisi suatu graf yang merupakan representasi dari suatu matriks dalam ℝ , yaitu graf perseden
Definisi 3.23 Diberikan ∈ ℝ × . Graf preseden dari A adalah graf berarah
berbobot � = �, ,� = { , … , } dan = { , | , = ≠ �}. Berdasarkan Definisi 3.23 berikut ini akan diberikan contoh graf preseden yang direpresentasikan oleh sutau matriks
Contoh 3.17 Diberikan matriks
2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 A
Diberikan matriks ukuran × Graf preseden matriks A merupakan graf berarah berbobot � = �, dengan himpunan simpul � = { , , , } dan busur = { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }.
63
Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot � = �, selalu dapat didefinisikan suatu matriks Aℝ × dengan
), , ( ij w aij jika jika
D D , , i j i jSelanjutnya, konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden yang dijelaskan pada Definisi 2.23 sama dengan konsep lintasan yang sudah dijelaskan pada Definisi 3.18 sampai Definisi 3.21. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi operasi yang berlaku dalam ℝ , maka dapat ditentukan panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu lintasan atau sirkuit sebagai berikut:
bobot lintasan � adalah
|�| = … −
sedangkan bobot rata-rata lintasan |�̅| =|�||�|
Setelah dijelaskan tentang definisi graf preseden � . Selanjutnya akan diberikan contoh menentukan suatu lintasan dan menghitung panjang lintasan, bobot dan bobot rata-rata lintasan dari graf preseden � . .
Contoh 3.18 Diambil graf pada Contoh 3.17. Perhatikan himpunan busur berikut: � : → → →
64
Himpunan busur pada � membentuk lintasan. Sedangkan himpunan busur pada � membentuk sirkuit. Panjang lintasan |� | = ; dan |� | = . Bobot lintasan |� | = , , , =
|� | = , , , , = .
Bobot rata-rata lintasan |�̅̅̅| =|� |�
|� | = ; |�̅̅̅| =|� |�
|� | = .
Selanjutnya dijelaskan hubungan antara elemen ke- matriks ∈ ℝ ×
berpangkat dengan bobot lintasan dari simpul ke pada graf preseden � . Misalkan ∈ ℝ × dan � adalah graf preseden dari matriksA. Berdasarkan persamaan umum operasi pangkat matriks maka
( ) = max ≤i ,i ,…,ik− ≤ ( , − + ⋯ + + , ) = max ≤i ,i ,…,ik− ≤ ( , + ⋯ + + − ); untuk setiap i, . j
Diketahui bahwa ( , + ⋯ + + − )merupakan bobot lintasan dengan panjang dan adalah titik awal serta adalah titik akhirnya di � . Dengan demikian ( ) adalah bobot maksimum setiap lintasan dalam graf � dengan panjang ; dan sebagai titik awal serta sebagai titik akhirnya. Tetapi jika dalam graf � tidak terdapat lintasan dengan panjang dari simpul ke maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan
. Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan dalam contoh berikut.65 Contoh 3.19 Misalkan matriks = [ �
� ]
graf preseden � dari matriks adalah
Gambar 3.9 Graf preseden matriksApada Contoh 3.19
Bobot maksimum semua lintasan di � dengan panjang = ditentukan oleh
elemen-elemen yaitu = [ ]
Dari matriks di atas diperoleh ( ) = . Oleh karena itu bobot maksimum semua lintasan di � dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan berakhir di simpul 3 adalah 8. Dari graf preseden terlihat bahwa lintasan yang dimaksud adalah → → → . Bobot lintasannya adalah
|�| = , , , =
Selanjutnya akan dijelaskan bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam graf. Misalkan terdapat matriks ∈ ℝ × dan � = �, � adalah graf preseden dari matriks . Bobot maksimum dari semua sirkuit yang mempunyai panjang dengan simpul adalah simpul awal dan simpul akhir di � dapat dinyatakan
66
dengan ( ) . Oleh karena itu, maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit dengan panjang dan simpul sebagai simpul awal dan simpul akhir dalam � atas seluruh simpul adalah = ( ) = trace ( )dan rata-ratanya adalah
trace ( ).
Selanjutnya diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang k n, yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam � (yang dinotasikan dengan � adalah � = = ( trace( )). Suatu sirkuit dalam graf � yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut
sirkuit kritis. Suatu graf � yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari � dan dinotasikan dengan � .
Contoh 3.20 Misal matriks = [− �
� ]
Graf preseden � adalah
67
Dari matriks A dan graf presedennya akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer
max
A
. Berdasarkan Definisi 3.10 diperoleh bahwa= [ ] dan = [ ];
maka diperoleh bahwa trace = ; trace( ) = ; dan trace ( ) = . Dengan demikian bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah
� = = trace( ) = max , , =
Berdasarkan hasil� = , sirkuit kritis pada graf preseden � adalah → → dan → → . Maka Graf kritis � dari sirkuit kritis adalah
Gambar 3.11 Graf Kritis
Teorema 3.24 Misalkan matriks ∈ ℝ × . Jika semua sirkuit dalam � mempunyai bobot tidak positif, maka
∀ , ≼ … ⨂ − .
Bukti
Karena banyak titik dalam � adalah maka semua lintasan dengan panjang tersusun dari sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari dan satu lintasan dengan panjang kurang dari . Hal ini berarti ∀ dan
∀ , ∈ { , … , }, ∃ ∈ { , … , }maka ( ) = ( ) + ∑ ( ) ;dengan
68
Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif maka ∀ dan untuk setiap ∀ , ∈ { , … , }berlaku( ) ( ) dengan − .
Akibatnya ∀ , ≼ … − .
Karena ∈ ℝ × berlaku ≼ A
maka ∀ , ≼ … − ∎ Berdasarkan Teorema 3.24 di atas, dapat didefinisikan operasi untuk matriks berikut:
Definisi 3.25 Jika ∈ ℝ × dengan semua sirkuit dalam � mempunyai bobot tidak positif, maka didefinisikan
= … + … dan + = .
Selanjutnya akan dijelaskan matriks ∈ ℝ × yang mempunyai graf
preseden terhubung kuat.
Definisi 3.26 Suatu matriks ∈ ℝ × adalah iredusibel jika graf presedennya
terhubung kuat.
Teorema 3.27 Suatu matriks Aℝ × dikatakan iredusibel jika dan hanya jika
( … − ) ≠ �; untuk setiap , dengan ≠ .
Bukti
Definisi 3.26 menjelaskan bahwa jika A iredusibel maka � = �, � dengan � = { , … , } terhubung kuat, yaitu untuk setiap , ∈ � terdapat suatu lintasan dari ke . Dengan demikian untuk , ∈ �, ≠ terdapat dengan
69
Akibatnya ( … − ) ≠ �; untuk setiap , dengan ≠ .
Jika ( … − ) ≠ �, untuk setiap , dengan ≠ , terdapat dengan − sehingga ( ) ≠ �. Hal ini berarti bahwa graf preseden � = �, � dengan � = { , … , }, untuk setiap , ∈ �, ≠ terdapat suatu lintasan dari ke . Akibatnya graf � terhubung kuat yang berarti juga bahwa matriksAiredusibel. ∎
Selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan matriks iredusibel Contoh 3.21 Misalkan terdapat matriks pada Contoh 3.20 matriks tersebut adalah iredusibel karena
= [− �
� ] [ ] = [ ]
yang berarti ( ) ≠ �.Oleh karena itu pada Gambar 3.10 ditunjukkan bahwa untuk sebarang dua titik , dengan ≠ dalam � terdapat lintasan dari ke .
Contoh 3.22 Misalkan terdapat matriks = [� −
� � ]
Dari matriks di atas diperoleh = [�
� ] ; dengan demikian = [� − � � ] [� � ] = [� � ] ; ( ) = � dan ( ) = �.
70
Jadi matriks tidak iredusibel. Graf perseden � menunjukkan juga bahwa tidak ada lintasan yang menghubungkan simpul 1 ke 2dan simpul 1 ke simpul
. 3
Gambar 3.12 Graf dari Matriks Ayang tidak iredusibel