ABSTRAK
Aljabar max-plus adalah semilapangan idempoten. Aljabar max-plus, dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa topik yang dapat disebutkan adalah konsep matriks iredusibel, graf preseden, nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi yang iredusibel. Suatu matriks persegi disebut iredusibel jika graf presedennya terhubung kuat. Oleh karena itu jika diberikan suatu graf maka dapat dibentuk suatu matriks persegi, dan dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut.
Dalam aplikasinya pada suatu rute bus Transjogja, teori nilai eigen dan vektor eigen matriks persegi yang iredusibel di aljabar max-plus digunakan sebagai alat untuk menganalisa apakah dapat disusun jadwal keberangkatan bus yang periodik pada rute pilihan. Artinya, jika dipilih suatu rute, dibuat graf preseden dari rute pilihan dan disusun sinkronisasi berdasarkan data di lapangan, dapat dibangun suatu model matematika yang menghasilkan suatu matriks serta nilai eigen dan vektor eigennya. Dengan mengintepretasikan nilai eigen sebagai periodisasi keberangkatan setiap bus dan vektor eigen sebagai waktu awal keberangkatan bus pada setiap halte, dapat disusun suatu jadwal bus yang periodik pada rute pilihan tersebut.
Hasil pemodelan menunjukkan bahwa belum dapat disusun suatu jadwal periodik untuk rute pilihan. Hal ini sebabkan karena matriks yang dihasilkan adalah matriks tak iredusibel. Akibatnya dari matriks tersebut, diperoleh vektor eigen yang memuat elemen tak real. Konsekuensinya adalah waktu awal keberangkatan bus tidak bisa ditentukan dan hal ini berpengaruh juga pada penentuan waktu keberangkatan sesudahnya. Akibatnya jadwal periodik untuk rute pilihan belum bisa dibuat.
ABSTRACT
Max-plus algebra is an idempotent semilfield. Max-plus algebra, with maximum and addition operation on real numbers as its basic operations, explores matrices, graphs, eigenvalues and eigenvectors. Some of the topics that may be mentioned are the concept of irreducible matrices, precedence graph, eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix. A square matrix is called irreducible if its precedence graph is strongly connected. Therefore, if given a graph, a square matrix can be formed and eigenvalues and eigenvectors of the matrix can be determined.
In its application on one bus route Transjogja, the theory of eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix in max-plus algebra is used as a tool to analyze whether periodic bus departure timetable on a selected route can be made. That is, if a route is selected, precedence graphs of the selected route, and synchronization according to the data obtained are made, it can be constructed a mathematical model that results in a matrix and its eigenvalues and eigenvectors. By interpreting eigenvalues as departure periodization of each bus and eigenvectors as first time of departure of buses at every bus stop, it can be constructed a periodic bus schedule on the selected route.
Modelling results show that a periodic schedule for the selected route still can not be made. This is because the resulting matrix is not a irreducible matrix. As a result, the eigenvector of the matrix contains elements which are not real numbers. Thus first time of departure of buses can not be determined and this influences the determination of the else following departure time. Consequently, periodic schedule for the selected route still can not be made.
i
ALJABAR MAX-PLUS DAN
APLIKASINYA PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Johny Decky Sasambe
113114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
ii
MAX-PLUS ALGEBRA AND
ITS APPLICATION ON A TRANSJOGJA BUS ROUTE
PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
in Mathematics Study Program
By:
Johny Decky Sasambe
113114005
MATEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTEMEN OF MATEMATICS
FACULTY OF SAINS AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
iii
SKRIPSI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Non Scholae Sed Vitae Discimus
viii
ABSTRAK
Aljabar max-plus adalah semilapangan idempoten. Aljabar max-plus, dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa topik yang dapat disebutkan adalah konsep matriks iredusibel, graf preseden, nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi yang iredusibel. Suatu matriks persegi disebut iredusibel jika graf presedennya terhubung kuat. Oleh karena itu jika diberikan suatu graf maka dapat dibentuk suatu matriks persegi, dan dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut.
Dalam aplikasinya pada suatu rute bus Transjogja, teori nilai eigen dan vektor eigen matriks persegi yang iredusibel di aljabar max-plus digunakan sebagai alat untuk menganalisa apakah dapat disusun jadwal keberangkatan bus yang periodik pada rute pilihan. Artinya, jika dipilih suatu rute, dibuat graf preseden dari rute pilihan dan disusun sinkronisasi berdasarkan data di lapangan, dapat dibangun suatu model matematika yang menghasilkan suatu matriks serta nilai eigen dan vektor eigennya. Dengan mengintepretasikan nilai eigen sebagai periodisasi keberangkatan setiap bus dan vektor eigen sebagai waktu awal keberangkatan bus pada setiap halte, dapat disusun suatu jadwal bus yang periodik pada rute pilihan tersebut.
Hasil pemodelan menunjukkan bahwa belum dapat disusun suatu jadwal periodik untuk rute pilihan. Hal ini sebabkan karena matriks yang dihasilkan adalah matriks tak iredusibel. Akibatnya dari matriks tersebut, diperoleh vektor eigen yang memuat elemen tak real. Konsekuensinya adalah waktu awal keberangkatan bus tidak bisa ditentukan dan hal ini berpengaruh juga pada penentuan waktu keberangkatan sesudahnya. Akibatnya jadwal periodik untuk rute pilihan belum bisa dibuat.
ix
ABSTRACT
Max-plus algebra is an idempotent semilfield. Max-plus algebra, with maximum and addition operation on real numbers as its basic operations, explores matrices, graphs, eigenvalues and eigenvectors. Some of the topics that may be mentioned are the concept of irreducible matrices, precedence graph, eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix. A square matrix is called irreducible if its precedence graph is strongly connected. Therefore, if given a graph, a square matrix can be formed and eigenvalues and eigenvectors of the matrix can be determined.
In its application on one bus route Transjogja, the theory of eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix in max-plus algebra is used as a tool to analyze whether periodic bus departure timetable on a selected route can be made. That is, if a route is selected, precedence graphs of the selected route, and synchronization according to the data obtained are made, it can be constructed a mathematical model that results in a matrix and its eigenvalues and eigenvectors. By interpreting eigenvalues as departure periodization of each bus and eigenvectors as first time of departure of buses at every bus stop, it can be constructed a periodic bus schedule on the selected route.
Modelling results show that a periodic schedule for the selected route still can not be made. This is because the resulting matrix is not a irreducible matrix. As a result, the eigenvector of the matrix contains elements which are not real numbers. Thus first time of departure of buses can not be determined and this influences the determination of the else following departure time. Consequently, periodic schedule for the selected route still can not be made.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan yang telah memberikan rahmat dan berkatNya kepada penulis, sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Banyak pergumulan dan tantangan yang dialami selama proses penyelesaian tugas akhir ini, namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak atas dukungan dan bimbingannya kepada:
1. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku dosen pembimbing Tugas Akhir.
2. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. 5. Tarekat MSC Propinsi Indonesia dan para konfraterku yang tercinta.
6. Teman-teman sekomunitas GRIYA CHEVALIER Palagan – Yogyakarta. 7. Keluargaku: ibu yang tercinta dan kakak-kakakku yang selalu mendoakan dan
mendukung saya.
xi
9. Kakak-kakak angkatan 2008, 2009, 2010 dan adik-adik angkatan 2012, 2013 dan 2014 yang pernah menjadi teman selama masa-masa perkuliahan.
10.Semua pihak yang tak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan dan dukungannya.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam tugas akhir ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dan menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap agar tugas akhir ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan baru bagi para pembaca.
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………iii
HALAMAN PENGESAHAN………iv
HALAMAN PERSEMBAHAN………..v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH……….vii
ABSTRAK ... viii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Perumusan Masalah ... 5
C. Pembatasan Masalah ... 5
D. Tujuan Penulisan ... 6
E. Manfaat Penulisan ... 6
F. Metode Penulisan ... 7
G. Sistematika Penulisan ... 7
BAB II. LANDASAN TEORI ... 9
A. Himpunan dan Operasi Biner ... 9
1. Himpunan ... 9
2. Operasi Biner ... 11
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid ... 16
C. Semigelanggang ... 19
D. Semilapangan ... 25
E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real ... 26
xiii
A. Definisi Aljabar Max-Plus ... 30
B. Notasi di ℝ ... 35
C. Sifat Operasi di ℝ ... 38
D. Vektor dan Matriks di ℝ ... 40
1. Vektor di ℝ ... 40
2. Matriks di ℝ ... 41
E. Matriks dan Graf di ℝ ... 52
1. Konsep Dasar Graf ... 52
2. Matriks dan Graf di ℝ ... 62
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ ... 70
BAB IV APLIKASI ALJABAR MAX-PLUS PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA ... 78
A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja ... 78
B. Rute Pilihan ... 83
C. Graf Rute Pilihan ... 84
D. Sinkronisasi ... 90
E. Model Matematika dari Rute Pilihan ... 93
F. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 96
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 99
A. Kesimpulan ... 99
B. Saran ... 100
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang penulisan, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistimatika penulisan.
A. Latar Belakang
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar ini secara berurutan dinotasikan dengan
S,* atau
S,,
. Contoh struktur aljabar adalah grup,gelanggang dan lapangan. Akan tetapi selain grup, gelanggang dan lapangan
yang telah dijelaskan pada saat perkuliahan, terdapat struktur aljabar yang lebih sederhana yaitu, grupoid, semigrup, monoid, semigelanggang dan semilapangan. Grupoid merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Grupoid adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner.
Semigrup adalah grupoid yang memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi biner
yang terdefinisi pada himpunan yang dimaksud. Dalam semigrup jika operasi binernya bersifat komutatif, semigrup dikatakan semigrup komutatif. Sedangkan
Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas.
2
yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu + dan dan memenuhi syarat-syarat berikut: terhadap operasi pertama, semigrupnya adalah semigrup komutatif dan memiliki elemen identitas; terhadap operasi kedua, semigrupnya adalah monoid dan mempunyai elemen penyerap; dan operasi kedua bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Dalam semigelanggang sifat operasi biner menentukan sifat semigelanggangnya. Oleh karena itu jika suatu semigelanggang �, +, terhadap operasi biner berlaku ∀ , ∈ �, =
maka semigelanggangnya disebut semigelanggang komutatif. Sedangkan, jika suatu semigelanggang �, +, terhadap operasi pertamanya berlaku ∀ ∈ � maka + = , semigelanggangnya disebut semigelanggang idempoten.
Konsep tentang semigelanggang di atas menjadi dasar penjelasan bagi struktur aljabar lain, yaitu semilapangan. Suatu semigelanggang disebut semilapangan jika semigelanggang tersebut adalah semigelanggang komutatif dengan setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama mempunyai invers terhadap operasi kedua; atau dengan kata lain suatu semigelanggang komutatif �, +, adalah semilapangan jika ∀ ∈ �\{ } mempunyai invers terhadap operasi yaitu ∀ ∈ �\{ } ∃ − ∈ � , − =
− . Dengan demikian semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang
3
Salah satu contoh semilapangan adalah aljabar plus. Aljabar max-plus adalah salah satu contoh semilapangan idempoten. Aljabar max-max-plus, dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen dan lain sebagainya. Istilah aljabar max-plus diambil dari nama operasinya, yaitu operasi penjumlahan yang dinotasikan dengan dan operasi perkalian yang dinotasikan dengan . Dalam aljabar max-plus operasi didefinisikan sebagai maksimum, dan operasi
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa untuk bilangan real.
Munculnya teori aljabar max-plus dilatarbelakangi oleh berkembangnya bidang riset operasi pada tahun 1950 yang menekankan pencarian solusi optimal. Oleh karena itu, aljabar max-plus dengan operasi maximum, membawa harapan baru dalam dunia riset operasi untuk mencapai solusi optimal (Andersen, 2002). Dalam perkembangannya aljabar max-plus sebagai sarana riset operasi untuk mencapai solusi yang optimal telah digunakan dengan baik untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, misalnya jaringan transportasi, sistem manufaktur, dan lain sebagainya. Contoh penggunaan model max-plus dalam masalah jaringan dapat dilihat pada Modeling Bus Bounching
with Petri Nets and Max-Plus Algebra (Newcomb, 2014), Penentuan Waktu
Produksi Tercepat pada Mesin Produksi Jamu (Kharisma, 2013), Optimisasi Jadwal Pemesanan Bakpia Patok Jaya “25” (Arifin, 2012) dan lain sebagainya.
4
terkadang cepat, terkadang cukup lama bahkan saat tiba di halte, bus telah penuh dengan penumpang. Dengan sistem yang ada saat ini, para pengguna jasa bus
Transjogja seringkali harus menunggu bus dengan ketidakpastian.
Berdasarkan informasi tersebut, pada bagian akhir karya tulis ini akan dikaji model aljabar max-plus untuk mendesain jadwal bus Transjogja yang periodik sebagai solusi atas masalah yang dihadapi masyarakat. Proses pemodelan ini dimulai dengan mengambil sampel sederhana yaitu memodelkan salah satu rute bus Transjogja. Pemilihan rute ini dilakukan secara acak, yaitu dengan menentukan empat halte utama yang menjadi halte awal dan halte akhir dari suatu rute. Selanjutnya berdasarkan data lapangan akan dibangun lintasan-lintasan yang menghubungkan keempat halte utama dan membentuk sebuah graf dari rute pilihan. Berdasarkan graf dari rute pilihan, selanjutnya dibuat sinkronisasi yang menjadi landasan untuk menyusun model matematika. Dari model matematika tersebut dapat dibentuk suatu matriks yang merupakan representasi dari graf rute pilihan. Matriks yang diperoleh akan dianalisa dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh adalah output yang diharapkan.
5
apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang periodik untuk rute pilihan.
B. Perumusan Masalah
Dalam karya tulis ini, penulis akan memfokuskan perhatian pada konsep dasar aljabar max-plus, sifat-sifatnya dan aplikasinya. Inti tulisan tersebut dapat dituangkan dalam empat pertanyaan berikut:
1. Apa itu aljabar max-plus?
2. Apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks iredusibel dalam aljabar max-plus?
3. Bagaimana membuat model matematika untuk suatu rute pilihan bus
Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus?
C. Pembatasan Masalah
6
aljabar max-plus. Pada bagian akhir akan diperkenalkan aplikasi aljabar max-plus pada suatu rute bus Transjogja.
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari karya tulis ini adalah pertama, mempelajari, mendalami dan menuliskan kembali konsep tentang aljabar max-plus; kedua menyusun model matematika untuk suatu rute bus
Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus.
E. Manfaat Penulisan
Hasil karya tulis diharapkan dapat bermanfaat bagi: 1. Penulis
Menambah dan memperdalam konsep pengetahuan dan keilmuan tentang aljabar max-plus dan aplikasinya.
2. Lembaga
Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan perkuliahan tentang aljabar max-plus.
3. Pembaca/Masyarakat
a. Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai aljabar max-plus, dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang akan datang. b. Diperoleh analisis suatu rute bus Transjogja dengan tujuan peningkatan
7 F. Metode Penulisan
Dalam proses penyelesaian karya tulis ini, penulis menggunakan dua metode penulisan, yaitu studi literatur dan penelitian lapangan. Studi literatur digunakan untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, konsep tentang aljabar max-plus pada Bab III dan penyusunan model matematika pada Bab IV. Sedangkan penelitian lapangan digunakan untuk mengumpulkan data yang digunakan ketika menyusun model matematika pada Bab IV.
G. Sistematika Penulisan
Secara garis besar, karya tulis ini terdiri atas lima bagian, yaitu: 1. Bab I Pendahuluan
Pada bagian ini diuraikan tentang latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistimatika penulisan.
2. Bab II Landasan Teori
Pada bagian ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar penjelasan aljabar max-plus. Teori-teori tersebut mencakup himpunan, operasi biner dan sifat-sifatnya, semigrup, semigelanggang, semilapangan serta konsep tentang vektor dan matriks pada himpunan semua bilangan real.
3. Bab III Pembahasan
8 4. Bab IV Aplikasi
Pada bagian ini dijelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada suatu rute bus Transjogja. Oleh karena itu, pada bagian ini dibuat model matematika untuk suatu rute bus Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus. Pemodelan matematika tersebut mencakup penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sikronisasi berdasarkan graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan sinkronisasi yang buat, penentuan matriks yang direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang diperoleh; penghitungan nilai eigen dan vektor eigen serta penarikan kesimpulan berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh.
5. Bab V Penutup
9
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menjelaskan teori aljabar max-plus pada Bab III. Penjelasan pada bab ini mencakup gambaran singkat tentang himpunan, definisi dan sifat-sifat operasi biner, definisi elemen identitas dan elemen invers himpunan, grupoid, semigrup, monoid, semigelanggang dan semilapangan. Pada bagian akhir akan dijelaskan secara singkat juga vektor dan matriks serta nilai eigen dan vektor eigen pada himpunan semua bilangan real.
A. Himpunan dan Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan tentang himpunan dan operasi biner. Penjelasan tentang himpunan mencakup definisi himpunan, keanggotaan himpunan serta definisi dan contoh operasi gabungan dua himpunan. Sedangkan penjelasan tentang operasi biner mencakup definisi operasi biner dan sifat-sifatnya. Penjelasan tentang himpunan dan operasi biner dirangkum dari Fraleigh (2003); Durbin (2009), Whitelaw (1995), dan Hungerford (2002).
1. Himpunan
10
Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting agar himpunan tersebut terdefinisi dengan baik (well-defined set). Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan.
Contoh 2.1
1. Himpunan semua mahasiswa program studi matematika angkatan 2011. 2. Himpunan lima huruf pertama dalam abjad
3. Himpunan empat bilangan asli yang pertama.
Nama suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar , , dan sebagainya. Sedangkan untuk melambangkan anggota himpunan digunakan huruf kecil , , , dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan digunakan simbol "{… }". Dengan demikian himpunan pada Contoh 2.1 di atas dapat ditulis sebagai berikut:
Contoh 2.2
1. = { , ℎ , , }
2. = { , , , , } 3. = { , , , }
Selanjutnya, notasi untuk keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan , adalah suatu himpunan.
11
b. Jika tidak mempunyai anggota maka disebut himpunan kosong, dan dinotasikan dengan = { }
c. Jika mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota maka disebut himpunan tak kosong.
Selanjutnya, akan dijelaskan operasi gabungan dua himpunan. Gabungan himpunan dan adalah himpunan yang memuat himpunan atau yang dinotasikan ∪ = { | ∈ ⋁ ∈ }. Berikut ini diberikan contoh operasi gabungan dua himpunan.
Contoh 2.3 Misalkan terdapat = { , , , , } dan = { , , , , } maka ∪ = { , , , , , , }.
2. Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan operasi biner dan sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini mencakup definisi operasi biner dan sifat-sifatnya, yakni sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, idempoten – definisi elemen identitas dan elemen invers.
Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan memberikan definisi hasil kali silang.
12
Setelah didefinisikan hasil kali silang, selanjutnya akan didefinisikan operasi biner.
Definisi 2.2 Misalkan � adalah himpunan tidak kosong. Operasi biner pada himpunan � adalah pemetaan � × � pada �.
Menurut Definisi 2.2 terdapat dua sifat dasar operasi biner; pertama terdefinisi dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan terurut , ∈ � × � dipasangkan tepat satu dengan elemen di �. Kedua, sifat tertutup yaitu untuk setiap , ∈ �, ∈ �. Berikut ini diberikan contoh sifat operasi biner pada suatu himpunan.
Contoh 2.4 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di ℤ. Berdasarkan Definisi 2.2 maka ∀ , ∈ ℤ, + dapat dipasangkan tepat satu anggota ℤ . Selanjutnya ∀ , ∈ ℤ, + ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup terhadap operasi penjumlahan. Selanjutnya
a,b ℤ,
ab
juga well-difined dan
a,b ℤ, abℤ. Jadi ℤ tertutup terhadap operasi perkalian. Jadi, operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di ℤ.13
Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh sifat-sifat operasi biner pada suatu himpunan.
Definisi 2.3 (Sifat Komutatif Operasi Biner)
Operasi biner pada suatu himpunan tak kosong S bersifat komutatif, jika dan
hanya jika ∀ , ∈ � , = .
Contoh 2.6 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ adalah komutatif. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang
, ∈ ℝ , berlaku + = + .
Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil sebarang , ∈ ℝ , maka × = × .
Jadi berdasarkan Definisi 2.3 operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ komutatif. Definisi 2.4 (Sifat Asosiatif Operasi Biner)
Suatu operasi biner pada suatu himpunan tak kosong S bersifat asosiatif jika
dan hanya jika ∀ , , ∈ � , = .
Contoh 2.7 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ asosiatif.
Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang , , ∈ ℝ, berlaku + + = + + .
14
Jadi berdasarkan Definisi 2.4 operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ bersifat asosiatif.
Definisi 2.5 (Sifat Distributif Operasi Biner)
Misalkan operasi biner dan terdefinisi pada himpunan S.
1. Jika ∀ , , ∈ � , = , maka di � berlaku sifat distributif kiri operasi terhadap operasi
2. Jika ∀ , , ∈ � , = , maka di � berlaku sifat distributif kanan operasi terhadap operasi .
Contoh 2.8 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real.
Berdasarkan sifat operasi pada bilangan real jika diambil sebarang , , ∈ ℝ,
berlaku × + = × + × dan + × = × + × .
Jadi berdasarkan Definisi 2.5 operasi perkalian terhadap penjumlahan di ℝ bersifat distributif kiri dan distributif kanan.
Definisi 2.6 (Sifat Idempoten Operasi Biner)
Suatu operasi biner pada himpunan � bersifat idempotent jika dan hanya jika ∀ ∈ � , = .
15
Setelah didefinisikan operasi biner dan sifat-sifatnya, selanjutnya akan didefinisikan elemen identitas dan elemen invers pada suatu himpunan tak kosongS.
Definisi 2.7 Suatu himpunan tak kosong � dikatakan mempunyai elemen identitas terhadap operasi biner jika ada elemen ∈ � sedemikian sehingga
∀ ∈ � , = = .
Contoh 2.10 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa ℝ mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Ambil sebarang ∈ ℝ, + = + − = − = ∈ ℝ
Ambil sebarang ∈ ℝ , ≠ maka berlaku
× = ⇔ × × = × ⇔ = ∈ ℝ.
Untuk = , ∃ ∈ ℝ maka berlaku × = × = × = .
Jadi berdasarkan Definisi 2.7 dapat disimpulkan bahwa adalah elemen identitas terhadap operasi penjumlahan di ℝ; dan adalah elemen identitas terhadap operasi perkalian di ℝ.
Definisi 2.8 Misalkan himpunan tak kosong � terhadap operasi biner mempunyai elemen identitas, yaitu . Suatu elemen ∈ � dikatakan invers dari
∈ � terhadap operasi biner jika dan hanya jika = =
16
Ambil sebarang ∈ ℝ, + − = . Jadi − adalah elemen invers terhadap operasi penjumlahan di ℝ.
Ambil sebarang ∈ ℝ\{ }, ≠ sehingga berlaku bahwa × = ∈ ℝ\{ }. Jadi adalah elemen invers terhadap operasi perkalian di ℝ\{ }.
Setelah dijelaskan konsep himpunan dan operasi biner, selanjutnya dijelaskan tentang struktur aljabar sebagai suatu himpunan yang tak kosong yang
dilengkapi satu atau dua operasi biner.
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar di atas berturut-turut dinotasikan dengan �, dan �, +, . Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoid, semigrup, dan monoid. Grupoid adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner. Semigrup adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan operasi binernya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Berikut ini diberikan contoh struktur aljabar grupoid, semigrup dan monoid.
Contoh 2.12 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli terhadap operasi penjumlahan. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan asli diketahui bahwa ℕ tertutup dan well-defined terhadap operasi penjumlahan. Jadi ℕ adalah grupoid terhadap operasi penjumlahan.
17
cukup diselidiki apakah operasi penjumlahan di ℕ asosiatif; dan diketahui bahwa operasi penjumlahan bilangan asli bersifat asosiatif.
Jadi ℕ, + adalah semigrup.
Contoh 2.14 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat. Akan ditunjukkan bahwa ℤ, + adalah monoid.
Untuk menunjukkan ℤ, + adalah monoid harus ditunjukkan bahwa ℤ, + adalah semigrup dan ℤ, + mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan. Diketahui bahwa di ℤ operasi penjumlahan bersifat tertutup dan asosiatif. Jadi ℤ adalah semigrup. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ℤ punya elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
Ambil sebarang ∈ ℤ, berdasarkan Definisi 2.7 bahwa + = + − = − = . Jadi terbukti bahwa ℤ mempunyai elemen identitas
terhadap operasi penjumlahan, yaitu . Jadi ℤ, + adalah monoid. Selanjutnya penjelasan dilanjutkan dengan memberi fokus pada semigrup.
Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan suatu grupoid sebagai semigrup. Definisi 2.9 Suatu grupoid S adalah semigrup jika operasi binernya bersifat asosiatif .
18
Contoh 2.15 Misalkan , adalah grupoid. Operasi biner dari himpunan terdefinisi seperti dalam tabel berikut:
Tebel 2.1 Tabel Operasi Biner Himpunan
, a B C d A b C D a B d A B c C a B C d D c D A b
Akan ditunjukkan bahwa , bukan semigrup. Hal itu berarti bahwa terdapat elemen di jika dioperasikan dengan operasi yang terdefinisi pada tidak asosiatif. Ambil sebarang , , ∈ maka
= .
= ≠
Berdasarkan hasil operasi di atas, G bukan semigrup.
Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh semigrup komutatif.
Definisi 2.10 Semigrup �, adalah semigrup komutatif jika operasi biner bersifat komutatif.
19
Maka berdasarkan Definisi 2.10 dapat disimpulkan bahwa ℕ, + adalah semigrup komutatif.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigrup adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat tertutup, terdefinisi dengan baik dan bersifat asosiatif. Suatu semigrup adalah komutatif jika operasinya komutatif.
Penjelasan tentang semigrup dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996) dan Kandasamy (2002).
C. Semigelanggang
Pada Bagian B telah dijelaskan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Pada bagian ini akan dijelaskan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang dinotasikan dengan �, +, . Salah satu contoh struktur aljabar dengan dua operasi biner adalah semigelanggang. Penjelasan selanjutnya tentang semigelanggang dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996), dan Heidergott, dkk (2005).
Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan menjelaskan elemen penyerap pada grupoid dan definisi semigelanggang.
Definisi 2.11. Suatu elemen dalam suatu grupoid �, disebut elemen
penyerap terhadap operasi biner jika ∀ ∈ � berlaku = = .
Definisi 2.12 Suatu semigelanggang adalah suatu himpunan tak kosong � yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu + dan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
20
1. �, + adalah monoid komutatif dengan elemen identitasnya θ 2. �, adalah monoid dengan elemen identitasnya
3. Elemen identitas � adalah elemen penyerap terhadap operasi biner .
4. Operasi biner bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi biner +.
Selanjutnya akan dijelaskan contoh himpunan tak kosong dengan dua operasi dan merupakan semigelanggang.
Contoh 2.17 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Akan ditunjukkan bahwa ℝ, +,× adalah semigelanggang.
Berdasarkan Definisi 2.12 akan ditunjukkan bahwa: 1. ℝ, + adalah monoid komutatif
21 2. ℝ,× adalah monoid
Diketahui ℝ adalah himpunan bilangan real. Ada tiga sifat yang harus ditunjukkan untuk membuktikan bahwa ℝ,× adalah monoid yaitu sifat tertutup, sifat asosiatif, dan keberadaan elemen identitas. Ambil sebarang ∀ , ∈ ℝ, berlaku bahwa × ∈ ℝ. Jadi ℝ tertutup terhadap operasi perkalian. Selanjutnya pada Contoh 2.7 telah ditunjukkan bahwa operasi perkalian di ℝ asosiatif. Akhirnya pada Contoh 2.10 telah ditunjukkan bahwa ℝ terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas, yaitu . Jadi terbukti ℝ,× adalah monoid.
3. Akan ditunjukkan bahwa elemen 0 adalah elemen penyerap terhadap operasi perkalian. Diketahui bahwa ∈ ℝ dan adalah elemen identitas terhadap operasi + di ℝ. Ambil sebarang aℝ maka × = × = . Jadi adalah elemen penyerap terhadap operasi × di ℝ.
4. Akan ditunjukkan operasi perkalian di ℝ, +,× bersifat distributif kiri dan distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan. Pada Contoh 2.8 telah ditunjukkan bahwa operasi perkalian di ℝ, +,× bersifat distributif kiri dan distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan.
Jadi berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 ℝ, , adalah semigelanggang.
Selanjutnya dijelaskan dua semigelanggang yang memiliki sifat khusus, yaitu semigelanggang komutatif dan semigelanggang idempoten.
22
Contoh 2.18 Akan ditunjukkan bahwa (ℝ, ,) adalah semigelanggang komutatif. Pada Contoh 2.17 telah ditunjukkan bahwa (ℝ, ,) adalah semigelanggang. Jadi cukup ditunjukkan bahwa di ℝ berlaku sifat komutatif terhadap operasi perkalian. Pada Contoh 2.6 telah ditunjukkan bahwa operasi perkalian di ℝ komutatif. Karena ℝ, , adalah semigelanggang dan terhadap
operasi perkalian ℝ komutatif maka (ℝ,,) adalah semigelanggang komutatif.
Definisi 2.14 Suatu semigelanggang �, +, disebut semigelanggang idempoten jika operasi biner + bersifat idempoten.
Contoh 2.19 Misalkan ℝ+ adalah himpunan semua bilangan real tak negatif. Pada ℝ+didefinisikan operasi minimum yang dinotasikan dengan dan operasi perkalian bilangan real yang dinotasikan dengan ⊙, sehingga ∀ , , ∈ ℝ+ berlaku = min , dan ⊙ = × . Akan ditunjukkan bahwa
ℝ+, , ⨀ adalah semigelanggang idempoten. Pertama harus ditunjukkan bahwa
ℝ+, , ⨀ adalah semigelanggang. Untuk menunjukkan bahwa ℝ+, , ⨀
adalah semigelanggang, harus ditunjukkan bahwa: 1. ℝ+, adalah monoid komutatif.
Ambil sebarang , , ∈ ℝ+ maka berlaku a. ⊝ = min , ∈ ℝ+. Jadi ℝ+tertutup. b. ⊝ = min min , , = min , ,
23
c. = min , = min , = ⊝ . Jadi ℝ+ bersifat komutatif terhadap operasi ⊝.
d. Misalkan ℝ+, mempunyai elemen identitas, yaitu . Berdasarkan Definisi 2.7 maka
+ =
min , + = min ,
min , + − min , = min , − min ,
0 0e
. 0
e Jadi 0adalah elemen identitas di ℝ+,
Jadi berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa ℝ+, adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0.
2. ℝ+, ⨀ adalah monoid.
Ambil sebarang , , ∈ ℝ+ maka berlaku
a. ⊙ = × ∈ ℝ+. Jadi ℝ+ tertutup terhadap operasi ⊙.
b. ⊙ ⨀ = × × = × ×
= × × = ⊙ ⊙
Jadi ℝ+ asosiatif terhadap operasi ⊙.
c. Ambil sebarang a adalah elemen identitas di ℝ+, ⨀ . Berdasarkan Definisi 2.7 maka untuk ≠ berlaku
⊙ = × = × × = × =
24
Berdasarkan a, b dan c, dapat disimpulkan bahwa ℝ+, ⨀ adalah monoid dengan elemen identitas adalah .
3. Diketahui bahwa ∈ ℝ+ dan adalah elemen identitas terhadap operasi di ℝ+. Ambil sebarang aℝ+, maka berlaku ⊙ = ⊙ = . Jadi
adalah elemen penyerap terhadap operasi ⊙ di ℝ+.
4. Operasi biner ⨀ di ℝ+, , ⨀ bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi biner . Ambil sebarang , , ∈ ℝ+maka berlaku:
1) ⊙ = min , × = min × , × = ⊙ ⊙
2) ⊙ ⊝ = × min , = min × , × = ⊙ ⊝ ⊙
Berdasarkan a, b maka disimpulkan bahwa operasi ⨀ bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap di ℝ+, , ⨀ .
Berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 terbukti bahwa ℝ+, , ⨀ adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi idempoten. Ambil sebarang
∈ ℝ+maka berlaku = , = .
Jadi operasi idempoten. Karena ℝ+, , ⨀ adalah semigelanggang dan operasi idempoten, ℝ+, , ⨀ adalah semigelanggang idempoten.
25
distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Suatu semigelanggang adalah komutatif, jika operasi keduanya komutatif; dan semigelanggang adalah idempoten jika operasi pertama idempoten.
D. Semilapangan
Struktur aljabar terakhir yang akan dijelaskan adalah semilapangan. Semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang mendapat tambahan sifat khusus, yaitu untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama mempunyai elemen invers terhadap operasi kedua. Definisi formal semilapangan dijelaskan oleh dua definisi berikut:
Definisi 2.15 Suatu semigelanggang komutatif �, +, disebut semilapangan jika setiap elemen di � yang bukan elemen identitas � mempunyai invers terhadap operasi biner yaitu ∀ ∈ �\{�}, ∃ − sehingga − = , dengan adalah elemen identitas terhadap operasi .
Definisi 2.16 Suatu semilapangan �, +, adalah semilapangan idempoten jika operasi bersifat idempoten.
Selanjutnya diberikan contoh semigelanggang komutatif yang merupakan semilapangan idempoten.
Contoh 2.20 Misalkan Himpunan ℝ ∪ � dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real; Misalkan juga di ℝ ∪ � didefinisikan = dan � = −∞ serta dua operasi biner yang belaku di himpunan ℝ ∪ �, operasi dan dan operasiyang didefinisikan sebagai berikut:
26
Himpunan ℝ ∪ � yang dilengkapi dengan operasi biner dan adalah semilapangan idempotent. Himpunan ini kemudian dikenal dengan sebutan aljabar max-plus. Bukti lengkap Contoh 2.20 ini akan dijelaskan pada Bab III.
E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real
Pada bagian ini dijelaskan definisi tentang vektor dan matriks pada himpunan bilangan real serta nilai eigen dan vektor eigen dari matriks real. Pembahasan dimulai dengan memberikan definisi tentang lapangan dan ruang vektor.
Definisi 2.17 Lapangan adalah semilapangan yang mempunyai elemen invers terhadap operasi pertama.
Definisi 2.18 Misalkan adalah lapangan. Himpunan adalah ruang vektor jika untuk setiap , ∈ dan sebarang skalar ∈ ℝ berlaku + ∈ dan hasil kali
∈ .
Salah satu contoh lapangan adalah himpunan bilangan real ℝ dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dan disebut lapangan real ℝ. Menurut Definisi 2.17 dan Definisi 2.18 jika
ℝ = ℝ × ℝ × … × ℝ = { = , , … , | ∈ ℝ, = , … , }
dan pada ℝ didefinisikan operasi:
Penjumlahan: + = , , … , + , , … , = + , + , … , + Perkalian dengan skalar di ℝ
27
= × , × , … , ×
maka ℝ merupakan ruang vektor atas lapangan real ℝ, = , , … , disebut vektor real (Anton, 2005).
Setelah dijelaskan vektor real di ℝ , selanjutnya akan dijelaskan konsep matriks pada himpunan bilangan real, nilai eigen dan vektor eigen pada matriks real. Penjelasan dimulai dengan memberikan definisi tentang matriks.
Definisi 2.19 Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut elemen-elemen dari matriks tersebut (Anton, 2005).
Definisi 2.20 Ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris banyaknya
kolom dalam matriks itu (Kolman, 2001).
Selanjutnya jika adalah matriks berukuran × maka elemen yang terletak pada baris ke- dalam kolom ke- matriks dinotasikan dengan atau [ ] dengan = , … , dan = , … , . Bentuk umum matriks berukuran
× dituliskan sebagai berikut:
mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 12 1 12 11
28
1. Jika semua elemen matriks bernilai nol maka matriks disebut matriks nol. 2. Matriks dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom sama disebut matriks
persegi. Matriks persegi dengan baris dan kolom sebanyak disebut matriks persegi berukuran × . Jika matriks = [ ] adalah matriks persegi berukuran × maka elemen-elemen , ,… , disebut elemen diagonal utama matriks .
3. Suatu matriks persegi berukuran × disebut matriks identitas jika elemen diagonal utamanya dan elemen lainnya . Matriks identitas berukuran
× dinotasikan dengan .
Setelah dijelaskan konsep tentang matriks, selanjutnya akan dijelaskan definisi operasi-operasi pada matriks.
Definisi 2.21
1. Untuk , ∈ ℝ maka + = [ + ], dengan + ∈ ℝ .
2. Untuk ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka × = dengan ∈ ℝ dan
p
k ik kj
ij a b
c
1 untuk = , … , dan = , … , .
3. Untuk sebarang matriks ∈ ℝ dan sebarang skalar ∈ ℝ maka × = [ × ] dengan × ∈ ℝ .
Setelah didefinisikan tiga operasi pada matriks di atas, berikut ini akan didefinisikan operasi pangkat pada matriks.
29
= × × … ×⏟
Berdasarkan Definisi 2.21, dapat ditulis juga sebagai berikut = × × × … ×⏟
−
= × −
Untuk p0 maka A0 In.
Selanjutnya akan dijelaskan definisi nilai eigen dam vektor eigen matriks. Definisi 2.23 Misalkan adalah suatu matriks berordo × , suatu vektor ≠ di ℝ disebut vektor eigen dari matriks jika = � untuk suatu skalar �. Skalar � disebut nilai eigen (Anton, 2005).
30
BAB III
ALJABAR MAX-PLUS
Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang mencakup definisi aljabar max-plus, operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-sifatnya, vektor dan matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Penjelasan tentang topik-topik di atas dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema serta dilengkapi dengan contoh-contoh penjelas tentang topik-topik yang bersangkutan.
A. Definisi Aljabar Max-Plus
Secara singkat aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi maksimum dan operasi penjumlahan dan membentuk semilapangan. Secara matematika, definisi tentang aljabar max-plus dijelaskan lebih lanjut dalam definisi dan teorema-teorema berikut ini.
Definisi 3.1 Notasi ℝℰ menunjuk pada himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real (Bacelli, 2001).
Definisi 3.2 Didefinisikan � = −∞ dan = maka ∀ , ∈ ℝℰ, operasi dan operasi didefinisikan sebagai berikut:
31
Didefinisikan juga bahwa max , � = max �, = dan + � = � + = � sehingga untuk setiap ∈ ℝℰ, dapat dituliskan
� = � = dan � = � = �.
Dalam Heidergott, cs, 2006 himpunan ℝℰ yang dilengkapi operasi dan disebut aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ = ℝ�, , . Pada penjelasan selanjutnya sebutan dan notasi ini digunakan dalam karya tulis ini untuk menyederhanakan penyebutan aljabar max-plus.
Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dan dalam perhitungan .
Contoh 3.1 Perhatikan contoh operasi dan yang digunakan pada masalah berikut:
= max , =
� = max , � =
� = + −∞ = −∞
= max , =
= + =
= + =
32
Teorema 3.3 ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten (Bacelli, 2001).
Bukti
Akan dibuktikan bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten. Untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten maka dibuktikan bahwa
1. ℝ ax adalah semigelanggang.
Untuk membuktikan bahwa ℝ , , adalah semigelanggang ditempuh langkah-langkah berikut:
a. Akan dibuktikan ℝ , adalah monoid komutatif. Oleh karena itu ∀ , , ∈ ℝ berlaku:
i. Operasi di ℝ asosiatif, yaitu:
= max max , , = max , ,
= max , max , =
ii. Operasi di ℝ komutatif, yaitu: = max , = max , =
iii. Terdapat elemen � = −∞ ∈ ℝ , sedemikian hingga � = max , −∞ = max −∞, = .
Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa � = −∞ adalah elemen identitas dari ℝ , .
33
b. Akan dibuktikan bahwa ℝ , adalah monoid. Oleh karena itu ∀ , , ∈ ℝ , berlaku:
i. Operasi di ℝ asosiatif, yaitu:
= + + = + + =
ii.Terdapat elemen e0di ℝ sehingga
= + = + = . Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa e0adalah elemen identitas dari ℝ , .
Jadi, berdasarkan i dan ii terbukti bahwa ℝ , adalah monoid dengan elemen identitas e0.
c. Akan dibuktikan di ℝ terdapat elemen penyerap terhadap operasi Diketahui bahwa −∞ ∈ ℝ dan −∞ adalah elemen identitas terhadap operasi di ∈ ℝ . Ambil sebarang ∈ ℝ , berdasarkan Definisi 2.11 berlaku −∞ = −∞ = −∞. Jadi
adalah elemen penyerap terhadap operasi di ℝ .d. Operasi bersifat distributif terhadap , a ,,b cℝ berlaku: i.Sifat distributif kanan, yaitu:
= max , + = max + , +
=
ii. Sifat distributif kiri, yaitu:
= + , = + , +
=
Kesimpulan: berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa ℝ adalah
34
2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif.
Berdasarkan Definisi 2.13 untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang komutatif harus ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang dan operasi kedua pada ℝ komutatif. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi kedua di ℝ komutatif.
Ambil sebarang , ∈ ℝ , = + = + = . Jadi, untuk sebarang , ∈ ℝ operasi komutatif.
Berdasarkan bagian (1) dan (2) terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif.
3. Yang terakhir akan dibuktikan bahwa ℝ adalah semigelanggang idempoten.
Berdasarkan Definisi 2.14 untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang idempoten, harus ditunjukkan ℝ adalah semigelanggang dan operasi pertama pada ℝ idempoten. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi pada ℝ idempoten. Ambil sebarang ∈ ℝ , = max , = .
Jadi untuk sebarang ∈ ℝ , operasi idempoten. Terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang idempoten.
35
Selanjutnya akan dijelaskan juga teorema yang menjelaskan bahwa ℝ adalah suatu semilapangan.
Teorema 3.4 ℝ adalah suatu semilapangan (Bacelli, 2001). Bukti
Akan ditunjukkan bahwa ℝ adalah suatu semilapangan.
Berdasarkan Teorema 3.3 telah dibuktikan bahwa ℝ adalah suatu semigelanggang komutatif. Oleh karena itu, untuk membuktikan ℝ adalah semilapangan, cukup dibuktikan bahwa di ℝ untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas −∞ mempunyai invers terhadap operasi .
Ambil sebarang ∈ ℝ \{−∞}, ∃ − = − ∈ ℝ
maka berlaku − = atau + − = . Jadi terbukti bahwa ℝ adalah semilapangan. ∎
Berdasarkan Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 dapat disimpulkan bahwa ℝ adalah himpunan ℝ� yang dilengkapi dengan operasi dan serta membentuk
semilapangan idempoten.
B. Notasi di ℝ
36
operasi dalam ℝ adalah menganalogikannya dengan operasi yang berlaku dalam aljabar biasa. Misalkan, dalam ℝ terdapat operasi biner “” (baca: O bagi) sebagai invers dari operasi . Dengan menganalogikannya pada aljabar biasa, operasi biner sebagai invers dari operasi dapat dianalogikan dengan invers dari operasi penjumlahan dalam aljabar biasa, yaitu pengurangan. Oleh karena itu operasi dalam ℝ dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar biasa, yaitu − . Notasi untuk operasi lainnya di ℝ diberikan dalam tabel analogi notasi operasi berikut:
Tabel. 3.1 Analogi Notasi ℝ
Notasi ℝ Notasi Aljabar Biasa max
+
−
√ /
� −∞
37
Tabel 3.2 Contoh Penggunaan Notasi Operasi dalam ℝ
ℝ Aljabar Biasa =
max , 7
max , , , ,
+
� max , �
� � +
− − + −
5 0
= +3
= × = ×
+ − max ,
=
× max , atau max × , ×
−
− −
√ ⁄
√
5 ⁄
38 C. Sifat Operasi di ℝ
Definisi 3.2, Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 telah menjelaskan sifat-sifat operasi biner dalam ℝ . Kemudian pada Bagian B juga telah dijelaskan notasi operasi dalam ℝ dan cara pengoperasiannya. Oleh karena itu, pada bagian ini akan dijelaskan sifat-sifat operasi yang belum dijelaskan pada Bagian A dan Bagian B.
Contoh 3.2Perhatikan masalah dalam contoh berikut − .
Sebelum menyelesaikannya, masalah pada Contoh 3.2 di atas harus dipahami sebagai − .Oleh karena itu, solusi yang tepat untuk masalah
ini adalah − = max + − , + = .
Dalam Contoh 3.2 diperlihatkan bahwa terdapat analogi antara sifat operasi dan operasi dalam ℝ dengan sifat operasi + dan operasi − dalam aljabar biasa, yaitu dalam hal urutan pengoperasiaan, jika tidak ada tanda kurung operasi mempunyai prioritas (atau lebih kuat) daripada operasi (Heidergott dkk, 2006).
Pangkat ∈ ℕ ∪ { } dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen ∈ ℝ dinotasikan dengan . Notasi didefinisikan sebagai berikut: ; = dan ≔ − , untuk = , , …
Didefinisikan juga � ≔ dan � : = �, untuk = , , …
Diperhatikan bahwa a a a a ... a a a a ... a na,
n n
n
39
Berdasarkan operasi pangkat ℝ dan sifat operasi akar pada aljabar biasa, maka dapat dijelaskan cara menghitung operasi √ di ℝ . Dalam ℝ operasi √ didefinisikan dengan menggunakan definisi akar pada aljabar biasa dan kemudian menganalogikan operasi pangkat biasa dengan operasi pangkat dalam ℝ . Maka dapat dijelaskan
√ = =
Dengan menganalogikan ke bentuk pangkat di ℝ , maka
= = =
Penjelasan lebih lanjut mengenai pangkat dalam ℝ dapat dilihat dalam teorema berikut.
Teorema 3.5 (Farlow, 2009)
Untuk setiap , ∈ ℕ; dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dan untuk setiap , ∈ ℝ , berlaku
1. =
2. ( ) = ( )
3. =
4. =
Bukti
Ambil sebarang , ∈ ℕ dan , ∈ ℝ , sedemikian sehingga
1. = + = + =
2. ( ) = = = = ( )
40
4. = + = + = ∎ Contoh 3.3 Hitunglah operasi ℝ berikut ini
1. = × =
2. = × =
3. = × + × = + =
4. ( ) = × × =
D. Vektor dan Matriks di ℝ
Pada bagian ini akan dijelaskan vektor dan matriks pada ℝ yang mencakup definisi vektor di ℝ , definisi matriks di ℝ dan operasi matriks di ℝ serta sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Farlow (2009), Bacelli (2001), Heidergott, dkk (2006), Rudhito (2003), Andersen (2002).
1. Vektor di ℝ
Berikut ini akan didefinisikan ℝ berdasarkan ℝ sebagai ℝ� = ℝ� × … × ℝ� = { = , … , | ∈ ℝ�, = , … , } dan pada ℝ�
didefinisikan:
a. Operasi : = , , … , , , … , = , , … ,
41
Definisi 3.6 Dua vektor dan di ℝ dikatakan sama jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.
Selanjutnya vektor di ℝ ditulis sebagai vektor kolom, yaitu suatu vektor yang dihasilkan dengan mentranspose vektor .
2. Matriks di ℝ
Dalam aljabar linear, untuk ℝ adalah himpunan semua bilangan real, dapat dibentuk suatu matriks berukuran × yang entri-entrinya adalah elemen-elemen di ℝ. Demikian juga dalam ℝ dapat dibentuk suatu matriks berukuran × dengan entri-entrinya adalah elemen di ℝ . Selanjutnya matriks yang dijelaskan adalah matriks di ℝ .
Himpunan matriks × untuk , ∈ ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ × . Sedangkan untuk = matriks
A di atas didefinisikan sebagai matriks persegi. Himpunan matriks × untuk
n ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ × . Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi matriks. Pada Bagian A dan Bagian B telah dijelaskan tentang operasi dan pada ℝ . Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk operasi matriks. Seperti pada matriks real, operasi matriks atas ℝ juga memiliki tiga operasi dasar. Dalam definisi berikut dijelaskan tiga operasi matriks di ℝ .
42
Secara berturut-turut didefinisikan dan adalah matriks yang unsur ke- -nya adalah
= dan =
untuk = , … , dan untuk = , … , . Diketahui matriks ∈ ℝ × dan ∈ ℝ × .
Didefinisikan adalah matriks yang unsur ke- -nya adalah = =
untuk = , … , dan untuk = , … , .
Setelah definisi operasi matriks di atas, selanjutnya diberikan contoh cara mengoperasikan matriks.
Contoh 3.4. Perhatikan operasi matriks berikut
[ −� . ] = [
� −
. ] = [
+ + �
+ + −
+ . + ] = [ �
. ]
[
� ] [
�
] = [ �
� ]
=[
max , max , max , � max , max , max , max , max �, max , ]
= [ ]
[ ] [ ] = [ ]
43
= [max , ,max , , max , ,max , , ]
= [ ]
Berdasarkan definisi operasi matriks di atas, selanjutnya akan dijelaskan sifat-sifat operasi matriks.
Teorema 3.8 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar , ∈ ℝ, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan sebarang matriks , , asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. =
2. =
3. =
4. =
5. =
6. =
7. =
8. = =
9. =
10. =
11. =
Bukti
Akan dibuktikan bahwa:
1. =
44
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
( ) = ( ) = = ( )
= ( ) ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
2. =
Ambil sebarang matriks , ∈ ℝ × .
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
= = = ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
3. =
Ambil sebarang matriks ∈ ℝ × , ∈ ℝ × dan ∈ ℝ × .
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
( ) = = ( = )
= = =
= = ( = )
= ( ) ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa = .
4. =
Ambil sebarang matriks ∈ ℝ × dan , ∈ ℝ × .
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
45
= = ( )
= ( = ) ( = )
= ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
5. =
Ambil sebarang matriks , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × .
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
( ) = = = = ( )
= ( = ) ( = )
= ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
6. =
Ambil sebarang skalar ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ × . Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
= = = ; untuk ∈ dan ∈ .
Jadi terbukti bahwa =
7. =
Ambil sebarang skalar , ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ × . Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku = maka
= = = ; untuk ∈
46
8. = =
Ambil sebarang skalar ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ × dan matriks ∈ ℝ × . Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku = = maka
= ( = ) = = ( )
= = = =
= = ( ); untuk ∈ dan ∈ .
Jadi terbukti bahwa = =
9. =
Ambil sebarang skalar
,
ℝ dan ambil sebarang matriks Aℝ × .Misalkan = �, untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks � berlaku
� = � =
= ( ) ( ) = ;
untuk ∈ dan ∈ . Jadi terbukti bahwa
A
A
A
10. =
Ambil sebarang skalar ∈ ℝ dan matriks , ∈ ℝ × . Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks AB berlaku = maka
= ( ) = ( )
= ; untuk ∈ dan ∈ .
47
11. =
Ambil sebarang matriks ∈ ℝ × .
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
= = = ; untuk ∈ dan ∈ .
Jadi terbukti bahwa = ∎ Berdasarkan Teorema 3.8 dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif operasi matriks hanya berlaku untuk operasi tetapi tidak berlaku untuk operasi . Berikut ini diberikan contoh yang menyatakan sifat komutatif dalam operasi matriks di ℝ .
Contoh 3.5 Diketahui matriks = [ ] dan matriks = [− ]
= [ ] [− ] = [ max ,max , − max ,max , ] = [ ]
= [− ] [ ] = [ max , max − , max , max , ] = [ ]
Jadi = .
= [ ] [− ] = [ −− ]
= [max , max ,
max , max , ] = [ ]
= [− ] [ ] = [− − ]
= [max , max ,
max , max , ] = [ ]
48
Selanjutnya akan dijelaskan tentang transpose matriks dan beberapa tipe matriks.
Definisi 3.9
1. Transpose dari matriks dinotasikan dengan �. Dalam ℝ � didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [ �] = [ ]
2. Matriks identitas × , didefinisikan [ ] = { jika = � jika ≠
3. Matriks � ∈ ℝ × didefinisikan [�] = � untuk setiap baris ke- dan kolom ke- .
Setelah dijelaskan tiga operasi dalam matriks dan sifat-sifat operasinya, selanjutnya akan dijelaskan operasi pangkat matriks.
Definisi 3.10 Untuk matriks persegi berukuran nn dan untuk k sebarang
bilangan bulat positif, pangkat ke- dari matriks didefinisikan
= − dan untuk = , = .
Berdasarkan Definisi 3.10 di atas maka unsur ke- matriks berpangkat dapat dijelaskan sebagai berikut:
Unsur ke- matriks adalah
( ) = = …
= = ( , , )= max i n( , + , )
Unsur ke- matriks adalah
49
= = ( = , , , )
= max ≤ , ≤ ( , + + , )
Secara umum, unsur ke- matriks adalah
( ) = − = ( , − … = ( , , ) )
= = … = ( , − … , , ) = max ≤i ,i ,…,ik− ≤ ( , − + ⋯ + , + , )
Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang skalar ∈ ℝ dan ∈ ℝ × unsur ke- matriks adalah
( ) = max ≤i ,i ,…,ik− ≤ + , − + ⋯ + ( + ) + ( + , )
k
... + max ≤i ,i ,…,i
k− ≤ ( , − + ⋯ + + , )
= ( ) ; untuk = , , …. .
Oleh karena itu untuk sebarang ∈ ℝ dan ∈ ℝ × berlaku bahwa
= ; untuk = , , ….
Untuk sebarang ∈ ℝ × didefinisikan trace ≔ = .
Contoh 3.6 Misalkan = [
− �
� � ]
= = [� −
� � ] [
− �
� � ] = [�� ]
= = [�
� ] [
− �
50
trace = max , , � = ; trace = max , , = dan trace = max , , =
Selanjutnya akan dijelaskan konsep urutan parsial dan urutan total dalam ℝ
Definisi 3.11 Relasi ≼ pada suatu himpunan � disebut urutan parsial pada � jika ∀ , , ∈ � memenuhi
1. ≼ (sifat refleksif).
2. Jika ≼ dan ≼ maka = (sifat antisimetri). 3. Jika ≼ dan ≼ maka ≼ (sifat transitif).
Selanjutnya bila berlaku ≼ atau ≼ maka dan dikatakan
comparable. Bila setiap dua elemen dari � dapat dibandingkan maka urutan parsial ≼ disebut urutan total. Berikut ini diberikan teorema yang berkaitan dengan pengertian urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten. Teorema 3.12 Diberikan suatu semigrup komutatif idempoten �, + . Bila pada � didefinisikan suatu relasi ≼ oleh ≼ + = maka relasi ≼ adalah urutan parsial pada S.
Bukti
Diambil sebarang , , ∈ � maka 1. Karena S idempoten maka + =
51
3. Jika ≼ dan ≼ maka + = dan + = . Karena � mempunyai sifat assosiatif maka + = + + = + + = + = . Jadi ∎
Contoh 3.7 Dalam ℝ relasi ≼ yang didefinisikan sebagai
≼ =
adalah urutan parsial sebab ℝ , adalah semigrup komutatif idempoten disertai dengan relasi ≼ = . Selanjutnya ∀ , ∈ ℝ berlaku
= max , = ≼ atau
= max , = ≼
Jadi relasi ≼ terurut total.
Contoh 3.8 Dalam ℝ × relasi ≼ yang didefinisikan sebagai
≼ = ≼ ,∀ ∈ , ∀ ∈ .
adalah urutan parsial sebab ℝ × , adalah semigrup komutatif idempoten disertai dengan relasi ≼ di atas; dan berdasarkan Teorema 3.12 maka relasi ≼ pada ℝ × adalah urutan parsial. Urutan parsial ini bukan urutan total, karena untuk dua matriks dan matriks masing-masing berukuran 22 seperti dibawah ini = [ ] , = [ ]
52
Teorema 3.13 Misalkan matriks ∈ ℝ × . Bila vektor , ℝ dengan
≼ maka ≼ .
Bukti
Untuk sebarang elemen , ℝ dengan ≼ berlaku, maka
=
� =
≼ . ∎
Contoh 3.9 Diberikan matriks = [ ]dan vektor = [ ] , = [ ]. Jelas
bahwa ≼ dan =[ ] [ ] = [ ]
=[ ] [ ] = [ ].
Terlihat bahwa � ≼ � .
E. Matriks dan Graf di ℝ
Pada bagian ini dijelaskan tentang hubungan matriks dan graf dalam ℝ . Namun sebelumnya akan dijelaskan secara singkat konsep dasar mengenai teori graf. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Bacelli (2001), Heidergott, dkk (2006), West (2001), Farlow (2009), Andersen (2002).
1. Konsep Dasar Graf
53
dan sirkuit dalam graf dan graf yang terhubung kuat. Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan graf secara umum.
Definisi 3.14 Suatu graf � didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, � dengan � adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggota-anggotanya disebut simpul (atau titik) dan � adalah himpunan pasangan (tak terurut) titik-titik yang anggota-anggotanya disebut busur (atau rusuk).
Contoh 3.10 Perhatikan graf � di bawah ini
Gambar 3.1 Graf secara umum
Graf pada Gambar 3.1 adalah graf � = � , dengan himpunan simpul adalah � = { , , } dan himpunan busurnya adalah � yaitu , , , , , .
Setelah didefinisikan graf secara umum, selanjutnya akan didefinisikan graf berarah dan graf berbobot.
Definisi 3.15 Suatu graf berarah � adalah pasangan �, � , dengan � adalah himpunan simpul (atau titik) dan � adalah himpunan pasangan terurut dari simpul-simpul. Anggota himpunan � disebut busur; dan untuk busur , ∈ �, disebut titik awal busur dan disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur
