Konsep turunan fungsi trigonometri

BAHAN AJAR TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1 Konsep turunan fungsi trigonometri

𝑓’(𝑥) = lim_𝑕→0𝑓 𝑥 +𝑕 −𝑓(𝑥)

𝑕 . Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥² 2. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut.

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥³− 3𝑥²+ 2𝑥 − 10 b. 𝑓 𝑥 = 2𝑥⁵− 3 𝑥

c. 𝑓 𝑥 = (3𝑥²− 5)(2𝑥³+ 𝑥² − 1) d. 𝑓(𝑥) =^5𝑥−3

𝑥+1

3. Dengan menggunakan rumus 𝑠𝑖𝑛(𝛼 ± 𝛽)dan 𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± 𝛽) , jabarkan setiap bentuk berikut

a. 𝑆𝑖𝑛 𝑎⁰+ 𝑏⁰ b. cos⁡(¹

3𝛼 −¹

4𝛽)

Konsep turunan erat kaitannya dengan masalah laju perubahan suatu fungsi atau perubahan kecepatan suatu benda yang bergerak.

Konsep turunan mulai dikembangkan pada abad ke-17 oleh sir Isaac Newton (1642-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton menggunakannya untuk

1

Konsep turunan fungsi trigonometri 1.

Uji Kemampuan Prasyarat

Melalui pembelajaran pada materi Turunan Fungsi Trigonometri, siswa diharapkan dapat:

1. Menentukan turunan fungsi trigonometri yang sederhana 2. Menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑢 3. Menentukan turuna fungsi trigonometri bentuk 𝑦 = 𝑢. 𝑣 4. Menentukan turunan fungsi trigonemetri bentuk 𝑦 =^𝑢

𝑣

5. Menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑠𝑖𝑛^𝑛 𝑢 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠^𝑛 𝑢 𝑥 , 𝑡𝑎𝑛^𝑛 𝑢 𝑥 PENGALAMAN

BELAJAR

25 memecahkan masalah-masalah fisika dan astronomi, sedangkan Leibniz menggunakannya untuk memecahkan masalah-masalah geometri.

Perubahan kecepatan melibatkan trigonometri yang paling sederhana adalah perubahan kecepatan sebuah bola yang bergerak melingkar beraturan. Misalkan, sebuah bola bergerak mengelilingi sebuah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat pada titik O(0,0). Pada gerak melingkar beraturan, diasumsikan sudut sama dengan waktu. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan benda untuk melakukan satu putaran adalah 360° atau 2𝜋.

Perhatikan Gambar 2.1. pada saat awal, 𝑡 = 0, posisi bola berada pada ketinggian 0.

Sementara itu, pada saat 𝑡 =¹

2𝜋, bola berada pada posisi tertinggi, yaitu 1. Pada saat itu 𝑡 = 𝜋, posisi bola berada pada ketinggian awal, tetapi berlawanan arah. Hal ini menunjukkan bahwa posisi bola memenuhi 𝑓 𝑡 = sin 𝑡, dengan 𝑓 menyatakan ketinggian dan 𝑡 menyatakan waktu.

Pada gerakan melingkar ini, kecepatan sudut rata-rata bola adalah:

Kecepatan sudut rata-rata =𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑕𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Kecepatan sudut rata-rata =𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 2𝜋

=^2𝜋𝑟

2𝜋 = 𝑟 = 1

Jadi, kecepatan sudut rata-rata adalah konstan, yaitu 1.

t sin t sin1

2𝜋

sin 𝜋 sin 0°

Gambar2.1

14

t sin t cos t

(ii)

𝑣0= 1 𝑣^𝜋

2

= 0

(i)

v=r

=1

13 Perhatikan gambar 2.2 (i). Pada saat 𝑡 = 0, bola bergerak ke atas dengan kecepatan horizontal maksimum, yaitu 1. Sementara itu, pada saat 𝑡 =¹₂𝜋, kecepatan bola adalah 0.

Kondisi ini menyatakan bola dalam kondisi stabil (tidak naik dan tidak turun). Hal ini menunjukkan bahwa perubahan kecepatan bola memenuhi 𝑣 𝑡 = cos 𝑡, dengan 𝑣 menyatakan kecepatan dan 𝑡 menyatakan waktu. Hubungan posisi 𝑓 𝑡 dan kecepatan 𝑣 𝑡 bola pada waktu 𝑡 dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika 𝑓 𝑡 = sin 𝑡, maka 𝑣 𝑡 = cos 𝑡

Selanjutnya, kita akan membuktikan pernyataan tersebut secara aljabar. Pada konsep turunan aljabar, telah ditentukan bahwa kecepatan pada saat 𝑡 adalah laju perubahan jarak terhadap waktu, dan ditulis sebagai:

𝑣 𝑡 = lim

Jadi, dapat disimpulkan bahwa kecepatan bola pada saat 𝑡 dengan 𝑓 𝑡 = sin 𝑡 adalah 𝑣 𝑡 = cos 𝑡.

Contoh 1

Sebuah bola bergerak melingkar beraturan dengan persamaan posisi bola 𝑓 𝑡 = 2 sin 2𝑡.

Tentukan kecepatan bola pada saat 𝑡 = ¹

12𝜋 detik.

Jawab:

Kecepatan bola pada saat 𝑡 dengan 𝑓 𝑡 = 2 sin 2𝑡 ditunjukkan sebagai berikut.

𝑕 →0lim

14 Ayo Mengamati

Jadi, kecepatan bola pada saat 𝑡 =¹₂𝜋 detik adalah 4 cos 2𝑡 = 4 cos 2 ¹₂𝜋

= 4 cos1 6𝜋

= 4 1 2 3

= 2 3

Secara umum, jika kedudukan suatu benda yang bergerak pada lintasan berbentuk lingkaran adalah 𝑠 = 𝑓 𝑡 , maka kecepatan pada saat 𝑡 didefenisikan sebagai:

𝑣_𝑡= lim

𝑕→0

𝑓 𝑡 + 𝑕 − 𝑓(𝑡)

𝑕 , 𝑕 ≠ 0

Sebuah pagar yang tingginya 1,5 m berada 1 m jauhnya dari sebuah tembok. Sebuah tangga bertumpu pada tanah, menyentuh bagian atas pagar dan bersandar pada tembok. Tentukan panjang minimum tangga yang diperlukan.

Untuk mencari turunan fungsi sinus dan cosinus kita ingat kembali kesamaan trigonometri yang telah kita pelajari bersama, yaitu:

𝑆𝑖𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝐶𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 – 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏

Dengan menggunakan definisi turunan, proses notasi delta dan rumus selisih fungsi trigonometri, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 + 𝑕 = sin 𝑥 + 𝑕

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a

Turunan fungsi trigonometri yang sederhana 1.

Gambar 3.1 ilustrasi sebuah tangga yang bertumpu pada tanah, menyentuh bagian atas pagar dan bersandar pada tembok

15

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 maka 𝑓’(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Dengan menggunakan definisi turunan, proses notasi delta dan rumus selisih fungsi trigonometri, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 + 𝑕 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑕

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 maka 𝑓’ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛 𝑥

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 b

16 Sebelum menggunakan definisi turunan terlebih dahulu kita nyatakan 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = ^{sin 𝑥}

cos 𝑥. Dengan menggunakan aturan pembagian turunan, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 =^𝑈(𝑥)

𝑉(𝑥) adalah 𝑓’(𝑥) =^𝑈′ 𝑥 .𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 .𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = ^{sin 𝑥}

cos 𝑥, maka Dimisalkan 𝑈 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 dan 𝑉 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑈’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dan 𝑉’ = −𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑓’(𝑥) =𝑈^′ 𝑥 . 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 . 𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

⟺ 𝑓’(𝑥) =cos 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥(−𝑠𝑖𝑛 𝑥) (cos 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) =𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 (cos 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) = ¹

(cos 𝑥)²karena ¹

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

⟺ 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²𝑥

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 maka 𝑓’ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥

Nyatakan 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑘𝑒 𝑓(𝑥) =^{cos 𝑥}

sin 𝑥

Dengan menggunakan aturan pembagian pada turunan, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 =^𝑈(𝑥)

𝑉(𝑥) adalah 𝑓’(𝑥) =^𝑈′ 𝑥 .𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 .𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 =^{cos 𝑥}

sin 𝑥, maka Dimisalkan 𝑈 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dan 𝑉 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑈’ = −𝑠𝑖𝑛 𝑥 dan 𝑉’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑓’(𝑥) =𝑈^′ 𝑥 . 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 . 𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

⟺ 𝑓’(𝑥) =𝑠𝑖𝑛 𝑥 −𝑠𝑖𝑛 𝑥 − cos 𝑥 cos 𝑥 (sin 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) =−𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥 (sin 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) =−(𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥) (sin 𝑥)²

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥, 𝑓 𝑥 = sec 𝑥,dan𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 d

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 c

17

⟺ 𝑓’ 𝑥 = − ¹

(sin 𝑥)²karena ¹

𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥

⟺ 𝑓’(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐²𝑥

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 maka 𝑓’ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐²𝑥

Nyatakan 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑘𝑒 𝑓(𝑥) = ¹

cos 𝑥

Dengan menggunakan aturan pembagian pada turunan, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 =^𝑈(𝑥)

𝑉(𝑥) adalah 𝑓’(𝑥) =^𝑈′ 𝑥 .𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 .𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ¹

cos 𝑥, maka Dimisalkan 𝑈 = 1 dan 𝑉 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑈’ = 0 dan 𝑉’ = −𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑓’(𝑥) =𝑈^′ 𝑥 . 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 . 𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

⟺ 𝑓’(𝑥) =0. cos 𝑥 − 1. (− sin 𝑥) (cos 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) = sin 𝑥 (cos 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) = sin 𝑥 cos 𝑥. cos 𝑥

⟺ 𝑓’ 𝑥 = 1

cos 𝑥.sin 𝑥 cos 𝑥

⟺ 𝑓’ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑡𝑎𝑛 𝑥karena ¹

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 dan ^{sin 𝑥}

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

⟺ 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑡𝑎𝑛 𝑥

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 maka 𝑓’ 𝑥 = sec 𝑥. tan 𝑥

Nyatakan 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑘𝑒 𝑓(𝑥) = ¹

sin 𝑥

Dengan menggunakan aturan pembagian pada turunan, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 =^𝑈(𝑥)

𝑉(𝑥) adalah 𝑓’(𝑥) =^𝑈′ 𝑥 .𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 .𝑉′(𝑥) 𝑉²(𝑥)

Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ¹

sin 𝑥, maka Dimisalkan 𝑈 = 1 dan 𝑉 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑈’ = 0 dan 𝑉’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

18 𝑓’(𝑥) =𝑈^′ 𝑥 . 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 . 𝑉′(𝑥)

𝑉²(𝑥)

⟺ 𝑓’(𝑥) =0. sin 𝑥 − 1. cos 𝑥 (sin 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) = − cos 𝑥 (sin 𝑥)²

⟺ 𝑓’(𝑥) = −cos 𝑥 sin 𝑥. sin 𝑥

⟺ 𝑓’ 𝑥 = − 1

sin 𝑥.cos 𝑥 sin 𝑥

⟺ 𝑓’ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥karena ¹

sin 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 dan ^{cos 𝑥}

sin 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥

⟺ 𝑓’(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 maka 𝑓’ 𝑥 = −cosec 𝑥. cotan 𝑥

Menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑢.

⟺ 𝑓 𝑥 = sin(𝑎𝑥 + 𝑏)

Misal 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏, maka 𝑢’ = 𝑎

⟺ 𝑓 𝑥 = sin 𝑢

⟺ 𝑓’ 𝑥 = 𝑢^′cos 𝑢

⟺ 𝑓’ 𝑥 = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Jika 𝑓 𝑥 = sin 𝑢 maka 𝑓’ 𝑥 = 𝑢^′cos 𝑢

a. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 adalah 𝑓’(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Notasi lain ^{𝑑(sin 𝑥)}

𝑑𝑥 = cos 𝑥 b. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 adalah

𝑓’ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛 𝑥. Notasi lain ^{𝑑(cos 𝑥)}

𝑑𝑥 = −sin 𝑥 c. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 adalah

𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐² 𝑥. Notasi lain ^{𝑑(tan 𝑥)}

𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 d. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 adalah

𝑓’(𝑥) = −𝑐0𝑠𝑒𝑐² 𝑥. Notasi lain ^{𝑑(cotan 𝑥)}

𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐² 𝑥 e. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 adalah

Kesimpulan

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 e

19 𝑓’(𝑥) = sec 𝑥. tan 𝑥. Notasi lain ^{𝑑(sec 𝑥)}

𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥. tan 𝑥 f. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 adalah

𝑓’ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥. Notasi lain 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥)

𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 g. Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 adalah

𝑓’ 𝑥 = 𝑢^′cos 𝑢 Notasi lain ^{𝑑(sin 𝑢)}

𝑑𝑢 = 𝑢^′cos 𝑢 Contoh soal :

Tentukan 𝑓’(𝑥) dari fungsi berikut!

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥³𝑠𝑖𝑛 𝑥

c. 𝑓 𝑥 = 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Penyelesaian:

a. 𝑓’(𝑥) = 3(−𝑠𝑖𝑛 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 0 = −3𝑠𝑖𝑛 𝑥 – 𝑐𝑜𝑠 𝑥

b. Dengan aturan turunan perkalian dua fungsi, 𝑓’ 𝑥 = 3𝑥²sin 𝑥 + 𝑥³cos 𝑥 c. 𝑓’ 𝑥 = 5 cos 𝑥 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 (− sin 𝑥) = 5(𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥 ) = 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

Sebelum memulai pembelajaran ini, kita perlu mengingat kembali rumus-rumus trigonometri yang telah dipelajari di kelas IX, terutama rumus penjumlahan sinus dan cosinus sebagai berikut.

Penjumlahan dan pengurangan sinus 1. sin 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 sin¹

2 𝛼 + 𝛽 cos¹

2(𝛼 − 𝛽) 2. sin 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 cos¹

2 𝛼 + 𝛽 sin¹

2(𝛼 − 𝛽) Penjumlahan dan pengurangan sinus

3. cos 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 cos¹₂ 𝛼 + 𝛽 cos¹

2(𝛼 − 𝛽) 4. cos 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2 sin¹

2 𝛼 + 𝛽 sin¹

2(𝛼 − 𝛽)

Selain itu, ingat pula defenisi turunan dari suatu fungsi sebagai berikut.

Defenisi

Turunan dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓′ sedemikian sehingga nilai fungsi ini, untuk setiap 𝑥 dalam daerah defenisi 𝑓, dirumuskan sebagai berikut:

𝑓^′ 𝑥 = lim

𝑕→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕 Turunan pertama fungsi trigonometri

2.

20

Turunan fungsi trigonometri berbentuk yuvdapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

1. Tentukan turunan pertama dari setiap fungsi trigonometri di bawah ini.

a. f

 

x 3xcos2x

Turunan fungsi trigonometri bentuk

𝒚 =

^𝒖

𝒗

v b.

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝒚 = 𝒖. 𝒗 a.

Contoh:

Penyelesaian:

21 Turunan fungsi trigonometri berbentuk

v

yu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

2

1. Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut.

a.

 