BAHAN AJAR MATEMATIKA. Oleh: Yoh. Bere SMA/MA/SMK/MAK KELAS XII SEMESTER 1

BAHAN AJAR

MATEMATIKA

SMA/MA/SMK/MAK

KELAS XII

SEMESTER 1

Oleh: Yoh. Bere

KOMPETENSI DASAR

4.1Menyelesaikanmas alah

yangberkaitanden

gan limit

fungsitrigonometr i

3.1

Menjelaskandan menentukan limit fungsitrigonomet ri

^.

3.1.1Menentukan pembuktian rumus limit fungsi trigonometri 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎 ^{𝒔𝒊𝒏𝒙}

𝒙

= 𝟏

3.1.2Menentukan pembuktian rumus limit fungsi trigonometri 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎 ^{𝒕𝒂𝒏𝒙}

𝒙

= 𝟏

4.1.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎 ^{𝒔𝒊𝒏𝒙}

𝒙

= 𝟏

4.1.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎 ^{𝒕𝒂𝒏𝒙}

𝒙

= 𝟏

INDIKATOR

PETA KONSEP

Limit Fungsi Trigonometri

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒔𝒊𝒏 𝒙

𝒙 = 𝟏 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒙 = 𝟏

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) ≤ lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≤ lim

𝑥→𝑎𝑕(𝑥) 𝐿 ≤ lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≤ 𝐿

Untukmemahamikonsep limit trigonometri,

kitaharusmempunyaisebuahfungsitrigonometri yang

variabelbebasnyaberubahmendekatisuatunilaitertentu. Jikanilaidarifungsi𝑓(𝑥) mendekati suatu nilai 𝐿 sebagai akibat dari nilai 𝑥mendekati 𝑎, kita sebut 𝐿 merupakan limit dari 𝑓(𝑥) di mana 𝑥 mendekati 𝑎. Jadi, dapat ditulis:

𝑓(𝑥) → 𝐿di mana 𝑥 → 𝑎 atau

Berikutbeberapateori yang dibutuhkandalampembuktiansifat- sifatlimitfungsitrigonometri:

Misalkan𝑓, 𝑔, dan 𝑕 fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka 𝐼 yang memuat 𝑎 kecuali mungkin di 𝑎 itu sendiri, sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑥 ≠ 𝑎. Jika lim_𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = lim_𝑥→𝑎𝑕(𝑥) = 𝐿, maka lim_𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝐿. Atau penulisannya:

Artinyanilailim_𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝐿

Luassegitiga = ¹

2× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

Luasjuring AOB = ^∝

360⁰× 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = ^∝

360⁰× 𝜋. 𝑟²

Limit Fungsi Trigonometri

1. TeoremaApit

2. LuasSegitiga

3. LuasJuringLingkaran

𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝐵𝐶

𝑂𝐵 ⇔ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =𝐵𝐶

𝑟 ⇔ 𝐵𝐶 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑂𝐶

𝑂𝐵 ⇔ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =𝑂𝐶

𝑟 ⇔ 𝑂𝐶 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝐴𝐷

𝑂𝐴⇔ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =𝐴𝐷

𝑟 ⇔ 𝐴𝐷 = 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝑥 Perhatikan gambar berikut:

 Perhatikan∆𝐵𝑂𝐶 (∠𝐵𝑂𝐶 = 𝑥)!

 Perhatikan∆𝐴𝑂𝐷 (∠𝐴𝑂𝐷 = 𝑥)!

 Menghitungluas∆𝐵𝑂𝐶, luas juring AOB, dan luas ∆𝐴𝑂𝐷 Luas∆𝐵𝑂𝐶= ¹

2 . OC . BC = ¹₂ . 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑥 . 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ¹

2𝑟²𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 Luasjuring AOB = ¹

2 . ∠𝐴𝑂𝐵 . 𝑟² = ¹

2𝑥𝑟² Luas∆𝐴𝑂𝐷 = = ¹

2 . OA . AD = ¹

2 . 𝑟 . 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = ¹

2𝑟²𝑡𝑎𝑛 𝑥

1

2𝑟²𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 <1

2𝑥𝑟² < 1

2𝑟²𝑡𝑎𝑛 𝑥

Dari gambar di atasterlihatbahwaluas∆𝐵𝑂𝐶 lebih kecil dariluasjuring AOB dankeduanyalebihkecildariluas∆𝐴𝑂𝐷.

Luas∆𝐵𝑂𝐶 < Luas juring AOB < Luas ∆𝐴𝑂𝐷

1. Pembuktian𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝒙}

𝒙

= 𝟏

𝑷𝒆𝒎𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒂𝒏 𝑺𝒊𝒇𝒂𝒕 − 𝑺𝒊𝒇𝒂𝒕

𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕 𝑭𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛 𝑥 Berdasarkanpembuktianlim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥 = 1, diketahuibahwa:

𝑐𝑜𝑠²𝑥 < ^𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 1 (bagi dengan 𝑡𝑎𝑛 𝑥)

𝑥→0lim𝑐𝑜𝑠²𝑥 < lim

𝑥→0 𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑥 < lim

𝑥→01 (mengubah ke dalam bentuk limit 𝑥 → 0) 𝑐𝑜𝑠² 0 < lim

𝑥→0 𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 1(substitusikan limit 𝑥 → 0 pada ruaskanandanruaskiri) 1< lim

𝑥→0 𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 1 (hitungnilairuaskanandanruaskiri)

2. Pembuktian𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎^{𝒕𝒂𝒏 𝒙}

𝒙

= 𝟏 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙

= 1

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒙

𝒙

= 1

𝑥→0lim 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥

𝑎𝑥 = lim

𝑎𝑥 →𝑎.0

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 𝑎𝑥

= lim

𝑎𝑥 →0

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 𝑎𝑥

= lim

𝑦 →0

𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑦 Berdasarkanlim_𝑥→0^{𝑠𝑖𝑛 𝑥}

𝑥 = 1, berlaku juga untuk lim_{𝑦 →0}^{𝑠𝑖𝑛 𝑦}

𝑦 = 1.

Misalkan𝑦 = 𝑎𝑥, untuk 𝑥 mendekati nol, maka 𝑦 juga mendekati nol.

Substitusibentuk𝑦 = 𝑎𝑥

= 1.

Sehinggaterbuktibahwa:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒙

= 1 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙

= 1

4. Pembuktian𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒙}

𝒂𝒙

= 𝟏

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙

𝒂𝒙

= 1

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝟐𝒙 .𝟐𝒙

𝒙

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝟐𝒙 . 𝟐

= 𝟏. 𝟐

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙

𝟐𝒙 . 𝟑𝒙

𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙.𝟐𝒙 𝟑𝒙

= 𝟏. 𝟏.𝟐 𝟑

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎𝟐.𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒙 . 𝟒𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙. 𝒙 𝟒𝒙

= 𝟐. 𝟏 . 𝟏.𝟏 𝟒 Tentukannilai limit berikutini!

1. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒙

2. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙

3. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙}

𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙

4. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎𝟐 (𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝟒𝒙

5. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→^𝝅

𝟒

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝒔𝒊𝒏 𝒙

1. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒙 = 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒙 .^𝟐𝒙

𝟐𝒙

= 𝟐.

2. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙= 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙.^𝟐𝒙

𝟐𝒙.^𝟑𝒙

𝟑𝒙

=^𝟐

𝟑. 3. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙}

𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 = 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙}

𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 .^𝒙

𝒙.^𝟒𝒙

𝟒𝒙

=^𝟏

𝟐.

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝟒 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝟒𝒙

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙

= 𝟒.𝟏 𝟒.𝟏

𝟒

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→^𝝅_𝟒

(𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝒙)(𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→^𝝅_𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝒙

= 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓^𝟎+ 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓^𝟎 4. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎𝟐 (𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙)

𝒔𝒊𝒏^𝟐𝟒𝒙 = 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝟎^{𝟐 (𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)}

𝒔𝒊𝒏^𝟐𝟒𝒙

= ^𝟏

𝟒. 5. 𝐥𝐢𝐦_𝒙→^𝝅

𝟒

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝒔𝒊𝒏 𝒙= 𝐥𝐢𝐦_𝒙→^𝝅

𝟒

𝒄𝒐𝒔^𝟐𝒙−𝒔𝒊𝒏^𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝒔𝒊𝒏 𝒙

=^𝟏

𝟐 𝟐+ ^𝟏_𝟐 𝟐

= 𝟐.

𝑨

= 𝑴

𝒊

𝟏 − (𝟏 + 𝒊)

^−𝒏

BAHAN AJAR

LIMIT DI TAK HINGGA

KELAS XII SEKOLAH MENENGAH ATAS

𝑥→∞ lim 𝑥 sin 1 lim 𝑥

𝑥→∞

1 𝑥

MATEMATIKA PEMINATAN

𝒙→∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙

INDIKATOR

1. Menjelaskan limit di ketakhinggaan fungsi rasional.

2. Menentukan limit di ketakhinggaan fungsi rasiona

3. Menentukan nilai limit di ketakhinggaan fungsi irasional.

4. Menentukan nilai limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri.

5. Menentukan asimtot datar pada fungsi aljabar 6. Menentukan asimtot tegak pada fungsi aljabar

7. Menentukan asimtot datar pada fungsi k trigonometri 8. Menentukan asimtot datar pada trigonometri

9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi rasional 10. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi irasional.

11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri.

12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot datar pada fungsi aljabar 13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot tegak pada fungsi alajabar 14. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot tegak pada fungsi trigonometri 15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot tegak pada fungsi trigonometri

KOMPETENSI DASAR

3.2 Menjelaskan dan menentukan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

4.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan eksistensial limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

SUB MATERI Limit di Tak Hingga

1. Limit di tak hingga fungsi rasional 2. Limit di tak hingga fungsi irasional 3. Limit di tak hingga fungsi trigonometri 4. Kontinuitas dan diskontinuitas

5. Asimtot datar dan asimtot tegak

LIMIT DI TAK HINGGA

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897 M)

Seorang matematikawan Prusia yang mengembangkan teori limit.

Weierstrass sudah mampu mempresentasikan konsep limit secara cukup baik dan sudah saat itu metode yang dipakai oleh Weierstrass menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Pesan moral: tekun dan jangan cepat menyerah pada bidang yang kalian sukai sehingga mampu menemukan hal baru.

Tokoh

Agustin Louis Cauchy (1789 – 1857 M)

Seorang matematikawan asal Perancis yang pertama kali merumuskan konsep limit fungsi dalam karyanya yang berjudul Cours d’analyse.

Gagasan tentang limit oleh Cauchy belum disusun secara sistematis.

Terdapat 19 prestasi atau temuan sejarah yang sudah diraih oleh Cauchy.

Pesan moral: tingkatkan rasa kerja keras dan rasa ingin tahu untuk meraih prestasi.

Sumber:

https://www.zakiyahgendut.blogspot.co.id

Peta Konsep

Fungsi Rasional

Fungsi Irasional

Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Trigonometri

Asimtot Datar dan Asimtot Tegak Limit di Tak Hingga

Sumber:

https://www.impianpariaman.blogspot.co.id

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947 M)

Beliau yang memperkenalkan singkatan lim dengan anak panah dalam bukunya yang berjudul A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.

Sumber:

https://id.wikipedia.org

Misalkan kalian ingin mengetahui kecepatan motor yang sedang melaju. Dapatkah kalian menentukan kecepatan tepat pada waktu ke-t?

Tentu kesulitan, bukan? Hal ini terjadi karena rentang waktu sangat kecil. Untuk memudahkan perhitungannya, dapat dilakukan dengan nilai pendekatan kecepatan rata-rata dengan rentang waktu sangat kecil (mendekati nol), dapat digunakan konsep limit. Dalam fisika, limit digunakan dalam penentuan kecepatan, percepatan, kemiringan suatu garis, dan perubahan-perubahan sesaat lainnya. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi digunakan untuk penurunan fungsi biaya marjinal, fungsi-fungsi elastisitas (permintaan, penawaran, produksi) dan lain-lain.

Jadi limit ada di sekitar kita dan sangat bermanfaat. Dapatkah kalian menemukan hal lain yang menerapkan konsep limit? Agar kalian lebih memahami tentang limit pelajarilah uraian pada bahan ajar ini dengan seksama.

Kata Kunci:

1. Limit di Ketakhinggaan 2. Fungsi Rasional

3. Fungsi Irasional 4. Trigonometri 5. Kontinuitas 6. Diskontinuitas 7. Asimtot

Gambar 1. Kereta Cepat Sumber: buku BSE Tujuan Pembelajaran

Melalui modelDiscovery Learning (DL)dengan pendekatan saintifik berbantuan LKS, LTS, dan Powerpoint (PPt) siswa dapat memiliki kemampuan sebagai berikut.

1. Menjelaskan limit di ketakhinggaan fungsi rasional.

2. Menentukan limit di ketakhinggaan fungsi rasional.

3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi rasional.

PERTEMUAN 1

Sebuah kereta cepat melaju mengikuti fungsi posisi 𝑠 dengan waktu 𝑡 dalam sekon dan jarak 𝑠 dalam meter

𝑠 𝑡 =75𝑡² + 3 𝑡 − 1

kereta mengalami percepatan hingga mencapai kecepatan maksimum pada 𝑡 sekon. Jika kereta tidak berhenti dalam waktu yang lama, tentukan kecepatan maksimum kereta!Pada soal di atas kita diminta menentukan nilai dari fungsi 𝑁 dimana nilai 𝑡 mendekati tak hingga. Untuk menyelesaikan masalah tersebut terlebih dahulu kita pahami konsep limit di tak hingga fungsi.

Dalam matematika wajib kelas XI telah mempelajari bagaimana menyelesaikan limit fungsi aljabar untuk 𝑥 mendekati 𝑎 (ditulis 𝑥 → 𝑎) dengan 𝑎 adalah konstanta yang nilainya tertentu. Dalam sub bab ini kita akan mempelajari limit fungsi rasional untuk 𝑥mendekati tak hingga.

Lambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukan merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak benar ∞ − ∞ = 0atau ^∞

∞ = 1.

Amati fungsi berikut.

𝑓 𝑥 = 1 𝑥²

Fungsi f tidak terdefinisi di 𝑥 = 0 sebab pembagian bilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi tidak sama dengan 0. Anda dapat menentukan 𝑓 𝑥 = ¹

𝑥²

pada beberapa nilai 𝑥 yang mendekati 0 seperti diperlihatkan pada tabel berikut.

𝒙 𝟏

𝒙^𝟐

−𝟎, 𝟎𝟏 10.000

−𝟎, 𝟎𝟎𝟏 1.000.000

LIMIT FUNGSI DI TAK HINGGA

−𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 100.000.000

−𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 10.000.000.000

0 ?

𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 10.000.000.000 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 100.000.000

𝟎, 𝟎𝟎𝟏 1.000.000

𝟎, 𝟎𝟏 10.000

Amati tabel tersebut. Jika 𝑥 menuju 0 maka nilai ¹

𝑥² bernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalam lambang matematika ditulis lim_𝑥⟶0 ¹

𝑥² =

∞. Bentuk grafik fungsi seperti ini diperlihatkan pada gambar berikut.

Tabel berikut memperlihatkan nilai ¹

𝑥² untuk nilai 𝑥 yang menjadi sangat besar.

𝒙 1 10 1000 10.000 100.000 … → ∞

𝟏 𝒙^𝟐

1 0,01 0,000001 0,00000001 0,0000000001 … → 0

Dari tabel tersebut tampak bahwa makin besar nilai 𝑥, ternyata nilai ¹

𝑥²

menjadi makin kecil menuju 0. Hal ini ditulis untuk 𝑥 ⟶ ∞, nilai ¹

𝑥²→ 0.

Pernyataan tersebut ditulis lim_𝑥⟶∞ ¹

𝑥² = 0 dan dengan penalaran yang sama dapat ditunjukkan lim_{𝑥⟶−∞} ¹

𝑥²= 0. Grafik fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 = ¹

𝑥² diperlihatkan pada gambar berikut.

Sehingga dapat dikatakan bahwalim_𝑥⟶∞ ¹

𝑥^𝑛 = 0. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi diperoleh bentuk ^∞

∞, yaitu lim_𝑥⟶∞^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥). Seperti yang telah diketahui bahwa lim_𝑥⟶∞ ¹

𝑥^𝑛 = 0. Limit fungsi berbentuk lim_𝑥⟶∞^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), dengan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi pangkat yang dikerjakan atas dasar lim_𝑥⟶∞ ¹

𝑥^𝑛 = 0. Misalkan pangkat tertinggi dari variable 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah m, maka variable berpangkat tertinggi adalah 𝑥^𝑚. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.

𝑥⟶∞lim 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 = lim

𝑥⟶∞

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ×

1 𝑥^𝑚

1 𝑥^𝑚

Contoh:

= lim

𝑥⟶∞

3 −²

𝑥+ ¹

𝑥³

2 + ¹

𝑥²

= 3 − ²

∞+ ¹

∞

2 + ¹

∞

= 3 − 0 + 0 2 + 0 =3

2.

= lim

𝑥⟶∞

2 − ¹

𝑥² 1 𝑥+ ¹

𝑥³

=2 − ¹

∞ 3

∞+ ¹

∞

=2 − 0 0 + 0= ∞ Tentukan nilai limit fungsi berikut.

1. lim_𝑥⟶∞^{3𝑥3−2𝑥2+1}

2𝑥³+1

2. lim_𝑥⟶∞^{2𝑥3−𝑥}

3𝑥²+1

Jawab:

1. lim_𝑥⟶∞^{3𝑥3−2𝑥2+1}

2𝑥³+1 = lim_𝑥⟶∞^{3𝑥3−2𝑥2+1}

2𝑥³+1 ×

1 𝑥 3

1 𝑥 3

2. lim_𝑥⟶∞^{2𝑥3−𝑥}

3𝑥²+1 = lim_𝑥⟶∞^{2𝑥3−𝑥}

3𝑥²+1×

1 𝑥 3

1 𝑥 3

Limit fungsi rasional ^{𝑓 𝑥}

𝑔(𝑥) untuk 𝑥 ⟶ ∞ dapat dikerjakan dengan sederhana.

Misalkan 𝑓(𝑥) mempunyai pangkat tertinggi m dan 𝑔(𝑥) mempunyai pangkat tertinggi n. Dalam pembahasan limit, tentu kalian masih ingat nilai limit berikut.

1. Jika lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 0 dan lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ ℛ maka lim_𝑥⟶𝑐^{𝑓 𝑥}

𝑔(𝑥)= 0.

2. Jika lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 𝑎 > 0 dan lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 0, maka lim_𝑥⟶𝑐^{𝑓 𝑥}

𝑔(𝑥)= +∞.

3. Jika lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 𝑎 < 0 dan lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 0, maka lim_𝑥⟶𝑐^{𝑓 𝑥}

𝑔(𝑥)= −∞.

Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.

Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥^𝑚 + 𝑏𝑥^{𝑚 −1}+ ⋯ + 𝑎₀ dan 𝑔 𝑥 = 𝑝𝑥^𝑛 + 𝑏𝑥^{𝑛 −1}+ ⋯ + 𝑏₀ berlaku:

UJI KOMPETENSI

Tentukan nilai limit fungsi berikut.

1. lim_𝑥⟶∞^{2𝑥2−7𝑥+1}

2𝑥²+7𝑥−1

2. lim_𝑥⟶∞^{4𝑥3−2𝑥+1}

3𝑥³−𝑥−1

3. lim_𝑥⟶∞^{7𝑥2−6𝑥+2}

𝑥

4. lim_𝑥⟶∞^{2𝑥3−4𝑥2}

2𝑥⁴+1

5. lim_𝑥⟶∞^{2𝑥−𝑥7}

𝑥⁸+2𝑥

lim_𝑥⟶∞^{𝑓 𝑥}

𝑔 𝑥 =^𝑎

𝑝 jika 𝑚 = 𝑛 lim_𝑥⟶∞^{𝑓 𝑥}

𝑔 𝑥 = +∞ jika 𝑚 > 𝑛 dan 𝑎 > 0 lim_𝑥⟶∞^{𝑓 𝑥}

𝑔 𝑥 = −∞ jika 𝑚 > 𝑛 dan 𝑎 < 0 lim_𝑥⟶∞^{𝑓 𝑥}

𝑔 𝑥 = 0 jika 𝑚 < 𝑛

Berdasarkan permasalahan di atas, bagaimanakah caranya menentukan biaya rata-rata maksimum untuk memproduksi sepeda tersebut dalam satu bulan?

𝑥→∞lim

2𝑥²+ 𝑥 − 3

3𝑥²+ 5𝑥 + 1= lim

𝑥→∞

2𝑥²+𝑥−3 𝑥² 3𝑥²+5𝑥+1

𝑥²

= lim

𝑥→∞

2 +¹

𝑥− ³

𝑥²

3 +⁵

𝑥+ ¹

𝑥²

=2 + 0 − 0 3 + 0 + 0

= 2 3 Bentuk Sekawan Dari Suatu Bentuk Akar

𝑎 − 𝑏 bentuk sekawannya adalah 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 bentuk sekawannya adalah 𝑎 − 𝑏 Limit di Tak Hingga Fungsi Rasional 1. lim_𝑥→∞¹

𝑥 = 0 2. lim_𝑥→∞ ^{2𝑥2+𝑥−3}

3𝑥²+5𝑥+1= ⋯

Bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi.

PERTEMUAN 2

Ayo Mengingat Kembali Indikator:

3.2.2 Menentukan nilai limit di ketakhinggaan fungsi irasional.

4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi irasional.

Ayo Mengamati

Pak Krisna adalah seorang pemilik pabrik sepeda. Beliau menemukan bahwa biaya rata-rata per bulan untuk memproduksi sebuah sepeda dinyatakan oleh fungsi dalam ratus ribuan rupiah:

𝐶 𝑥 = 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥² + 5𝑥 + 20, dengan x menyatakan banyaknya sepeda yang diproduksi per bulan. Jika Pak Krisna ingin memproduksi sepeda yang sangat banyak dalam satu bulan maka berapakah biaya rata-rata maksimum untuk memproduksi sepeda tersebut dalam satu bulan?

https://www.tokopedia.co m

Ayo Menanya

𝐶 𝑥 = 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥²+ 5𝑥 + 20

𝑥→∞lim 𝐶 𝑥 = lim

𝑥→∞ 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥² + 5𝑥 + 20

𝑥→∞lim 𝐶 𝑥 = lim

𝑥→∞ 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥² + 5𝑥 + 20

× 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 + 4𝑥²+ 5𝑥 + 20 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 + 4𝑥²+ 5𝑥 + 20

𝑥→∞lim 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥²+ 5𝑥 + 20 Diketahui fungsi biaya rata-rata:

Jika Pak Krisna ingin memproduksi sepeda yang sangat banyak dalam satu bulan maka biaya rata-rata maksimum untuk memproduksi sepeda tersebut dalam satu bulan adalah:

Langkah 1: Kalikan (𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ) dalam limit dengan ^{𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥}

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥

Langkah 2: Hilangkan tanda akar kuadrat dari pembilang, kemudian sederhanakan pembilang dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 adalah bentuk sekawan dari 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 . Menentukan Nilai Limit di Tak Hingga Fungsi Irasional

Kasus yang sering dijumpai untuk kasus lim_𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 adalah salah satu 𝑓(𝑥)atau 𝑔(𝑥) atau keduanya 𝑓(𝑥)dan 𝑔(𝑥) merupakan fungsi irasional yaitu fungsi di bawah tanda akar kuadrat ( ). Langkah utama yang dilakukan yaitu mengubah bentuk irasional ke bentuk rasionaldengan cara mengalikan dengan bentuk sekawannya, kemudian memanfaatkan perkalian istimewa 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = (𝑓 𝑥 )²− (𝑔 𝑥 )². Dengan menggunakan bentuk sekawan tercapai dua tujuan sekaligus, yaitu meniadakan tanda akar kuadrat pada pembilang sehingga kita bisa menyederhanakan suku-suku sejenis pada pembilang sekaligus mengubah bentuk ∞ − ∞ menjadi ^∞

∞. Cara menyelesaikan lim_𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Kalikan (𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ) dalam limit dengan ^{𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥}

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 , dengan

Langkah 2: Hilangkan tanda akar kuadrat dari pembilang, kemudian sederhanakan pembilang dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

Langkah 3: Selesaikan bentuk limit di tak hingga fungsi rasional (bentuk ^∞

∞) yang didapat.

Cara Cepat

Diketahui fungsi-fungsi irasional 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑔 𝑥 = 𝑝𝑥² + 𝑞𝑥 + 𝑟 dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan-bilangan real, 𝑎 ≠ 0 dan 𝑝 ≠ 0.

a. Jika a = p maka lim_𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =^𝑏−𝑞

2 𝑎

b. Jika a>p maka lim_𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = +∞

c. Jika a<p maka lim_𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = −∞

Buktikan rumus cepat tersebut sebagai pekerjaan rumah.

Ayo Mengumpulkan Informasi

Ayo Mengasosiasi Data

(𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ) adalah bentuk sekawan dari (𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ).

Menentukan Nilai Limit di Tak Hingga Fungsi Irasional

Langkah 1: Kalikan (𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ) dalam limit dengan ^{𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥}

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 , dengan

Langkah 2: Hilangkan tanda akar kuadrat dari pembilang, kemudian sederhanakan pembilang dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

Langkah 3: Selesaikan bentuk limit di tak hingga fungsi rasional (bentuk ^∞

∞) yang didapat.

𝑥→∞lim

20𝑥 − 10

4𝑥² + 25𝑥 + 10 + 4𝑥² + 5𝑥 + 20= lim

𝑥→∞

20𝑥−10 𝑥

4𝑥²+25𝑥+10+ 4𝑥²+5𝑥+20 𝑥

= lim

𝑥→∞

20𝑥−10 𝑥 4𝑥²+25𝑥+10

𝑥² + ^{4𝑥2+5𝑥+20}

𝑥²

= lim

𝑥→∞

20 −¹⁰

𝑥

4 +²⁵

𝑥 +¹⁰

𝑥² + 4 +⁵

𝑥+²⁰

𝑥²

= 20 − 0

4 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0

= 20

4 + 4

= 20 2 + 2

=20 4

= 5

𝑥→∞lim 4𝑥²+ 25𝑥 + 10 − 4𝑥²+ 5𝑥 + 20 = 25 − 5 2 4 = 20

4 = 5 Langkah 3: Selesaikan bentuk limit di tak hingga fungsi rasional (bentuk ^∞

∞) yang didapat.

Jadi, biaya rata-rata maksimum untuk memproduksi sepeda tersebut dalam satu bulan adalah Rp 500.000,00.

Atau menggunakan rumus ^𝑏−𝑞

2 𝑎: Ayo Menyimpulkan

Ayo Menanya

Bagaimanakah caranya menentukan lamanya handphone tersebut dapat bertahan jika diisi daya dalam waktu yang sangat lama?

Limit Fungsi Trigonometri di Suatu Titik lim_𝑥→0^{sin 𝑥}

𝑥 = 1 lim_𝑥→0 ^𝑥

tan 𝑥 = 1 sec 𝑥 = ¹

cos 𝑥

lim_𝑥→0^{tan 𝑥}

𝑥 = 1 cot 𝑥 = ¹

tan 𝑥 lim_𝑥→0 ^𝑥

sin 𝑥 = 1 cosec 𝑥 = ¹

sin 𝑥

Ayo Mengamatiti

Ayo Mengingat Kembali Indikator:

3.2.3 Menentukan nilai limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri.

4.2.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri.

Manager dari sebuah pabrik handphone merencanakan memproduksi handphone model baru dengan harga terjangkau dan mempunyai aplikasi yang lengkap. Dari hasil analisis ketahanan produk didapat fungsi 𝑓 𝑡 = 𝑡 sin¹

𝑡

untuk menyatakan lamanya handphone dapat bertahan jika diisi daya lebih sebanyak t jam dari yang seharusnya. Jika handphone diisi daya dalam waktu yang sangat lama dan 𝑓 𝑡 dinyatakan dalam bulan maka berapa lama handphone tersebut dapat bertahan?

PERTEMUAN 3

https://www.androup.blogspot.c o.id

1. lim

𝑥→∞ 𝑥²− 2𝑥 − 1 − 𝑥²− 2𝑥 + 1 = ⋯

𝑓 𝑡 = 𝑡 sin1 𝑡

𝑡→∞lim𝑓 𝑡 = lim

𝑡→∞ 𝑡 sin1 𝑡

𝑡→∞lim 𝑡 sin1 𝑡 = lim

𝑥→0

1 𝑥sin 𝑥

𝑡→∞lim 𝑡 sin1 𝑡 = lim

𝑥→0

1 𝑥sin 𝑥

= lim

𝑥→0

sin 𝑥 𝑥

= 1 Fungsi ketahanan produk handphone dalam bulan:

Jika handphone diisi daya dalam waktu yang sangat lama dan 𝑓 𝑡 dinyatakan dalam bulan maka lama handphone tersebut dapat bertahan adalah:

Langkah 1: mengubah limit di tak hingga menjadi limit di titik 0 fungsi trigonometri.

Misalkan ¹

𝑡 = 𝑥 maka didapat 𝑡 =¹

𝑥

Jika 𝑡 → ∞ maka ¹

𝑡 → 0 sehingga didapat 𝑥 → 0.

Dari pemisalan tersebut didapat:

Langkah 2: menghitung nilai limit di titik 0 fungsi trigonometri tersebut.

Jadi, jika handphone diisi daya dalam waktu yang sangat lama maka lama handphone tersebut dapat bertahan adalah 1 bulan.

Ayo Menyimpulkan

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Langkah-langkah menghitung nilai limit di tak hingga fungsi trigonometri yaitu:

Langkah 1: mengubah limit di tak hingga menjadi limit di titik 0 fungsi trigonometri.

Langkah 2: menghitung nilai limit di titik 0 fungsi trigonometri tersebut.

Ayo Mengumpulkan Informasi Limit di Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Langkah-langkah menghitung nilai limit di tak hingga fungsi trigonometri yaitu:

Langkah 1: mengubah limit di tak hingga menjadi limit di titik 0 fungsi trigonometri.

Langkah 2: menghitung nilai limit di titik 0 fungsi trigonometri tersebut.

Ayo Mengasosiasi

Penyelesaian:

𝑥→∞lim 𝑥² − 2𝑥 − 1 − 𝑥²− 2𝑥 + 1

= lim

𝑥→∞ 𝑥²− 2𝑥 − 1 − 𝑥² − 2𝑥 + 1 × 𝑥²− 2𝑥 − 1 + 𝑥²− 2𝑥 + 1 𝑥²− 2𝑥 − 1 + 𝑥²− 2𝑥 + 1

= lim

𝑥→∞

𝑥²− 2𝑥 − 1 − (𝑥²− 2𝑥 + 1) 𝑥²− 2𝑥 − 1 + 𝑥²− 2𝑥 + 1

= lim

𝑥→∞

𝑥²− 2𝑥 − 1 − 𝑥²+ 2𝑥 − 1 𝑥²− 2𝑥 − 1 + 𝑥²− 2𝑥 + 1

= lim

𝑥→∞

−2

𝑥²− 2𝑥 − 1 + 𝑥²− 2𝑥 + 1

= lim

𝑥→∞

−2 𝑥

𝑥²−2𝑥−1 + 𝑥²−2𝑥+1 𝑥

= lim

𝑥→∞

−2 𝑥 𝑥²−2𝑥−1

𝑥² + ^{𝑥2−2𝑥+1}

𝑥²

= lim

𝑥→∞

−2 𝑥

1 − ²

𝑥 − ¹

𝑥² + 1 − ²

𝑥 + ¹

𝑥²

= 0

1 − 0 − 0 + 1 − 0 + 0

= 0

1 + 1

= 0 Atau menggunakan rumus ^𝑏−𝑞

2 𝑎:

𝑥→∞lim 𝑥² − 2𝑥 − 1 − 𝑥²− 2𝑥 + 1 =−2 − (−2)

2 1 =−2 + 2

2 =0

2= 0 2. lim

𝑥→∞ 3𝑥 − 2 − 9𝑥² − 11𝑥 − 3 = ⋯ Penyelesaian:

𝑥→∞lim 3𝑥 − 2 − 9𝑥² − 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞ 3𝑥 − 2 − 9𝑥²− 11𝑥 − 3 ×(3𝑥 − 2) + 9𝑥²− 11𝑥 − 3 (3𝑥 − 2) + 9𝑥²− 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞

(3𝑥 − 2)²− (9𝑥²− 11𝑥 − 3) (3𝑥 − 2) + 9𝑥²− 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞

9𝑥²− 12𝑥 + 4 − (9𝑥²− 11𝑥 − 3) (3𝑥 − 2) + 9𝑥²− 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞

9𝑥²− 12𝑥 + 4 − 9𝑥²+ 11𝑥 + 3 (3𝑥 − 2) + 9𝑥²− 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞

−𝑥 + 7

3𝑥 − 2 + 9𝑥² − 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞

−𝑥+7 𝑥

3𝑥−2 + 9𝑥²−11𝑥−3 𝑥

= lim

𝑥→∞

−1 +⁷

𝑥

3 −²

𝑥 + 9 − ¹¹

𝑥 − ³

𝑥²

= −1 + 0

3 − 0 + 9 − 0 − 0

= −1

3 + 9

= −1

3 + 3

= −1 6 Atau menggunakan rumus ^𝑏−𝑞

2 𝑎:

𝑥→∞lim 3𝑥 − 2 − 9𝑥²− 11𝑥 − 3 = lim

𝑥→∞ 3𝑥 − 2 ²− 9𝑥²− 11𝑥 − 3

= lim

𝑥→∞ 9𝑥²− 12𝑥 + 4 − 9𝑥² − 11𝑥 − 3

= −12 − (−11) 2 9

= −12 + 11 6

= −1 6 3. lim

𝑥→∞ 𝑥 tan¹

𝑥 = ⋯ Penyelesaian:

Misalkan ¹

𝑥= 𝑝 maka didapat 𝑥 =¹

𝑝

Jika 𝑥 → ∞ maka ¹

𝑥 → 0 sehingga didapat 𝑝 → 0.

Dari pemisalan tersebut didapat:

𝑥→∞lim 𝑥 tan1 𝑥= lim

𝑝→0

1 𝑝tan 𝑝

= lim

𝑝→0

tan 𝑝 𝑝

= 1 4. lim

𝑥→∞

csc ¹_𝑥 𝑥 = ⋯ Penyelesaian:

Misalkan ¹

𝑥= 𝑝

Jika 𝑥 → ∞ maka ¹

𝑥 → 0 sehingga didapat 𝑝 → 0.

Dari pemisalan tersebut didapat:

𝑥→∞lim csc ¹

𝑥

𝑥 = lim

𝑥→∞

1 𝑥csc 1

𝑥

= lim

𝑝→0 𝑝 csc 𝑝

= lim

𝑝→0 𝑝 ∙ 1 sin 𝑝

= lim

𝑝→0

𝑝 sin 𝑝

= 1 5. lim

𝑦 →∞tan⁵

𝑦∙ csc²

𝑦 = ⋯ Penyelesaian:

Misalkan ¹

𝑦 = 𝑝 Jika 𝑦 → ∞ maka ¹

𝑦 → 0 sehingga didapat 𝑝 → 0.

Dari pemisalan tersebut didapat:

𝑦→∞lim tan5 𝑦∙ csc2

𝑦= lim

𝑝→0tan 5𝑝 ∙ csc 2𝑝

= lim

𝑝→0tan 5𝑝 ∙ 1 sin 2𝑝

= lim

𝑝→0

tan 5𝑝 sin 2𝑝

= 5 2

Hitunglah nilai limit berikut.

1. lim_𝑥→∞ 2𝑥 − 1 − 4𝑥² − 6𝑥 − 5 2. lim_𝑥→∞ 25𝑥²− 10𝑥 + 6 − 5𝑥 + 3 3. lim_𝑥→∞ 9𝑥² − 5𝑥 − 8𝑥²+ 𝑥 4. lim

𝑥→∞

cot _2𝑥¹ csc_𝑥³

5. lim

𝑡→∞ 2𝑡 sin⁴

𝑡

6. lim

𝑥→∞ 2𝑥 tan¹

𝑥 sec²

𝑥

Latihan Soal

18 Fungsi f dikatakan kontinu di 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 jika dipenuhi ketiga hal berikut.

(i) Fungsi f terdefinisi di c, yaitu f(c) ada, (ii) lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) ada,

(iii) lim_𝑥⟶𝑐𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

Selanjutnya, fungsi f dikatakan diskontinu di c jika f tidak kontinu di c. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan 𝐴 ⊆ 𝑎, 𝑏 jika f kontinu di setiap 𝑐 ∈ 𝐴.

Perhatikan Gambar 1. Fungsi f kontinu pada (𝑎, 𝑏) kecuali di titik 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₃. Fungsi f diskontinu di 𝑥₁ karena lim_𝑥⟶𝑥1𝑓(𝑥) tidak ada, diskontinu di 𝑥₂ karena nilai lim_𝑥⟶𝑥2𝑓(𝑥) tidak sama nilai fungsi di 𝑥₂, dan f diskontinu di 𝑥₃ karena nilai fungsi di 𝑥₃ tidak ada.

Contoh 1. Perhatikan fungsi f berikut ini.

1. 𝑓 𝑥 =^𝑥2−1

𝑥 −1 tidak terdefinisi di 𝑥 = 1. Berarti syarat (i) kekontinuan fungsi tidak terpenuhi. Jadi f tidak kontinu di 𝑥 = 1.

PERTEMUAN 4

Tujuan Pembelajaran

Melalui modelDiscovery Learning (DL) dengan pendekatan saintifik berbantuan LKS, LTS, dan Powerpoint (PPt) siswa dapat secara bertanggungjawab memiliki kemampuan sebagai berikut.

1. Menyelidiki kekontinuan suatu fungsi.

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kekontinuan suatu fungsi.

19 2. 𝑓 𝑥 =

𝑥 + 1, 𝑥 > 1 10, 𝑥 = 1 3𝑥² − 1, 𝑥 < 1

. Fungsi f bernilai 10 untuk 𝑥 = 1, yaitu 𝑓 1 = 10.

Sedangkan lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) = 2. Jadi lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1). Dengan demikian, f diskontinu di 𝑥 = 1.

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, 𝑥 > 1

3𝑥² − 1, 𝑥 ≤ 1 . Fungsi f bernilai 1 untuk 𝑥 = 1, yaitu 𝑓 1 = 1. Sedangkan lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) = 2. Jadi lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1). Dengan demikian, f diskontinu di 𝑥 = 1.

4. 𝑓 𝑥 =

𝑥 + 1, 𝑥 > 1 2, 𝑥 = 1 3𝑥² − 1, 𝑥 < 1

. Fungsi f bernilai 2 untuk 𝑥 = 1, yaitu 𝑓 1 = 2.

Sedangkan lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) = 2. Jadi lim_𝑥⟶1𝑓(𝑥) = 𝑓(1). Dengan demikian, f kontinu di 𝑥 = 1.

Seperti halnya pada hitungan limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi.

Hal ini diberikan pada definisi berikut ini.

(i) Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di c jika lim_𝑥⟶𝑐⁻𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

(ii) Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika lim_𝑥⟶𝑐⁺𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Contoh 2. Tentukan nilai a dan b agar fungsi f kontinu pada ℝ.

𝑓 𝑥 = tan 𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥, 𝑥 < 0 4, 𝑥 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 > 0

Penyelesaian:

Agar fungsi f kontinu pada ℝ, maka harus memenuhi syarat (i), (ii), dan (iii). Syarat:

(i) 𝑓 0 = 4

(ii) lim_𝑥⟶0⁻𝑓 𝑥 = lim_𝑥⟶0^{−tan 𝑎𝑥}

tan 𝑏𝑥 = ^𝑎

𝑏

𝑥⟶0lim⁺𝑓 𝑥 = lim

𝑥⟶0⁺𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑏

Agar syarat ke (ii) terpenuhi, maka lim_𝑥⟶0⁻𝑓 𝑥 = lim_𝑥⟶0⁺𝑓 𝑥 . Akibatnya diperoleh ^𝑎

𝑏 = 𝑏.

Jadi 𝑎 = 𝑏².

(iii) lim_𝑥⟶0𝑓 𝑥 = 𝑓 0 ⟺ 𝑏 = 4. Sehingga, 𝑎 = 4² = 16.

20

UJI KOMPETENSI

1. Tentukan apakah fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥²− 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 3 8 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 3 𝑥 + 5 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 3

kontinu di titik 𝑎 = 3.

2. Dipunyai fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥²− 1, 𝑥 ≤ −1

2𝑥 + 2, 𝑥 > −1 . Selidiki kekontinuan fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = −1.

3. Agar fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥 + 1, 𝑥 < 1 𝑎𝑥 + 𝑏, 1 ≤ 𝑥 < 2

3𝑥, 𝑥 ≥ 2

kontinu pada ℝ, maka berapakah 𝑎 + 2𝑏?

4. Tentukan a dan b agar fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑎𝑥²+𝑏𝑥 −4

𝑥−2 , 𝑥 < 2

2 − 4𝑥, 𝑥 ≥ 2 kontinu di 𝑥 = 2.

21

𝒙→+∞𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

𝟓 𝒙 − 𝟒

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

𝟓 𝒙

𝟏 −^𝟒

𝒙

= 𝟎

𝟏 − 𝟎

Asimtot suatu kurva lengkung adalah sebuah garis lurus yang letaknya sedemikian dan didekati oleh grafik fungsi kontinu setelah melewati batas tertentu. Setelah batas ini, jarak antara asimtot dan grafik fungsi semakin kecil, tetapi tidak menjadi nol. Dengan kata lain, setelah batas ini, asimtot dan grafik fungsi tidak berpotongan lagi.

Asimtot datar adalah garis lurus yang sejajar atau berimpitan dengan sumbu X yang didekati oleh grafik fungsi kontinu setelah melewati batas tertentu.

Garis 𝒚 = 𝒃 disebut asimtot datar dari grafik fungsi kontinu 𝒇: (𝒂, +∞) → ℝ atau 𝒇: (−∞, 𝒄) → ℝ jika memenuhi paling sedikit satu dari pernyataan-pernyataan berikut.

(1) 𝐥𝐢𝐦_𝒙→+∞𝒇(𝒙) = 𝒃 atau (2) 𝐥𝐢𝐦_{𝒙→−∞}𝒇(𝒙) = 𝒃.

Tentukan asimtot datar dari fungsi 𝒇(𝒙) = ^𝟓

𝒙−𝟒!

= 𝟎.

Asimtot Grafik Fungsi Kontinu

2. Asimtot Datar

PERTEMUAN 5 dan 6

22

𝒙→−𝟏𝐥𝐢𝐦⁺𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏⁺

𝟏 − 𝒙 𝟏 + 𝒙= 𝟐

𝟎= +∞

𝒙→−𝟏𝐥𝐢𝐦⁻𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏⁺

𝟏 − 𝒙 𝟏 + 𝒙= 𝟐

𝟎= +∞

Asimtot tegak adalah garis yang sejajar atau berimpit dengan sumbu Y yang didekati oleh grafik fungsi kontinu yang melewati batas tertentu.

Garis 𝒙 = 𝒂 disebut asimtot tegak dari grafik fungsi kontinu apabila memenuhi paling sedikit satu dari pernyataan-pernyataan berikut:

(1) 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝒂⁺𝒇(𝒙) = +∞

(2) 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝒂⁺𝒇(𝒙) = −∞

(3) 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝒂⁻𝒇(𝒙) = +∞

(4) 𝐥𝐢𝐦_𝒙→𝒂⁻𝒇(𝒙) = −∞

Tentukan asimtot tegak dari fungsi 𝒇(𝒙) =^𝟏−𝒙

𝟏+𝒙!

Jadi, asimtot tegaknya adalah garis 𝒙 = −𝟏.

3. Asimtot Tegak

23

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

3.3MenggunakanprinsipturunankefungsiTrigonometrisederhana 3.3.1 Menentukanturunanfungsitrigonometrisederhana 3.3.2 Menentukanturunafungsitrigonometribentuk𝑠𝑖𝑛 𝑢 3.3.3 Menentukanturunafungsitrigonometribentuk

v u y 

3.3.4 Menentukanturunanfungsitrigonemetribentuk v

yu

3.3.5 Menentukanturunanfungsitrigonometribentuk

 

 

u x ⁿ

 

u

 

x ⁿ

 

u

 

x

n ,cos ,tan

sin .

4.3Menyelesaikan masalah yang

berkaitandenganturunanfungsitrionometri

4.3.1 Menyelesaikanmasalah yang

berkaitandenganturunanfungsitrigonometribentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑢;

4.3.2 menyelesaikanmasalah yang

berkaitandenganturunanfungsitrigonometribentuk v

u y  ;

4.3.3 menyelesaikanmasalah yang

berkaitandenganturunanfungsitrigonometribentuk v yu; 4.3.4 menyelesaikanmasalah yang

berkaitandenganturunanfungsitrigonometribentuk

 

 

u x ⁿ

 

u

 

x ⁿ

 

u

 

x

n ,cos ,tan

sin .

BAHAN AJAR

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

24 1. Dengan menggunakan definisi turunan dari konsep limit, yaitu:

𝑓’(𝑥) = lim_𝑕→0𝑓 𝑥 +𝑕 −𝑓(𝑥)

𝑕 . Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥² 2. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut.

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥³− 3𝑥²+ 2𝑥 − 10 b. 𝑓 𝑥 = 2𝑥⁵− 3 𝑥

c. 𝑓 𝑥 = (3𝑥²− 5)(2𝑥³+ 𝑥² − 1) d. 𝑓(𝑥) =^5𝑥−3

𝑥+1

3. Dengan menggunakan rumus 𝑠𝑖𝑛(𝛼 ± 𝛽)dan 𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± 𝛽) , jabarkan setiap bentuk berikut

a. 𝑆𝑖𝑛 𝑎⁰+ 𝑏⁰ b. cos⁡(¹

3𝛼 −¹

4𝛽)

Konsep turunan erat kaitannya dengan masalah laju perubahan suatu fungsi atau perubahan kecepatan suatu benda yang bergerak.

Konsep turunan mulai dikembangkan pada abad ke-17 oleh sir Isaac Newton (1642- 1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton menggunakannya untuk

1

Konsep turunan fungsi trigonometri 1.

Uji Kemampuan Prasyarat

Melalui pembelajaran pada materi Turunan Fungsi Trigonometri, siswa diharapkan dapat:

1. Menentukan turunan fungsi trigonometri yang sederhana 2. Menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑢 3. Menentukan turuna fungsi trigonometri bentuk 𝑦 = 𝑢. 𝑣 4. Menentukan turunan fungsi trigonemetri bentuk 𝑦 =^𝑢

𝑣

5. Menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑠𝑖𝑛^𝑛 𝑢 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠^𝑛 𝑢 𝑥 , 𝑡𝑎𝑛^𝑛 𝑢 𝑥 PENGALAMAN

BELAJAR

25 memecahkan masalah-masalah fisika dan astronomi, sedangkan Leibniz menggunakannya untuk memecahkan masalah-masalah geometri.

Perubahan kecepatan melibatkan trigonometri yang paling sederhana adalah perubahan kecepatan sebuah bola yang bergerak melingkar beraturan. Misalkan, sebuah bola bergerak mengelilingi sebuah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat pada titik O(0,0). Pada gerak melingkar beraturan, diasumsikan sudut sama dengan waktu. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan benda untuk melakukan satu putaran adalah 360° atau 2𝜋.

Perhatikan Gambar 2.1. pada saat awal, 𝑡 = 0, posisi bola berada pada ketinggian 0.

Sementara itu, pada saat 𝑡 =¹

2𝜋, bola berada pada posisi tertinggi, yaitu 1. Pada saat itu 𝑡 = 𝜋, posisi bola berada pada ketinggian awal, tetapi berlawanan arah. Hal ini menunjukkan bahwa posisi bola memenuhi 𝑓 𝑡 = sin 𝑡, dengan 𝑓 menyatakan ketinggian dan 𝑡 menyatakan waktu.

Pada gerakan melingkar ini, kecepatan sudut rata-rata bola adalah:

Kecepatan sudut rata-rata =𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑕𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Kecepatan sudut rata-rata =𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 2𝜋

=^2𝜋𝑟

2𝜋 = 𝑟 = 1

Jadi, kecepatan sudut rata-rata adalah konstan, yaitu 1.

t sin t sin1

2𝜋

sin 𝜋 sin 0°

Gambar2.1

14

t sin t cos t

(ii)

𝑣0= 1 𝑣^𝜋

2

= 0

(i)

v=r

=1

13 Perhatikan gambar 2.2 (i). Pada saat 𝑡 = 0, bola bergerak ke atas dengan kecepatan horizontal maksimum, yaitu 1. Sementara itu, pada saat 𝑡 =¹₂𝜋, kecepatan bola adalah 0.

Kondisi ini menyatakan bola dalam kondisi stabil (tidak naik dan tidak turun). Hal ini menunjukkan bahwa perubahan kecepatan bola memenuhi 𝑣 𝑡 = cos 𝑡, dengan 𝑣 menyatakan kecepatan dan 𝑡 menyatakan waktu. Hubungan posisi 𝑓 𝑡 dan kecepatan 𝑣 𝑡 bola pada waktu 𝑡 dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika 𝑓 𝑡 = sin 𝑡, maka 𝑣 𝑡 = cos 𝑡

Selanjutnya, kita akan membuktikan pernyataan tersebut secara aljabar. Pada konsep turunan aljabar, telah ditentukan bahwa kecepatan pada saat 𝑡 adalah laju perubahan jarak terhadap waktu, dan ditulis sebagai:

𝑣 𝑡 = lim

𝑕→0

𝑓 𝑡 + 𝑕 − 𝑓(𝑡)

𝑕

Kecepatan bola pada saat 𝑡 dengan 𝑓 𝑡 = sin 𝑡 adalah:

𝑣 𝑡 = lim

𝑕→0

𝑓 𝑡 + 𝑕 − 𝑓(𝑡)

𝑕 = lim

𝑕 →0

sin(𝑡 + 𝑕) − sin 𝑡

𝑕

= lim

𝑕→0

2 cos¹

2 2𝑡 + 𝑕 sin¹

2𝑕

𝑕

= lim⁡

𝑕 →0 2 cos1

2 2𝑡 + 𝑕 . lim

𝑕 →0

sin¹

2𝑕

𝑕

= 2 cos1

2 2𝑡 . 1 2

= cos 𝑡

Jadi, dapat disimpulkan bahwa kecepatan bola pada saat 𝑡 dengan 𝑓 𝑡 = sin 𝑡 adalah 𝑣 𝑡 = cos 𝑡.

Contoh 1

Sebuah bola bergerak melingkar beraturan dengan persamaan posisi bola 𝑓 𝑡 = 2 sin 2𝑡.

Tentukan kecepatan bola pada saat 𝑡 = ¹

12𝜋 detik.

Jawab:

Kecepatan bola pada saat 𝑡 dengan 𝑓 𝑡 = 2 sin 2𝑡 ditunjukkan sebagai berikut.

𝑕 →0lim

𝑓 𝑡 + 𝑕 − 𝑓(𝑡)

𝑕 = lim

𝑕→0

2 sin 2 𝑡 + 𝑕 − 2 sin 2𝑡

𝑕

= lim

𝑕→0

4 cos¹

2 4𝑡 + 2𝑕 sin¹

2(2𝑕)

𝑕

= lim⁡

𝑕 →0 4 cos1

2 4𝑡 + 2𝑕 . lim

𝑕→0

sin 𝑕

𝑕

= 4 cos1

2 4𝑡 . 1

= 4 cos 2𝑡

14 Ayo Mengamati

Jadi, kecepatan bola pada saat 𝑡 =¹₂𝜋 detik adalah 4 cos 2𝑡 = 4 cos 2 ¹₂𝜋

= 4 cos1 6𝜋

= 4 1 2 3

= 2 3

Secara umum, jika kedudukan suatu benda yang bergerak pada lintasan berbentuk lingkaran adalah 𝑠 = 𝑓 𝑡 , maka kecepatan pada saat 𝑡 didefenisikan sebagai:

𝑣_𝑡= lim

𝑕→0

𝑓 𝑡 + 𝑕 − 𝑓(𝑡)

𝑕 , 𝑕 ≠ 0

Sebuah pagar yang tingginya 1,5 m berada 1 m jauhnya dari sebuah tembok. Sebuah tangga bertumpu pada tanah, menyentuh bagian atas pagar dan bersandar pada tembok. Tentukan panjang minimum tangga yang diperlukan.

Untuk mencari turunan fungsi sinus dan cosinus kita ingat kembali kesamaan trigonometri yang telah kita pelajari bersama, yaitu:

𝑆𝑖𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝐶𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 – 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏

Dengan menggunakan definisi turunan, proses notasi delta dan rumus selisih fungsi trigonometri, maka diperoleh:

𝑓 𝑥 + 𝑕 = sin 𝑥 + 𝑕

Turunan fungsi trigonometri bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a

Turunan fungsi trigonometri yang sederhana 1.

Gambar 3.1 ilustrasi sebuah tangga yang bertumpu pada tanah, menyentuh bagian atas pagar dan bersandar pada tembok