LANDASAN TEORI
5. Kontribusi Peneltian a) Bagi penulis
Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari, sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.
b) Bagi pembaca
Menambah pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan. 6. Metode Penelitian
Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni:
a) Aspek teoretis b) Aspek faktual c) Aspek terapan
Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai berikut:
a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti
b) Mencari dan menggunakan literatur, baik yang menjadi acuan utama maupun acuan tambahan untuk membangun hasil yang terbaik.
c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan
d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai berikut:
1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma 2. Melakukan estimasi momen estimator:
a) Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen sampel
b) Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel disamakan
c) Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter � dan λ
3. Melakukan estimasi maksimum likelihood
a) Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas
b) Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi c) Melakukan diferensial ��� likelihood sebagai konsekuensi
memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap parameter � dan λ
4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi, sehingga diketahui parameter �̂ dan λ�
5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data �= 100 dan �= 1000 kali
e) Penarikan kesimpulan
7.) Tinjauan Pustaka
Perancangan suatu sistem kompleks melibatkan pemilihan berbagai alternatif yang dapat dilaksanakan. Pemilihan yang dilakukan berdasakan kepada criteria-kriteria yang ditentukan. Evaluasi kuantitatif criteria-kriteria tersebut jarang dilakukan terhadap implementasi terkini beserta evaluasi eksperimental pilihan yang
dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang diperoleh menggunakan model alternatif.
Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik. Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi yang diberikan.
Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel penting.
Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam berbagai permasalahan sehari-hari.
Satu konsep dasar dalam statistika adalah eksperimen acak. Untuk semua eksperimen acak, setidaknya terdapat satu ruang sampel yang sesuai terhadap eksperimen acak di bawah perlakuan. Dalam banyak kasus, banyak pengamatan dapat dilakukan tanpa referensi terhadap ruang sampel eksplisit. Untuk memahami kuantitas tersebut maka didefinisikan variabel acak. Variabel acak merupakan fungsi bernilai riil dan terdefinisi pada sebuah ruang sampel. Variabel acak adalah alat utama dalam pemodelan kuantitas-kuantitas yang tidak diketahui dalam analisis statistikater. Variabel acak pada umumnya dituliskan dengan huruf besar, seperti X, Y, Z dengan atau tanpa indeks. Variabel acak didikotomi menjadi dua yaitu diskrit dan kontinu.
Fungsi Kepadatan peluang atau probability density function p.d.f
merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil, jika: 1. �(�)≥ 0, ∀� ∈ ℝ 2. � �(�)�� = 1 ∞ −∞ 3. �(�< �<�) =� �(�) � � ��
Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ perunit waktu. Jika variabel acak � menyatakan interval antara jarak kejadian
��(�) =��−��, �> 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu
untuk kejadian pertama. Bagian ini membangkitkan hubungan Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r.
�
Definisi 1.1
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika:
�
�(�) =
��(�−1)!
�
�−1�
−��, � > 0
Berikut ini merupakan karakteristik kurva distribusi gamma untuk beberapa nilai parameter r dan �
ABSTRAK
Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya, hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya.
Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut dengan parameter �̂ dan �. Pada kedua estimasi momen diperoleh λ �̂=
4.09016193 , �λ= 0.002513199 , E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189.
Estimasi maksimum menghasilkan �̂= 3.860568854 , �λ= 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya dengan menentukan nilai �̂ dan � yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan λ
ABSTRACT
Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching number into the true phenomen.
Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics
�̂ dan �. Moments estimaton yield λ �̂= 4.09016193 , �λ= 0.002513199 , E[X]
= 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield
�̂= 3.860568854 , �λ= 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Based on generating data in R programme , the result expectation dan variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding expectation and variance with modification �̂ and �λ about 40 times. Based on the generating data finally by compare the result expectation and variance.
METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA