G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF A. Teori Grup
1. Grup
2. Grup Berhingga dan Subgrup 3. Darab Langsung
4. Grup Siklik dan Pembangkit 5. Grup Permutasi
6. Grup Dihedral
7. Koset, Teorema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor
8. Homomorfisma dan Isomorfisma B. Teori Graf
1. Graf Berarah Atau Digraf 2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton
BAB III DIGRAF CAYLEY DARI GRUP A. Digraf Cayley dari Grup
B. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup
BAB IV APLIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK MEMBUAT GRAFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN TIPE ESCHER PADA BIDANG HIPERBOLIK
A. Metode Escher
B. Metode Douglas Dunham BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran
BAB II
TEORI GRUP DAN TEORI GRAF
A. Teori Grup 1. Grup Definisi 2. 1
Misalkan G adalah himpunan. Operasi biner pada G adalah fungsi yang
mengawankan setiap pasangan terurut elemen-elemen di G dengan suatu elemen
di G.
Dengan kata lain, operasi biner pada himpunan S adalah suatu
pemetaan dari ke S. Untuk setiap di , elemen dari S
dinotasikan dengan . Operasi biner memasangkan sebarang a dan b
elemen-elemen dari S dengan elemen dari S. Dengan demikian, dapat
dikatakan bahwa operasi adalah operasi biner pada S jika operasi tersebut
, ,
tertutup dalam S, yaitu adalah elemen dari S.
Contoh 2. 1
Misalkan dan · adalah operasi biner biasa dari penjumlahan dan perkalian
dalam , dan misalkan | . Tentukan apakah H tertutup terhadap
(a) penjumlahan dan (b) perkalian.
7
Untuk bagian (a), hanya dibutuhkan pengamatan bahwa 1 dan
di H, tetapi bahwa 1 4 dan 5 . Sehingga H tidak tertutup
terhadap penjumlahan.
1
2 4 5
bahwa , sehingga H tertutup terhadap perkalian.
Definisi 2. 2
Misalkan G adalah himpunan tak kosong bersama dengan operasi biner (biasa
disebut perkalian) yang mengawankan ke setiap pasangan terurut ,
elemen-elemen di G dengan suatu elemen di G dinotasikan dengan . G adalah grup
terhadap operasi ini jika tiga sifat berikut dipenuhi.
untuk semua a, b, c di
titas. Terdapat sebuah elemen e (disebut identitas) di G sedemikian
pat b di G (disebut invers dari a)
Jika suatu grup mempunyai sifat komutatif sedemikian hingga
untuk setiap pasangan elemen-elemen a dan b di grup G, maka dapat dikatakan grup tersebut adalah grup komutatif atau grup Abel.
Untuk bagian (b), andaikan dan . Menggunakan pengertian
bahwa r dan s di H, dapat dilihat bahwa harus terdapat bilangan bulat n dan m di
sedemikian hingga dan . Akibatnya, .
Dengan karakteristik elemen di H dan kenyataan bahwa , ini berarti
1) Asosiatif. Operasi bersifat asosiatif jika
G.
2) Iden
hingga untuk semua a di G.
3) Invers. Untuk setiap elemen a di G terda
9 Beberap Elemen s Grup Abel
a contoh grup diberikan dalam Tabel 2. 1 di bawah ini.
Tabel 2. 1
Beberapa Contoh Grup
Grup Operasi Identitas Bentuk Inver
penjumlahan 0 k –k ya perkalian 1 m/n, m, n>0 n/m ya penjumlahan mod n 0 k n–k ya perkalian 1 x 1/x ya GL(2, F) perkalian matriks 1 0 1 , ad–bc≠0 0 tidak U( dengan fpb(k, n elesaian untuk kx=1 mod n han antar (0, ..., 0) (a1, ..., an) (–a1, –a2, ..., –an) ya SL(2, F) perkalian 1 0 , ad–bc=1 tidak n) perkalian mod n penjumla 1 k, )=1 peny ya komponen matriks 0 1 Keterangan
adalah himpunan bilangan bulat; :
adalah bilangan rasional positi adalah himpunan bilangan bulat modulo n; adalah himpunan bilangan real tak nol;
GL(2, F) adalah himpunan matriks 2 2 dengan entri-entrinya bilangan real dan determinannya tak nol;
U(n) adalah himpunan bilangan bulat k yang kurang dari n dan , 1
untuk 1
| , , . . . , ; 2
real), (bilangan kompleks), atau (bilangan bulat
t seba ng dari , , , atau .
Definisi 2. 3
Banyaknya elemen dari suatu grup G (berhingga atau tak hingga), dinotasikan dengan | |, disebut orde dari G. Jika | | berhingga, maka G disebut grup
erhingga dan jika | | tak hingga, maka G disebut grup tak hingga.
0, 1, 2, … , 1 untuk 1 adalah n atau | | dan
adalah grup berhingga karena | | berhingga sehingga adalah grup Abel
berhingga karena juga adalah grup Abel.
himpunan f;
;
adalah himpunan , , . . . ,
SL(2, F) adalah himpunan matriks 2 dengan entri-entrinya dari (bilangan rasional), (bilangan
modulo p dengan p bilangan prima) dan determinannya 1;
F dapa ra
2. Grup Berhingga dan Subgrup
b
Contoh 2. 2 Orde dari
11
Definisi 2. 4
Orde dari suatu elemen a dalam sutu grup adalah bilangan bulat positif terkecil
n sedemikian hingg . Dalam notasi penjumlahan menjadi
G
a . Jika
tidak terdapat bilangan bulat seperti itu, maka a dikatakan mempunyai orde tak hingga. Orde dari suatu elemen a dinotasikan dengan | |.
, 9 terhadap operasi penjumlahan
modulo 10, karena 1 · 2 2, 2 · 2 4, 3 · 2 6, 4 · 2 8, 5 · 2 0, dapat wa |2| 5. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa
Definisi 2. 5
Jika H adalah himpunan bagian dari grup G dan H adalah grup terhadap operasi dari G, maka H disebut subgrup dari G, dinotasikan dengan H ≤ G atau G ≥ H. atau G > H berarti H ≤G tetapi H ≠G, subgrup ini disebut subgrup
bgrup dari G yang
ejati dar . Jika { adalah elemen identitas dari G
t subg
disebut dari G.
Contoh 2. 4
Satu-satunya subgrup sejati tak trivial dari 0, 1, 2, 3 adalah {0, 2}.
Contoh 2.3
Dengan mengingat grup 0, 1, 2, …
diketahui bah
|0| 1, |7| 10, |5| 2, |6| 5.
Notasi H < G
sejati dari G. Sedangkan, su terdiri dari G atau dirinya sendiri
disebut subgrup tak s i G e} , maka
subgrup {e} disebu rup trivial dari G, sedangkan subgrup yang bukan {e}
subgrup tak trivial
Perhatikan bahwa {0, 3} bukan subgrup dari , karena {0, 3} tidak tertutup
3. Darab Langsung Definisi 2. 6
Misalkan {G1, G2, ..., Gn} adalah himpunan berhingga dari grup. Darab langsung
1 2 Gn, ditulis sebagai … , adalah himpunan semua
i adalah elem i
, … , dengan dilakukan engan operasi pada Gi.
5, 7 , 10 1, 3, 7, 9 ,
9 , 7, 1 , 7, 3 , 7,
sedangkan dua komponen kedua dikerjakan den modulo 10.
4. Grup Siklik dan Pembangkit
Invers dari suatu elemen a dari suatu grup dinotasikan dengan .
Notasi ini digunakan untuk suatu grup terhadap operasi perkalian. dari G , G , ...,
pasangan terurut n komponen dengan komponen ke- en dari G.
Dengan simbol, … , , … , | , di mana
, , … , , , … , , d Contoh 2. 5 8 1, 3, 8 10 1, 1 , 1, 3 , 1, 7 , 1, 9 , 3, 1 , 3, 3 , 3, 7 , 3, 9 , 5, 1 , 5, 3 , 5, 7 , 5, 7 , 7, 9 .
Hasil kali (3, 7)(7, 9) = (5, 3), karena dua komponen pertama dikerjakan dengan
13
Definisi 2. 7
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka digunakan untuk menunjukkan hasil kali dari a dan dirinya sendiri untuk n faktor, yaitu · · … · .
Jika 0, maka , dengan e adalah elemen identitas di grup tersebut. Jika
a .
Jika
Teorema 2. 1
ika a adalah suatu elemen dari suatu grup dan m, n adalah bilangan bulat, maka eksponen berikut.
Bukti:
Akan dibuktikan menggunakan prinsip induksi matematis.
Untuk n positif.
Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena
. Andaikan persamaan tersebut benar untuk n = k, berarti . Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = k + 1. Perhatikan bahwa
.
n adalah bilangan bulat negatif, mak
· · , maka .
J
berlaku hukum
1) .
2) .
1) Misalkan m tetap dan n variabel. a)
b) Untuk n negatif.
Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k dengan kan bahwa
. Perhati
· · … · · · … ·
.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk n tetap dan m variabel. 2) Misalkan m tetap dan n variabel.
a) Untuk n positif.
Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena
. Andaikan persamaan tersebut benar untuk n =
k, berarti . Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut
benar untuk
. b) Untuk n negatif.
engan
Dengan cara yang sama, dapat dibukti
n = k + 1. Perhatikan bahwa
Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k d . Perhatikan bahwa
.
kan untuk n tetap dan m variabel.
15
Contoh 2. 6
, , , .
Jika G adalah sua
Bukti:
(ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 (hukum asosiatif)
= (a(bb-1))a-1 (hukum asosiatif)
Sama halnya dengan (b-1a-1)(ab) = e. Karena itu, dengan definisi (aa-1 = a-1a = e
)-1 = b-1a-1.
■
Definisi 2. 8
grup siklik jika terdapat elemen a di G sedemikian hingga } disebut
himpunan pembangkit dari G. Notasi menyatakan bahwa G adalah grup bangkit a.
adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan –1.
odulo n adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan 1 1.
Tidak seperti yang hanya mempunyai dua pembangkit, dapat mempuny
lebih dari satu pembangkit bergantung pada n yang diberikan. Teorema 2. 2
tu grup, maka (ab)-1 = b-1a-1 untuk semua a dan b di G.
= (ae)a-1 = aa-1 = e.
), (ab
Grup G disebut
| . Elemen a tersebut disebut pembangkit dari G dan {a
siklik dengan pem
Contoh 2. 7
Grup terhadap penjumlahan
Demikian juga untuk , grup 0, 1, 2, … , 1 untuk 1 terhadap
penjumlahan m
Misalkan 1 3 5 7 . Untuk memeriksanya, sebagai
3 8, … a
8, … 2, 4, 6, 0 .
a
bgrup il dari G yang mem
h G, mak
terdapat himpunan berhingga | yang membangkitkan G, maka G
dikatakan dibangkitkan secara berhingga dan ditulis | . Jika
1, 2, … , , maka , , … , .
Teorema 2. 3
Jika G adalah grup dan en subgrup
G yang dibangkitkan oleh | tepatnya adalah elemen-elemen dari G yang
berupa hasil kali berhingga dari pangkat bulat dari ai, di mana suatu pangkat ai tertentu dapat terjadi beberapa kali dalam hasil kali tersebut.
Menurut Definisi 2. 8, H adalah subgrup terkecil dari G yang memuat | .
H dan
contoh, 3 , perhatikan bahwa 3 3, 3 3 8, 3 3
dalah himpunan 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 . Sehingga 3 adalah
pembangkit dari . Tetapi 2 bukan pembangkit dari karena 2
2, 2 2 8, 2 2 2
Definisi 2. 9
Misalk n G adalah grup dan untuk dengan I adalah sebarang
himpunan indeks. Su terkec uat | disebut
subgrup yang dibangkitkan oleh | . Jika subgrup ini adala a
| dikatakan membangkitkan G dan ai disebut pembangkit dari G. Jika
untuk , maka elemen-elem H dari
Bukti:
17
Andaikan K menyatakan himpunan dari semua hasil kali berhingga dari pangkat
bulat dari ai. Misalkan … . Maka dan
· · … · , karena sifat-sifat subgrup. Sehingga
.
… . Maka K H
tkan bahwa K adalah subgrup dari H yang memuat | , maka
ali elem
osiatif. Misalkan
… . Sehingga
… …
.
Untuk , dengan Teorem
… … .
Sebagai contoh, (a1)3(a2)2(a1)-7 berada di K dan [(a1)3(a2)2(a1)-7]-1 = (a1)7(a2)-2(a1)-3 berada di K lagi.
H dan K memuat | karena
| , maka H K.
Akan diperliha
H K.
Perhatikan bahwa hasil k en di K adalah di K lagi. Misalkan,
… . Sehingga … .
Perhatikan juga bahwa hasil kali elemen di K memenuhi sifat as
…
…
… … .
Karena (ai)0 = e, diperoleh
a 2. 2 dapat diperoleh
Jadi, K adalah subgrup dari
Jadi, terbukti bahwa K = H.
■
Contoh 2. 8
1, 0 , 0, 1 artinya grup dibangkitkan oleh (1, 0) dan Dengan menggunakan Teorema 2. 3, elemen-elemen dari grup
n(1, 0) + m(0, 1)| n, m } = {(0(1, 0) + 0(0, 1)), (0(1, 0) + 1(0, 1)) 1(0 )), (0(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 0(0, 1)),
)), …} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}.
dinyatakan dengan , , , , , , , . Tabel
Tabel Operasi untuk (0, 1). adalah { , (1(1, 0) + 0(0, 1)), (1(1, 0) + , 1 (1(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 1(0, 1)), (2(1, 0) + 2(0, 1 Contoh 2. 9 Grup kuarternion
operasi atau tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.
Tabel 2. 2
19
Grup kuarternion juga dapat din ,
, . Dengan kata lain, dibangkitkan oleh a
yatakan dengan , |
dan b yang memenuhi
persamaan , , dan . Berikut ini akan diperlihatkan
ibangkitkan oleh a dan b tersebut.
5. rup Per utasi Definisi 2. 10
ungsi : disebut satu-satu atau injektif jika dan hanya jika bila m
setiap , terdapat sedemikian
ika adalah satu-satu dan pada.
bahwa d
G m
F
aka . Fungsi : disebut pada atau surjektif jika untuk
sehingga . Fungsi :
Contoh 2. 10
Fungsi : dengan bukan satu-satu karena 2 2 4
tetapi 2 2 dan tidak pada karena daerah hasilnya adalah himpunan bagian
jati dari semua bilangan tak negatif di . Akan tetapi : dengan
satu-satu dan pada .
Definisi 2. 11
Misalkan : dan : . Komposisi dan , dinotasikan dengan
, adalah pemetaan dari A ke C, dinotasikan dengan : ,
didefinisikan dengan untuk semua a di A.
Definisi 2. 12
Permutasi dari suatu himpunan A adalah fungsi bijektif dari A ke A.
Contoh 2. 11
utasi himp kan deng
2, α(2) = 3,
t dapat dinyatakan dengan cara lain, yaitu 1
2 23 31 44 dan
1
2 21 34 43 . Komposisi permutasi dikerjakan dari kanan ke kiri. Misalkan 1 2 3
1 44 12 21 34 34 13 22 34 41 . Sebagai contoh, 3 berada = α(β(1))
a 2. 4
Jika A adalah suatu himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan semua
permutasi dari A, maka SA merupakan suatu grup terhadap komposisi permutasi. se
Misalkan perm α dan β dari unan {1, 2, 3, 4} dinyata an α(1) =
α(3) = 1, α(4) = 4 dan β(1) = 2, β(2) = 1, β(3) = 4, β(4) = 3. Permutasi tersebu
2 3
di bawah 1, karena (αβ)(1) = α(2) = 3.
21
Bukti:
ktikan bahwa (SA, ◦) me
Akan dibu menuhi tiga syarat di dalam Definisi 2. 2, yaitu
asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai elemen invers. Tetapi sebelumnya akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) tertutup terhadap komposisi permutasi. Andaikan π1 dan π2 adalah permutasi dari A. Menurut teorema tentang komposisi
fungsi, m 1 2 a1, a2 A
π1 ◦ π2 bersifat satu-satu, j (a1) = (π1 ◦
a2. Akan dibuktikan bahwa π1◦ π2 bersifat satu-satu. Karena (π1◦ π1
bersifat satu-satu, berlaku π2(a1) = π2(a2), dan karena π2 bersifat satu-satu juga,
1 2. Terbukti bahwa (π1◦π2)(a1) = (π1◦π2)(a2) →a1 = a2. Oleh karena
1 2
1 2
setiap b A, terda
untuk setiap a’ A, terdapat a’’ A sehingga π2(a’’) = a’. Oleh karena itu, (π1◦ π2)(a’’) = π1(π2(a’’)) = π1(a’) = b, sehingga π1 ◦ π2 bersifat pada. Maka m
dari A. Terbukti bahwa π1◦ π2
A, (π1◦ (π2◦π3))(a) = ((π1◦π2) ◦π3)(a). Misalkan a A. Berlaku (π1◦ (π2◦π3))(a) = π1((π2 ◦ π3)(a)) = π1(π2(π3(a)) = (π1 ◦ π2)(π3(a)) = ((π1 ◦ π2) ◦ π3)(a), sehingga
aka π ◦ π juga adalah fungsi dari A ke A. Misalkan .
Komposisi permutasi ika dipenuhi (π1 ◦ π2)
π2)(a2) → a1 =
π2)(a1) = (π1 ◦ π2)(a2), sehingga diperoleh π1(π2(a1)) = π1(π2(a2)). Karena
berlaku a = a
itu, π ◦π bersifat satu-satu.
Akan dibuktikan bahwa π ◦ π bersifat pada, yaitu untuk setiap b A, terdapat a A sehingga (π1 ◦ π2)(a) = b. Misalkan b A. π1 bersifat pada, berarti untuk
pat a’ A sehingga π1(a’) = b, dan π2 bersifat pada, berarti
enurut Definisi 2.13, π1 ◦π2 merupakan suatu permutasi
SA.
Akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) memenuhi sifat asosiatif. Andaikan π1, π2, π3 SA. Akan dibuktikan π1 ◦ (π2◦ π3) = (π1◦ π2) ◦π3. Akan ditunjukkan, untuk setiap a
diperoleh (π1 ◦ (π2 ◦π3))(a) = ((π1◦ π2) ◦ π3)(a), untuk setiap a A. Jadi, menurut Definisi 2. 11 diperoleh π1◦ (π2◦ π3) = (π1◦π2) ◦π3. Terbukti bahwa sifat asosiatif dipenuhi.
Akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) mempunyai elemen identitas. Permutasi i, di mana
i(a) = a, untuk setiap a A, merupakan elemen identitas di SA. Misalkan π SA dan i permutasi identitas di SA. Akan dibuktikan bahwa π ◦ i = i ◦ π = π. Akan ditunjukkan bahwa (π ◦ i)(a) = (i ◦ π)(a) = π(a), untuk setiap a A. Karena berlaku i(a) = a, untuk setiap a A, diperoleh (π◦i)(a) = π(i(a)) = π(a) = i(π(a)) = (i◦π)(a) sehingga (π◦ i)(a) = (i◦π)(a) = π(a), akibatnya π◦i = i◦ π = π. Terbukti bahwa terdapat elemen identitas i SA, sehingga π◦i = i◦π = π.
Akan dibuktikan bahwa setiap elemen di (SA, ◦) mempunyai invers. Untuk setiap π
π
-1 -1 -1 -1 -1
Jadi, π◦ π-1
dan π-1◦ π merupakan permutasi identitas dari himpunan A, sehingga berlaku π◦ π-1
= π-1 ◦ π = i. Terbukti bahwa untuk setiap π S , terdapat elemen invers π-1
SA, sehingga π◦π-1
= π-1◦π = i.
Jadi, terbukti bahwa S membentuk grup terhadap komposisi permutasi.
■
Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah himpunan permutasi dari A yang membentuk grup terhadap komposisi fungsi.
SA, terdapat elemen invers π-1
SA, yaitu permutasi yang membalik arah fungsi , di mana untuk setiap a, a’ A, π(a’) = a ↔ π-1
(a) = a’. Misalkan a, a’ A. Karena berlaku i(a) = a, dan jika π(a’) = a maka π-1
(a) = a’, akibatnya i(a) = a =
π(a’) = π(π (a)) = (π ◦ π )(a) dan i(a’) = a’ = π (a) = π (π(a’)) = (π ◦ π)(a).
A
A
23
Definisi 2. 14
Misalkan A = {1, 2, …, n}. Himpunan semua permutasi dari A disebut grup simetri berderajat n dan dinotasikan dengan Sn. Elemen dari Sn mempunyai bentuk
1 2
S m mpunyai 1 · … · 3 · 2 · 1 ! elemen.
1 3 2 2 1 3 3 2 1
Terdapat notasi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan permutasi 1 2 3 4 5 6
. Siklis yang hanya mempunyai satu tas dapat ditulis α= (12)(346). 1 2 … … . n e Contoh 2. 12
Misalkan S3 menyatakan himpunan semua fungsi satu-satu dari {1, 2, 3} ke
dirinya sendiri. S3 terhadap komposisi fungsi adalah grup dengan enam elemen, yaitu
1 2 3
1 2 3 , 1 2 32 3 1 , 1 2 33 1 2 ,
1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 .
yang disebut notasi siklis. Misalkan permutasi
2 1 4 6 5 3 dalam
notasi siklis dinyatakan dengan α = (12)(346)(5) karena 1→2→2→1,
3→4→4→6→6→3, dan 5→5. Suatu pernyataan dari bentuk (α1, α2, …, αm) disebut siklis dengan panjang m atau siklis-m
Contoh 2. 13
Enam elemen dari S3 dalam notasi siklis dinyatakan dengan ε= (1)(2)(3) = (1), α
2 β = (1)(23)=(23), αβ = (12)(3) = (12), α2β = (13)(2) = (13).
S
Tabel 2. 3
Tabel Operasi untuk
(1) (12) (13) 3) (123) (132)
= (123), α = (132),
Jadi, 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Tabel operasi atau tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.
(2 (1) (1) (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) (1) (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) (1) (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) (1) (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) (1) (132) (132) (23) (12) (13) (1) (123) Teorem
suatu hasil kali dari siklis
banyaknya genap, maka setiap dekomposisi α ke dalam suatu hasil kali dari siklis-2 harus mempunyai siklis-siklis-2 yang jumlahnya genap.
Dengan simbol, jika α = β1β2 … βr dan α = γ1γ2 … γs, di mana β dan γ adalah siklis-2, maka r dan s adalah keduanya genap atau keduanya ganjil.
a 2. 5
25 Bukti: ahwa β1β2 … βr = γ1γ2 … γs menyatakan ε = (γ1γ2 … γs)(β1β2 … βr)-1 = γ1γ2 … γs βr-1
… β2-1β1-1 = γ1γ2 … γsβr … β2β1, karena invers dari siklis-2 adalah . Sehingga dengan lemma yang menyatakan bahwa jika ε= β1β2 … r
■
uatu permuta ang da inyata ebagai l kali iklis g
aknya gen ang d permutasi genap tu pe yan t
takan sebagai hasil kali dari si ang banyaknya ganjil yang disebut
utasi gan
utasi genap dari bol dinotasikan dengan An
berderajat n.
An mempunyai !
Perhatikan b
dirinya sendiri
β, di mana β adalah siklis-2, maka r adalah genap (lemma dan buktinya dapat
dilihat dalam buku Contemporary Abstract Algebra, halaman 98-99), menjamin
bahwa s + r adalah genap. Ini menghasilkan bahwa r dan s adalah keduanya genap atau keduanya ganjil.
Definisi 2. 15
S si y pat d kan s hasi dari s -2 yan
bany ap y isebut . Sua rmutasi g dapa
dinya klis-2 y
perm jil.
Definisi 2. 16
Grup perm n sim dan disebut grup
selang-seling
elemen.
Contoh 2. 14
Grup permutasi genap dari {1, 2, 3, 4} atau grup selang-seling diberikan dalam tabel di bawah ini.
Tabel 2. 4
Grup Selang-seling untuk Permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4}
α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 (1)=α1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (12)(34)=α2 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 (13)(24)=α3 3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 (14)(23)=α4 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 (123)=α5 5 8 6 7 9 12 10 11 1 4 2 3 (243)=α6 6 7 5 8 10 11 9 12 2 3 1 4 (142)=α7 7 6 8 5 11 10 12 9 3 2 4 1 (134)=α8 8 5 7 6 12 9 11 10 4 1 3 2 (132)=α9 9 11 12 10 1 3 4 2 5 7 8 6 (143)=α10 10 12 11 9 2 4 3 1 6 8 7 5 (234)=α11 11 9 10 12 3 1 2 4 7 5 6 8 (124)=α12 12 10 9 11 4 2 1 3 8 6 5 7 6. Grup Dihedral Definisi 2. 17
Simetri bidang dari bangun F pada bidang adalah fungsi bijektif dari bidang tersebut ke dirinya sendiri yang memetakan F pada F dan mempertahankan jarak (untuk sebarang titik p dan q pada bidang, jarak dari bayangan p ke bayangan q
27
Teorema 2. 6
Himpunan semua simetri bidang dari bangun F dengan operasi komposisi
membentuk grup.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa komposisi simetri bidang dari bangun F bersifat tertutup.
isalkan π1 d 2 adalah sime id d ba n M ru r 2
π1 ◦ p n gsi ijek . S nju a n uk n w ◦
k jar . M lk a, dan (a, ar
, ( ◦π )) (π2 (a) 2(π ))
(π ), π )) ren 2 a lah et
(a ren 1 a lah et
Te w ko osi sim F erupakan fungsi
bij e ertahankan jarak.
Ak ka ba k o im ri b ng ri b gu bersifat asosiatif.
M π n d si tri ang ari gu . Menurut Teorema
2. π ◦ = 1 ◦ ◦ e kti hw om e bid g d
ba s as tif
kan dibuktikan bahwa komposisi simetri bidang dari bangun F mempunyai
elemen identitas. Simetri bidang i dari bangun F, di mana i(a) = a, untuk setiap a
en identitas dalam himpunan semua simetri bidang dari alkan π adalah simetri bidang dari bangun F dan i simetri bidang identitas. Akan dibuktikan bahwa π ◦ i = i◦ π = π. Akan ditunjukkan bahwa (π ◦
M an π tri b ang ari ngu F. enu t Teo ema . 4,
π2 meru aka fun b tif ela tny aka dib tika bah a π1 π2
mempertahan an ak isa an b F d b) adalah jarak ant a a
dengan b.
d((π2◦π1)(a) π2 1)(b = d (π1 ), π 1(b
= d 1(a 1(b (ka a π da sim ri)
= d , b) (ka a π da sim ri)
rbukti bah a mp si etri bidang dari bangun m
ektif dan m mp
an dibukti n hwa omp sisi s et ida da an n F
isalkan π1, 2, da π3 a alah me bid d ban n F
4, π1◦ ( 2 π3) (π π2) π3. T rbu ba a k posisi sim tri an ari
ngun F ber ifat osia . A
F, merupakan elem
i)(a) = (i◦π)(a) = π(a), untuk setiap a F. Karena berlaku i(a) = a, untuk setiap a F, diperoleh (π◦ i)(a) = π(i(a)) = π(a) = i(π(a)) = (i◦ π)(a) sehingga (π◦i)(a) = (i ◦ π)(a) = π(a), akibatnya π ◦ i = i ◦ π = π. Terbukti bahwa terdapat elemen identitas i dalam himpunan semua simetri bidang dari bangun F, sehingga π◦ i = i
π adalah simetri bidang dari bangun F, terdapat elemen invers π-1
adalah simetri bidang dari bangun F, yaitu simetri embalik arah simetri bidang π, di mana untuk setiap a, a’ F, π(a’)
uk setiap π dalam himpunan semua simetri bidang dari bangun F,
= i.
Definisi 2. 18
Grup yang terdiri dari semua simetri dari segi-n beraturan dengan operasi
komposisi disebut grup dihedral.
otasikan dengan Dn.
◦π = π.
Akan dibuktikan bahwa setiap elemen dalam himpunan semua simetri bidang dari bangun F mempunyai invers. Untuk setiap
bidang yang m = a ↔π-1
(a) = a’. Misalkan a, a’ F. Karena berlaku i(a) = a, dan jika π(a’) = a
maka π-1
(a) = a’, akibatnya i(a) = a = π(a’) = π(π-1
(a)) = (π◦ π-1
)(a) dan i(a’) = a’
= π-1
(a) = π-1
(π(a’)) = (π-1 ◦ π)(a). Jadi, π ◦ π-1
dan π-1 ◦ π merupakan simetri bidang identitas dari bangun F, sehingga berlaku π ◦ π-1
= π-1 ◦ π = i. Terbukti bahwa unt
terdapat elemen invers π-1
, sehingga π◦π-1
= π-1◦π
Jadi, terbukti bahwa himpunan semua simetri bidang dari bangun F dengan
operasi komposisi membentuk grup.
■
29
Contoh 2. 15
, , , , , , , ’ adalah grup dihedral yang terdiri dari semua imetri dari suatu bujursangkar atau persegi. (Keterangan: adalah rotasi 0°, adalah rotasi 90°, adalah rotasi 180°, adalah rotasi 270°, adalah pencerminan terhadap sumbu horisontal atau mendatar, adalah pencerminan terhadap sumbu vertikal atau tegak, adalah pencerminan terhadap diagonal tama, ’ adalah pencerminan terhadap diagonal yang lain.) Tabel operasi atau tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.
Tabel 2. 5 Tabel Op s u erasi untuk ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
Grup dihedral dapat dinyatakan dengan | 0, 1;
f adalah pencerminan terhadap garis vertikal untuk n ganjil dan pencerminan terhadap garis horisontal untuk n genap, dan g adalah rotasi terhadap posisi awal melalui sudut dengan arah berlawanan jalan jarum jam, untuk n > 2.
orema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor Definisi 2. 19
, | ngan .
d
Ha aH| untuk menotasikan
banyaknya elemen dalam himpunan aH, dan |Ha| untuk menotasikan banyaknya
m himpunan Ha.
Contoh 2. 16
Misalkan G = 3 dan H {(1), (13 }. Maka oset-koset kiri dari H di G ah (1) = {(1)(1), (1)(13)} = {(1), (13)} = {(13)(1), (13)(13)} = (13)H,
(12 = {(12)(1), (12)(13)} = {(12), (132) = {(132 (1), (132 (13)} = 32)H, (23) = {(23)(1), (23)(13)} = {(23), (123)} = {(123)(1), (123)(13)}= (123)H. Seda kan kos -koset anan dar H di G adalah
H )= {(1)(1), (13)(1)} = {(1), (13)} = {(1)(13), (13)(13)} = (13)H,
H(12)= {(1)(12), (13)(12)} = {(12), (123)} = {(1)(123), (13)(123)} = (123)H, 7. Koset, Te
Misalkan G adalah grup dan H adalah himpunan bagian dari G. Untuk sebarang
himpunan dinotasikan de aH Secara analogi,
| dan | . Jika H adalah subgrup dari G, maka
himpunan aH disebut koset kiri dari H di G yang memuat a, sedangkan Ha di-sebut koset kanan ari H di G yang memuat a. Dalam kasus ini, elemen a disebut
perwakilan koset dari aH (atau ). Kita menggunakan |
elemen dala S = ) k adal H )H } ) ) (1 H ng et k i (1
31
H 3)= {(1)(23), (13)(23)} = {(23), (132) = {(1)(1 ), (13) 32)}= (1 2)H.
Lemma 2. 1
Misalkan H adalah subgrup dari , dan m a dan b berada di G. Maka, . a aH,
2. aH
3. aH = bH atau aH bH = , = bH jik
,
7. aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a H.
ukti:
1. a = ae aH.
2. Untuk memeriksa sifat 2, pertama-tama andaikan bahwa aH = H. Maka
. Selanjutnya andaikan bahwa a H dan tunjukkan bahwa
tu enunjukka
a H dan h , dapat diketahui bahwa
, dengan sifat 2.
(2 } 32 (1 3
G isalkan
1
= H jika dan hanya jika a H,
4. aH a dan hanya jika a-1b H,
5. |aH| = |bH|,
6. aH = Ha jika dan hanya jika H = aHa-1
B
aH H dan H aH. Inklusi pertama diperoleh secara langsung dari
ketertu-pan H. Untuk m n bahwa H aH, misalkan h H. Maka, karena
H a-1h H. Sehingga
.
3. Untuk membuktikan sifat 3, andaikan bahwa aH bH ≠ dan buktikan
bahwa aH = bH. Misalkan x aH bH. Maka terdapat h1, h2 di H
sedemi-kian hingga x = ah1 dan x = bh2. Jadi, dan karena
4. Perhatikan bahwa aH = bH jika dan hanya jika a-1aH = a-1bH. Sehingga H =
di H adalah a-a bh1 = bh2. Jadi, f adalah fungsi
nisi 7. 1, ter-ka
n bahwa aH = Ha jika dan hanya jika (aH)a-1 = (Ha)a-1, yaitu jika
-1
adalah suatu subgrup, maka aH memuat identitas e. Sehingga, aH
aH = eH = H. Sehingga dari sifat 2, di-peroleh a H. Sebaliknya, jika a H, maka dengan sifat 2 lagi, aH = H. Ka-rena H adalah subgrup dari G, maka aH adalah juga subgrup dari G.
■
i G, maka |H| membagi |G|. Selain itu, banyaknya koset kiri (kanan) berbeda dari H di G adalah |G|/|H|.
Bukti:
Misalkan a H, a H, …, a H menyatakan koset kiri dari H di G yang saling beda. Maka, untuk setiap a di G, kita mempunyai aH = aiH untuk suatu i. Dengan sifat 1
a-1bH, maka a-1b H, dengan sifat 2.
5. Akan dibuktikan bahwa korespondensi ah → bh untuk semua h
fungsi satu-satu dan pada dari aH ke bH. Misalkan f : aH → bH. Pertam tama andaikan ah1 = ah2 aH dengan h1, h2 H. Karena G adalah grup, m ka dengan kanselasi berlaku h1 = h2. Sehingg
satu-satu. Lalu untuk sebarang y, andaikan y bH. Menurut Defi
dapat h H sehingga y = bh. Tetapi h H menentukan ah aH. Ma . Jadi, f adalah fungsi pada.
6. Perhatika
dan hanya jika aHa = H.
7. Jika aH
eH≠ dan dengan sifat 3, diperoleh
Teorema 2. 7 (Teorema Lagrange)
Jika G adalah grup berhingga dan H adalah subgrup dar
33
dari Lemma 7. 1, a aH. Sehingga setiap anggota dari G berada di salah satu dari koset aiH. Dengan simbol, G = a1H … arH. Sekarang, sifat 3 dari lemma me-nunjukkan bahwa gabungan ini adalah saling asing, sehingga |G| = |a1H| + |a2H| +
|H| untuk setiap
… + |arH|. Akhirnya, karena |aiH| = i, diperoleh |G| = r|H|.
■
ormal dari G
semua a di G. Kita menotasikan ini dengan H G.
Untuk sebarang pencerminan f dan
se-Andaikan G adalah grup Abel dan na G adalah grup
erlaku untuk setiap , maka H adalah subgrup
Definisi 2. 20
Suatu subgrup H dari grup G disebut subgrup n jika aH = Ha untuk
Contoh 2. 17
Subgrup rotasi di Dn adalah normal di Dn.
barang rotasi g, diketahui fg = g-1f, sedangkan untuk sebarang rotasi g dan g’, di-peroleh gg’ = g’g.
Teorema 2. 8
Jika G adalah grup Abel dan H adalah subgrup dari G, maka H adalah subgrup normal dari G.
Bukti:
H adalah subgrup dari G. Kare
Abel, maka . Akibatnya, |
| . Karena ini b
normal dari G.
Teorema 2. 9
Misalkan G adalah grup dan H suatu subgrup normal dari G. Himpunan G/H = {aH|a G} adalah grup terhadap operasi (aH)(bH) = abH.
/H
ke G/H adalah benar-benar fungsi. Untuk melakukan ini, andaikan bahwa aH =
a’H dan bH = b’H. Maka a’ = ah dan b’ = bh untuk suatu h , h di H, dan oleh
karena itu ’ ’ . Di sini
digunakan sifat 2 dari Lemma 7. 1 dan kenyataan bahwa H G. Selanjutnya, eH
