BAB III : JARINGAN KETINGGIAN
III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot
Bab IV : Penutup
IV.1 Kesimpulan IV.2 Saran
BAB II
LANDASAN TEORI II.1 Matriks Singular dan Tak singular
Definisi (2.1) : Suatu matriks A berorde n x n dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A.
Jika B dan C keduanya adalah invers perkalian dari A, maka : B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Jadi, satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian.
Definisi (2.2) : Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers perkalian.
Sebut invers perkalian dari suatu matriks taksingular A sebagai invers dari A dan ditulis sebagai .
Contoh :
Matriks-matriks
dan
adalah saling invers karena,
[
]
11
[
]
Teorema (2.1)
Suatu matriks A berorde n x n adalah singular jika dan hanya jika
Bukti (Leon, teorema 2.2.2, hal.90)
II.2 Ruang Vektor
Misalkan adalah himpunan tak kosong di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya bahwa untuk setiap pasangan elemen-elemen dan di dalam dapat diasosiasikan dengan elemen
yang tunggal yang juga berada di , dan dengan setiap elemen di dan setiap skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen yang tunggal di dalam . Himpunan bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi :
A.1. untuk setiap dan di
A.2. untuk setiap di
A.3. Terdapat elemen 0 di sehingga = untuk setiap di
A.4. Untuk setiap terdapat elemen – di sehingga -
12
A.6. = untuk setiap skalar dan dan setiap
A.7. untuk setiap skalar dan dan setiap
A.8. 1. = setiap
Elemen-elemen dari V disebut vektor. Istilah skalar biasanya adalah suatu bilangan real, meskipun dalam beberapa kasus adalah bilangan kompleks. Seringkali istilah
ruang vektor real digunakan untuk menyatakan bahwa himpunan skalar-skalar adalah himpunan bilangan-bilangan real. Simbol 0 telah digunakan dalam Aksioma 3 untuk membedakan vektor nol dan skalar 0.
Beberapa contoh Ruang vektor : 1. Ruang vektor Euclides
Himpunan semua pasangan terurut dengan entri-entri bilangan real:
|
2. Ruang vektor
Misalkan himpunan semua matriks dengan entri-entri bilangan real. Jika dan , maka jumlahan didefinisikan sebagai matriks yang berorde . Jika diberikan skalar , maka dapat didefinisikan sebagai matriks dimana entri ke- adalah .
3. Ruang vektor
Misalkan menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang didefinisikan dan kontinu pada interval tertutup . Dalam kasus ini himpunan
13
semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektornya adalah fungsi-fungsi di
. Jumlah dari dua fungsi di didefinisikan oleh
,
untuk semua di . Fungsi yang baru dari adalah elemen dari , karena jumlahan dari fungsi kontinu adalah kontinu. Jika adalah fungsi di
dan suatu bilangan real, maka didefinisikan oleh
,
untuk semua di . Jelas bahwa berada di dalam karena jika konstan dikalikan dengan fungsi kontinu selalu kontinu.
4. Ruang vektor
Misalkan adalah himpunan semua polinom dengan derajat . Untuk
dan didefinisikan dan oleh
dan
II.3 Ruang Bagian
Definisi (2.3) : Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor . Dan memenuhi syarat-syarat berikut :
14 2.
maka disebut ruang bagian (subspace) dari . Contoh :
Misalkan | . Maka adalah ruang bagian dari , karena jika , maka :
1. .
jika dan maka : 2.
II.4 Kebebasan Linear
Pada bagian ini, akan dibatasi pada ruang-ruang vektor yang dibentuk dari himpunan-himpunan berhingga. Setiap vektor dalam ruang vektor yang bersangkutan dapat dibentuk dari elemen-elemen dalam himpunan penghasil ini hanya dengan menggunakan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan penghasil ini biasanya disebut himpunan perentang. Lebih khususnya akan dicari himpunan perentang “minimal”. Kata minimal maksudnya adalah himpunan perentang tanpa elemen yang tidak diperlukan (artinya, semua elemen dalam himpunan tersebut diperlukan untuk merentang ruang vektor yang bersangkutan).
15
Untuk melihat bagaimana mencari himpunan perentang yang minimal perlu diperhatikan bagaimana vektor-vektor di dalam himpunan saling “bergantung” satu
sama lain.
vektor-vektor dalam ruang vektor disebut bebas linear (linearly independent) jika
mengakibatkan semua skalar harus sama dengan 0. Contoh :
Vektor-vektor dan
adalah bebas linear, karena jika
yaitu
maka satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah dan .
vektor-vektor , dalam ruang vektor disebut bergantung linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga
16
Contoh :
Diberikan. Vektor-vektor ( ) ( ) ( ) ( ) adalah bergantung linear karena apabila
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) maka diperoleh :
Dalam kasus ini = 1, , , , jadi
.
Teorema (2.2)
Misalkan adalah vektor dalam dan misalkan
17
untuk . Jika , maka vektor-vektor
adalah bergantung linear jika dan hanya jika adalah matriks singular.
Bukti (Leon, teorema 3.3.1, hal.122)
Teorema (2.2) dapat digunakan untuk menguji apakah vektor adalah bebas linear atau bergantung linear dalam . Langkah awalnya adalah bentuk suatu matriks yang elemen-elemennya adalah vektor-vektor yang akan diuji kebebasan linearnya, sebut matriks itu adalah matriks . Untuk menentukan apakah matriks singular atau tidak, hitunglah nilai dari det( . Jika det( = 0, maka vektor-vektornya bergantung linear. Jika det ( ≠ 0 maka vektor-vektornya bebas linear.
Contoh :
Tentukan apakah vektor-vektor dan bergantung linear atau bebas linear?
Penyelesaian :
Misalkan X = ( )
. Untuk menentukan apakah matriks singular atau tidak
singular adalah dengan mencari nilai determinannya
| | | | | |
18
.
Karena , maka menurut teorema (2.2), vektor-vektor tersebut adalah bergantung linear.
II.5 Basis dan Dimensi
Definisi (2.4) : Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor jika dan hanya jika :
i. bebas linear ii. merentang Contoh :
“Basis baku” untuk adalah { ( ) ( ) ( )}, akan tetapi
terdapat banyak basis untuk yang dapat dipilih untuk (basis dari ruang vektor tidak tunggal). Sebagai contoh
{( ) ( ) ( )} dan {( ) ( ) ( )}
kedua-duanya adalah basis untuk karena kedua-duanya memenuhi syarat basis yaitu merentang dan bebas linear.
19 Buktinya adalah :
Diberikan {( ) ( ) ( )}, maka :
1. Harus dibuktikan bahwa himpunan vektor-vektor di atas merentang
( ) ( ) ( ) Menghasilkan : maka, jadi, ( ) ( ) ( )
20 sehingga ketiga vektor tersebut merentang .
2. Harus dibuktikan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.
( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )
Jadi, . Maka, ketiga vektor di atas adalah bebas linear.
Terbukti bahwa himpunan vektor {( ) ( ) ( )} adalah merentang dan bebas linear. Maka himpunan vektor tersebut adalah basis untuk .
Teorema (2.3)
Jika adalah basis dari suatu ruang vektor , maka himpunan sebarang vektor di , dengan adalah bergantung linear.
Bukti (Leon, teorema 3.4.1, hal.129)
21
Jika dan kedua-duanya adalah basis untuk suatu ruang vektor , maka .
Bukti (Leon, akibat 3.4.2, hal. 130)
Definisi (2.5) : Misalkan adalah ruang vektor. Jika memiliki basis yang terdiri dari vektor, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi . Ruang bagian dari dikatakan memilik dimensi 0. dikatakan memiliki dimensi hingga jika terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang dan bebas linear; jika tidak demikian, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi tak hingga.
Contoh :
Ruang vektor memiliki basis . Karena terdapat vektor dalam basis tersebut, maka memiliki dimensi n.
Conotoh :
Teorema (2.4)
Jika adalah ruang vektor dengan dimensi
1. Sembarang himpunan n vektor bebas linear merentang
2. Sembarang himpunan vektor yang merentang adalah bebas linear.
22 Contoh :
Tunjukkan bahwa {( ) ( ) ( )} adalah basis untuk .
Karena dim , maka hanya perlu ditunjukkan bahwa ketiga vektor ini bebas linear.
Misalkan ( ), maka
| | | | | |
Karena ketiga vektor di atas bebas linear, maka menurut teorema (2.4) ketiga vektor di atas merentang . Jadi ketiga vektor di atas adalah basis untuk .
II.6 Ruang Baris dan Ruang Kolom
Jika adalah matriks berorde , maka setiap baris dari adalah tupel-n bilangan-bilangan real sehingga dapat dianggap sebagai vektor dalam . vektor
yang bersesuaian dengan baris-baris dari akan disebut sebagai vektor-vektor baris (row vector) dari . Dengan cara yang serupa, setiap kolom dari dapat dianggap sebagai vektor dan dapat diasosiasikan vektor kolom dengan matriks .
23
Definisi (2.6) : Jika adalah matriks berorde , maka ruang bagian dari
yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris (row space) dari dilambangkan dengan . Ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari disebut ruang kolom (column space) dari dilambangkan dengan .
Contoh :
Misalkan
Ruang baris dari adalah himpunan tiga tupel yang berbentuk
Ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
Jadi ruang baris dari adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang
kolom dari adalah .
Teorema (2.5)
Dua matriks A dan B yang ekivalen baris (B dapat dibetuk dari A dengan serangkaian operasi baris yang berhingga banyaknya, yaitu vektor-vektor baris dari B merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A) memiliki ruang baris yang sama.
24 Bukti (Leon, teorema 3.6.1, hal. 144)
II.7 Rank
Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris dari . Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara mereduksi matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya.
Contoh :
Misalkan
(
)
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
maka diperoleh matriks
25
Jelas bahwa dan membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena dan ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama dengan matriks sehinga rank dari adalah 2.
II.8 Ruang Nol (Kernel/ Nullspace)
Misalkan adalah matriks . Misalkan menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen , maka :
|
Akan ditunjukan bahwa adalah ruang bagian dari sebagai berikut : Jika dan suatu skalar, maka
sehingga . , maka :
Oleh karena itu, . Ini berarti bahwa ruang bagian dari . Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen membentuk ruang bagian dari . Ruang bagian disebut ruang nol (kernel atau nullspace) dari . Contoh :
26
Penyelesaian : Dengan menggunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan
, maka diperoleh :
| |
| |
Bentuk eselon baris tereduksi melibatkan dua variable bebas dan
jadi, jika didefinisikan = dan , maka
(
)
adalah penyelesaian dari . Ruang vektor terdiri dari semua vektor berbentuk
27
di mana dan adalah skalar.
II.9 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor adalah sebuah operasi pada yang memetakan setiap pasang vektor-vektor , dengan sebuah bilangan real
yang memenuhi syarat berikut :
i , dengan kesamaan jika dan hanya jika
ii untuk semua dan di dalam
iii untuk semua di dalam dan semua skalar dan
Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.
Sifat-sifat dasar ruang hasil kali dalam
Jika adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau norma dari diberikan oleh
‖ ‖ √
28 Teorema (2.6) (Hukum Pythagoras)
Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka :
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Bukti (Leon, teorema 5.3.1, hal. 203)
Teorema (2.7) (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka
| | ‖ ‖‖ ‖
Kesamaan berlaku jika dan hanya jika dan bergantung linear. Bukti (Leon, teorema 5.3.2, hal. 206)
II.10 Norma
Definisi (2.7) : Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linear bernorma (normed linear space) jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah bilangan real ‖ ‖ yang disebut norma dari yang memenuhi :
i ‖ ‖ dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika
ii ‖ ‖ | |‖ ‖ untuk setiap skalar .
29 Teorema (2.8)
Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka
‖ ‖ √ untuk semua
mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti (Leon, teorema 5.3.3, hal. 207)
Ada banyak norma yang dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor yang diberikan. Sebagai contoh di :
i. ‖ ‖ ∑ | |, untuk setiap =
ii. ‖ ‖ | |
iii. ‖ ‖ ∑ | | ⁄
Secara khusus, jika p = 2, maka :
‖ ‖ (∑| |
)
⁄
Bukti bahwa i, ii, iii adalah norma :
i. Misalkan ‖ ‖ | | | | | |
1. ‖ ‖ | | | | | | ‖ ‖
30
| | | | | |
| | dan | | dan dan | | dan dan dan 2. ‖ ‖ | | | | | | | || | | || | | || | | | | | | | | | | | ‖ ‖ 3. Misalkan ‖ ‖ | | | | | | ‖ ‖ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ‖ ‖ ‖ ‖
Jadi, terbutki bahwa (i) adalah norma.
ii. Misalkan ‖ ‖ | | | | | |
1. ‖ ‖ | | | | | |
Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖ ‖ ‖
| | | | | |
31
dan dan dan 2. ‖ ‖ | | | | | | | || | | || | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ‖ ‖ 3. Misalkan ‖ ‖ | | | | | | ‖ ‖ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ‖ ‖ ‖ ‖
Jadi terbukti bahwa (ii) adalah norma.
iii. Misalkan ‖ ‖ ∑ | | ⁄ √
1. ‖ ‖ √
√ ‖ ‖
32
√
dan dan dan dan dan dan 2. ‖ ‖ √ √ √ √ √ | |‖ ‖ 3. Misalkan ‖ ‖ ∑ | | ⁄ √ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Ketaksamaan Cauchy-Schwarz ‖ ‖ ‖ ‖ Diperoleh ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ . Jadi terbukti bahwa (iii) adalah norma.
33 Contoh :
Misalkan adalah vektor di . Hitung ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Penyelesaian :
‖ ‖ | | | | | |
‖ ‖ √ √ ‖ ‖ | | | | | |
II.11 Ortogonalitas
Definisi (2.8) : Dua ruang bagian dan dari dikatakan ortogonal jika
untuk setiap dan . Notasi yang digunakan jika dan ortogonal adalah
Definisi (2.9) : Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan dengan
. Jadi,
|
Himpunan disebut komplemen ortogonal dari . Teorema (2.9)
34 Bukti (Leon, teorema 5.2.1, hal.196).
II.12 Metode Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah sistem kelebihan persamaan linear. Sistem kelebihan persamaan linear melibatkan lebih banyak persamaan daripada peubah yang tidak diketahui. Sistem yang demikian biasanya tidak konsisten (sistem persamaan tidak dapat diselesaikan). Jadi, jika diberikan sebuah sistem yaitu dengan .
Misalkan adalah sebuah matriks dengan . Untuk setiap , definisikan
‖ ‖ √ √
Tinjau sistem persamaan . Untuk setiap dapat dibentuk sebuah vektor sisa (residual)
Jarak antara dan diberikan oleh
‖ ‖ ‖ ‖
Akan dicari sebuah vektor sehingga ‖ ‖ minimum. Meminimumkan
‖ ‖ adalah sama dengan meminimumkan ‖ ‖ . Alasannya adalah dalam fungsi kuadrat, untuk setiap dan tak negatif, jika maka . Sebuah
35
vektor yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem .
Jika ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem dan ̂, maka adalah sebuah vektor di dalam ruang kolom dari yang terdekat ke .
Teorema (2.10)
Misalkan adalah ruang bagian dari . Untuk setiap terdapat sebuah elemen tunggal dari yang terdekat ke , artinya:
‖ ‖ ‖ ‖
untuk semua di dalam . Lebih lanjut, vektor yang diberikan dalam akan paling dekat dengan vektor jika dan hanya jika .
Bukti (Leon, Teorema 5.4.1, hal. 212)
Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika ̂ adalah vektor di dalam yang terdekat ke . Vektor dikatakan sebagai proyeksi dari pada . Berdasarkan Teorema (2.10)
̂ ̂
harus merupakan sebuah elemen dari . Jadi ̂ adalah sebuah penyelesaian masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika
36
̂
Kunci penyelesaian dari masalah kuadrat terkecil diberikan oleh Teorema (2.9) yang menyatakan bahwa :
Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem jika dan hanya jika:
̂
atau, ekivalen dengan :
̂ ̂
Jadi, untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil , harus diselesaikan :
̂
Persamaan di atas menggambarkan sebuah persamaan linear . Persamaan di atas disebut sebagai persamaan normal (normal equation).
Teorema (2.11).
Jika adalah matriks yang memiliki rank , maka persamaan normal
37 mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
̂
dan ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
Bukti (Leon, Teorema 5.4.2, hal. 214).
II.13 Matriks Definit Positif
Suatu matriks A berorde dikatakan definit positif jika matriks tersebut simetris dan memenuhi
untuk setiap =
II.14 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika
A. Nilai Harapan Variabel Random
Definisi (2.10) : Nilai harapan suatu variabel random didefinisikan oleh
Jika variabel random kontinu dengan fungsi densitas
Jika variabel random diskret dengan fungsi probabilitas
B. Variansi Variabel Random
{ ∫ ∑
38
Definisi (2.11) : Variansi dari suatu variabel random dengan adalah nilai harapan dari . Yaitu
Contoh :
Dalam suatu keluarga, yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya anak yang terlahir, akan mengikuti ketentuan di bawah ini :
Banyaknya anak perempuan X
0 1 2
Probabilitas ¼ ½ ¼
Nilai harapan dan variansi dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan dihitung sebagai berikut :
∑ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
39
Definisi (2.12) : Diberikan dan adalah variabel random dengan distribusi probabilitas bersama . Kovariansi dari dan adalah
[ ]
dengan dan
II.15 Dasar-Dasar Teori Graf
A. Teori Graf
Definisi (2.13) : Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , yang dalam hal ini adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul, yaitu
dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul, yaitu , atau dapat ditulis dengan notasi . Bila sisi menghubungkan simpul dan maka dapat ditulis .
Contoh :
Gambar 2.1 menyatakan graf dengan:
40
Definisi (2.14) : Dua buah simpul pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya terhubung langsung oleh suatu sisi.
Untuk sebarang sisi , sisi dikatakan bersisian dengan titik dan titik . Contoh :
Pada gambar 2.1, simpul berhubungan dengan simpul , tetapi simpul tidak berhubungan dengan simpul .
Definisi (2.15) : Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan
dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang dimulai dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang berurutan saling bersisian.
Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang menghubungkan titik dan disebut lintasan .
Definisi (2.16) : Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila hanya bila untuk setiap simpul dan di , ada jalan dari titik ke titik .
Contoh :
41
Graf merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak terhubung.
B. Terminologi Graf
Berikut ini diberikan diberikan beberapa definisi dari jenis-jenis graf
Definisi (2.17) : Garis parallel adalah dua buah garis yang menghubungkan titik yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan titik ujungnya sama.
Contoh:
Gambar 2.3
Gambar 2.3 adalah contoh graf yang memuat garis parallel dan loop.
42
Definisi (2.18) : Graf lengkap adalah graf yang memiliki titik dan setiap titik dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap disebut juga graf trivial.
Contoh :
Gambar 2.4
Gambar 2.4 merupakan beberapa contoh graf lengkap. D. Graf Berarah
Definisi (2.19): Suatu graf berarah (Directed Graph) D terdiri atas dua himpunan : (1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul
(2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut sisi berarah.
Graf berarah dinotasikan dengan D(V,A).
Simpul anggota V, digambarkan sebagai titik. Sedangkan sisi a = (u,v), digambarkan sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v. simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal.
Contoh :
43
Gambar di atas adalah sebuah contoh dari graf berarah dengan : (1) V mengandung 4 simpul, yakni 1,2,3 dan 4
(2) A mengandung 4 sisi berarah yakni (1,4), (2,1),(4,2),(2,3),(4,3) dan (2,2) Definisi (2.18) : Apabila sisi berarah suatu graf berarah menyatakan suatu bobot, maka Graf Berarah tersebut dinamakan jaringan (network).
Contoh :
Gambar 2.6
BAB III
JARINGAN KETINGGIAN
III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil
Pertama diberikan sebuah contoh permasalahan di dalam geodesi yaitu masalah leveling, dalam hal ini adalah penentuan tinggi. Masalahnya adalah menentukan ketinggian dari n titik yang ditentukan x1, x2, ... , xn. Di dalam prakteknya yang seringkali diukur adalah beda ketinggian. Ketinggian dari titik i diukur dari titik j, dengan menggunakan prinsip beda ketinggian bij (mungkin tidak eksak) adalah:
Beda-beda ketinggian ini diukur untuk pasangan tertentu (i,j). Dari pengukuran bij dapat diperkirakan ketinggian yang sebenarnya.
Pertama, diasumsikan tidak ada galat dalam pengukuran. Maka diharapkan penyelesaian dapat diselesaikan secara eksak. Tapi, jika dilihat pada persamaan dengan n = 3 variabel dan m = 3 persamaan, akan ditemukan masalah yaitu :
}
Sistem persamaan linear ini bersifat singular. Matriks koefisien dari persamaan di atas adalah :
45
A = [ ]
Matriks A tidak dapat dibalik (tidak invertibel). Determinan dari A sama dengan nol :
det (A) = 0 | | | | | | = 0 (-1 – 0)+1(0-1)+1(1-0)
= 0.
Jika ketiga persamaan pada (3.2) tersebut dijumlahkan akan menghasilkan :
0 = (3.3) Sebuah sistem persamaan linear singular mempunyai dua kemungkinan, tidak ada penyelesaian atau ada banyak penyelesaian :
1. Tidak konsisten, artinya adalah tidak ada penyelesaian. Jumlahan dari
tidak sama dengan nol. (kasus 1)
2. Persamaan konsisten tapi penyelesaian x1,x2, x3 tidak tunggal. Ada tak hingga banyak penyelesaian ketika kekonsistenan pada (3.3) dipenuhi. (kasus 2) Bukti penyelesaian tidak tunggal adalah :
46 [ | ]R3:R3+R1[ | ]R3:R3+R2 [ | ] Jika x3 = , x1 = x2 + b12, x2 = x3 + b23
Maka x2 = 23, x1 = ( + b23) + b12 , x3 = , suatu skalar.
Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan berada pada kasus 1 : tidak ada penyelesaian. Untuk perhitungan yang eksak, harus berada pada kasus 2 : banyak penyelesaian. Penjelasannya adalah sebagai berikut:
Tidak dapat menentukan ketinggian yang sebenarnya semata-mata hanya dari perhitungan beda tinggi. Satu atau lebih dari tinggi xj harus ditetapkan. Titik tinggi
yang telah ditetapkan akan dihilangkan dari variabel.
Misalkan titik ketinggian yang diketahui adalah x3 = H. Persamaan menjadi :
}
Sekarang terdapat tiga persamaan dan hanya dengan dua variabel. Catat bahwa persamaan tersebut memiliki kekonsistenan yang sama dengan ( ) yakni 0 =
. Masih terdapat dua kemungkinan, tetapi persamaan ( ) berbeda dengan ( ) karena matriks koefisiennya berbeda:
47
1. Tidak ada penyelesaian (perhitungan tidak konsisten) 2. Hanya ada satu penyelesaian (jika kekonsistenan dipenuhi) Bukti bahwa hanya ada satu penyelesaian :
[ | ] R3:R3+R1[ | ]R3:R3-R2 [ | ] x1 = x2 + b12, x2 = b23+H, jika .
Kolom-kolom dari matriks koefisien dari sistem persamaan (3.4) adalah bebas linear jika: c1v1+c2v2 = 0 c1[ ] + c2 [ ]= [ ] [ ] R3:R3+R1 [ ] R3:R3+R2 [ ] maka, c1= c2 = 0.
48 Selanjutnya, dinotasikan :
Areduced =[ ]
Rank dari matriks Areduced adalah 2 (rank kolom penuh). Hanya terdapat dua kemungkinan yaitu tidak ada penyelesaian atau hanya ada satu penyelesesaian. Ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor 0.
Bukti bahwa rank dari matriks Areduced adalah 2 :
Areduced = [
]
Dengan mereduksikan matriks A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks U [ ] R3:R3+R1 [ ] R3:R3+R2 [ ] Misalkan, U = [ ]
Jelas bahwa (1,-1) dan (0,1) membentuk basis untuk ruang baris dari U. Karena U dan Areduced ekivalen baris, maka matriks U memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari matriks Areduced adalah 2.
49
Bukti ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor nol :
misalkan N(A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0. Jadi, [ ] R3:R3+R1 [ ] R3 :R3 +R2[ ]R1 :R1 +R2[ ] Dan diperoleh x1 = 0, x2 = 0 | Ulasan 3.1
Masalah ini mirip dengan permasalahan menghitung tegangan pada sebuah jaringan listrik. Kekonsistenan pada permasalahan jaringan listrik, yakni persamaan 0 = dijamin oleh hukum tegangan Kirchhoff (perbedaan tegangan
pada suatu jaringan listrik tertutup adalah nol). Tinggi yang telah ditetapkan pada ketinggian x3 = H sama seperti tegangan yang telah ditetapkan, yang memungkinkan tegangan lain ditemukan secara tunggal. Menetapkan x3 = 0 adalah kasus untuk tegangan yang bagian ujung dari jaringan diletakan di tanah. Selanjutnya dapat dikembangkan lebih lanjut analogi antara ketinggian pada jaringan ketinggian dan tegangan pada jaringan listrik (tidak akan dibahas dalam makalah ini)
Untuk perhitungan yang eksak, kekonsistenan akan dipenuhi. Dua dari persamaan dapat diselesaikan untuk x1 dan x2 dan persamaan yang ketiga akan secara
50
otomatis terselesaikan. Walaupun hal ini adalah kasus yang mudah, tapi dalam prakteknya hampir tidak pernah terjadi.
Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan ketiga persamaan pada (3.4) menjadi tidak konsisten. Persamaan-persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan, akan dicari sebuah penyelesaian terbaik, yang mana dapat membuat pengukuran dari galat seluruh sistem menjadi sekecil mungkin. Penyelesaian tersebut diharapkan menjadi penyelesaian terbaik untuk pengukuran galat. Salah satu metode yang memiliki penyelesaian terbaik untuk meminimalkan galat adalah kuadrat terkecil,