Lampiran - Pembuktian Kriteria

Kestabilan

1. Kriteria Kestabilan pada Formasi, [4]

Penurunan tekanan tubing di dasar sumur akan menyebabkan peningkatan aliran fluida reservoir dan aliran injeksi gas. Jika peningkatan aliran gas relatif lebih tinggi daripada aliran cairan, maka densitas fluida campuran di dalam tubing akan turun. Hal ini akan menurunkan ketinggian statis fluida dan menurunkan friksi aliran, yang akhirnya menyebabkan gangguan stabilitas. Sebaliknya jika densitas fluida campuran meningkat sebagai re-spon terhadap atas penurunan tekanan, maka ketinggian statis fluida dan friksi aliran akan meningkat dan sistem akan menjadi stabil oleh pengaruh umpan balik negatif. Jadi, parameter stabil-itas datang dari:

dρ_i dP_ti < 0

Densitas campuran yang masuk (inflow) dinyatakan sebagai jum-lah dari densitas fluida dan densitas injeksi gas:

ρ_i= ^{ρLqL+ ρgqg}

q_L+ qg

Perubahan densitas fluida campuran yang masuk (inflow) yang dihasilkan dari perubahan (gangguan) dari laju alir inflow dapat dinyatakan secara matematis dengan turunan persamaan densi-tas:

q_t= qL+ qg

∆ρ

q_g,q_L ∆qt

Jika∆ -nya sangat kecil, maka dapat dinyatakan:

dρ^q_g+ qL  d^q_g+ qL  = ^d ρ_LqL+ρgqg qL+qg  d^q_g+ qL  dρ_i= ^{ρgdqg+ ρLdqL}   q_L+ qg  −ρ_gq_g+ ρLq_L^{ }dq_L+ dqg   q_L+ qg 2 dρ_i= ^ρL−ρg  q_L+ qg 2  q_gdq_L− q_Ldq_g^

Dari persamaan diatas, terlihat bahwa parameter stabilitas da-pat dipostulatkan secara leng-kap untuk: Dengan mengabaikan aliran transien, aliran fluida reservoir dapat diasumsikan

propor-sional terhadap perbedaan tekanan antara reservoir dan bawah sumur:

q_L = BfJ^P_r− P_{w f}^

dq_L

dP_ti = −BfJ

Aliran injeksi gas dapat dijabarkan dengan persamaan orifice un-tuk aliran dengan temperatur konstan:

q_g = EAi

" 2ZRT

M ^{ln (Pt}/P_c)

#0.5

Asumsi bahwa temperatur aliran gas yang melewati port adalah konstan menyatakan secara tidak langsung suatu pendekatan, karena gas mungkin menjalani ekspansi pendinginan. Karena perbedaan tekanan diantara katup relatif kecil jika dibandingkan dengan tekanan total (tekanan injeksi), maka kesalahan ini dapat diabaikan. Perubahan laju aliran injeksi gas yang disebabkan

perubahan tekanan tubing dapat dinyatakan secara matematis Maka,

dq_g

dP_ti = −^(EAi)²

ρ_gq_g

Di sini, volume annulus casing-tubing cukup besar untuk mence-gah penurunan tekanan yang signifikan. Menurunkan tekanan annulus casing-tubing akan ada efek stabilisasi ekstra, yang di-anggap terpisah di pembuktian kriteria kestabilan formasi Den-gan penurunan persamaan di atas, parameter stabilitas untuk per-forma aliran inflow dinyatakan sebagai:

F₁ = ^ρgq 2 g q_L B_fJ (EA_i)² > 1

2. Kriteria Kestabilan pada Titik Injeksi, [4]

Dengan menganggap bahwa sistem tidak stabil dengan parame-ter seperti yang diturunkan pada kriparame-teria kestabilan pada formasi, lalu penurunan tekanan tubing akan mengakibatkan peningkatan aliran injeksi gas ke dalam tubing. Namun hal ini akan

men-gakibatkan terjadinya penurunan tekanan di annulus. Jika penu-runan tekanan annulus lebih cepat dibandingkan dengan tekanan tubing, maka aliran gas akan segera menstabilkan aliran*

dq_g dt < 0

Dengan menggunakan persamaan orrifice, kebutuhan untuk menu-runkan laju aliran adalah dengan penurunan rasio tekanan antara tekanan annulus dengan tekanan tubing. Jadi aliran injeksi gas akan menurun ketika:

F₂ = 1 Pci 1 Pti −∂P_ci ∂t −∂P_ti ∂t > 1 F₂ = ^Pti P_ci −∂P_ci ∂t −∂P_ti ∂t > 1

Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum:

∂P_ci

∂t =^δ(wci− w_ti)^ZciRTci V_cM

Aliran gas ke dalam annulus (volume gas) diasumsikan kon-stan. Laju alir masa dikonversikan menjadi laju alir volume pada tekanan tubing untuk berhubungan dengan sistem param-eter yang digunakan di sini: Dengan mengabaikan percepatan, tekanan tubing dapat dideskripsikan dengan persamaan

keseim-bangan momentum umum:

P_ti = Pw f + ρgDi+ ∆Pf

Dengan∆Pf menyatakan kehilangan tekanan akibat adanya gaya gesekan fluida dengan pipa.

Dengan menganggap bahwa hanya ada perubahan kecil dalam perbandingan gas - cairan input, akan terjadi aliran yang kon-tinyu tanpa pengurangan faktor gesekan. Respon tekanan ter-hadap perubahan seperti ini didapatkan dengan menurunkan per-samaan aliran di atas. Dengan asumsi bahwa tekanan kepala sumur konstan dan tidak ada pengurangan faktor gesekan dalam gelombang kontinyu dalam tubing, respon tekanan ditentukan dengan persamaan:

∆Pt

∆t ^{= gDi}

∂ρ ∂t

dengan ρ menyatakan densitas campuran.

Untuk menjumlahkan perubahan variasi pada densitas rata-rata

di dalam tubing, digunakan persamaan kontinuitas. Dengan mengabaikan percepatan, persamaan kontinuitas dinyatakan sebagai:

∂ρ ∂t +^v

∂ρ

∂x =⁰

berta-hap dari densitas fluida input. Sebelum aliran secara kontinyu mencapai kepala sumur, densitas fluida outflow tidak akan berubah seperti sebelumnya. Variasi densitas rata-rata fluida di dalam tubing dapat diturunkan dari persamaan kontinuitas seperti di atas:

∂ρ ∂t =

q_L+ qg A_t ∆ρ

Dengan A_t menyatakan luas tubing. Dengan mensubstitusikan persamaan ∆Pt

∆t = gDi∂ρ ∂t ^{pada persamaan} ∂ρ ∂t = ^qL+qg At ∆ρi, ρ_i = ^ρLq_L+ρgq_g qL+qg dan persamaan F₁ = −∆qL −∆qg q_g qL > 1.

Maka respon tekanan pada tubing yang disebabkan oleh peruba-han aliran injeksi gas yang masuk dapat dinyatakan dengan per-samaan:

Parameter stabilitas karena pengaruh penurunan tekanan dalam annulus dapat dinyatakan dengan menggabungkan persamaan:

Parameter C adalah faktor volume gas antara annulus dan tubing. Untuk semua kasus-kasus yang dapat diduga, nilai ini mendekati satu.

3. Kriteria Kestabilan pada Choke Injeksi di Permukaan

Kriteria ini merupakan perluasan untuk mengakomodasi flow regimes di permukaan (choke injeksi) dan valve gas lift. Hubungan antara variasi tekanan tubing terhadap laju alir dari reservoir diberikan oleh:

P_t = ^qL B_fJ

Untuk menurunkan hubungan antara laju alir gas injeksi melalui gas lift valve dan tekanan tubing, maka akan diturunkan model

yang berhubungan dengan gas-lift valve response dan choke re-sponse untuk variasi tekanan tubing dan casing.

Persamaan aliran adiabatik (tidak keluar panas) untuk valve adalah:

m₀= ^√2^C_DA_pY^ r M zRT p P_c0(P_c0− P_t0)

Asumsi yang digunakan: tekanan konstan dapat ditentukan dari distribusi gas sejak dari choke injeksi, dan pendekatan linear yang dipenuhi untuk choke injeksi permukaan:

m_ch1(t) m₀ = Kc

ch

P_c1(t) P_c0

Dan laju alir gas injeksi yang melalui gas-lift valve m_v1(t) m₀ = Kc v P_c1(t) P_co + Kt v P_t1(t) P_to

Koefisien K menggambarkan variasi relatif dalam aliran massa melalui choke dan gas lift valve disebabkan karena variasi pada tekanan tubing dan casing. Pendekatan ini beralasan untuk flow regime pada choke dan valve. Nilai K_ch^c yang digunakan pada thesis ini selalu negatif karena aliran gas melalui choke menu-run seiring dengan peningkatan tekanan casing. Sedangkan nilai K_v^c akan selalu positive karena aliran yang melalui gas lift valve meningkat seiring dengan meningkatnya tekanan casing.

Den-gan kata lain, K_v^t mungkin positive atau negative, bergantung terhadap karakteristik dan flow regime pada valve.

Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum:

∂P_ci

∂t =^δ(wci− w_ti)^zciRTci V_cM

Persamaan mass-balance diturunkan dari perubahan tekanan gas di annulus. Dengan mendifinisikan m = δ. Hukum kekekalan

massa pada casing diberikan oleh persamaan:

vari-asi jumlah cairan dan gas, di hilangkan pengaruh efek percepatan dan efek gesekan dan diasumsikan bahwa tubingnya adalah ver-tikal. Maka hanya gaya gravitasi saja yang berpengaruh:

P_t1(t)=^{Z t} 0 " δ_ρM(t)g^qL+ qg A_t # dt

Dimana δ_ρM adalah variasi dari densitas campuran pada titik injeksi saat steady state. Variasi ini disebabkan karena variasi yang telah diprediksi, variasi dari gas injeksi yang melalui gas lift valve atau aliran perturbasi yang tak terprediksi.

Untuk analisa kestabilan.Transformasi persamaan-persamaan di-atas dari persamaan time space ke persamaan state space. Akan

diperoleh:

Agar mempunyai solusi maka matriks 3 × 3 tersebut harus memi-liki invers. Punya invers artinya determinannya tidak sama den-gan 0. Artinya tidak ada nilai-nilai singularnya. Nilai singu-lar disini bergantung pada s. Maka akan dicari nilai-nilai yang menyebabkan singularitas. Yaitu dicari determinan dari matriks 3 × 3 yang nilainya 0. Dan diperoleh:

Kondisi untuk sistem akan stabil jika akar2 persamaan dari per-samaan diatas negatif. Hal ini merupakan syarat dari theorema

Routh-Hurwitz. Dalam kasus ini, untuk menjamin kestabilan

dari sistem maka,

        B_fJq_g+ qg K_v^t P_t0^qL ! +  q_L+ qg  A_t gρ_f −ρ_g a         > 0 Dan, " B_fJq_g+ qg K_v^t P_t0^qL ! + qg K_v^c P_c0^bqL # > 0 Jika persamaan  B_fJq_g+ qg^K t v P_t0q_L  +^(qL+qg)A_t g(ρ_f−ρ_g)^a  > 0 dibagi den-gan ^Pt0 aq_gq_L, diperoleh:

Maka, persamaan umum dari kriteria adalah:

Kasus khusus K_v^t tak negatif

Jika K_v^t positive atau nol, maka kedua persamaan diatas akan selalu terpenuhi. Hal ini terjadi, jika choke beroperasi untuk

aliran kritis. Dalam kedua situasi ini, penurunan tekanan tubing tidak menyebabkan peningkatan rate gas yang melalui valve.

Kasus khusus K_v^t negatif

K_v^t dimungkinkan untuk negative. Saat keadaan ini choke berop-erasi pada aliran subcritic. Untuk kasus ini, aliran yang melalui valve meningkat seiring dengan penurunan tekanan tubing. Den-gan menggunakan persamaan adiabatic untuk valve, diperoleh:

m₀= ^√2^C_DA_pY^ r M zRT p P_c0(P_c0− P_t0)

Untuk aliran stady state m_v1(t)

m₀ = ¹

2

P_c0(P_c1(t) − P_t1(t)) P_c1(t) (P_c0− P_t0) P_c0(P_c0− P_t0)

Untuk variasi aproksimasi dari mass flow rate dengan variasi tekanan tubing dan casing.

Konstan gas yang melalui choke injeksi permukaan dapat ter-jadi untuk aliran yang konstan, atau jika operator choke injeksi dibawah aliran kritis. Untuk kasus ini, aliran yang melalui choke adalah saling bebas dari tekanan dan sebaliknya.