[1] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 2a, Petroleum Publishing Company, Tulsa, 1982.

Daftar Pustaka

[1] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 2a, Petroleum Publishing Company, Tulsa, 1982.

[2] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 4, Petroleum Publishing Company, Tulsa, 1982.

[3] Nishikori, N., Redrer, R.A., Doty, D.R., Schmidt, Z., An Improved Method for

Gas Lift Allocation Optimization, SPE Paper 19711, 1989.

[4] Asheim, Heralds., Criteria for Gas-Lift Stability, SPE Paper 016468, 1987. [5] Alhanati, F.J.S., Schmidt, Z. and Doty, D.R., Continous Gas Lift Instability:

Diagnosis, Criteria, and Solutions, SPE Paper 26554, 1993.

[6] Deni S., Edy S., Kuntjoro A.S., Agus Y.G., Septoratno S., Pudjo S., An

Inves-tigation on Gas Lift Performance Curve in an Oil Producing Well, International

Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 81519, volume 2007. [7] Gisle O.E et.al, Stabilization of Gas Lifted Wells, IFAC, 2002.

[8] E. Pablano., R. Camacho., Y.V.Fairuzov., Stability Analysis of Continous-Flow

Gas Lift Wells, SPE Paper 77732, 2005.

[9] Gisle O.E., Ole M.A., Bjarne A.F., Stabilization of Gas-Distribution Instability

in Single-Point Dual Gas Lift Wells, SPE Paper 97731, 2006.

[10] Gen, M. dan R. Cheng, 1997, Genetic Algorithms and Engineering Design, New York: John Wiley and Sons.

[11] Goldberg, D.E., 1989, Genetic Algorithms in Search, Optimization and

Ma-chine Learning, Canada: Addison-Wesley.

[12] Beggs, H.D., 1985, Gas Production Operations, Tulsa: OGCI Publications [13] McCain, W.D., 1990, The Properties of Petroleum Fluids 2nd Edition, Tulsa:

PennWell Publishing co.

Lampiran - Daftar Simbol

Input atau data masukan bagi persamaan kehilangan tekanan dengan menggunakan

korelasi Hagedorn and Brown adalah:

a. d : Diameter pipa produksi (tubing), in

b. P : Tekanan sepanjang pipa produksi, psia

c. T : Suhu sepanjang pipa produksi, F

d. γg: Berat jenis spesifik gas (gas specific gravity)

e. γw: Berat jenis spesifik air (water specific gravity)

f. WC : Perbandingan air terhadap cairan.

g. GLRf : Perbandingan gas dan cairan dalam reservoir,S CF/S T B

h. gc: factor konversi gaya gravitasi, lbm f t_s2_{lb f}

i. L : Kedalaman tubing sumur, f t

j. Li: Kedalaman injeksi, f t

k. Pr: Tekanan reservoir, psia

l. Pwh: Tekanan kepala sumur, psia

m. J : Productivity Index, blpd/psia

n. qg: Jumlah injeksi gas, sc f d

Lampiran - Prosedur Perhitungan

Prosedur Perhitungan Kehilangan Tekanan

1. Menghitung besar laju alir cairan, q_L_daystb

qL= qo(1+ WOR)

dengan WOR= _1−WCWC

2. Menghitung suhu pada tiap segmen

T = T_wh+ h · gradT

dengan (Tr−Twh)

L

3. Menghitung total perbandingan gas dan cairan

GLR_t= GLR_f +qg

q_L

4. Menghitung faktor pemampatan gas, gas compressibility factor,

Z Perhitungan Z faktor menggunakan korelasi Standing Katz, berdasarkan rujukan [11]: z= 1+A₁+ A₂/T_pr+ A₃/T_pr3 + A₄/T4_pr+ A₅/T_pr5  ρ_pr+A₆+ A₇/T_pr+ A₈/T2_pr ρ2 pr− A9  A₇/T_pr+ A₈/T_pr2  ρ5_pr+A₁₀1+ A₁₁ρ2_pr ρ2_pr/T3_pre−A11ρ2pr dimana ρ_{pr = 0.27}h P_pr/ZT_pri Dengan konstanta: A₁ = 0.3265, A₂ = −1.0700, A₃ = −0.5339, A₄= 0.01569, A₅= −0.05165, A₆ = 0.5475, A₇ = −0.7361, A₈ = 0.1844, A₉ = 0.1056, A₁₀ = 0.6134, A₁₁ = 0.7210. 5. Mencari total massa gabungan

m= γ_o(350) 1 1+ WOR ! +γw(350)  WOR 1+ WOR  +0.0764(GLRt)γg

6. Menghitung besar laju alir massa atau mass flow rate

w = q_Lm.

7. Menghitung jumlah gas terlarut dalam minyak, Rs, Dengan meru-juk pada [11] maka nilai R_s diperoleh dengan menggunakan per-samaan: Rs = γg API0.989 (T − 460)0.172 ! Pb !1.2255

8. Menghitung nilai faktor volume formasi, B_o dengan menggu-nakan persamaan: B_o = 0.9759 + 0.000120        Rs γg γo !0 .5 + 1.25(T − 460)        1.2

9. Menghitung besar kerapatan fasa cairan

ρL= γo62.4+ R_sγ_g0.0764 5.614 ! B_o ! 1 1+ WOR ! +γw62.4  WOR 1+ WOR 

10. Menghitung besar kerapatan fasa gas

ρg = γg0.0764  P 14.7  520 T ! 1 Z !

11. Menghitung besar kekentalan gas

µ_{g = Ae}  B  rhog 62.37 C10−4 dimana: A=(9.379+0.01607γg29)T1.5 (209.2+19.26γg29+T) , B= 3.448+986.4/T +0.01009γg29, dan C = 2.447 − 0.224B

12. Berdasarkan rujukan [11], besar kekentalan minyak dihitung melalui: a. Korelasi Beal dihitung berdasarkan dead oil viscosity

µ_{od =} 0.32+1.8 × 10 7 API4.53 ! 360 (T + 460) − 260 !a

dengan a= 10



0.43+8.33_API

dimana µ_od: kekentalan minyak mati diukur pada tekanan 14.7 psia dan suhu reservoir.

b. Korelasi chew-connally untuk menghitung besar saturated crude oil viscosity

µ_{ob = 10}a_(µ od)b dengan: a= Rs  2.2 × 10−7Rs− 7.4 × 10−4  , b= 0.68₁₀c +0.25₁₀d +0.062₁₀e , c= 8.6210−5R_s, d= 1.110−3R_s, e= 3.7410−3R_s Dimana µ_ob: kekentalan minyak pada tekanan bubble point. c. Korelasi Beal untuk menghitung besar undersaturated oil vis-cosity

µo = µob+ 0.001(P − Pb)



0.024µ1.6_ob + 0.0380.56_0b  dimana P_b: tekanan bubble point.

13. Menghitung besar kekentalan air.

µw = e



1.003−1.479×10−2×(T −460)+1.982×10−5×(T −460)2

14. Menghitung besar kekentalan campuran cairan.

µL = µo 1 1+ WOR ! + µw  WOR 1+ WOR 

15. Menghitung besar tegangan permukaan minyak.

σo = C × σt

dimana, C = 1.0 − 0.024 × P0.45 dan σt yang bergantung pada suhu.

16. Menghitung besar tegangan permukaan air, berdasarkan kondisi tekanan dan suhu. (Lihat pada lampiran listing program).

17. Menghitung besar tegangan permukaan campuran

σL = σo× 1 1+ WOR ! + σw×  WOR 1+ WOR 

18. Menghitung nilai bilangan viskositas cairan

N_L= 0.15726 × µ_L×         1 ρLσ3_L          1/4

19. Menghitung besar nilai CN_L

CN_L= −0.0633 × N2_L+ 0.0487 × N_L+ 0.0019

20. Menghitung luas lingkaran tubing

A_p = πd

2

21. Menghitung besar faktor volume formasi air. Berdasarkan [11], korelasi yang digunakan:

B_w= B_wp×1+ X × Y × 10(−4) dimana C1= 0.9911 + 6.35 × 10(−5)× (T − 460)+ 8.5 × 10(−7)× ((T − 460)2), C2 = 1.093 × 10(−6)− 3.497 × 10(−9)× (T − 460)+ 4.57×10(−12)× ((T −460)2), C3= −5×10(−11)+6.429×10(−13)× (T − 460) − 1.43 × 10(−15)× ((T − 460)2), B_wp = C1 + C2 × P + C3 × P2, X = 5.1×10(−8)× P+(T −520)×(5.47×10(−6)− 1.95 × 10(−10)× P)+ (T − 520)(2)× (−3.23 × 10(−8)+ 8.5 × 10(−13)× P), Y= (−137.000075+312.3555356×(−0.2069672177+0.00640296× ρw)(0.5))/1000000.

22. Menghitung besar superficial liquid velocity

v_sL= 5.61qL 86400A_p Bo 1 1+ WOR ! + Bw  WOR 1+ WOR !

23. Menghitung nilai bilangan kecepatan cairan

N_Lv = 1.938v_sL ρL

σ_L !1/4

24. Menentukan besar superficial gas velocity v_sg = q_LGLR_t− R_s_1+WOR1  86400A_p 14.7 P (T + 460)Z 520 25. Menghitung nilai bilangan kecepatan gas

N_Gv = 1.938v_sG ρL

σ_L !0.25

26. Menguji daerah aliran (flow regime) untuk menentukan apakah prosedur perhitungan tetap dilanjutkan dengan korelasi

Hage-dorn and Brown atau dengan menggunakan korelasi griffith and wallis untuk aliran bubble. Prosedur pengujiannya adalah

sebagai berikut: a. Menentukan bilangan A A= 1.071 −  0.2218v_sL+ v_sg2  d

Jika A ≥ 0.13 maka nilai A yang telah dihitung berdasarkan for-mulasi diatas digunakan, akan tetapi jika nilai A < 0.13, maka nilai A yang digunakan adalah A= 0.13.

b. Menghitung nilai bilangan B

B= vsg v_sL+ v_sg

Jika B− A ≥ 0 maka proses perhitungan dilanjutkan dengan meng-gunakan korelasi Hagedorn and Brown. Sedangkan jika B − A < 0 maka proses perhitungan dilanjutkan dengan menggunakan korelasi Griffith and wallis yang akan dijelaskan pada lampiran berikut.

27. Menghitung nilai bilangan diameter pipa

N_d = 120.872d

rρ

L

σ_L

28. Menghitung nilai fungsi korelasi holdup

Φ =        NLv N_Gv0.575         _P 14.7 0.10 CN L N_d ! 29. Menentukan besar HL φ Nilai HL

φ ditentukan oleh persamaan regresi sebagai berikut:

a. Jika φ < 10−5 maka HL φ =−5 × 108φ2+ 16,915φ + 0.0121 b. Jika 10−5≤φ < 2 × 10−5 maka H_L φ =−3 × 108φ2+ 13,805φ + 0.0267

c. Jika 2 × 10−5≤φ < 10−3 maka H_L φ =−2 × 1012φ4+ 4 × 109φ3− 4 × 106φ2+ 1,978.6φ + 0.1459 d.Jika 10−3≤φ < 6 × 10−3maka H_L φ =−2 × 109φ4+ 3 × 107φ3− 151, 133φ2+ 419.32φ + 0.4996

30. Menentukan nilai parameter koreksi bagi kedua korelasi

φ∗₌        NGvN_L0.380 N_d2.14        31. Menentukan besar ψ

Nilai ψ ditentukan oleh persamaan regresi berikut: a. Jika φ∗ < 0.02 maka ψ = 728.37 φ∗
2 − 11.014φ∗+ 1.0228 b. Jika 0.02 ≤ φ∗< 0.03 maka ψ = 936.57 φ∗
2_{− 13.756φ}∗+ 0.987 c. Jika 0.03 ≤ φ∗< 0.04 maka ψ = −726.52 φ∗
2+ 69.62φ∗+ 0.0214

d.Jika 0.04 ≤ φ∗< 0.05 maka ψ = −422.06 φ∗
2+ 46.678φ∗+ 0.4096 e.Jika 0.05 ≤ φ∗< 0.06 maka ψ = 5.4447 φ∗
+ 1.4219 f.Jika φ∗≥ 0.06 maka ψ = 3.4651 φ∗
+ 1.5403

32. Menghitung nilai holdup cairan

H_L = HL

ψ !

ψ

33. Menentukan nilai bilangan Reynolds untuk dua fasa

NR_e= 2.2 × 10 −2_w dµHL L  µ 1−HL g 

34. Menentukan faktor gesekan

Berdasarkan rujukan [11], faktor gesekan ditentukan berdasarkan: a.Jika NRe< 2000 maka

b.Jika 2000 ≤ NR_e < 4000 maka f = 0.5/NR0.3_e c.Jika NRe≥ 4000 maka f = 1.14 − 2 log e d+ 21.25 NR0.9_e !!−2 35. Menetukan nilai λ λ = vsL v_sL+ v_sg

36. Menghitung besar kerapatan campuran fluida dua fasa Jika H_L≥λ

ρ_{m= ρL}H_L+ ρ_g(1 − HL) Sedangkan jika H_L < λ

ρm = ρLλ + ρg(1 − λ) 37. Menentukan kecepatan campuran dua fasa

v_m= v_sL+ v_sg

Untuk aliran bubble digunakan prosedur perhitungan penurunan tekanan yaitu:

1. Menentukan laju alir air

q_w = q_oWOR

2. Menentukan laju alir cairan

q_L = 6.49 × 10−5(qoBo+ qwBw)

3. Menentukan laju alir gas

3.27 × 10−7Zq_L(GLRt− Rs) (T+ 460) P

4. Menghitung laju alir massa dari cairan

w_L = 4.05 × 10−3q_oγ_o+ q_wγ_w+ 8.85 × 107q_Lγ_gR_s 5. Menghitung laju alir massa gas

6. Menghitung besar kerapatan cairan

ρL = w_L

q_L 7. Menghitung besar kerapatan gas

ρg = w_g

q_g 8. Pilih nilai v_s = 0.8

9. Menghitung besar gas holdup

H_g = 0.5          1+ qt vsAp ! − s 1+ qt vsAp !!2 − 4qg vsAp         

10. Menghitung besar kerapatan total

ρ =

1 − Hg ρL+ Hgρg

11. Menghitung besar kerapatan cairan

vL = qL/  Ap  1 − Hg 

12. Menghitung besar bilangan Reynold

NR_e = 1488dρ_L vL

µ_L !

13. Menentukan besar faktor gesekan. Faktor gesekan ditentukan seperti dalam prosedur sebelumnya.

14. Menentukan nilai perbedaan tekanan berdasarkan gaya gravitasi

PGF = f ρLv

2

L 2g_cd

15. Menentukan besar gradien tekanan dengan menggunakan per-samaan dP dh = 1 144 !             ρ + PGF 1−((wL+wg)qg) 4637A2 pρ            

Prosedur Perhitungan Kriteria Kestabilan

Berikut adalah prosedur perhitungan kriteria kestabilan untuk for-masi, titik injeksi dan choke injeksi dipermukaan, [4]dan[5].

1. Menghitung luas permukaan tubing injeksi, f t2 A_ti = Π

4

ID2_tubing 144 2. Menghitung volume tubing injeksi, m3

3. Menghitung volume casing

Vc = 0.02831685 × Π ×



ID2_casing− OD2_tubingL_i 4 ∗ 144

4. Menghitung Z faktor, seperti pada perhitungan sebelumnya. 5. Menghitung nilai faktor volume formasi gas

B_g = 0.028269 ×Zti(Tti) Pti

6. Menghitung nilai faktor volume formasi air dengan perhitungan sebelumnya.

7. Menghitung besar kerapatan air

ρw=

350γ_g 5.615. ∗ B_w 8. Menghitung faktor volume formasi gas, R_s

R_s = γ_g  P 18.2+ 1.4  100.0125API−0.00091T 1.2048

9. Menghitung oil formation volume factor, B_o. Berdasarkan ru-jukan [11], Bo dihitung berdasarkan korelasi standing.

Bo= 0.9759 + 0.00012       Rs γg γo !0.5 + 1.25T        1.2

10. Menghitung nilai kerapatan minyak

ρo =

350γ_o+ 0.0764γ_g

5.615B_o 11. Menghitung laju cairan pada titik injeksi

Q∗_L

ti =

Q_Lti0.1589873 86400

12. Menghitung nilai kerapatan cairan pada titik injeksi

ρL = ρo 1

1+ WOR+ ρw

WOR

1+ WOR

13. Menghitung nilai kerapatan gas pada titik injeksi

ρgti =

0.0764γ_gP_ti520 14.7 (T_ti) Zti

14. Menghitung fungsi korelasi holdup, H_L. (Lihat prosedur perhi-tungan pada lampiran sebelumnya).

15. Menghitung kerapatam fluida

ρ_{f i = 16.01846(ρL}H_L)+ρ_gti(1 − HL)



16. Menghitung nilai Z faktor dari gas injeksi. (seperti dalam lam-piran sebelumnya).

17. Menghitung gas injeksi factor volume formation B_ggi

B_ggi = (0.028269)Zgiti(Tti− 1.5) P_ti+ 50 18. Menghitung kerapatan gas injeksi

ρggi =

0.0764γ_g× P_ti× 520 × 0.4535924

14.7 × T_tiZ_giti× 0.02831685

19. Menghitung kerapatan gas injeksi pada kondisi standard

ρgsc = ρggiBggi

20. Konversi laju alir cairan dalam m3/s qL= qLti× 0.1589873 86400 ! +  qosc+ WC×q_osc 1−WC  0.07 (GOR − Rs) Bg0.02831685  86400 21. Konversi laju alir gas injeksi dalam m3/s

qgi=

qgsc× 1000 × 0.02831685

86400

!

Bggi

22. Konversi nilai PI dalam m3/s • Pa

PI = J 0.1589873 86400 × 6894.757

23. Menghitung luas diameter valve (port) injeksi

A_i = d

2

portΠ 4 × 1550.003 24. Menghitung nilai kestabilan F₁

F₁ =

ρ_gscB_ggiQ2_gscΠ q_Lsc(EAi)2

25. Menghitung D₁ berdasarkan persamaan (2.22) 26. Menghitung D₂ berdasarkan persamaan (2.23) 27. Menghitung D₃ berdasarkan persamaan (2.24) 28. Menghitung D₄ berdasarkan persamaan (2.25)

Metode Shooting

Metode shooting merupakan salah satu metode numerik yang digu-nakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai batas. Permasala-han alokasi gas injeksi pada sumur dual gas lift metode Shooting digunakan untuk menyelesaikan persamaan differential (2.11), yang merepresentasikan aliran fluida di reservoir dan di dalam tubing. Metode ini digunakan sebab pada persamaan (2.11) terdapat dua variabel yang terkait, yaitu variabel jumlah liquid dan variabel laju gas injeksi. Dalam

hal ini, nilai laju gas injeksi akan diberikan terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai laju liquid atau cairannya.

Berikut langkah-langkah metode Runge Kutta dan metode shooting untuk mendapatkan nilai produksi cairan (q_L):

1. Pilih suatu nilai laju injeksi gas q_g

2. Berikan tebakan awal bagi laju produksi cairan q_L

3. Mencari solusi persamaan (2.11) dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4, dengan nilai awal, P (0)= P_wh.

4. Diperoleh solusi tekanan dasar sumur, P∗_{w f}.

5. Penentuan besar laju produksi cairan q_L, untuk suatu nilai laju gas injeksi q_g akan dilakukan melalui metode Shooting. Dalam metode ini, dilakukan pengujian terhadap nilai tebakan awal qL mulai dari batas atas P (0) = P_wh hingga batas bawah P (L) = P_{w f}, sehingga diperoleh nilai q_L yang bersesuaian dengan syarat batas tersebut.

Pengujian dilakukan sebagai berikut:

a. Jika P_{w f} hasil perhitungan lebih kecil dari P_{w f} hasil per-samaan Darcy, P∗_{w f} < P_{w f}Darcymaka pilih qL lebih besar dari qL tebakan awal.

b. Jika P_{w f} hasil perhitungan lebih besar dari P_{w f} hasil per-samaan Darcy, P∗_{w f} > P_{w f}Darcymaka pilih qL lebih kecil dari qL tebakan awal.

Pengujian tersebut dilakukan berulang-ulang hingga P∗_{w f} hasil perhi-tungan mendekati nilai Pw f dari perhitungan dengan menggunakan persamaan Darcy. Nilai produksi cairan q_L saat mencapai kondisi dimana P∗_{w f} ≈ PDarcy_{w f} merupakan nilai laju produksi cairan yang di-harapkan.

Hubungan P_{w f} terhadap q yang dihasilkan dengan prosedur ini meru-pakan performansi outflow di dasar sumur.

Lampiran - Pembuktian Kriteria

Kestabilan

1. Kriteria Kestabilan pada Formasi, [4]

Penurunan tekanan tubing di dasar sumur akan menyebabkan peningkatan aliran fluida reservoir dan aliran injeksi gas. Jika peningkatan aliran gas relatif lebih tinggi daripada aliran cairan, maka densitas fluida campuran di dalam tubing akan turun. Hal ini akan menurunkan ketinggian statis fluida dan menurunkan friksi aliran, yang akhirnya menyebabkan gangguan stabilitas. Sebaliknya jika densitas fluida campuran meningkat sebagai re-spon terhadap atas penurunan tekanan, maka ketinggian statis fluida dan friksi aliran akan meningkat dan sistem akan menjadi stabil oleh pengaruh umpan balik negatif. Jadi, parameter stabil-itas datang dari:

dρi dP_ti < 0

Densitas campuran yang masuk (inflow) dinyatakan sebagai jum-lah dari densitas fluida dan densitas injeksi gas:

ρ_i= ρLqL+ ρgqg

qL+ qg

Perubahan densitas fluida campuran yang masuk (inflow) yang dihasilkan dari perubahan (gangguan) dari laju alir inflow dapat dinyatakan secara matematis dengan turunan persamaan densi-tas:

q_t= q_L+ q_g

∆ρ

q_g,q_L

∆qt

Jika∆ -nya sangat kecil, maka dapat dinyatakan:

dρq_g+ q_L dqg+ qL  = d _ρ LqL+ρgqg qL+qg  dqg+ qL  dρ_i= ρg dq_g+ ρ_Ldq_L q_L+ q_g−ρ_gq_g+ ρ_Lq_L dq_L+ dq_g  qL+ qg 2 dρ_i= ρL−ρg  qL+ qg 2  q_gdq_L− q_Ldq_g

Dari persamaan diatas, terlihat bahwa parameter stabilitas da-pat dipostulatkan secara leng-kap untuk: Dengan mengabaikan aliran transien, aliran fluida reservoir dapat diasumsikan

propor-sional terhadap perbedaan tekanan antara reservoir dan bawah sumur:

q_L = B_fJP_r− P_{w f}

dq_L

dP_ti = −BfJ

Aliran injeksi gas dapat dijabarkan dengan persamaan orifice un-tuk aliran dengan temperatur konstan:

q_g = EA_i" 2ZRT

M ln (Pt/Pc)

#0.5

Asumsi bahwa temperatur aliran gas yang melewati port adalah konstan menyatakan secara tidak langsung suatu pendekatan, karena gas mungkin menjalani ekspansi pendinginan. Karena perbedaan tekanan diantara katup relatif kecil jika dibandingkan dengan tekanan total (tekanan injeksi), maka kesalahan ini dapat diabaikan. Perubahan laju aliran injeksi gas yang disebabkan

perubahan tekanan tubing dapat dinyatakan secara matematis Maka, dq_g dP_ti = − (EAi)2 ρ_gq_g

Di sini, volume annulus casing-tubing cukup besar untuk mence-gah penurunan tekanan yang signifikan. Menurunkan tekanan annulus casing-tubing akan ada efek stabilisasi ekstra, yang di-anggap terpisah di pembuktian kriteria kestabilan formasi Den-gan penurunan persamaan di atas, parameter stabilitas untuk per-forma aliran inflow dinyatakan sebagai:

F₁ = ρgq 2 g q_L B_fJ (EAi)2 > 1

2. Kriteria Kestabilan pada Titik Injeksi, [4]

Dengan menganggap bahwa sistem tidak stabil dengan parame-ter seperti yang diturunkan pada kriparame-teria kestabilan pada formasi, lalu penurunan tekanan tubing akan mengakibatkan peningkatan aliran injeksi gas ke dalam tubing. Namun hal ini akan

men-gakibatkan terjadinya penurunan tekanan di annulus. Jika penu-runan tekanan annulus lebih cepat dibandingkan dengan tekanan tubing, maka aliran gas akan segera menstabilkan aliran*

dq_g dt < 0

Dengan menggunakan persamaan orrifice, kebutuhan untuk menu-runkan laju aliran adalah dengan penurunan rasio tekanan antara tekanan annulus dengan tekanan tubing. Jadi aliran injeksi gas akan menurun ketika:

F₂ = 1 Pci 1 Pti −∂Pci ∂t −∂Pti ∂t > 1 F₂ = Pti P_ci −∂Pci ∂t −∂Pti ∂t > 1

Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum:

∂Pci

∂t =δ(wci− wti)

ZciRTci V_cM

Aliran gas ke dalam annulus (volume gas) diasumsikan kon-stan. Laju alir masa dikonversikan menjadi laju alir volume pada tekanan tubing untuk berhubungan dengan sistem param-eter yang digunakan di sini: Dengan mengabaikan percepatan, tekanan tubing dapat dideskripsikan dengan persamaan

keseim-bangan momentum umum:

P_ti = P_{w f} + ρgD_i+ ∆P_f

Dengan∆P_f menyatakan kehilangan tekanan akibat adanya gaya gesekan fluida dengan pipa.

Dengan menganggap bahwa hanya ada perubahan kecil dalam perbandingan gas - cairan input, akan terjadi aliran yang kon-tinyu tanpa pengurangan faktor gesekan. Respon tekanan ter-hadap perubahan seperti ini didapatkan dengan menurunkan per-samaan aliran di atas. Dengan asumsi bahwa tekanan kepala sumur konstan dan tidak ada pengurangan faktor gesekan dalam gelombang kontinyu dalam tubing, respon tekanan ditentukan dengan persamaan:

∆Pt

∆t = gDi

∂ρ ∂t

dengan ρ menyatakan densitas campuran.

Untuk menjumlahkan perubahan variasi pada densitas rata-rata

di dalam tubing, digunakan persamaan kontinuitas. Dengan mengabaikan percepatan, persamaan kontinuitas dinyatakan sebagai:

∂ρ ∂t +v

∂ρ

∂x =0

berta-hap dari densitas fluida input. Sebelum aliran secara kontinyu mencapai kepala sumur, densitas fluida outflow tidak akan berubah seperti sebelumnya. Variasi densitas rata-rata fluida di dalam tubing dapat diturunkan dari persamaan kontinuitas seperti di atas:

∂ρ ∂t =

qL+ qg At ∆ρ Dengan A_t menyatakan luas tubing. Dengan mensubstitusikan persamaan ∆Pt

∆t = gDi∂ρ_∂t pada persamaan ∂ρ ∂t = qL+qg At ∆ρi, ρi = ρLqL+ρgqg qL+qg dan persamaan F1 = −∆qL −∆q_g qg qL > 1.

Maka respon tekanan pada tubing yang disebabkan oleh peruba-han aliran injeksi gas yang masuk dapat dinyatakan dengan per-samaan:

Parameter stabilitas karena pengaruh penurunan tekanan dalam annulus dapat dinyatakan dengan menggabungkan persamaan:

Parameter C adalah faktor volume gas antara annulus dan tubing. Untuk semua kasus-kasus yang dapat diduga, nilai ini mendekati satu.

3. Kriteria Kestabilan pada Choke Injeksi di Permukaan

Kriteria ini merupakan perluasan untuk mengakomodasi flow regimes di permukaan (choke injeksi) dan valve gas lift. Hubungan antara variasi tekanan tubing terhadap laju alir dari reservoir diberikan oleh:

Pt = q_L B_fJ

Untuk menurunkan hubungan antara laju alir gas injeksi melalui gas lift valve dan tekanan tubing, maka akan diturunkan model

yang berhubungan dengan gas-lift valve response dan choke re-sponse untuk variasi tekanan tubing dan casing.

Persamaan aliran adiabatik (tidak keluar panas) untuk valve adalah:

m₀= √ 2C_DA_pY r M zRT p P_c0(Pc0− Pt0)

Asumsi yang digunakan: tekanan konstan dapat ditentukan dari distribusi gas sejak dari choke injeksi, dan pendekatan linear yang dipenuhi untuk choke injeksi permukaan:

m_ch1(t) m₀ = K c ch P_c1(t) P_c0

Dan laju alir gas injeksi yang melalui gas-lift valve m_v1(t) m₀ = K c v P_c1(t) Pco + K t v P_t1(t) Pto

Koefisien K menggambarkan variasi relatif dalam aliran massa melalui choke dan gas lift valve disebabkan karena variasi pada tekanan tubing dan casing. Pendekatan ini beralasan untuk flow regime pada choke dan valve. Nilai K_chc yang digunakan pada thesis ini selalu negatif karena aliran gas melalui choke menu-run seiring dengan peningkatan tekanan casing. Sedangkan nilai K_vc akan selalu positive karena aliran yang melalui gas lift valve meningkat seiring dengan meningkatnya tekanan casing.

Den-gan kata lain, K_vt mungkin positive atau negative, bergantung terhadap karakteristik dan flow regime pada valve.

Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum:

∂Pci

∂t =δ(wci− wti)

zciRTci V_cM

Persamaan mass-balance diturunkan dari perubahan tekanan gas di annulus. Dengan mendifinisikan m = δ. Hukum kekekalan massa pada casing diberikan oleh persamaan:

vari-asi jumlah cairan dan gas, di hilangkan pengaruh efek percepatan dan efek gesekan dan diasumsikan bahwa tubingnya adalah ver-tikal. Maka hanya gaya gravitasi saja yang berpengaruh:

P_t1(t)= Z t 0 " δ_ρM(t)gqL+ qg A_t # dt

Dimana δ_ρM adalah variasi dari densitas campuran pada titik injeksi saat steady state. Variasi ini disebabkan karena variasi yang telah diprediksi, variasi dari gas injeksi yang melalui gas lift valve atau aliran perturbasi yang tak terprediksi.

Untuk analisa kestabilan.Transformasi persamaan-persamaan di-atas dari persamaan time space ke persamaan state space. Akan

diperoleh:

Agar mempunyai solusi maka matriks 3 × 3 tersebut harus memi-liki invers. Punya invers artinya determinannya tidak sama den-gan 0. Artinya tidak ada nilai-nilai singularnya. Nilai singu-lar disini bergantung pada s. Maka akan dicari nilai-nilai yang menyebabkan singularitas. Yaitu dicari determinan dari matriks 3 × 3 yang nilainya 0. Dan diperoleh:

Kondisi untuk sistem akan stabil jika akar2 persamaan dari per-samaan diatas negatif. Hal ini merupakan syarat dari theorema

Routh-Hurwitz. Dalam kasus ini, untuk menjamin kestabilan

dari sistem maka,

        B_fJq_g+ q_gK t v P_t0qL ! +  q_L+ q_gA_t gρ_f −ρ_g a         > 0 Dan, " B_fJq_g+ q_g K t v P_t0qL ! + qg K_vc P_c0bqL # > 0 Jika persamaan  B_fJq_g+ q_gKvt Pt0qL  +(qL+qg)At g(ρf−ρg)a  > 0 dibagi den-gan Pt0 aqgqL, diperoleh:

Maka, persamaan umum dari kriteria adalah:

Kasus khusus K_vt tak negatif

Jika K_vt positive atau nol, maka kedua persamaan diatas akan selalu terpenuhi. Hal ini terjadi, jika choke beroperasi untuk

aliran kritis. Dalam kedua situasi ini, penurunan tekanan tubing tidak menyebabkan peningkatan rate gas yang melalui valve.

Kasus khusus K_vt negatif

K_vt dimungkinkan untuk negative. Saat keadaan ini choke berop-erasi pada aliran subcritic. Untuk kasus ini, aliran yang melalui valve meningkat seiring dengan penurunan tekanan tubing. Den-gan menggunakan persamaan adiabatic untuk valve, diperoleh:

m₀= √ 2C_DA_pY r M zRT p P_c0(Pc0− Pt0)

Untuk aliran stady state m_v1(t) m0 = 1 2 P_c0(Pc1(t) − Pt1(t)) Pc1(t) (Pc0− Pt0) Pc0(Pc0− Pt0)

Untuk variasi aproksimasi dari mass flow rate dengan variasi tekanan tubing dan casing.

Konstan gas yang melalui choke injeksi permukaan dapat ter-jadi untuk aliran yang konstan, atau jika operator choke injeksi dibawah aliran kritis. Untuk kasus ini, aliran yang melalui choke adalah saling bebas dari tekanan dan sebaliknya.