Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 3 (Kejadian lepas)
Kejadian dan disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4 (Medan- )
Suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari disebut medan- jika memenuhi kondisi berikut
1. ;
2. Jika , , … maka ∞ ;
3. Jika maka .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 5 (Ukuran peluang)
Ukuran peluang Ρ pada , adalah fungsi
Ρ: 0,1" yang memenuhi 1. Ρ # 0, Ρ # 1,
2. Jika , , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari , yaitu
$ %# ,
untuk setiap i, j dengan & ' (, maka
Ρ ∞ # ∑ *Ρ∞ +.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Pasangan , ,Ρ disebut ruang peluang.
Definisi 6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian dan dikatakan saling bebas jika
Ρ $ #P P .
Secara umum, himpunan kejadian { ; & Ι} dikatakan saling bebas jika
P*. / +=∏ /P ,
untuk setiap himpunan bagian berhingga 1
dari Ι.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak)
Peubah acak 2 adalah fungsi 2: 4 5
dengan 67 : 2 7 8 9: untuk setiap
9 5.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti 2, ; dan <. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 9, = dan >.
Definisi 8 (Fungsi sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah
?@: 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh
?@ 9 #P 2 8 9 .
Fungsi ?@ disebut fungsi sebaran dari peubah acak 2.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 9 (Peubah acak diskret)
Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan himpunan tercacah.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 10 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 2 adalah fungsi A@: 5 4 0, 1", yaitu
A@ 9 #Ρ 2 # 9 .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 11 ( Peubah acak kontinu)
Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada fungsi B@ sehingga fungsi sebaran ?@ dapat dinyatakan sebagai
?@ 9 # C B@ D ED
F
G∞
,
9 5, dengan B@H 5 4 0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi B@ disebut fungsi
kepekatan peluang bagi peubah acak 2. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Kekonvergenan
Definisi 12 (Konvergen dalam peluang)
Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak pada suatu ruang peluang , ,Ρ . Suatu barisan peubah acak 2 , 2 , …, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak 2, ditulis 2I4 2J , untuk K 4∞, jika untuk setiap
L M 0,
lim
I4∞Ρ |2IR 2| S L # 0.
[Casella dan Berger, 1990]
Lema 1 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan 2I konvergen dalam peluang ke 2
dan ;I konvergen dalam peluang ke ; maka
2I;I konvergen dalam peluang ke 2;, dinotasikan dengan2I;I4 2;J .
[Hogg et al., 2005]
Bukti: Lihat Hogg et al. 2005.
Momen, Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Momen)
1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A@, momen ke-T
dari 2 didefinisikan sebagai
Ε 2U" # ∑ 9UA@ 9 ,
jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada.
2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B@, momen ke-T
dari 2 didefinisikan sebagai
Ε2U" # V 9W∞ UB@ 9 E9
G∞ ,
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen
ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 14 (Nilai harapan)
1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A@ , maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai
jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari 2
adalah tidak ada.
2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B@, maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai
Ε 2" # C 9B@ 9 E9
Y
GY
,
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 15 (Ragam)
Jika 2 adalah peubah acak, maka ragam dari
2 didefinisikan sebagai
Z[\ 2 #Ε X RΕX" ".
[Taylor dan Karlin, 1984]
Definisi 16 (Covarian)
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula ^@ dan ^_ masing-masing
menyatakan nilai harapan 2 dan;. Covarian dari 2 dan ; didefinisikan sebagai
`ab 2, ; # c 2 R ^@ ; R ^_ ". [Casella dan Berger, 1990]
Lema 2
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula d dan E adalah dua buah konstanta sebarang, maka
Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; e 2dE`ab 2, ; .
Jika 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas, maka
Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; .
[Casella dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 1
Lema 3
Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta d
dan E, berlaku
Z[\ d2 e E # d Z[\ 9 .
[Casella dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 2.
Definisi 17 (Fungsi indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi ghH 4 60,1:, yang diberikan oleh
gh 7 # i1, (&j[ 70, (&j[ 7 k .l
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Nilai harapan dari fungsi indikator di atas dapat dinyatakan sebagai berikut
c gh #Ρ .
Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 18 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak, yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
[Hogg et al., 2005]
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan 2 , 2 , … , 2I adalah contoh acak. Suatu statistik 2 , 2 , … , 2I yang digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah m n , disebut sebagai penduga (estimator) bagi m n . Begitu 2 , 2 , … , 2I
diamati, katakanlah bernilai 2 # 9 , 2 # 9 , … , 2I# 9I, maka nilai 9 , 9 , … , 9I
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi m n . [Hogg et al., 2005]
Definisi 20 (Penduga tak-bias)
1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter m n yang diduga, yaitu c 2 , 2 , … , 2I " # m n , disebut penduga tak bias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.
2. Bila
lim
I4∞c 2 , 2 , … , 2I " # m n
maka 2 , 2 , … , 2I disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi m n .
[Hogg et al., 2005]
Definisi 21 (Penduga konsisten)
Suatu penduga 2 , 2 , … , 2I yang konvergen dalam peluang ke parameter m n , yaitu
2 , 2 , … , 2I 4 m n ,o
untuk K 4∞, disebut penduga konsisten bagi
m n .
[Hogg et al.,2005]
Definisi 22 (pq dan rq)
1. Barisan dari peubah acak 62I: yang berpadanan dengan fungsi sebaran 6?I:
dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis
2I# so 1 , untuk K 4 ∞, jika untuk setiap L M 0, uvw dan xw sehingga
?I vw R ?I Rvw M 1 R L, yK M xw.
Mudah terlihat bahwa
2. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|I: dan 6ZI: , notasi
|I# so ZI menyatakan bahwa barisan
}|I
ZI
~ • adalah so 1 , untuk K 4 ∞. 3. 2I# ao 1 , jika untuk setiap L M 0,
berlaku
lim
I4∞P |2I| M L # 0.
4. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|I: dan 6ZI:, maka |I# ao ZI jika }|I ZI ~ • adalah ao 1 , untuk K 4∞. 5. Jika |I# ao ZI berimplikasi |I# so ZI , untuk K 4∞. [Serfling, 1980]
Definisi 23 (MSE suatu penduga)
Mean squared error (MSE) dari penduga •
untuk parameter n adalah fungsi dari n yang didefinisikan oleh Eƒ • R n . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga • dan parameter n. Dari sini diperoleh
Eƒ • R n # Z[\ • e *Eƒ • R n + # Z[\ • e * &[„ nI + .
[Casella dan Berger, 1990]
Proses Stokastik dan Proses Poisson Definisi 24 (Proses stokastik)
Proses stokastik … # 62 † , † ‡: adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) ˆ.
[Ross, 1996] Jadi, untuk setiap † pada himpunan indeks
‡, 2 † adalah suatu peubah acak. Indeks †
sering diinterpretasikan sebagai waktu dan
2 † disebut sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu †. Ruang state ˆ mungkin berupa
1. ˆ # ‰ (himpunan bilangan bulat (integer)), atau himpunan bagiannya. 2. ˆ # 5 (himpunan bilangan nyata (real)),
atau himpunan bagiannya.
Suatu proses stokastik 2 disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete time stochastic process) jika himpunan indeks ‡
adalah himpunan tercacah (countable set), sedangkan 2 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous time stochastic process) jika ‡ adalah suatu interval.
Definisi 25 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik 62 † , † S 0: disebut proses pencacahan (counting process) jika
2 † menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu †.
[Ross, 1996] Kadangkala proses pencacahan 62 † , † S 0: ditulis 2 0, †" , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu 0, †".
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak
overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu hanya bergantung dari panjang selang tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.
Definisi 26 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan 62 † , † S 0:
disebut proses Poisson dengan laju , M 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut
1. 2 0 # 0.
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang †, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan †. Jadi, untuk semua †, „ S 0,
Ρ 2 † e „ R 2 „ # j #Š‹Œ•‘!Ž•• ,
k # 0, 1, …
[Ross, 1996] Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu †
disebut proses Poisson homogen
(homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu †, † , maka disebut proses Poisson tak-homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, † disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas † harus memenuhi syarat
† S 0, untuk semua †.
Misalkan 2 adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika 2
adalah proses Poisson homogen, maka
dengan | | adalah panjang , serta 2
menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang .
Jika 2 adalah proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas † , maka
^ # ” 2 " # C † E†
•
.
Dengan kata lain, jika 2 adalah proses Poisson tak-homogen maka 2 memiliki sifat 1. Ρ 2 # j #– •‘!•—G– •,
j # 0, 1, … untuk setiap selang dengan
^ ˜∞.
2. Untuk setiap bilangan bulat positif T S 2
dan , , … , U adalah selang-selang yang disjoint dengan * %+ ˜ ∞, ( # 1, 2, … , T, 2 , 2 , … , 2 U
merupakan peubah acak yang saling bebas. Peubah acak yang merupakan jumlah dari dua atau lebih peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai sebaran Poisson juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema berikut.
Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)
Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut D dan b. Maka 2 e ;
memiliki sebaran Poisson dengan parameterD e b.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Bukti: lihat Lampiran 3.
Definisi 27 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ™ kita memiliki
^ ™ # V™ „ E„˜∞.
[Dudley, 1989]
Definisi 28 (Titik Lebesgue)
Titik „ disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi jika berlaku lim š4› 1 2œ C| „ e 9 R „ | š Gš E9 # 0.
[Wheeden dan Zygmund, 1977]
Definisi 29 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen 2 dengan fungsi intensitas pada titik „ 5 adalah „ , yaitu nilai fungsi di
„.
[Cressie, 1993]
Definisi 30 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
„ e j # „ ,
untuk setiap „ 5 dan j ‰ . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan diatas disebut periode dari fungsi tersebut.
[Browder, 1996]
Definisi 31 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
[Mangku, 2001]
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 32 (p • dan r • )
1. Suatu barisan bilangan nyata 6[I: disebut terbatas dan ditulis [I# s 1 , untuk
K 4 ∞, jika ada bilangan terhingga dan sehingga ˜ [I˜ , untuk semua bilangan asli K.
2. Suatu barisan 6žI: konvergen ke nol untuk
K 4∞, kadangkala ditulis žI# a 1 , untuk K 4∞.
[Purcell dan Verberg, 1998]
Definisi 33 (Momen kedua terbatas)
Peubah acak 2 dikatakan mempunyai momen kedua terbatas jika dipenuhi c 2 terbatas.
[Helms, 1996]
Lema 5 (Ketaksamaan Markov)
Jika 2 adalah peubah acak dengan c 2
terbatas, maka untuk setiap † M 0 berlaku
Ρ |2| S † 8Ÿ |@|• .
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 4.
Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai harapan ^ dan ragam terbatas , maka
Ρ |2 R ^| S 8 ,
untuk setiap M 0.
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 5.
Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
c62;: 8 c 2" c ;" ,
dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika ¡ 2 # 0 # 1 atau ¡ ; # [2 # 1 untuk suatu konstanta [.
[Helms, 1996]
Lema 8 (Ketaksamaan segitiga)
Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
|2 e ;| 8 |2| e |;|.
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 7.
Lema 9 (Teorema Fubini)
Jika B S 0 atau V |B| E^ ˜∞ maka
V V B 9, =@ _ ^ E= ^ E9 # V B@¢_ E^ # V V B 9, =_ @ ^ E9 ^ E= .
[Durret, 1996]
Bukti: Lihat Durret, 1996.
Lema 10 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan m memiliki turunan ke- K yang berhingga pada suatu titik 9, maka
m = # m 9 e Xm‘j!9 = R 9 ‘ I ‘ e a |= R 9|I , untuk = 4 9. [Serfling, 1980]