Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses poisson periodik dengan tren linear.

(1)

ABSTRAK

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

(2)

ABSTRACT

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

(3)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Contoh proses yang dapat dijelaskan dengan proses Poisson periodik adalah proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Namun, jika banyaknya pelanggan yang datang mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear.

Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, waktu tunggu dari seorang pelanggan adalah jarak waktu sejak pusat servis tersebut dibuka sampai pelanggan tersebut datang. Karena waktu tunggu ini merupakan suatu peubah acak kontinu, maka ia memiliki fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang. Umumnya kedua fungsi ini tidak diketahui sehingga diperlukan suatu penduga bagi kedua fungsi tersebut.

Pada tulisan ini dikaji kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper Mangku (2010).

Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian interval pengamatan yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang, maka diperlukan asumsi keperiodikan dari fungsi intensitas proses yang dikaji. Pada kajian ini dianggap periode dari fungsi intensitas diketahui yaitu .

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Mengonstruksi kembali penyusunan

penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. 2. Mengonstruksi kembali pembuktian

kekonsistenan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh .

Definisi 3 (Kejadian lepas)

Kejadian dan disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

.

Definisi 4 (Medan- )

Suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari disebut medan- jika memenuhi kondisi berikut

1. ;

2. Jika , , … maka ∞ ;

3. Jika maka .

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang Ρ pada , adalah fungsi

(4)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 2 (Kejadian)

.

1. ;

2. Jika , , … maka ∞ ;

3. Jika maka .

Definisi 5 (Ukuran peluang)

(5)

2. Jika , , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari , yaitu

$ %# ,

untuk setiap i, j dengan & ' (, maka

Ρ ∞ # ∑ *Ρ∞ +.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Pasangan , ,Ρ disebut ruang peluang.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika

Ρ $ #P P .

Secara umum, himpunan kejadian { ; & Ι} dikatakan saling bebas jika

P*. _/ +=∏ _/P ,

untuk setiap himpunan bagian berhingga 1 dari Ι.

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah acak)

Peubah acak 2 adalah fungsi 2: 4 5 dengan 67 : 2 7 8 9: untuk setiap

9 5.

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti 2, ; dan <. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 9, = dan >.

Definisi 8 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah

?@: 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh

?@ 9 #P 2 8 9 .

Fungsi ?_@ disebut fungsi sebaran dari peubah acak 2.

Definisi 9 (Peubah acak diskret)

Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan himpunan tercacah.

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 2 adalah fungsi A_@: 5 4 0, 1", yaitu

A@ 9 #Ρ 2 # 9 .

Definisi 11 ( Peubah acak kontinu)

Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada fungsi B_@ sehingga fungsi sebaran ?_@ dapat dinyatakan sebagai

?@ 9 # C B@ D ED F

G∞

,

9 5, dengan B_@H 5 4 0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi B_@ disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak 2.

Kekonvergenan

Definisi 12 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak pada suatu ruang peluang , ,Ρ . Suatu barisan peubah acak 2 , 2 , …, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak 2, ditulis 2_I4 2J , untuk K 4∞, jika untuk setiap

L M 0,

lim

I4∞Ρ |2IR 2| S L # 0.

[Casella dan Berger, 1990]

Lema 1 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan 2_I konvergen dalam peluang ke 2 dan ;_I konvergen dalam peluang ke ; maka

2I;I konvergen dalam peluang ke 2;, dinotasikan dengan2_I;_I4 2;J .

[Hogg et al., 2005]

Bukti: Lihat Hogg et al. 2005.

Momen, Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 13 (Momen)

1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A_@, momen ke-T dari 2 didefinisikan sebagai

Ε 2U" # ∑ 9UA_@ 9 ,

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada.

2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B_@, momen ke-T dari 2 didefinisikan sebagai

Ε2U" # V 9_GW∞∞ UB@ 9 E9,

jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen

ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 1984]

Definisi 14 (Nilai harapan)

1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A_@ , maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai

(6)

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada.

2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B_@, maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai

Ε 2" # C 9B@ 9 E9 Y

GY

,

jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada.

[Taylor dan Karlin, 1984]

Definisi 15 (Ragam)

Jika 2 adalah peubah acak, maka ragam dari

2 didefinisikan sebagai

Z[\ 2 #Ε X RΕX" ".

Definisi 16 (Covarian)

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula ^_@ dan ^_{_} masing-masing menyatakan nilai harapan 2 dan;. Covarian dari 2 dan ; didefinisikan sebagai

`ab 2, ; # c 2 R ^@ ; R ^_ ".

Lema 2

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula d dan E adalah dua buah konstanta sebarang, maka

Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; e 2dE`ab 2, ; .

Jika 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas, maka

Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; .

Bukti: Lihat Lampiran 1

Lema 3

Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta d dan E, berlaku

Z[\ d2 e E # d Z[\ 9 .

Bukti: Lihat Lampiran 2.

Definisi 17 (Fungsi indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi g_hH 4

60,1:, yang diberikan oleh

gh 7 # i1, (&j[ 7_{0, (&j[ 7 k .}l

Nilai harapan dari fungsi indikator di atas dapat dinyatakan sebagai berikut

c gh #Ρ .

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak, yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

[Hogg et al., 2005]

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan 2 , 2 , … , 2_I adalah contoh acak. Suatu statistik 2 , 2 , … , 2_I yang digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah m n , disebut sebagai penduga (estimator) bagi m n . Begitu 2 , 2 , … , 2_I diamati, katakanlah bernilai 2 # 9 , 2 #

9 , … , 2I# 9I, maka nilai 9 , 9 , … , 9_I disebut sebagai dugaan (estimate) bagi m n . [Hogg et al., 2005]

Definisi 20 (Penduga tak-bias)

1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter m n yang diduga, yaitu c 2 , 2 , … , 2_I " # m n , disebut penduga tak bias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.

2. Bila

lim

I4∞c 2 , 2 , … , 2I " # m n

maka 2 , 2 , … , 2_I disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi m n .

[Hogg et al., 2005]

Definisi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga 2 , 2 , … , 2_I yang konvergen dalam peluang ke parameter m n , yaitu

2 , 2 , … , 2I 4 m n ,o

untuk K 4∞, disebut penduga konsisten bagi

m n .

[Hogg et al.,2005]

Definisi 22 (p_q dan r_q)

1. Barisan dari peubah acak 62_I: yang berpadanan dengan fungsi sebaran 6?_I: dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis

2I# so 1 , untuk K 4 ∞, jika untuk setiap L M 0, uv_w dan x_w sehingga

?I vw R ?I Rvw M 1 R L, yK M xw.

Mudah terlihat bahwa

(7)

2. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|_I: dan 6Z_I: , notasi

|I# so ZI menyatakan bahwa barisan

}|I

ZI

~ • adalah s_o 1 , untuk K 4 ∞. 3. 2_I# a_o 1 , jika untuk setiap L M 0,

berlaku

lim

I4∞P |2I| M L # 0.

4. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|_I: dan 6Z_I:, maka |_I#

ao ZI jika }|I~ •_Z_I adalah ao 1 ,

untuk K 4∞.

5. Jika |_I# a_o Z_I berimplikasi |_I#

so ZI , untuk K 4∞.

[Serfling, 1980]

Definisi 23 (MSE suatu penduga)

Mean squared error (MSE) dari penduga • untuk parameter n adalah fungsi dari n yang didefinisikan oleh E_ƒ • R n . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga • dan parameter n. Dari sini diperoleh

Eƒ • R n # Z[\ • e *Eƒ • R n +

# Z[\ • e * &[„ nI + .

Proses Stokastik dan Proses Poisson

Definisi 24 (Proses stokastik)

Proses stokastik … # 62 † , † ‡: adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) ˆ.

[Ross, 1996]

Jadi, untuk setiap † pada himpunan indeks

‡, 2 † adalah suatu peubah acak. Indeks † sering diinterpretasikan sebagai waktu dan

2 † disebut sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu †. Ruang state ˆ mungkin berupa

1. ˆ # ‰ (himpunan bilangan bulat (integer)), atau himpunan bagiannya. 2. ˆ # 5 (himpunan bilangan nyata (real)),

atau himpunan bagiannya.

Suatu proses stokastik 2 disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete time stochastic process) jika himpunan indeks ‡ adalah himpunan tercacah (countable set), sedangkan 2 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous time stochastic process) jika ‡ adalah suatu interval.

Definisi 25 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik 62 † , † S 0: disebut proses pencacahan (counting process) jika

2 † menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu †.

[Ross, 1996]

Kadangkala proses pencacahan 62 † ,

† S 0: ditulis 2 0, †" , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu 0, †".

Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak

overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu hanya bergantung dari panjang selang tersebut.

Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.

Definisi 26 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan 62 † , † S 0: disebut proses Poisson dengan laju , M 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut

1. 2 0 # 0.

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang

interval waktu dengan panjang †, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan †. Jadi, untuk semua †, „ S 0,

Ρ 2 † e „ R 2 „ # j #Š‹Œ•_‘!Ž•• ,

k # 0, 1, …

[Ross, 1996]

Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu † disebut proses Poisson homogen

(homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu †, † , maka disebut proses Poisson tak-homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, † disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas † harus memenuhi syarat

† S 0, untuk semua †.

Misalkan 2 adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika 2 adalah proses Poisson homogen, maka

(8)

dengan | | adalah panjang , serta 2 menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang .

Jika 2 adalah proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas † , maka

^ # ” 2 " # C † E†

•

.

Dengan kata lain, jika 2 adalah proses Poisson tak-homogen maka 2 memiliki sifat

1. Ρ 2 # j #– •_‘!•—G– •,

j # 0, 1, … untuk setiap selang dengan

^ ˜∞.

2. Untuk setiap bilangan bulat positif T S 2 dan , , … , _U adalah selang-selang yang disjoint dengan * _%+ ˜ ∞, ( #

1, 2, … , T, 2 , 2 , … , 2 U

merupakan peubah acak yang saling bebas.

Peubah acak yang merupakan jumlah dari dua atau lebih peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai sebaran Poisson juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema berikut.

Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut D dan b. Maka 2 e ; memiliki sebaran Poisson dengan parameterD e b.

Bukti: lihat Lampiran 3.

Definisi 27 (Terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ™ kita memiliki

^ ™ # V_™ „ E„˜∞.

[Dudley, 1989]

Definisi 28 (Titik Lebesgue)

Titik „ disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi jika berlaku

lim

š4›

1

2œ C| „ e 9 R „ |

š

Gš

E9 # 0.

[Wheeden dan Zygmund, 1977]

Definisi 29 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen 2 dengan fungsi intensitas pada titik „ 5 adalah „ , yaitu nilai fungsi di

„.

[Cressie, 1993]

Definisi 30 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

„ e j # „ ,

untuk setiap „ 5 dan j ‰ . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan diatas disebut periode dari fungsi tersebut.

[Browder, 1996]

Definisi 31 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

[Mangku, 2001]

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 32 (p • dan r • )

1. Suatu barisan bilangan nyata 6[_I: disebut terbatas dan ditulis [_I# s 1 , untuk

K 4 ∞, jika ada bilangan terhingga dan sehingga ˜ [_I˜ , untuk semua bilangan asli K.

2. Suatu barisan 6ž_I: konvergen ke nol untuk

K 4∞, kadangkala ditulis ž_I# a 1 , untuk K 4∞.

[Purcell dan Verberg, 1998]

Definisi 33 (Momen kedua terbatas)

Peubah acak 2 dikatakan mempunyai momen kedua terbatas jika dipenuhi c 2 terbatas.

[Helms, 1996]

Lema 5 (Ketaksamaan Markov)

Jika 2 adalah peubah acak dengan c 2 terbatas, maka untuk setiap † M 0 berlaku

Ρ |2| S † 8Ÿ |@|_• .

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 4.

Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai harapan ^ dan ragam terbatas , maka

Ρ |2 R ^| S 8 ,

untuk setiap M 0.

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 5.

Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

c62;: 8 c 2" c ;" ,

dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika ¡ 2 # 0 # 1 atau ¡ ; # [2 #

1 untuk suatu konstanta [.

[Helms, 1996]

(9)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Perumusan Penduga

Misalkan x adalah proses Poisson non homogen pada interval 0, ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu komponen periodikatau komponen siklik _£ dengan periode M 0 dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan demikian, untuk sebarang titik „ 0, ∞ , fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut

„ # £ „ e [„, (1) dengan _£ „ adalah fungsi periodik dengan periode dan [ adalah kemiringan dari tren linear. Karena _£ adalah periodik, maka persamaan

£ „ e j # £ „ , (2) berlaku untuk setiap „ 0, ∞ dan j ‰ dengan ‰ adalah himpunan bilangan bulat. Karena _£periodik dengan periode , maka untuk menduga _£ pada „ 0, ∞ cukup diduga nilai _£ pada „ 0, .

Pada pembahasan ini, dikaji proses Poisson pada interval 0, ∞ , bukannya pada

5 karena harus memenuhi persamaan (1) dan tidak boleh negatif. Karena alasan serupa, kajian hanya dibatasi untuk [ M 0.

Misalkan untuk suatu 7 Ω, terdapat sebuah realisasi tunggal x 7 dari proses Poisson x yang terdefinisi dalam ruang peluang Ω, , Ρ dengan fungsi intensitas pada persamaan (1) dan diamati pada interval

0, K".

Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu ‡_U untuk kejadian ke-T dari proses Poisson x sejak awal pengamatan (waktu 0 , dengan menggunakan realisasi tunggal x 7 dari proses Poisson x yang diamati pada interval 0, K" .

Untuk mendapatkan fungsi sebaran dari

‡U, dapat diperhatikan bahwa untuk setiap

> M 0 dan T M 0, kita mempunyai Ρ ‡_U8

> # Ρ x 0, >" S T yang menghasilkan fungsi sebaran

?¦§ > # Ρ ‡U8 > # Ρ x 0, >" S T

# 1 R Ρ x 0, >" ˜ T

# 1 R *Ρ x 0, >" # 0 e Ρ x 0, >" # 1 e ¨ e Ρ x 0, >" # T R 1 +

?¦§ > # 1 R —G© ª «1 e Λ > e ¨ e © ª

§‹-UG ! ® (3)

dengan Λ > # V_›ª „ E„.

Misalkan >_¯# > R °ª_±² , untuk setiap bilangan real 9 , dengan 9" menunjukkan integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan 9. Maka untuk setiap > M 0, kita mempunyai > # °ª_±² e >_¯ dengan 0 ˜ >_¯˜

. Misalkan n # V_›± _£ „ E„ sehingga

Λ > # n °ª_±² e Λ£ >¯ e [> (4) dengan Λ_£ >_¯ # V_›ª³ _£ „ E„.

Fungsi kepekatan peluang dari ‡_U yaitu

B¦§ > # £ > e [> —G© ª *© ª +

§‹-UG ! . (5)

Pada pembahasan ini, diformulasikan penduga fungsi sebaran ?_¦_§ > dan penduga fungsi kepekatan peluang B_¦_§ > . Untuk penyusunan penduga di atas diperlukan juga penduga bagi [, penduga bagi n, penduga bagi Λ_´ >_¯ dan penduga bagi _£ „ .

Penduga bagi ?_¦_§ diberikan oleh

?¦§,I > # 1 R —G©µ¶ª «1 e Λµ· > e ¨ e ©µ¶ª

§‹-UG ! ® (6)

dengan

Λµ· > # °ª_±² nIe Λµ´,· z¹ e [ºI> . (7)

Penduga bagi [ diberikan oleh

[ºI# » ›,I"_I¼ . (8)

Penduga bagi B_¦_§ > diberikan oleh

B½¦§,I > # * ½£,I > e [ºI>+—G©µ¶ª «© µ_¶ª ®

¾‹-UG ! .

(9)

Penduga bagi n diberikan oleh

nI# _{ln K/ X}1 1_{j x j , j e "} Y

‘

. 0, K" R [ºIÁ±e_Â·«IÃ Ä®Å.

(10)

Penduga bagi Λ_´ >_¯ diberikan oleh

Λµ´,· >¯ #_{ln K/}1

X1_j

Y

‘

x j , j e >¯". 0, K"

R[ºIÁ>¯_{2 e}_{ln K/ Å.}K>¯

(11)

Penduga bagi _£ „ pada titik „ 0, ∞ diberikan oleh

½_£,I _{„ #} 1 ln K/

X1_jx „ e j R œI, „ e j e œ_2œ I". 0, K"

I Y

‘

R[ºIÆ„ e_{ln K/ Ç}K

(12) dimana œ_I adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju 0,

œIÈ 0, (13) untuk K ∞.

Sekarang diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi [. Untuk menjelaskan hal ini digunakan Lema berikut.

Lema 11

Jika fungsi intensitas _£ adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal, maka _IV_›I _£ „ E„ 4 n untuk K ∞ , dengan n #_±V_›± _£ „ E„.

[Damiri, 2003]

Bukti: Lihat Damiri (2003).

Perhatikan bahwa

cx 0, K" # C „

I

›

E„

# C £ „ e [„ I

›

E„

# C £ „ I

›

E„ e C [„

I

›

E„.

Perhatikan suku pertama dari ruas kanan persamaan diatas. Berdasarkan Lema 11, maka

C „

I

›

E É nK.

Suku kedua dari persamaan diatas, yaitu

C [„

I

›

E„ #[_{2 K .}

Dengan mengganti cx 0, K" dengan padanan stokastiknya yaitu x 0, K" maka diperoleh x 0, K" É nK eÊK . Kedua ruas dibagi dengan K , sehingga

x 0, K"

K ÉnK e[2 Ë2x 0, K"K R2K n É [

Jika K 4 ∞,maka _In 4 0.Akhirnya diperoleh bahwa

[ºI#2x 0, K"_K .

Sekarang, diuraikan ide tentang pembentukan penduga ½_£,I „ dari _£ „ . Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson x yang tersedia, kita harus menggabungkan informasi tentang nilai „ yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval0, K". Misalkan

ÌI# X1_{j I „ e j} 0, K" Y

‘

.

Untuk sebarang titik „ dan j ‰, maka menurut persamaan (2), kita dapatkan

£ „ # £ „ e j

£ „ #_Ì1

IX

1

j £ „ e j Y

‘

I „ e j 0, K" #_Ì1

IX

1

j * „ e j R [ „ e j +

Y

‘

I „ e j 0, K" #_Ì1

IX

1

j * „ e j +

Y

‘

I „ e j 0, K"

R_Ì1

IX

[„ e [j

j I „ e j 0, K"

Y

‘

.

(14)

Kita tahu bahwa ∑Y_‘ I „ e j 0, K" ÉI_± dan Ì_IÎ ln «I_±® untuk K ∞ . Maka persamaan (14) dapat ditulis sebagai berikut

É 1 ln «I_±®X

1

j2œ1I C 9 ÏW‘±WšÃ

ÏW‘±GšÃ Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9

(11)

# 1 ln «I_±®X

1

jEx „ e j R œI, „ e j e œI " 2œI

Y

‘

. 0, K" _{R [ Ð„ e} K ln «I_±®Ñ.

(15)

Kita tahu bahwa Ex „ e j R œ_I, „ e j e

œI". 0, K" É x „ e j R œI, „ e j e

œI". 0, K" yang merupakan padanan

stokastiknya, sehingga persamaan (15) menjadi

É 1 ln «I_±®X

1

jx „ e j R œI, „ e j e œI " 2œI

Y

‘

. 0, K"

R [ Ð„ e K ln «I_±®Ñ.

(16)

Persamaan (16) adalah penduga dari _£ „ , dengan periode dan kemiringan [ dari tren linear diasumsikan diketahui. Jika [ tidak diketahui, kita ganti [ dengan [º_I sehingga diperoleh penduga dari _£ „ yang diberikan pada persamaan (12).

Kekonsistenan dari

Lema 12

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Maka

E [ºI # [ e _Iƒe s «_I¼®, (17)

dan

Z[\ [ºI #_IÊ¼e s «_IÒ®, (18)

untuk K 4 ∞. Akibatnya, [º_I adalah penduga konsisten bagi [, dan Mean-squared error

(MSE)nya adalah

vˆc [ºI #Óƒ ¼_{W Ê}

I¼ e s «_IÒ® (19)

untuk n 4 ∞.

Bukti:

Berdasarkan (8), E [º_I dapat dihitung sebagai berikut

E [ºI #_{K Ex 0, K" #}2 _{K C „}2 I

›

E„

#_{K C}2 £ „ e [„ I

›

E„

#_{K ÔC}2 £ „ I

›

E„ e C [„

I

›

E„Õ

#_{K °nK e}2 [_{2 K e s 1 ²} #2n_{K e [ e s Æ}_{K Ç,}1

untuk n 4 ∞. Ragam dari [º_I diperoleh dengan cara

Z[\ [ºI #_K4_ÓZ[\x 0, K"

#_K4_ÓEx 0, K" #_{K ×}2 _{K Ex 0, K" Ø}2 #_{K E [º}2 I "

#_{K ×}2 2n_{K e [ e s Æ}_{K ÇØ}1 #2[_{K e s Æ}_K1_ÙÇ,

untuk n 4 ∞.

vˆc [ºI # Z[\ [ºI e * &[„ [ºI +

* &[„ [ºI + # E [ºI R [

# Æ2n_{K e [ e s Æ}_{K Ç R [Ç}1

# Á2n_{K e s Æ}_{K ÇÅ}1

#4n_{K e s Æ}_K1_ÙÇ,

(20) untuk n 4 ∞.

Berdasarkan persamaan (18) dan (20), maka

vˆc [ºI #4n e 2[_K e s Æ_K1_ÙÇ,

untuk n 4 ∞.

Kekonsistenan dari _,

Lema 13 (Kekonsistenan , )

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13) dipenuhi dan œ_Iln K 4 ∞, maka

½_£,I _„ ₄J _£ _„ (21) untuk n 4 ∞, asalkan „ adalah titik Lebesgue dari _£. Dengan kata lain, ½_£,I „ penduga konsisten bagi _£ „ .

Untuk membuktikan kekonsistenan dari

(12)

Lema 14

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13) dipenuhi dan œ_Iln K 4 ∞, maka

E ½£,I „ 4 £ „ , (22)

dan

Z[\ « ½£,I „ ® 4 0, (23) untuk n 4 ∞, asalkan „ adalah titik Lebesgue dari _£.

Bukti:

Untuk membuktikan persamaan (22), akan dibuktikan bahwa

limI4YE ½£,I „ # £ „ . (24)

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (24) dapat dinyatakan sebagai berikut

E ½£,I „

# 1 ln «I_±®X

1

jEx „ e j R œI, „ e j e œI " 2œI

Y

‘

. 0, K" _{R E[º}

IÐ„ e K

ln «I_±®Ñ .

(25)

Suku pertama dari (25)

# 1 ln «I_±®X

1

jEx „ e j R œ2œII, „ e j e œI" Y

‘

. 0, K"

#_2œ 1

I ln K/ X

1

j C 9 e „ e j

šÃ

GšÃ Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9

# 1 2œIln «I_±®

X1_j

Y

‘

C λ´ x e s šÃ

GšÃ

e

a 9 e „ e j I 9 e „ e j 0, K" E9

#_2œ1

I C *λ´ x e s + šÃ

GšÃ

Ð 1 ln «I_±®X

1 k

Y

Þ

I 9 e „ e j 0, K" Ñ E9

e_2œ [

I ln K/ X

1

j C 9 e „ e j

šÃ

GšÃ Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9. (26)

Suku pertama dari (26) dapat diuraikan sebagai berikut

1

ln K/ X1k

Y

Þ

I 9 e „ e j 0, K"

# 1 e s «_{Â· I/±}®, (27) untuk n 4 ∞, dan

1

2œI C *λ´ x e s +E9 šÃ

GšÃ

#_2œ1

I C «*λ´ x e s R λ´ s + e λ´ s ® E9 šÃ

GšÃ

#_2œ1

IÐ C *λ´ x e s R λ´ s +E9 šÃ

GšÃ

e C λ´ s E9 šÃ

GšÃ

Ñ.

Karena „ adalah titik Lebesgue dari _£, maka

1

2œI C *λ´ x e s R λ´ s +E9 šÃ

GšÃ

# a 1

1

2œI C λ´ s E9 šÃ

GšÃ

#_2œ1

Iλ´ s C E9 šÃ

GšÃ

#_2œ1

Iλ´ s 2œI

# λ´ s . (28)

Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama dari (26) yaitu

# «1 e s _{Â· I/±} ® λ´ s e a 1

# λ´ s e a 1 (29)

untuk n 4 ∞.

Suku kedua dari (26), dapat diuraikan sebagai berikut

[

2œI ln K/ X

1

j C 9 e „ e j

šÃ

GšÃ Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9

#_2œ[

I C 9 e „ e j šÃ

GšÃ

1

ln K/ X1k

Y

Þ

I 9 e „ e j 0, K" E9

#_2œ[

I C 9 Æ1 e s

1

ln K/ Ç E9

šÃ

(13)

e Ð_2œ[„

I C E9 šÃ

GšÃ

Ñ Æ1 e s _{ln K/ Ç}1

e Æ_2œ[

IÇ C

1 ln «I_±®

šÃ

GšÃ

X I 9 e „ e j 0, K"

Y

Þ

E9.

(30)

Suku pertama dari (30) akan diperoleh sama dengan nol.

Suku kedua dari (30) adalah sama dengan

[„ e s «_{Â· I/±}®.

Perhatikan suku ketiga ruas kanan persamaan (30). Nilai ∑Y_Þ I 9 e „ e j 0, K" dapat ditulis menjadi

n

τ R 1 8 X I 9 e „ e j 0, K"

Y

Þ

8n_{τ e 1}

Ë X I 9 e „ e j 0, K"

Y

Þ

8n_{τ Æ1 e s} _KÇ1

maka diperoleh

Ê± Â·«Ã_Ä®«

·

àe s 1 ® # ÊI

Â·«Ã_Ä®e s ÁÂ·«Ã_Ä®Å.

Dengan menggabungkan hasil ketiga suku dari (30), maka suku kedua persamaan (26) menjadi

[

2œI ln K/ X

1

j C 9 e „ e j

šÃ

GšÃ Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9 # 0 e [„ e s Á_Â·«Ã

Ä®Å e ÊI

Â·«Ã_Ä®e s ÁÂ·«Ã_Ä®Å

# Á[„ e_Â·«ÊIÃ

Ä®Å e s ÁÂ·«ÃÄ®Å

untuk K 4 ∞.

Sehingga ruas kanan persamaan (26) menjadi

# *λ´ s e a 1 + e á[„ e_Â·«ÊIÃ

Ä®e s ÁÂ·«ÃÄ®Åâ

(31) untuk K 4 ∞.

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) dan (31) ke persamaan (25) maka diperoleh

E ½£,I „ # *λ´ s e a 1 + e

á[ Á„ e_Â·«IÃ

Ä®Å e s ÁÂ·«ÃÄ®Åâ R

Æ[ e _Iƒe s «_I¼®Ç Á„ e_Â·«IÃ Ä®Å

# λ´ s e a 1 , (32)

untuk K 4 ∞. Jadi, persamaan (22) terbukti.

Bukti persamaan (23). Kita tahu bahwa

½_£,I _„

# 1 ln «I_±®X

1

Y

‘

. 0, K" _R[º

IÆ„ e_{ln K/ Ç}K

(33)

Misalkan

# 1 ln «I_±®X

1

Y

‘

. 0, K"

# [ºIÆ„ e_{ln K/ Ç.}K

Sehingga

Z[\ « ½£,I „ ® # Z[\ e Z[\

R 2`ab , .

(34)

Suku pertama dari persamaan (34) adalah

Z[\

# 1

4œI «ln «I_±®®

X_{j Z[\}1

Y

‘

x „ e j R œI, „ e j e œI". 0, K" (35)

Karena x adalah peubah acak Poisson, maka

Z[\ x # Ex. Sehingga persamaan (35) menjadi

Z[\ # 1

4œI «ln «I_±®® X_j1

Y

‘

Ex „ e j R œI, „ e j e œI". 0, K"

# 1

4œI «ln «I_±®® X_j1

Y

‘

C 9 e „ e j šÃ

GšÃ

I 9 e „ e j 0, K" E9

# 1

4œI «ln «I_±®® X 1 j Y

‘

C £ 9 e „ e [ 9 e „ šÃ

GšÃ

(14)

e [

4œK2«ln«K®® 2

X1_j Y

‘

CI 9 e „ e j 0,K" E9

šÃ

GšÃ

.

(36)

Suku pertama ruas kanan persamaan (36) dapat diuraikan menjadi

# 1 2œIln«K® C

1

2œI £ 9 e „ šÃ

GšÃ

E9

Ð 1 ln«K®X

1

j I 9 e „ e j 0,K" Y

‘

Ñ e

[

4œI ln «I_±® C 9 e „ šÃ

GšÃ

E9

Ð 1 ln«K®X

1

j I 9 e „ e j 0,K" Y

‘

Ñ.

(37)

Perhatikan bahwa

XY _j1I 9 e „ e j 0,K"

‘

# s 1

merupakan deret-A dengan A # 2, sehingga

1 ln «I_±®X

1

j I 9 e „ e j 0, K" Y

‘

# s Ð 1 ln «I_±®Ñ.

Berdasarkan persamaan (28) pada Lema 14, kita tahu bahwa

C _2œ1

I*λ´ x e s +E9 šÃ

GšÃ

# λ´ s e a 1 .

Sehingga suku pertama persamaan (37) menjadi

# _š

ÃÂ·«Ã_Ä® λ´ s e a 1 s ÁÂ·«Ã_Ä®Å

# a Á

šÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å,

(38)

untuk K 4 ∞.

Suku kedua persamaan (37) dapat dituliskan menjadi

#_Óš Ê

Ã¼Â·«Ã_Ä® 0 e 2„œI s ÁÂ·«Ã_Ä®Å

# s Á

šÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å,

(39)

untuk K 4 ∞.

Dengan menggabungkan persamaan (38) dan (39), kita peroleh suku pertama persamaan (36) adalah

# s Á

šÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å

(40)

untuk K 4 ∞.

Suku kedua persamaan (36) dapat ditulis sebagai berikut

# [ 4œI ln «I_±®

C 1 ln «I_±®X

1 j

Y

‘

I 9 e „ e j 0, K" E9

šÃ

GšÃ

# [

4œI ln «I_±® C ã1 e s Ð

1 ln «I_±®Ñä

šÃ

GšÃ

E9

# _š Ê±

ÃÂ·«Ã_Ä®á1 e s ÁÂ·«Ã_Ä®Åâ

# _š Ê±

ÃÂ·«Ã_Ä®e s ÁšÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å,

(41)

untuk K 4 ∞.

Dengan menggabungkan persamaan (40) dan (41), kita peroleh suku pertama dari persamaan (34) adalah

# _š Ê±

ÃÂ·«Ã_Ä®e s ÁšÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å,

(42)

untuk K 4 ∞.

Selanjutnya, kita hitung suku kedua persamaan (34)

Z[\ á[ºIÁ„ e_Â·«IÃ Ä®Åâ

# Á„ e_Â·«IÃ

Ä®Å Z[\ [ºI

.

Dengan mensubstitusikan persamaan (18), persamaan di atas menjadi

# Á„ e_Â·«IÃ Ä®Å Æ

Ê

I¼e s «_IÒ®Ç

# Ê

«Â·«Ã_Ä®®¼e s ÁI«Â·«ÃÄ®®Å

(43)

untuk K 4 ∞.

Dari persamaan (42), (43) dan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga persamaan (34) tidak lebih dari

2å _š_ÃÊ±_Â·«Ã Ä®æ

Ê «Â·«Ã_Ä®®¼

# s Ð

åšÃÂ·«Ã_Ä®Ñ s ÁÂ·«ÃÄ®Å

(15)

# s á

šÃ- ¼⁄«Â·«Ã_Ä®®Ò ¼⁄â

# s Á_š

ÃÂ·«Ã_Ä®Å á šÃ- ¼⁄ «Â·«Ã_Ä®®- ¼⁄â

# s Á_š

ÃÂ·«Ã_Ä®Å a 1

# s Á_š

ÃÂ·«Ã_Ä®Å, (44)

untuk K 4 ∞.

Dengan menggabungkan persamaan (42), (43) dan (44), kita peroleh

Z[\ « ½£,I „ ® # _šÊ±

ÃÂ·«Ã_Ä®e s ÁšÃÂ·«Ã_Ä®Å

(45) untuk K 4 ∞ . Karena œ_Iln K 4 ∞ untuk

K 4 ∞, kita peroleh Z[\ « ½_£,I „ ® 4 0 untuk

K 4 ∞ pada persamaan (22). Jadi, Lema 14 terbukti.

Bukti Lema 13

Untuk membuktikan persamaan (21), berdasarkan Definisi 12 akan diperlihatkan bahwa untuk yL M 0,

lim

I4YP*è ½£,I „ R £ „ è M L+ # 0.

(46) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita peroleh

è ½£,I „ R £ „ è 8 è ½£,I „ R E ½£,I „ è e

èE ½£,I „ R £ „ è (47) Berdasarkan persamaan (22) pada Lema 14 kita peroleh

lim

I4YèE ½£,I „ R £ „ è # 0 (48)

sehingga untuk yL M 0, ada x agar

èE ½£,I „ R £ „ è ˜w (49) untuk yK S x.

Berdasarkan (48), diperoleh

P*è ½£,I „ R £ „ è M L+

8 P «è ½£,I „ R E ½£,I „ è M_2®.L

Jadi, untuk membuktikan (45) tinggal ditunjukkan

lim

I4YP «è ½£,I „ R E ½£,I „ è M

L 2® # 0.

Dengan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh

P «è ½£,I „ R E ½£,I „ è Mw® 8Ó éÊ¯«Žµ_w¼ê,ÃÏ ®.

Jadi, tinggal membuktikan bahwa

Ó éÊ¯«Žµê,ÃÏ ®

w¼ 4 0. (50)

Berdasarkan persamaan (23) pada Lema 14, maka persamaan (50) terbukti. Jadi, Lema 13 terbukti.

Lema 15

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Maka

nI4 nJ , (51) dan untuk setiap 0 ˜ >_¯˜ ,

Λµ£,I >¯ 4 ΛJ ´ z¹ , (52) untuk K 4 ∞ . Dengan kata lain, n_I dan

Λµ£,I >¯ adalah penduga konsisten bagi ndan

Λ´ z¹ .

Bukti:

Untuk membuktikan Lema 15, kita hanya perlu membuktikan persamaan (52) karena persamaan (51) merupakan bentuk khusus dari persamaan (52) jika z_¹# . Untuk membuktikan persamaan (52), kita perlu membuktikan

EΛµ£,I >¯ 4 Λ´ z¹ (53) dan

Z[\ «EΛµ£,I >¯ ® 4 0 (54)

untuk K 4 ∞.

Untuk membuktikan persamaan (53) akan dibuktikan bahwa

limI4YEΛµ£,I >¯ # Λ´ z¹ . (55)

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (55) dapat dinyatakan sebagai berikut

EΛµ£,I >¯ # 1

ln «I_±®X 1 j

Y

‘

Ex j , j e >¯"

. 0, K" R Ð>_{2 e}¯ K>¯ ln «I_±®Ñ E[ºI.

(56)

Suku pertama dari (56)

# 1 ln «I_±®X

1 j

Y

‘

Ex j , j e >¯". 0, K"

# 1 ln «I_±®X

1

j C 9 I 9 0, K" E9

‘±Wª³

‘± Y

‘

# 1 ln «I_±®X

1

j C * £ 9 e j e [ 9 e j + ª³

› Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

# 1

ln «I_±®C £ 9

ª³

›

X_j1

Y

‘

(16)

e [ ln «I_±®C 9

ª³

›

X1_j

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

e [

ln «I_±®C X I 9 e j 0, K"

Y ‘ E9 ª³ › . (57)

Suku pertama dari ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut

1 ln «I_±®X

1 j

Y

‘

I 9 e j 0, K"

# 1 e s «_{Â· I/±}® (58) untuk n 4 ∞, dan

C £ 9 ª³

›

E9 # Λ£ >¯ .

(59)

Dari (58) dan (59), kita peroleh suku pertama ruas kanan (57) yaitu

# *Λ£ >¯ + Á1 e s «_{Â· I/±}®Å

# Λ£ >¯ e s Á_Â·«Ã Ä®Å

(60)

untuk n 4 ∞.

Suku kedua ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut

[ ln «I_±®C 9

ª³

›

X1_j

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

# C [9

ª³

›

E9 1 ln «I_±®X

1 j

Y

‘

I 9 e j 0, K"

#Ê>¯Á1 e s «_{Â· I/±}®Å

#Ê>¯e s «_{Â· I/±}® (61) untuk n 4 ∞.

Suku ketiga ruas kanan (57) dapat diuraikan sebagai berikut

X I 9 e j 0, K"

Y

‘

#Ke s 1

(62) untuk n 4 ∞, dan

[

ln «I_±®C E9

ª³

›

# [ >¯ ln «I_±®.

(63)

Dari (62) dan (63), kita peroleh suku ketiga pada ruas kanan persamaan (57) yaitu

# Ê±ª³ Â·«Ã_Ä®«

I

±e s 1 ®

#ÊIª³

Â·«Ã_Ä®e s «Â· I/±® (64)

untuk n 4 ∞.

Berdasarkan (60), (61) dan (64), ruas kanan persamaan (57) menjadi

# Λ£ >¯ eÊ>¯e_Â·«ÊIªÃ³

Ä®e s ÁÂ·«ÃÄ®Å

(65)

untuk n 4 ∞.

Dengan mensubstitusikan (17), maka suku kedua dari (56) menjadi

Áª³¼_e Iª³ Â·«Ã_Ä®Å E[ºI

# Áª³¼_e Iª³ Â·«Ã_Ä®Å Æ[ e

ƒ

I e s «I¼®Ç

#Ê>¯e_Â·«ÊIªÃ³

Ä®e s ÁÂ·«ÃÄ®Å

(66)

untuk n 4 ∞.

Dari (65) dan (66) diperoleh persamaan (56) yaitu

# áΛ£ >¯ eÊ>¯e_Â·«ÊIªÃ³

R áÊ>¯e_Â·«ÊIªÃ³

# Λ£ >¯ e s Á_Â·«Ã Ä®Å

untuk n 4 ∞. Jadi, persamaan (53) terbukti.

Untuk membuktikan persamaan (54), kita tahu bahwa

Λµ£,I >¯ # 1

ln «I_±®X 1 j

Y

‘

x j , j e >¯"

. 0, K" R [ºIÐ>_{2 e}¯ K>¯

ln «I_±®Ñ.

(67)

Misalkan

# 1 ln «I_±®X

1

j x j , j e >¯". 0, K" Y

‘

,

# [ºIÁª³¼e_Â·«IªÃ³ Ä®Å,

(17)

Sehingga

Z[\ «Λµ£,I >¯ ® # Z[\ e Z[\

R 2`ab , .

(68)

Suku pertama dari ruas kanan (68) adalah

Z[\ ã 1

ln «I_±®X 1 j Y

‘

x j , j e >¯". 0, K" ä

# 1 «ln «I_±®® X

1 j Y

‘

Z[\ x j , j e >¯". 0, K" .

Karena x adalah peubah acak Poisson, maka

Z[\ x # Ex, sehingga persamaan diatas menjadi

# 1

«ln «I_±®® X 1 j Y

‘

Ex j , j e >¯". 0, K"

# 1

«ln «I_±®® X 1 j Y

‘

C 9 I 9 0,K" E9

j e>\

j

# 1

«ln «I_±®® X 1 j Y

‘

C * d 9 e j e [ 9 e j + >\

0

I 9 e j 0, K" E9

# 1

«ln «I_±®® C £ 9

ª³

›

X_j1

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9 e [ «ln «I_±®®

C 9

ª³

›

X_j1

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

e [

«ln «I_±®® C X 1 j

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

ª³

›

.

(69)

Suku pertama dari ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut

X_j1

Y

‘

9 e j 0, K" # s 1

(70) untuk n 4 ∞, dan

1

«ln «I_±®® C £ 9

ª³

›

E9 # 1

«ln «I_±®® Λ£ >¯

(71)

Dari (70) dan (71), diperoleh suku pertama pada ruas kanan (69) yaitu

#

«Â·«Ã_Ä®®¼Λ£ >¯ s 1

# s Á

«Â·«Ã_Ä®®¼Å (72)

untuk K 4 ∞.

Suku kedua pada ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut

[

«ln «I_±®® C 9

ª³

›

X_j1

Y

‘

I 9 e j 0, K" E9

# [

«ln «I_±®® C 9 ª³

›

E9 X_j1 Y

‘

I 9 e j 0, K"

# [>\2 «ln «I_±®® s 1

# s Á

«Â·«Ã_Ä®®¼Å (73)

untuk K 4 ∞.

Suku ketiga pada ruas kanan (69) dapat diuraikan sebagai berikut

[

«ln «I_±®® C E9

ª³

›

X1_j

Y

‘

I 9 e j 0, K"

# [ >¯ «ln«K®®2 s 1 # s Á

«Â·«Ã_Ä®®¼Å (74)

untuk K 4 ∞.

Berdasarkan (72), (73) dan (74), suku pertama pada ruas kanan (68) yaitu

Z[\ # s Á

«Â·«Ã_Ä®®¼Å (75)

untuk K 4 ∞.

Dengan mensubstitusikan (18), maka suku kedua pada ruas kanan (68) yaitu

Z[\ # Áª³¼_e Iª³

Â·«Ã_Ä®Å Z[\ [ºI

# Áª³¼_e Iª³ Â·«Ã_Ä®Å Æ

Ê

I¼e s «_IÒ®Ç

# Êª³

I Â·«Ã_Ä®e s ÁI¼_Â·«Ã Ä®Å

(76)

(18)

Dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga pada ruas kanan (68) tidak lebih dari

# s Á_Â·«Ã

Ä®Å s ÐåI Â·«Ã_Ä®Ñ

# s Á_{I Â·«}Ã Ä®Å

(77)

untuk K 4 ∞.

Dengan menggabungkan persamaan (75), (76) dan (77), kita peroleh

Z[\ «Λµd,K >\ ® #_{K ln«}2[>\K_®e s Á_{I Â·«}Ã Ä®Å

(78)

untuk K 4 ∞ , sehingga persamaan (54) terbukti.

Akibat 1

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan di (1) dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z M 0, maka

ΛµI > R Λ > 4 0J (79) untuk K 4 ∞.

Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang .

Teorema 1 (Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran )

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z M 0 dan T M 0, maka

?¦§,I > R ?¦§ > J

4 0 (80) untuk n 4 ∞.

Bukti:

Berdasarkan persamaan (3) dan (6) didapatkan

?¦§,I > R ?¦§ >

©µ¶ª

© ª

§‹-UG ! ®Å. (81)

Suku pertama pada ruas kanan (81) dapat diuraikan sebagai berikut

1 e Λ > e ¨ e*Λ > +

UG

(82) untuk T S 1 dan K 4 ∞.

Dengan menggunakan deret Taylor dan Akibat 1, maka

# —G© ª_a J 1

# aJ 1 (83)

untuk K 4 ∞.

Dari (82) dan (83), diperoleh suku pertama pada ruas kanan persamaan (81) yaitu

# aJ 1 s 1

# aJ 1 (84)

untuk K 4 ∞.

dan

§‹-UG ! ®Å # ∑

Untuk setiap 1 8 í 8 T R 1, maka

«©µ¶ª ®ë ì! R

8_ì!èΛµ· > R Λ > è Æ«Λµ· > ® ìG

e «Λµ· > ®

ìG

Λ > e ¨ e *Λ > +ìG ®

8_{í! èΛ}1 µ· > R Λ > è

Æí max i«Λµ· > ® ìG

, *Λ > +ìG îÇ

8 _{ìG !}èΛµ· > R Λ > è

Æ«Λµ· > ® ìG

(19)

ë‹-ìG ! UG

ì › e

ë‹-ìG ! UG

ì › . (86)

Menurut Akibat 1, Λµ_· > R Λ > # a_J 1 sehingga persamaan (86) menjadi

# aJ 1 (87) untuk K 4 ∞.

Dari (85) dan (87), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (81) yaitu

8 1 «aJ 1 ®

# aJ 1 (88)

untuk K 4 ∞.

Berdasarkan persamaan (84) dan (88), maka ruas kanan persamaan (81) adalah a_J 1 , sehingga Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Kekonsistenan Penduga Fungsi Kepekatan Peluang )

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika œ_IÈ 0 ,

œIln K 4 ∞, maka untuk setiap> M 0 dan

T M 0, kita peroleh

B½¦§,I > R B¦§ > ï

4 0 (89) untuk n 4 ∞ asalkan > adalah titik Lebesgue dari .

Bukti:

Berdasarkan persamaan (5) dan (9) didapatkan

B½¦§,I > R B¦§ >

¾‹-UG ! Ñ R

¾‹-UG ! Å

¾‹-UG ! e * ½£,I > e

¾‹-UG ! R

¾‹-UG ! Å (90)

Suku pertama pada ruas kanan (90) dapat diuraikan sebagai berikut

Menurut Lema 13, Lema 15, dan Akibat 1, maka

(91) untuk setiap > M 0 dan n 4 ∞.

dan

¾‹-UG ! # s 1 (92)

untuk n 4 ∞.

Dari (91) dan (92) diperoleh suku pertama pada ruas kanan persamaan (90) yaitu

# aJ 1 (93) untuk K 4 ∞.

«©µ¶ª ®ë ì! R

(95)

Berdasarkan persamaan (86), maka hasil dari persamaan (95) yaitu

# aJ 1 (96) untuk K 4 ∞.

Dari (93) dan (96), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (90) yaitu

# sJ 1 «aJ 1 ®

# aJ 1 (97)

untuk K 4 ∞.

(20)

SIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji masalah kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear.

Fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu ‡_U adalah sebagai berikut

§‹-UG ! ®

dan

¾‹-UG !

dengan > M 0 dan T M 0.

Sedangkan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu dengan menggunakan realisasi yang diamati

pada interval 0, K" dirumuskan sebagai berikut

§‹-UG ! ®

dan

¾‹-UG !

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa

1. ?_¦_§_,I > adalah penduga konsisten bagi

?¦§ > ,untuk n 4∞.

2. B½_¦_§_,I > adalah penduga konsisten bagi

(21)

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI

KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(22)

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York.

Casella, G. dan RL. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove. California.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. John Wiley & Sons. New York.

Damiri, S.D. 2003. Metode Untuk Menduga Fungsi Intensitas Global pada Proses Poisson Periodik. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Durret R. 1996. Probability: Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York.

Grimmett GR. dan DR. Stirzaker. 1992.

Probability and Random Process. Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary Application. W. H. Freeman & Company. New York.

Hogg RV, AT. Craig, dan JW. McKean. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph. D. Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam.

Mangku IW. 2010. Consistent Estimation of the Distribution Function and The Density of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Far East Journal of Theoretical Statistics.

Purcell EJ dan D. Verberg. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. Ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed. Ke-2. John Wiley & Sons. New York.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John Wiley & Sons. New York.

Taylor HM. dan S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastic Modelling. Academic Press Inc. Orlando, Florida.

Wheeden RL. dan A. Zygmund. 1977.

(23)

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

(24)

ABSTRAK

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

(25)

ABSTRACT

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

(26)

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

(27)

Judul Skripsi : Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan

Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren

Linear.

Nama

: Tita Robiah Al Adawiyah

NRP

: G54070030

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Ir. Retno Budiarti, M.S.

NIP. 19620305 198703 1 001

NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(28)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2011

(29)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Subang pada tanggal 21 Maret 1990 dari ayah Tarsid Sadikin dan ibu Eli Haryati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara

Tahun 2001 penulis lulus dari SDN 1 Pabuaran. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1 Pabuaran. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Ciasem dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(30)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang ... 1 Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI ... 1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 1 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2 Kekonvergenan ... 2 Momen, Nilai Harapan dan Ragam ... 2 Penduga dan Sifat-sifatnya ... 3 Proses Stokastik dan Proses Poisson ... 4 Beberapa Definisi dan Lema Teknis ... 5

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7 Perumusan Penduga ... 7 Kekonsistenan dari ... 9 Kekonsistenan dari _, ... 9 Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang . ... 16

SIMPULAN ... 18

DAFTAR PUSTAKA ... 19

(31)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

(32)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 2 (Kejadian)

.

1. ;

2. Jika , , … maka ∞ ;

3. Jika maka .

Definisi 5 (Ukuran peluang)

(33)

2. Jika , , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari , yaitu

$ %# ,

untuk setiap i, j dengan & ' (, maka

Ρ ∞ # ∑ *Ρ∞ +.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Pasangan , ,Ρ disebut ruang peluang.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika

Ρ $ #P P .

Secara umum, himpunan kejadian { ; & Ι} dikatakan saling bebas jika

P*. _/ +=∏ _/P ,

untuk setiap himpunan bagian berhingga 1 dari Ι.

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah acak)

Peubah acak 2 adalah fungsi 2: 4 5 dengan 67 : 2 7 8 9: untuk setiap

9 5.

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti 2, ; dan <. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 9, = dan >.

Definisi 8 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah

?@: 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh

?@ 9 #P 2 8 9 .

Fungsi ?_@ disebut fungsi sebaran dari peubah acak 2.

Definisi 9 (Peubah acak diskret)

Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan himpunan tercacah.

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 2 adalah fungsi A_@: 5 4 0, 1", yaitu

A@ 9 #Ρ 2 # 9 .

Definisi 11 ( Peubah acak kontinu)

Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada fungsi B_@ sehingga fungsi sebaran ?_@ dapat dinyatakan sebagai

?@ 9 # C B@ D ED F

G∞

,

9 5, dengan B_@H 5 4 0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi B_@ disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak 2.

Kekonvergenan

Definisi 12 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak pada suatu ruang peluang , ,Ρ . Suatu barisan peubah acak 2 , 2 , …, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak 2, ditulis 2_I4 2J , untuk K 4∞, jika untuk setiap

L M 0,

lim

I4∞Ρ |2IR 2| S L # 0.

Lema 1 (Sifat k