II LANDASAN TEOR

Definisi 2 (Solusi Fisibel) Dalam bab ini diberikan beberapa definisi

dan teori tentang pemodelan seperti linear programming (LP), integer linear programming (ILP), dan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah integer programming. Berikut ini akan dibahas satu persatu.

Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi semua kendala pada LP.

(Nash & Sofer, 1996) Definisi 3 (Daerah Fisibel atau Himpunan Fisibel)

Daerah fisibel atau himpunan fisibel adalah himpunan dari semua solusi fisibel.

2.1 Linear Programming

LP merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model LP merupakan pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear.

(Nash & Sofer, 1996) Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks berukuran m m× yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N adalah matriks berukuran

Pada karya ilmiah ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang

didefinisikan sebagai berikut:

(

)

m× n−m yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Berikut definisi matriks basis:

Definisi 1 (Bentuk standar suatu LP) Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar:

Minimumkan fungsi objektif z = cTx

Definisi 4 (Matriks Basis) Terhadap Ax = b

Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1) jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.

x≥0

dengan b≥0 …(1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m×n yang disebut juga matriks kendala.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972) Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor (Nash & Sofer, 1996)

Solusi LP

Metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimum suatu masalah LP. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar.

B N x x x =

⎛ ⎞_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

dengan xB adalah vektor variabel basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai

(

)

B N B N x Ax B N x Bx Nx

b

= = +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

…(2)

Karena B adalah matriks tak singular, maka B

memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat dinyatakan sebagai

1 1

B N

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menunjukkan peranan ILP dalam penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai

dengan karakter tanah dan meminimumkan total biaya produksi pupuk.

II LANDASAN TEORI

Definisi 2 (Solusi Fisibel) Dalam bab ini diberikan beberapa definisi

dan teori tentang pemodelan seperti linear programming (LP), integer linear programming (ILP), dan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah integer programming. Berikut ini akan dibahas satu persatu.

Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi semua kendala pada LP.

(Nash & Sofer, 1996) Definisi 3 (Daerah Fisibel atau Himpunan Fisibel)

Daerah fisibel atau himpunan fisibel adalah himpunan dari semua solusi fisibel.

2.1 Linear Programming

LP merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model LP merupakan pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear.

(Nash & Sofer, 1996) Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks berukuran m m× yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N adalah matriks berukuran

Pada karya ilmiah ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang

didefinisikan sebagai berikut:

(

)

m× n−m yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Berikut definisi matriks basis:

Definisi 1 (Bentuk standar suatu LP) Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar:

Minimumkan fungsi objektif z = cTx

Definisi 4 (Matriks Basis) Terhadap Ax = b

Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1) jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.

x≥0

dengan b≥0 …(1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m×n yang disebut juga matriks kendala.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972) Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor (Nash & Sofer, 1996)

Solusi LP

Metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimum suatu masalah LP. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar.

B N x x x =

⎛ ⎞_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

dengan xB adalah vektor variabel basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai

(

)

B N B N x Ax B N x Bx Nx

b

= = +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

…(2)

Karena B adalah matriks tak singular, maka B

memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat dinyatakan sebagai

1 1

B N

Integer Linear Programming

Definisi 5 (Solusi Basis)

Model ILP atau disebut juga Integer Programming (IP), adalah suatu model LP yang menggunakan bilangan bulat (integer)

sebagai variabel keputusan. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming.

Jika hanya sebagian yang harus integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.

Vektor x disebut solusi basis jika:

i. x memenuhi kendala persamaan Ax = b

dari LP.

ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen tak nol dari x adalah bebas linear.

(Nash & Sofer, 1996) Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x

merupakan solusi basis danx≥0. (Garfinkel & Nemhauser, 1972) (Nash & Sofer, 1996)

Definisi 7 (Linear Programming-Relaksasi) LP-Relaksasi dari suatu IP merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya.

Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut :

Contoh 1

(Winston, 1995) Misalkan diberikan LP berikut:

1 2 Minimumkan 2z= − x

−3x

terhadap : −2x₁+x₂ +x₃ =4, 1,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Metode Branch and Bound untuk Menyelesaikan Masalah IP

Prinsip dasar metode branch and bound

adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem.

− +x₁ 2x₂ +x₄ =1

x₁+x₅ =5, x x x x x₁, ₂, ₃, ₄, ₅ ≥0 …(4) Dari LP tersebut didapatkan:

, 2 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 11 1 0 0 0 1 5 A b − = − =

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

• Branch Misalkan dipilih

(

3 4 5

)

dan

(

1 2

)

T B N T x = x x x x = x x

Dalam tahap ini daerah solusi dipartisikan ke dalam beberapa subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP sehingga secara tidak langsung titik

integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem- subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan branching.

maka matriks basisnya adalah . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B=

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

Dengan menggunakan matriks basis tersebut,

diperoleh • Bound

Misalkan masalahnya diasumsikan merupakan tipe maksimisasi. Nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding.

(

)

(

)

1 0 0 , 4 11 5 . T N T B x x B b− = = = …(5)

Solusi (5) merupakan solusi basis karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi fisibel basis karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

Aspek kunci dari metode branch and bound adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Periksa apakah IP memenuhi kondisi berikut:

1) Subproblem tidak fisibel.

2) Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer. 3) Nilai optimal untuk subproblem lebih

kecil dari (dalam masalah memaksimumkan) batas bawah (lower bound/LB).

Jika ketiga kondisi tersebut terpenuhi maka cabang subproblem tidak diperlukan. Langkah 2: Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut:

1) Subproblem tidak fisibel.

2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik) setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem.

(Winston, 1995) Contoh 2

Misalkan diberikan IP berikut : Maksimumkan z =4x₁+5x₂ Terhadap : x₁+4x₂ ≤5

3x₁+2x₂ ≤7 …(6)

0

x x₁, ₂ ≥ dan integer

Daerah fisibel untuk masalah IP diatas diberikan pada gambar berikut :

Metode branch and bound dimulai dengan menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem

1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah diatas adalah

Solusi tersebut tidak memenuhi kendala

integer. Oleh karena itu, harus dibuat

subproblem yang baru dengan memilih

variabel yang tidak memenuhi kendala

integer. Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalkan dipilih sebagai dasar pencabangan. Dengan memilih , diketahui bahwa daerah dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP (6) yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut :

1 1, 8 x = 1 1, 8 x = 1 (1<x <2)

• Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala ,

1 (x ≥2)

)

• Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala 1

(x ≤1 .

Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan

subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:

Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat diselesaikan secara bersamaan, sehingga harus diselesaikan dengan dua masalah linear programming yang berbeda. Pada subproblem

3 diperoleh solusi

1 1, 8, 0, 8, x2 dan 11, 4.

x = = z=

1 1

x = , , dan z = 9. Karena semua variabel bernilai integer, maka tidak perlu membuat subproblem baru dan solusi ini merupakan kandidat solusi. Pada

subproblem 2 diperoleh solusi 2 1 x =

1 2 x = , , dan z = 10,5. Karena variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Dipilih pencabangan pada subproblem 2 atas

2 0, 5 x =

2

x , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni :

• Subproblem 4 : Subproblem 2 + kendala ,

2 (x ≥1)

)

• Subproblem 5 : Subproblem 2 + kendala 2

Pada subproblem 5 diperoleh solusi , , dan z = 9,32. Sedangkan pada subproblem 4 diperoleh solusi takfisibel. Karena variabel pada subproblem 5 masih

tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Seluruh Subproblem

untuk masalah IP (6) diatas diberikan pada gambar berikut 2

0

x

=

1 2, 33 x = Subproblem 1 x1 = 1,8, x2 = 0,8, dan z = 11,4 Subproblem 3* x1 =1, x2 = 1, dan z = 9 Subproblem 5 x1 = 2,33, x2 = 0, dan z = 9,32 Subproblem 4 Solusi tak fisibel

Subproblem 7

x1 = 2, x2 = 0, dan z = 8

Subproblem 2

x1 =2, x2 = 0,5, dan z = 10,5

Subproblem 6 Solusi tak fisibel

Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi IP (6)

Pada Gambar 3, subproblem 3 merupakan kandidat awal karena semua variabelnya bernilai integer . Setelah dilakukan pencabangan hingga subproblem 5 dan

subproblem 7, tidak diperoleh kandidat solusi yang lebih baik. Nilai fungsi objektif

subproblem 5 dan subproblem 7 tidak lebih

besar dari nilai fungsi objektif subproblem 3. Oleh karena itu, z = 9 merupakan solusi optimal untuk masalah IP di atas. Solusi lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.