II LANDASAN TEORI

Untuk memahami penentuan nilai umum asuransi menggunakan teori kontrol optimum, berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema-teorema yang berkaitan di antaranya

2.1Asuransi dan Polis Asuransi Definisi 2.1.1 (Asuransi)

Asuransi adalah suatu kontrak antara dua pihak dengan satu pihak menyetujui untuk

mengganti kerugian dari pihak lain. Pihak yang menyetujui mengganti kerugian disebut penanggung dan pihak yang mengalami

kerugian disebut tertanggung. Pihak

tertanggung membayar klaim pembayaran yang disebut premi kepada pihak penanggung.

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Secara umum produk asuransi

memerlukan penghitungan premi. Prinsip

penghitungan premi saat ini semakin

berkembang dengan berbagai pendekatan. Pendekatan paling sederhana adalah prinsip nilai harapan yaitu premi bersih sama dengan nilai harapan klaim dikalikan konstanta tertentu. Dalam menentukan harga premi asuransi disarankan menggunakan momen orde tertinggi dari sebaran klaim atau menggunakan teori utilitas. Kenyataannya, semua prinsip ini gagal untuk menghitung sifat kompetitif alami dari penentuan harga asuransi (Emms & Haberman 2005).

Penjelasan mengenai permodelan premi asuransi yang harus ditentukan di pasar yang kompetitif dan reaksi mereka terhadap perubahan premi yang ditawarkan perusahaan kompetitor sangat sedikit dibahas dalam literatur asuransi. Walaupun faktanya bahwa siklus pertanggungan pada non-life insurance yang dikenal sekarang dan analisis objektif diperlukan untuk merumuskan strategi pertanggungan dengan baik dibandingkan dengan mengikuti trend (Emms & Haberman 2005).

Kebijakan perusahaan asuransi

dipengaruhi oleh harga yang ditawarkan oleh

perusahaan lain. Selama siklus

pertanggungan, masing-masing perusahaan asuransi mengikuti pasar. Ketika premi pasar menurun maka premi perusahaan asuransi juga menurun. Sebaliknya ketika premi pasar

mengalami peningkatan maka premi

perusahaan asuransi juga meningkat (Emms & Haberman 2005).

Harga premi relatif yang lebih rendah menghasilkan resiko di dalam pasar asuransi pada keuntungan yang lebih rendah untuk perusahaan asuransi. Premi adalah sebuah bentuk yang ditetapkan dalam upaya mengoptimumkan kekayaan dengan cara menjual asuransi sesuai permintaan. Secara implisit, strategi masing-masing perusahaan asuransi tidak mempengaruhi pasar. Hal ini masuk akal sepanjang perusahaan asuransi relatif kecil dibanding dengan ukuran pasar (Emms & Haberman 2005).

Taylor (1986) mengasumsikan bahwa kompetisi dapat memberikan pengaruh pada strategi premi perusahaan asuransi. Taylor meneliti perubahan drastis tingkat premi yang ditawarkan oleh perusahaan asuransi di pasar asuransi Australia. Harga asuransi setelah kejadian bencana besar, misalnya bencana alam, sering diikuti oleh periode tingkat premi yang lebih tinggi dan memperhitungkan

keuntungan. Masing-masing perusahaan

asuransi cenderung mengikuti pasar daripada harga asuransi berdasarkan prediksi sebaran klaim. Permasalahan ini membawa ke suatu model formulasi yang berdasarkan permintaan dan sebaran klaim. Taylor menggunakan model deterministik diskret. Sebelumnya telah

dibuat secara umum pendekatannya

menggunakan model stokastik kontinu, dengan analisisnya menggunakan teori kontrol optimum (Emms & Haberman 2005).

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari karya tulis ini adalah menemukan strategi premi asuransi optimal

yang memaksimumkan kekayaan akhir

perusahaan asuransi dengan strategi

deterministik.

II LANDASAN TEORI

Untuk memahami penentuan nilai umum asuransi menggunakan teori kontrol optimum, berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema-teorema yang berkaitan di antaranya

2.1Asuransi dan Polis Asuransi Definisi 2.1.1 (Asuransi)

Asuransi adalah suatu kontrak antara dua pihak dengan satu pihak menyetujui untuk

mengganti kerugian dari pihak lain. Pihak yang menyetujui mengganti kerugian disebut penanggung dan pihak yang mengalami

kerugian disebut tertanggung. Pihak

tertanggung membayar klaim pembayaran yang disebut premi kepada pihak penanggung.

Definisi 2.1.2 (Polis Asuransi)

Polis asuransi adalah kontrak asuransi

antara pihak penanggung dan pihak

tertanggung.

(Dorfman 2004)

2.2 Barisan dan Deret

Definisi 2.2.1 (Barisan Takhingga)

Barisan takhingga adalah suatu susunan bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan tertentu a a a₁, ₂, ₃,...,a_n. Barisan



a a a1, 2, 3,...



dapat dinyatakan dengan

 

a

n _n^_1 .

(Stewart 1999)

Definisi 2.2.1 (Deret Takhingga)

Deret takhingga adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan takhingga

 

an ^_n1 yaitu a₁a₂a₃ ... a_n... dan dinotasikan dengan 1 n n a  



. ( Stewart 1999)

Definisi 2.2.1 (Deret Taylor)

Fungsi f sebarang di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) disebut deret Taylor jika memenuhi persamaan

( ) 0 (1) (2) 1 2 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1! 2! n n n f a f x x a n f a f a f a x a x a          



Bukti:lihat Stewart 1999, hal 188.

(Stewart 1999)

2.3 Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.3.1 (Persamaan Linear Orde Satu)

Persamaan linear orde satu dapat ditulis sebagai berikut

0( )^dy 1( ) ( ), a x a x y F x

dx 

dengan a x a x₀( ) , ₁( ) ,dan F x( )adalah fungsi tertentu yang didefinisikan pada interval tertentu I. Diasumsikan bahwa a x₀( )0

untuk semua xI , kemudian masing-masing ruas dibagi oleh a x₀( )dan menulis ulang persamaan menjadi

( ) ( )

y p x y f x

denganp x( )a x a x₀( ) ₁( )dan f x( )F x a x( ) ₀( ).

Diasumsikan bahwa p(x) dan f(x) adalah kontinu untuk x pada interval I.

Persamaan ini mempunyai solusi umum yaitu

( ) ^ax ( ) ^{ax ax}

y x e^



f x e xce^

Bukti:lihat Farlow 1994, hal 30-31.

(Farlow 1994)

2.4 Proses Stokastik

Definisi 2.4.1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X { ( ),X t tT}adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu

ruang state S.

(Ross 2007)

2.5 Proses Markov

Definisi 2.5.1 (Proses Markov)

Proses Markov adalah suatu proses acak yang peluang nilai yang akan datang ditentukan oleh nilai saat ini. Suatu proses stokastik x(t) disebut Markov jika untuk setiap n dan t1<t2…<tn maka

1 1 1

( ( )_{n n}| (_n ),..., ( )) ( ( )_{n n}| (_n ))

P x t x x t_ x t P x t x x t_

Karena t1<t2…<tn maka persamaan ini ekivalen terhadap 1 1 ( ( )_{n n}| ( ), _n ) ( ( )_{n n}| (_n )) P x t x x t  t t_ P x t x x t_ (Papoulis 1984) 2.6 Persamaan Bernoulli

Definisi 2.6.1 (Persamaan Bernoulli)

Persamaan diferensial biasa berbentuk

' ( ) ( ) ⁿ

yP x yQ x y disebut persamaan Bernoulli saat n1, 0.Persamaan Bernoulli

khusus karena merupakan persamaan

diferensial tak linear dengan diketahui solusi eksaknya.

(Farlow 1994)

2.7 Persamaan Riccati

Definisi 2.7.1 (Persamaan Riccati)

Persamaan umum Riccati diberikan oleh 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y x a x y x b x y x c x d x   

mempunyai solusi dalam bentuk prosedur infinit 2 2 1 1 ( ) ( 4 ( ( ( 4 ( (...)))))) 2 2 d d y x b b a c b b a c a d x a d x         

Prosedur yang dijelaskan di atas dapat diekspresikan dalam bentuk iterasi

2 0 1 ( ) [ ( ) ( ) 4 ( ) ( )] 2 ( ) y x b x b x a x c x a x     dan 2 1 1 ( ) [ ( ) ( ) 4 ( ) ( ( ) ], 0. 2 ( ) n n d y y x b x b x a x c x n a x d x        (Agnew R.P. 1960) Berikut diberikan beberapa definisi mengenai dasar dari kontrol optimum.

2.8 Masalah Kontrol Optimum

Definisi 2.8.1 (Masalah Kontrol Optimum)

Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol u(t) di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal x t( )₀ pada waktu t0kepada state akhir x T( ) pada waktu akhir T, sedemikian sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan.

(Tu 1983)

2.9 State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol

Definisi 2.9.1 (State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol)

State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari x t( )( ( ),x t x t_{1 2}( ),...,x t_n( )) yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu

0

tt , maka nilainya akan dapat ditentukan pada tt₀ melalui pilihan vektor peubah kontrol u t( )( ( ),u t u t_{1 2}( ),...,u t_n( )).

Vektor x t( ) disebut vektor peubah state sedangkan x t_i( ) disebut peubah state untuk

0

(1 i n t,  t T). Ruang state adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat x t_i( )

di mana 1 i n .

State suatu sistem kontinu pada waktu t dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial yaitu x t( ) f x t u t t[ ( ), ( ), ]

sedangkan state suatu sitem diskret

dinyatakan dalam sistem persamaan beda yaitu x k(  1) f x k u k k[ ( ), ( ), ]. Sistem ini juga dapat berbentuk deterministik dan stokastik.

Peubah kontrol adalah peubah yang memengaruhi suatu sistem dilambangkan dengan u t_i( ) dengan (1 i n t, ₀  t T). Secara umum, kendala peubah kontrol dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-kontrol yang admissible, yang dilambangkan

( ( ))u t

 , artinya kontrol u t_i( )( ( ))u t . Apabila kontrol u t( )hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol open-loop dan apabila kontrol u t( )juga merupakan fungsi dari peubah state x t( ) yaitu u t( )u x t t[ ( ), ], maka disebut kontrol closed-loop .

(Tu 1983)

2.10 Reachability, Controllability, dan Observability

Definisi 2.10.1 (Reachability, Controllability,

dan Observability)

Suatu keadaan 1

x dikatakan dapat dicapai (reachable) dari sebarang keadaan x⁰ pada waktu t₀ jika kontrol u T₁( )( ( ))u T dapat

ditemukan sedemikian sehingga

0 1 1

1

( , , )

x u x t x untuk waktu t₁t₀ . Koleksi dari semua x¹ tersebut disebut reachable state pada waktu t.

Istilah controllability merujuk pada kenyataan bahwa beberapa state terminal 1

x

dapat dicapai dari state awal x⁰ dengan

pilihan kontrol u t( ) yang tepat,

1( ) ( ( ))

u T u T . Jadi, controllability

merupakan syarat perlu untuk adanya suatu solusi.

Observability adalah kemampuan untuk menentukan state awal x⁰ dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan antara peubah state dengan peubah kontrol, misalnya y t( )g x t u t t[ ( ), ( ), ].

(Tu 1983)

2.11Fungsional Objektif

Definisi 2.11.1 (Fungsional Objektif)

Peubah kontrol u t( ) harus dipilih dalam

rangka memaksimumkan atau

meminimumkan fungsional objektif J u t[ ( )], yaitu 0 0 [ ( )] ( ( ), ( ), ) , T t J u t 



f x t u t t dt

Secara umum, terdapat tiga alternatif untuk menyajikan formulasi fungsional objektif, yaitu:

1. Formulasi Bolza

Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum.

0

[ ( )] [ ( ), ] ( ( ), ( ), ) ,

T t

J u t S x T T 



f x t u t t dt

dengan f₀ dan S adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan. Fungsi S x T T[ ( ), ] dikenal

dengan fungsi ‘scrap value’ pada waktu

terminal T .

2. Formulasi Lagrange

Formulasi Lagrange adalah bentuk khusus dari formulasi Bolza dengan S x T T[ ( ), ]0, yaitu 0 [ ( )] ( ( ), ( ), ) . T t J u t 



f x t u t t dt 3. Formulasi Mayer

Formulasi Mayer juga merupakan bentuk

khusus dari formulasi Bolza, dengan

0 ( ( ), ( ), ) 0 T t f x t u t t dt



, yaitu [ ( )] [ ( ), ]. J u t S x T T

Dengan mendefinisikan kembali

peubah-peubahnya, maka ketiga Bolza dapat

dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan

1( ) n x_ t sebagai 0 1( ) 0( , , ) t n t x_ t 



f x u dt, x_n1( )t₀ 0 akan menghasilkan Jx_n1( )t S x T T[ ( ), ]. (Tu 1983)

2.12 Formulasi Masalah Kontrol Optimum Definisi 2.12.1 (Formulasi Masalah Kontrol Optimum)

Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol u*(t) di antara fungsi admissible u(t) yang membawa sistem dari state awal x0 kepada state akhir / terminal xT yang memenuhi kondisi akhir / terminal, melalui

( ) ( ( ), ( ), )

x t  f x t u t t

sehingga fungsional J mencapai nilai

maksimum. Dengan perkataan lain, masalah kontrol optimum adalah memaksimumkan fungsional objektif

 

0 0 ( ) max [ ( )] ( ), ( ( ), ( ), ) T u t U t J u t S x T T f x t u t t   



terhadap kendala 0 0 ( ) ( ( ), ( ), ); ( ) , ( ) n. x t  f x t u t t x t x x t R (Tu 1983) Berikut adalah syarat perlu kontrol optimum

2.13 Prinsip Maksimum Pontryagin

Teorema 2.13.1 (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Misalkan u*(t) sebagai kontrol admissible yang membawa state awal

0 0

( ( ), )x t t kepada target state terminal

( ( ), )x T T , dengan x T( )dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan *

( )

x t merupakan

trajektori atau lintasan dari sistem yang berkaitan dengan u*(t). Supaya kontrol u*(t) merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor p t*( )0, sedemikian sehingga

1. p t*( ) dan x t*( ) merupakan solusi dari sistem kanonik * * * * ( ) ^H( ( ), ( ), ( ), ) x t x t u t p t t p     *( ) ^H( *( ), *( ), *( ), ) p t x t u t p t t x     

dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh 0 ( , , , ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) H x u p t f x t u t t p f x t u t t 2. * * * ( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ( ), ) H x t u t p t t H x t u t p t t . 3. Semua syarat batas terpenuhi.

* * *

( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ( ), ) H x t u t p t t H x t u t p t t

disebut Prinsip Maksimum Pontryagin.

Kondisi ini dipenuhi oleh H_u 0 dan

0

uu

H  . Jika uU dan U himpunan

tertutup, maka H_u 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam himpunan U.

Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u, dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah

u

_maxuntuk masalah memaksimumkan dan

u

_minuntuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum

verteks ke verteks yang lainnya. Ini adalah

kasus khusus dari kontrol ‘bang-bang’.

Syarat cukup mencakup

* * *

( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ( ), ) H x t u t p t t H x t u t p t t .

Vektor p disebut juga vektor adjoin yang memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin merupakan ‘shadow price’ dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan/penurunan untuk setiap kenaikan/penurunan dalam nilai x pada

waktu t yang berkontribusi terhadap

fungsional objektif optimum J. Sedangkan p sebagai tingkat kenaikan (apresiasi untuk

0

p  ), atau penurunan (depresiasi untuk

0

p ) dalam nilai dari tiap unit modal. Nilai dari suatu ^{dH H}

dt t

 

 ^{. Syarat perlu}

untuk masalah kontrol optimum adalah x

p  H ,H_u0 , xH_p. Syarat batas diberikan oleh persamaa

n

0 0

(S_x p)x^{t T}_{t t} [ ( )H t S_t]t_{t t}^{t T} 0

 

   

Apabila scrap S=0, maka persamaan menjadi

0 0

( ) ( )^{t T}_{t t} ( ) ^{t T}_{t t} 0

p t x t  H t t 

   

Khususnya jika waktu awal t₀danx t( )₀ telah ditentukan, sedangkan T dan x T( )belum ditentukan, maka syarat batas menjadi

( ) ( ) ( ) 0

p T x T H T T

   .

Bukti: lihat Tu 1983, hal 114-118.

(Tu 1983)

2.14 Kontrol Optimum Linear

Definisi 2.14.1 (Kontrol Optimum Linear)

Masalah kontrol optimum linear adalah masalah kontrol optimum dengan fungsi Hamiltonian merupakan fungsi linear dari peubah kontrol. Sifat linear tersebut dapat muncul pada Hamiltonian karena fungsi objektif dan atau fungsi kendala merupakan fungsi linear dari peubah kontrol.

Secara umum, fungsi Hamiltonian dalam bentuk linear dapat dituliskan dalam bentuk berikut :

( , , ) ( , , ) ( )

H x p t  x p t u t

dengan ( , , )x p t menyatakan kumpulan koefisien dari u t( )yang disebut sebagai switching function dan ( , , )x p t merupakan kumpulan koefisien yang tidak memuat u t( ). Secara umum, untuk kontrol yang tidak bounded, kontrol ekstremum tidak ada. Jika kontrol terbatas maka kontrol ekstremum tersebut akan terdapat pada batas-batasnya.

Misalkan u berbatas, untuk semua i,

i i i

m u M

,

dengan m_idan M_i

berturut-turut merupakan nilai minimum dan

maksimum yang dapat dicapai oleh u_i. Apabila m_i dan M_i merupakan konstanta maka dapat ditulis sebagai  1 u_i 1.

Dengan menerapkan prinsip maksimum

Pontryagin pada masalah tersebut diperoleh kontrol optimum * i u berikut * 1 jika 0 1 jika 0 i i i u      _{ } 

Jadi, jika u t( ) muncul linear dalam fungsi Hamiltonian dan tiap komponen u_iterbatas, maka kontrol optimum *

( ) i

u t tak kontinu : loncat dari nilai minimum ke nilai maksimum atau sebaliknya sebagai respons terhadap perubahan tanda dari _i. Dengan kata lain,

( , , )x p t

 disebut sebagai switching function dan kontrol *

i

u disebut sebagai kontrol ‘ bang-bang’.

(Tu 1983)

III HASIL DAN PEMBAHASAN