1. Tentukan Ho dan Ha
2. Tentukan arah uji hipotesa ( satu arah atau dua arah ) 3. Tentukan tingkat signifikan ( α )
4. Tentukan nilai derajat bebas ( Db )
5. Tentukan wilayah kritisnya atau nilai tabel t tabel = (α, Db ) 6. Tentukan nilai hitung (t hitung = to )
7. Tentukan keputusan dan gambar 8. Kesimpulan dan analisis
Ada 3 wilayah kritis dalam distribusi t, yaitu :
1. Dua Arah ( Ho : μ1 = μ2, Ha : μ1 ≠ μ2 )
Ho diterima jika : -t tabel ( α/2, Db ) < to < t tabel ( α/2, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α/2, Db ) atau to < - t tabel ( α/2, Db )
-α/2 0 +α/2
Gambar 2.1 : Kurva Distribusi t Dua Arah
2. Satu Arah, Sisi Kanan ( Ho : μ1 ≤ μ2, Ha : μ1 > μ2 ) Ho diterima jika : to < t tabel ( α, Db )
STATISTIKA 2 Page 25 ATA 12/13 0 +t tabel
Gambar 2.2 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kanan
3. Satu Arah, Sisi Kiri ( Ho : μ1 ≥ μ2, Ha : μ1 < μ2 ) Ho diterima jika : to > - t tabel ( α, Db )
Ho ditolak jika : to < - t tabel ( α, Db )
Ho Ha
-t tabel
Gambar 2.3 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kiri IV. Contoh Soal :
1. Sebuah perusahaan mobil di turki meramalkan bahwa rata – rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 20 mobil/bulan. Untuk menguji apakah hipotesis itu benar maka perusahaan melakukan pengujian dalam 25 bulan dan diketahui rata – rata sampel 22 mobil/bulan dengan simpangan baku 4 mobil/bulan. Apakah hasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesis awal perusahaan ? (selang kepercayaan 95%) (MADAS 1213)
Dik : μ = 20 x = 22
α = 5% = 0,05 n = 25
s = 4
STATISTIKA 2 Page 26 ATA 12/13
Pengujian Hipotesis :
1. Ho : μ1 = 20 Ha : μ1 ≠ 20
2. 1 rata – rata, uji 2 arah 3. α/2 = 5 % /2 = 0,025 4. Db = n – 1 = 25 – 1 = 24 5. t tabel (α, Db) = ( 0,025 ; 24 ) = ± 2,064 6. to = = = = 2,5 7. Keputusan :
karena t hitung = 2,5 berada di dalam selang 2,064 < t > -2,064 maka Tolak Ho, Terima Ha
-2,064 0 2,064 2,5
Gambar 2.4
Kurva Distribusi t Satu Rata-rata Dua Arah Contoh
8. Kesimpulan :
Jadi, rata – rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 20 mobil/bulan adalah salah.
STATISTIKA 2 Page 27 ATA 12/13
Langkah-langkah menggunakan software :
1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip)
STATISTIKA 2 Page 28 ATA 12/13
3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya
2. Sebuah perusahaan asuransi menyatakan bahwa rata – rata nasabahnya melakukan pembayaran premi paling banyak $500/bulan melalui agen nya,untuk menguji pernyataan tersebut ia mengambil sampel sebanyak 20 nasabah dan diketahui rata – ratanya $450/bulan dengan simpangan baku $45. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 %. (MADAS 1213) Dik : μ = 500 x = 450 α = 5% = 0,05 n = 20 s = 45
STATISTIKA 2 Page 29 ATA 12/13 Dit : Uji Hipotesis ?
Pengujian Hipotesis :
1. Ho : μ1 ≤ 500 Ha : μ1 > 500
2. 1 rata – rata, uji 1 arah 3. α = 5% = 0,05 4. Db = n – 1 = 20 – 1 = 19 5. t tabel (α, Db) = ( 0,05 ; 19 ) = 1,729 6. to = = = = -4,969 7. Keputusan :
karena t hitung = -4,969 berada di luar selang t > 1,729 maka Terima Ho, Tolak Ha
Ho Ha
-4,969 0 1,729 8. Kesimpulan :
Jadi, rata – rata nasabahnya melakukan pembayaran premi paling banyak $500/bulan adalah benar.
STATISTIKA 2 Page 30 ATA 12/13
Langkah-langkah menggunakan software :
1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip)
STATISTIKA 2 Page 31 ATA 12/13
3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya
3.diketahui data kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam
Shift Malam Shift Siang
Rata-rata kerusakan 20 22
Simpangan baku 4 2
Banyak sampel 5 4
Dengan α = 5%. Ujilah rata-rata kerusakan produk tersebut kurang dari 5 ? (MADAS 1213)
STATISTIKA 2 Page 32 ATA 12/13 Diketahui : x1 = 20 s1 = 4 x2 = 22 s2 = 2 n1 = 5 α = 5% = 0,05 n2 = 4 do = 5 Pengujian hipotesis : 1. Ho : μ1 – μ2 ≥ 5 Ha : μ1 – μ2 < 5 2. Dua rata-rata , uji kiri 3. α = 5 % = 0,05 4. Db = n1 + n2 – 2 = 5 + 4 – 2 = 7 5. t tabel (α : Db ) = (0,05 : 7 ) = -1,895 6. to = = = = = -1,464
7. Karena t hitung = - 1,464 berada diluar selang – 1,895 > t maka terima Ho, Tolak Ha.
-1,89 -1,46 0
Gambar 2.6
Kurva Distribusi t Dua Rata-rata Satu Arah Uji Kiri Contoh Soal 3
8. Kesimpulan :
Jadi rata-rata kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam adalah lebih dari sama dengan 5.
STATISTIKA 2 Page 33 ATA 12/13
DAFTAR PUSTAKA
Ronald Walpole, Pengantar Statistika Edisi ke 3
Haryono Subiyakto, Statistika 2
STATISTIKA 2 Page 34 ATA 12/13
MODUL UJI NON PARAMETIK (CHI-SQUARE / X²) I. PENDAHULUAN
Dalam uji statistika dikenal uji parametrik dan uji nonparametrik. Uji statistika parametrik hanya dapat digunakan jika data menyebar normal atau tidak ditemukannya petunjuk pelanggaran kenormalan dan keragaman atau variasi antara perlakuan-perlakuan / peubah bebas yang dibandingkan dengan homogen.
Untuk data yang tidak memenuhi syarat tersebut dan data dengan satuan pengukuran nominal dan ordinal digunakan uji lain yaitu statistika nonparametrika. Pada modul ini uji statistika nonprmetrik yanga kan dibahas adalah Chisquare (X²).
Chi square merupakan salah satu alat analisis yang banyak digunakan dalam pengujian hipotesis. Chi square terutama digunakan untuk Uji Homogenitas, Uji Independensi, Dan Uji Keselarasan (Goodness Of Fit Test).
II. ANALISIS YANG DIPERLUKAN
Rumus untuk uji Chi Square yaitu sebagai berikut : X² = (∑(fo – fe) ² ) / fe
Keterangan :
fo : hasil observasi pada baris b kolom k
fe : nilai harapan ( expected value ) pada baris b kolom k
Distribusi X2 digunakan untuk menguji:
a. Apakah frekuensi observasi berbeda secara signifikan terhadap frekuensi ekspektasi.
b. Apakah dua variable independent atau tidak.
c. Apakah data sampel menyerupai distribusi hipotesis tertentu seperti distribusi normal, binomial, poisson atau yang lain.
STATISTIKA 2 Page 35 ATA 12/13 Nilai X2 selalu positif karena didapat dari penjumlahan kuadrat dari variable normal standar Z sehingga kurva chi kuadrat tidak mungkin berada di sebelah kiri nilai nol. Bentuk distribusi X2 tergantung dari derajat bebas (db) atau Degree of freedom. Distribusi X2 bukan suatu kurva probabilitas tunggal tetapi merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam-macam distribusi X2. db=1-2 db=3-4 db=5-8 db=9 Gambar
Macam-macam Kurva Distribusi Chi Square
Uji X2 dibagi menjadi:
a. Uji Kecocokan = Uji Kebaikan = test goodness of fit
Hanya terdapat satu baris Db=k-m-1
Dengan:
k = jumlah kategori data sampel
m= jumlah nilai-nilai parameter yang diestimasi.
b. Uji Kebebasan
Jika terdapat lebih dari satu baris Db=(k-1)(b-1)
Dengan:
k = jumlah kolom b = jumlah baris
STATISTIKA 2 Page 36 ATA 12/13
III. UJI INDEPENDENSI
Uji ini digunakan untuk menguji ada atau tidaknya interdependensi antara variabel kuantitaif yang satu dengan yang lainnya berdasarkan observasi yang ada.
IV. CONTOH KASUS
Dalam suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan, diperoleh data sebagai berikut :
Status pendidikan Total S2 S1 SMA Jabatan Manager 50 20 2 72 Supervisor 44 45 2 91 Karyawan 22 50 55 127 Total 116 115 59 290
Dengan taraf nyata 5%, ujilah hipotesis tersebut !
Pengujian Hipotesis :
a. Ho : Tidak ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan
Ha : Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan
b. Menetapkan tingkat signifikan dan derajat bebas a = 5% = 0.05
db = (k -1) (b -1) = (3 – 1) (3 – 1) = 4
c. Menentukan nilai kritis X2 tabel = ( α : db )
STATISTIKA 2 Page 37 ATA 12/13 d. Menentukan nilai test statistik ( nilai hitung)
Fe = Jmlh mnrt baris X jmlh menurut kolom Jmlh seluruh baris dan kolom
Feij i = baris j = kolom Fe11 = (72 X 116) / 290 = 28.8 Fe12 = (72 X 115) / 290 = 28.5517 Fe13 = (72 X 59) / 290 = 14.6483 Fe21 = (91 X 116) / 290 = 36.4 Fe22 = (91 X 115) / 290 = 36.0862 Fe23 = (91 X 59) / 290 = 18.5138 Fe31 = (127 X 116) / 290 = 50.8 Fe32 = (127 X 115) / 290 = 50.3621 Fe33 = (127 X 59) / 290 = 25.8379
Rumus : X2 = Σ (Fo – Fe)2
Fe
fo fe (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2 /fe
50 28.8 21.2 449.44 15.60 20 28.5517 -8.5517 73.1316 2.56 2 14.6483 -12.6483 159.9794 10.92 44 36.4 7.6 57.76 1.58 45 36.0862 8.9138 79.4558 2.20 2 18.5138 -16.5138 273.6973 14.78 22 50.8 -28.8 829.44 16.3 50 50.3621 -0.3621 0.1311 0.003 55 25.8379 29.1621 850.4281 32.91 Total 96.8
STATISTIKA 2 Page 38 ATA 12/13 e. Gambar dan Keputusan :
Ha diterima Ho ditolak
9,488 96.8
Kesimpulan : Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan
Langkah pengerjaan dengan software :
Untuk mencari nilai-nilai data tersebut denganmenggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut :
1. Tekan ikon R Commander pada desktiop kemudian akan muncul tampilan seperti ini.
STATISTIKA 2 Page 39 ATA 12/13 2. Pada R Commander pilih menu bar Statistics, Contingency
Tables, dan Enter and analyze two-way table seperti tampilan dibawah ini.
Gambar 2. Tampilan menu olah data
Kemudian akan tampil seperti dibawah ini.
STATISTIKA 2 Page 40 ATA 12/13 3. Kemudian isi kotak tersebut sesuai contooh kasus, Number of
Rows digeser ke kanan sehingga berubah dari 2 menjadi 3, Number of Columns digeser ke kanan sehingga berubah dari 2
menjadi 3. Kemudian isi Enter Counts. Tampilan data yangsudah diisi sebagai berikut. Kemudian pilih OK.
Gambar 4. Tampilan isi data
4. Kemudian akan tampil output dibawah ini.
STATISTIKA 2 Page 41 ATA 12/13
V. UJI KESELARASAN (GOODNESS OF FIT)
Uji keselarasan adalah perbandingan antara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan. Uji keselarasan pada prinsipnya bertujuan untuk mengetahui apakah sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi teoritis tertentu ataukah tidak.
VI. CONTOH KASUS
Seorang Manajer Pemasaran sabun mandi SINZUI selama ini menggangap bahwa konsumen sama-sama menyukai tiga warna sabun mandi yang diproduksi, yaitu Putih, Biru, dan Merah. Untuk mengetahui apakah pendapat Manajer tersebut benar, maka kepada dua belas responden ditanya warna sabun mandi yang paling disukainya.
Berikut adalah data kuesioner tersebut.
Responden Warna kesukaan Rani Putih Fanny Merah Anna Biru Nina Merah Shinta Biru Rina Putih Dita Biru Citra Merah Desti Merah Lala Biru Rani Putih Novi Merah Acha Biru
Ujilah data diatas dengan menggunakan R commander serta analisislah!
STATISTIKA 2 Page 42 ATA 12/13 a. Tabel Frekuensi :
Pilihan Warna Sabun
Putih Merah Biru
Frekuensi 3 5 5
b. Ho : Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna sabun mandi merata
Ha : Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna sabun mandi tidak merata
c. α = 5% db = k – m – 1 = 3 – 0 – 1 = 2 d. Nilai Kritis : 5,991 e. Nilai Hitung :
fe = jmlh data / banyaknya kolom = 13 / 3= 4.3
Rumus :
X2 = Σ (fo – fe)2
Fe
fo fe (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2 /fe
3 4.3 -1.3 1.69 0.39
5 4.3 0.7 0.49 0.11
5 4.3 0.7 0.49 0.11
STATISTIKA 2 Page 43 ATA 12/13 f. Gambar dan Keputusan :
Ho diterima Ha ditolak
0,61 5,991
Kesimpulan : jumlah konsumen yang meyukai ketiga warna sabun mandi merata.
Langkah pengerjaan dengan software :
Untuk mencari nilai-nilai data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah- langkah berikut :
1. Tekan icon R commander pada dekstop kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini.
STATISTIKA 2 Page 44 ATA 12/13 2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set
adalah responden kemudian tekan tombol OK
Gambar 7. Tampilan menu New data set
Gambar 8. Tampilan New Data Set responden
Kemudian akan muncul Data Editor
Gambar 9. Tampilan Data Editor
3. Masukkan data dengan var1 untuk responden, var2 untuk kode warna, var3 untuk warna pilihan. Jika Data Editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan Rgui di Taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol Close. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double
click pada variabel yang ingin di setting. Pemilihan type, dipilih numeric pada variabel kode warna dan character untuk
responden.
Tekan icon R commander pada dekstop kemudian muncul window data editor.
STATISTIKA 2 Page 45 ATA 12/13 Gambar 10. Tampilan Variable editor responden
Gambar 11. Tampilan Variable editor kode warna
Gambar 12. Tampilan Variable edtor warna pilihan
Kemudian isi masing-masing variabel sesuai dengan data soal setelah selesai isis data kemudian tekan tombol X (close)
Gambar 13. Tampilan isi Data Editor
Selanjutnya, pilih window R-Commander akan muncul tampilan:
STATISTIKA 2 Page 46 ATA 12/13 4. Pada R Commander, pilihmenu bar data, pilih Manage
variables in active data set, pilih Bin numeric variable.
STATISTIKA 2 Page 47 ATA 12/13 6. Akan tampil sebagai berikut denga mengubah terlebuh dahulu
1 : putih 2 : merah 3 : biru Kemudian klik OK
7. Pada R-Commander pilih menu bar pilih Edit data set. Maka akan tampil sebagai berikut.
Sebelumnya kolom warna pilihan tidak terisi data. Close data editor.
STATISTIKA 2 Page 48 ATA 12/13 8. Pada menu bar pilih Statistics, pilih Frequency distribution.
9. Maka akan tampil sebagai berikut, beri tanda check list pada
chisquare goodness of fit test. Kemudian klik OK.
STATISTIKA 2 Page 49 ATA 12/13 11. Maka akan tampil pada R-Commander sebagai berikut.
STATISTIKA 2 Page 50 ATA 12/13
DAFTAR PUSTAKA
Budiyono, 2009, Statistik untuk penelitian, Jakarta : Edisi 2, Sebelas maret university press.
Stephen Larry J dan Siegel Murray R, 2005, Statistik, : Edisi 3, Erlangga.
Soerjadi, 1991, Statistika, ITB BANDUNG.
STATISTIKA 2 Page 51 ATA 12/13
MODUL DISTRIBUSI F (ANOVA) I. PENDAHULUAN
Ditemukan oleh seorang ahli statistik yang bernama R.A. Fisher pada tahun 1920.
Anova kepanjangan dari Analysis of Variance.
Distribusi F/ANOVA adalah prosedur statistika untuk mengkaji (mendeterminasi) apakah rata-rata hitung (mean) dari 3 (tiga) populasi atau lebih, sama atau tidak.
Digunakan untuk menguji rata - rata atau nilai tengah dari tiga atau lebih populasi secara sekaligus, apakah rata-rata atau nilai tengah tersebut sama atau tidak sama.
II. RUMUS-RUMUS DISTRIBUSI F / ANOVA : A. Klasifikasi Satu Arah
Klasifikasi satu arah, adalah klasifikasi pangamatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria. Misalnya saja varietas padi. Dalam klasifikasi satu arah ini, rumus-rumus yang digunakan adalah
1) Ukuran Data Sama
JKT = - JKK = - JKG = JKT – JKK
Keterangan:
JKT : Jumlah Kuadrat Total
X 2ij : Pengamatan ke-j dari populasi ke-i T 2 : Total semua pengamatan
STATISTIKA 2 Page 52 ATA 12/13 JKK : Jumlah Kuadrat Kolom
JKG : Jumlah Kuadrat Galat
nk : Banyaknya anggota secara keseluruhan
T2i : Total semua pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i n : Banyaknya pengamatan / anggota baris
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama
2) Ukuran Data Tidak Sama
JKT = – JKK = – JKG = JKT - JKK
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data tidak sama Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F Hitung Nilai Tengah Kolom JKK k-1 S21 = JKK / (k-1) S21 / S22 Galat JKG k(n-1) S22 = JKG / (k(n-1) Total JKT nk-1 Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F Hitung Nilai Tengah Kolom JKK k-1 S21 = JKK / (k-1) S21 / S22 Galat JKG N-k S22 = JKG / (N – k) Total JKT N-1
STATISTIKA 2 Page 53 ATA 12/13
B. Klasifikasi Dua Arah
Adalah klasifikasi pengamatan yang didasarkan pada 2 kriteria, seperti varietas dan jenis pupuk. Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam baris dan kolom, Kolom menyatakan kriteria klasifikasi yang satu, sedangkan baris menyatakan kriteria klasifikasi yang lain. Rumus-rumus yang digunakan dalam klasifikasi 2 arah adalah : 1) Tanpa Interaksi JKT = - JKK = - JKG = JKT - JKB - JKK Keterangan :
JKT : Jumlah Kuadrat Total JKB : Jumlah Kuadrat Baris JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat T2 : Total semua pengamatan
T2 i : Jumlah/total pengamatan pada baris T2 j : Jumlah/total pengamatan pada Kolom
X2 ij : Jumlah/total keseluruhan dari baris dan kolom k : Jumlah Kolom
bk : Jumlah kolom dan baris b : Jumlah baris
STATISTIKA 2 Page 54 ATA 12/13 Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah tanpa interaksi
2) Dengan Interaksi JKT = – JKK = - JKB = – JK(BK) = - - + JKG = JKT - JKB - JKK - JK(BK)
Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah dengan interaksi Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas
Kuadrat Tengah F Hitung
Nilai Tengah Baris JKB b-1 S21 = JKB / (b-1) f1 = S21 / S23 f2 = S22 / S23 Nilai Tengah Kolom JKK k-1 S22 = JKK / (k-1) Galat JKG (b-1)(k-1) S23 = JKG / (b-1)(k-1) Total JKT bk-1 Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas
Kuadrat Tengah F Hitung
Nilai Tengah Baris JKB b-1 S21 = JKB / (b-1) f1 = S21 / S24 f2 = S22 / S24 f3 = S23 / S24 Nilai Tengah Kolom JKK k-1 S22 = JKK / (k-1) Interaksi JK(BK) (b-1)(k-1) S23 = JK(BK) / (b-1)(k-1) Galat JKG bk(n-1) S24 = JKG / bk(n-1) Total JKT bkn-1
STATISTIKA 2 Page 55 ATA 12/13
III. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Langkah - langkah dalam pengujian hipotesis dalam Distribusi F / Anova dengan klasifikasi satu arah atau dua arah adalah sbb :
1. Tentukan Ho dan Ha
Ho : μ1 = μ2 = μ3 = ... = μn
Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama Atau
Ho : Semua nilai tengah sama
Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah adalah tidak sama 2. Tentukan tingkat signifikan ()
3. Tentukan derajat bebas (db) a. Klasifikasi 1 arah data sama
V1 = k-1 V2 = k (n-1)
b. Klasifikasi 1 arah data tidak sama V1 = k-1 V2 = N - k
c. Klasifikasi 2 arah tanpa interaksi
V1 (baris) = b-1 V1 (kolom) = k-1 V2 = (k-1) (b-1) d. Klasifikasi 2 arah dengan interaksi
V1 (baris) = b-1 V1 (kolom) = k-1 V1 (interaksi) = (k-1) (b-1)
V2 = b.k (n-1)
Ket : k = kolom ; b = baris 4. Tentukan wilayah kritis (F tabel)
ƒ > ( ; V1 ; V2)
5. Menentukan kriteria pengujian Ho diterima jika Fo F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel
6. Nilai hitung (F hitung) Ho Ha
7. Keputusan
STATISTIKA 2 Page 56 ATA 12/13
IV. CONTOH SOAL ANOVA