BAB XII UJI HIPOTESIS
Teorema 12.6.1 Lemma Neyman-Paerson
Misalkan mempunyai pdf ( ). Diberikan
( ) ( ) ( ) dan
C* = {( )| ( ) } dimana k adalah konstanta, sehingga
[( ) | ]
Maka C* adalah uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji dengan
BUKTI :
Untuk membuktikan, ambil notasi vektor, ( ) dan ( ). Jika A adalah sebuah kejadian dimensi ke-n, diberikan
[ | ] ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
Untuk kasus kontinu. Untuk diskrit caranya sama, dengan mengganti integral. Akan digabungkan komplemen dari himpunan C oleh ̅. Dengan catatan bahwa jika A adalah subset dari C*, maka
[ | ] [ | ]
karena ∫ ( ) ∫ ( ). Begitu juga, jika A adalah sebuah subset dari ̅ , maka [ | ] [ | ]
Perhatikan bahwa dari sembarang daerah kritis C didapatkan ( ) ( ̅)dan ( ) ( ̅ ) Selanjutnya,
( ) [ | ] [ ̅| ] dan
( ) [ | ] [ ̅ | ] Dan selisihnya adalah
Kombinasi persamaan
( ) ( ) [ ̅| ] [ ̅ | ] Dengan dan
[ | ] [ | ] dan
[ | ] [ | ] didapat
( ) ( ) [ ̅| ] [ ̅ | ] sehingga
( ) ( ) ( ) { [ ̅| ] [ ̅ | ]}
dengan pada sisi kanan dari pertidaksamaan ini, didapatkan ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]
Jika C adalah daerah kritis dari α, maka ( ) ( ) , maka sisi kanan dari pertidaksamaan adalah 0, selanjutnya ( ) ( )
Filsafat umum dari Neyman-Pearson untuk uji hipotesis adalah mengambil nilai sampel ke dalam daerah kritis. Faktanya, lemma Neyman-Pearson menyatakan bahwa kriteria untuk memilih nilai sampel berdasarkan pada besarnya rasio dari fungsi likelihood dari dan . Contoh 12.6.1
Diketahui sample acak berukuran n dari distribusi eksponensial ( ). Akan menguji dengan dimana .
Lemma Neyman-Pearson menyatakan menolak jika ( )
( ∑ )
( ∑ ) dimana k adalah [ ( ) ] , batas bawah .Sehingga
[ ( ) | ] [∑ ( ) (( ) )| ] jadi,
[ | ] [∑ | ]
dimana (( ) )/( ). Perhatikan bahwa pada pertidaksamaan berubah karena ( ) pada kasus ini. Sehingga, uji kuasa daerah kritis mempunyai bentuk C*
= {( )|∑ }. Perhatikan bahwa batas bawah ,dipunyai ∑ ( ), jadi bahwa ( ) akan memberi daerah kritis pada tingkat kepercayaan α, dan uji ekuivalen akan menolak jika ∑ ( ).
Sama halnya, jika ingin menguji dengan dengan , maka uji kuasa dengan tingkat kepercayaan , jika ∑ ( ). Perbedaan antara dua uji ini adalah tanda dari ( ) pada dua kasus yang berbeda. Dengan kata lain, pada
sisi kanan sebuah persamaan [ | ] [∑ | ] menjadi [∑ | ] jika , yang mana korespondensi untuk ( ) . Catatan bahwa cara ini berlaku untuk C* bergantung pada hipotesisalternatif. Begitu juga, uji kuasa dari dengan adalah sama.
Contoh 12.6.2
Diketahui sampel acak berukuran n dari distribusi normal dengan rata-rata nol, ( ).
Akan diuji dengan dengan . Pada kasus ini,
( )
(√ ) [ ] (√ ) [ ] Selanjutnya, ekuivalensi terhadap
( )
untuk konstanta . Karena , dipunyai , dan uji kuasa mempunyai bentuk {( )| }. Perhatikan juga bahwa ( ) kurang dari , akan menolak jika ( ). Dengan catatan bahwa jika , uji kuasa dari tingkat kepercayaan akan ditolak jika Σ ( ).
Contoh 12.6.3
Dapatkan uji kuasa dari dengan berdasarkan pada statistik ( ). Didapatkan :
( ) ( ) ( ) ( ) sehingga
{ ( )
( )} atau
[ ( )
( )] Karena ( )
( ) , saat log negatif dan uji jika . Sekarang [ | ] ( )
jadi, untuk nilai integral i = 1, …., n, uji kuasa dari tingkat kepercayaan , menolak jika . Untuk menentukan tingkat kepercayaan , uji akan memilih konservasi seperti pembahasan di awal.
Contoh12.6.4
Diberikan sample acak berukuran n, akan diuji ( ) dengan ( ).
( )
( )
Jadi, ditolak jika . Dari teorema limit dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan nilai kritis. Diketahui jika ( ),maka ( )
( )
, dan
̅
√
( )
Demikian, pendekatan tingkat kepercayaan pada uji akan menolak jika √ ( ̅ )
Konsep uji kuasa akan diperluas pada kasus hipotesiskomposit.
12.7 UJI KESERAGAMAN KUASA (UMP)
Di bagian terakhir, dapat dilihat bahwa dalam beberapa kasus pengujian yang sama terdapat uji kuasa terhadap nilai-nilai alternative yang berbeda. Jika dalam uji tersebut terdapat uji kuasa untuk menolak setiap nilai yang mungkin dalam hipotesis alternative komposit, maka uji tersebut dinamakan uji keseragaman kuasa
Definisi 12.7.1
Diberikan …,: mempunyai pdf bersama f( …, ; θ) untuk Ω dan H0 : Ω sedangkan : Ω - Ωo, dimana Ωo subset dari Ω. A adalah daerah kritis , disebut keseragaman kuasa (UMP) dengan tingkat kepercayaan jika :
( ) dan
(θ) ≥ (θ)
Untuk semua Ω - Ωo dan semua daerah kritis C dengan tingkat kepercayaan α.
Hal itu menunjukkan didefinisikan uji UMP untuk tingkat kepercayaan α jika mempunyai nilai α , dan jika untuk semua nilai parameter , mempunyai nilai maksimum kuasa relative untuk semua daerah kritis dari tingkat kepercayaan α
Contoh 12.7.1
Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi eksponensial, ~ EXP (θ).
Seperti pada contoh 12.6.1 bahwa uji kuasa dengan tingkat kepercayaan α H0 : θ = θ0 dengan : θ = θ1 ketika θ0 >θ1 untuk menolak H0 jika 2n ̅/ θ0 = 2 ∑ / θ1 ≥ (2n). karena tidak bergantung pada nilai particular dari θ1 , tetapi kenyataanya bahwa θ1> θ0 itu menunjukkan bahwa uji UMP dari H0 : = θ0 dengan Hα : θ > θ0.
Catatan juga bahwa fungsi kuasa untuk uji ini bisa di ekspresikan dengan syarat CDF chi – square, H(c;v) dengan v = 2n.
(θ) = 1 – H [(θ0 / θ) (2n) ; 2n]
bernilai (θ0 / θ)[2∑ / θ0] = 2 ∑ / θ0 ~ X2 (2n) ketika θ bernilai benar . karena (θ) adalah fungsi naik dari θ, max (θ) = ( 0) = disebut uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk hipotesis komposit H0: ≤ 0 dengan Hα: > 0
Sama halnya dengan uji UMP dari: = 0 dengan Hα: < 0 , menolak H0 jika 2n ̅/ θ0 ≤ (2n). dan fungsi kuasanya adalah
(θ) = H [(θ0 / θ) (2n) ; 2n]
Definisi 12.7.2
Pdf bersama f(x; ) dikatakan mempunyai monoton likelihood ratio (MLR) pada statistik T=t(X) jika terdapat dua atau lebih nilai dari parameter ,rasio nya ( ) ( ) bergantung pada x melalui fungsi t(x), dan rasio ini bukan penurunan fungsi dari t(x).
Contoh 12.7.2
Diberikan sample acak ukuran n dari distribusi eksponensial, Xi EXP( ).
( )=(1/ )n exp (-∑ ) dan ( )
( ) ( ⁄ ) [ ( ) ∑ ]
Dimana sample acak ini tidak bergantung pada fungsi t(x)=∑ jika Sehingga f(x; ) mempunyai penyelesaian MLR dalam statistik T=∑ MLR juga berlaku pada statistik ̅, karena merupakan peningkatan fungsi dari T. MLR bisa digunakan dalam pengujian UMP.
Teorema 12.7.1
Jika pdf bersama f(x; ) mempunyai rasio monoton likehood T = t(X), maka uji UMP dengan ukuran α untuk H0 : θ ≤ θ dengan Hα : > 0 , menolak H0 jika t(X) ≥ k dimana P[t(X)≥k׀ 0]
= α
Untuk menguji H0 : ≥ 0 dengan : < 0 juga bisa diselesaikan dengan pendekatan MLR tetapi tidak sesuai dengan teorema 12.7.1.
Contoh 12.7.3
Di berikan sampel acak dengan ukuran n dari dua parameter distribusi eksponensial
~ ( ). Pdf bersama :
( ) { [ ∑( )]
Jika 1 < 2, maka
( )
( ) { [ ( ]
Fungsi diatas tidak bisa berlaku untuk , tetapi tidak menjadi masalah, sebab
P[ ] = 0 ketika merupakan nilai benar dari . Selanjutnya rasio bukan fungsi naik dari dan MLRnya . Menurut teorema 12.7.1 uji UMP dengan tingkat
kepercayaan untuk menguji dengan menolak jika dimana [ | ] [ ( )]. Didapat ( )
Teorema 12.7.2
Diberikan ,…, mempunyai pdf bersama : F(x;θ) = c (θ)h(x)exp[q(θ)t(x)]
Ada 2 kemungkinan menolak H0, yakni:
1. Suatu uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji H0 : θ ≤ 0 dengan : > 0 , menolak H0 jika t(x)≥k, dimana P[t(X) ≥ k | 0] = α
2. Suatu uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk menguji H0 : ≥ 0 dengan : < 0 , menolak H0 jika t(x) ≤ k, dimana P[t(X) ≤ k| 0] = α
Bukti :
Jika 1< 2, maka q( 1) < ( 2) sehingga ( )
( ) ( )
( ) {[ ( ) ( ) ( )]}
Fungsi diatas merupakan fungsi naik dari t(x) karena ( ) ( )>0.Teorema ini mengikuti kriteria MLR.
Contoh 12.7.4
Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi poisson ~ ( )..pdf bersama ( )= ∑
untuk semua
= ( ) exp [(ln )∑ ]
diketahui q( ) = ln ( ) dan t(µ) = ∑ . Uji UMP dengan tingkat kepercayaan α untuk H0 : ≥
0 dengan : < 0 akan menolak H0 jika T = ∑ ≥ k dimana P[T≥ k]= α.
Karena T ~ POI (n ) , harus mendapatkan
∑ ( )(( )t/t! = α
Terdapat masalah diskrit, tetapi uji yang di jelaskan pada theorem 12.7.2 ini merupakan uji UMP untuk nilai-nilai tertentu yang dapat dicapai.