BAB VII DISTRIBUSI LIMIT

BAB VII DISTRIBUSI LIMIT

7.1 PENDAHULUAN

Di bab 6 telah dibahas metode umum untuk mendapatkan fungsi sebuah distribusi dari variabel acak yaitu ( ). Pada beberapa kejadian, pdf dari dapat dicari dengan mudah. Namun terdapat kejadian yang tidak mudah untuk diselesaikan. Beberapa di antaranya, untuk mendapatkan hasil pendekatan dengan n bernilai besar. Hasil tersebut didasarkan pada dugaan konvergensi dari distribusi limit.

7.2 BARISAN DARI PEUBAH ACAK

Perhatikan suatu barisan peubah acak Y1,Y2,… yang berkaitan dengan barisan CDF nya yaitu G1(y), G2 (y),… untuk setiap n=1,2,…

( ) [ ] (7.2.1) DEFINISI 7.2.1

Jika Y_n~G_n(y), untuk setiap n=1,2,… dan jika untuk beberapa CDF G(y) yaitu,

( ) ( ) (7.2.2) untuk semua nilai y dimana G(y) kontinu, pada barisan Y1,Y2….. dikatakan konvergen dalam distribusi Y~G(y), dan dinyatakan dengan Y_n ^d Y ,CDF G(Y) disebut : Distribusi terbatas dari Y_n.

Contoh 7.2.1

Diberikan X1,X2,…Xn sampel acak dari sebuah distribusi uniform Xi~UNIF(0,1) , dan Y_n:X_n:n merupakan order statistik terbesar, dengan CDF= ( ) , untuk Dapatkan distribusi limit dari Yn=Xn:n.

Penyelesaian:

PDF distribusi Uniform : X_i~UNIF(0,1)  ( )

CDF distribusi Uniform : ( ) ∫ ( ) ∫

Yn= Xn:n adalah order statistik terbesar,dan untuk mencari CDF dari Yn yaitu sebagai berikut:

( ) [ ] [ ( )]

( ) (7.2.3)

Sehingga didapatkan, Gn(y)={

Untuk merupakan fungsi konstan dengan masing-masing 0 dan 1.

Distribusi limit dari Yn yaitu :

( )

( ) Jadi,

G(y) = {

(7.2.4)

merupakan distribusi limit untuk Yn

Gambar 7.1 : Grafik dari CDF G_n(y) dengan limit degenerate CDF G(y) DEFINISI 7.2.2

Fungsi G(y) adalah CDF dari suatu distribusi degenerate pada nilai y=c, diperoleh G(y) = {

(7.2.5)

Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari sebuah distribusi diskrit yang mempunyai peluang sama dengan 1 di nilai y=c dan 0 untuk yang lain.

Contoh 7.2.2

Diberikan X1,X2,…Xn adalah sebuah sampel acak dari distribusi eksponensial, Xi~EXP(), dan Yn=X1:n adalah order statistik terkecil. Tentukan distribusi limit untuk Yn .

Penyelesaian :

PDF distribusi Eksponensial:

X~EXP()  ( ) CDF distribusi Eksponensial:

( ) ∫ CDF dari Yn adalah

( ) [ ] [ ( )]

[ ]

( ) (7.2.6)

dan 0 untuk y yang lain. Kita mempunyai ( ) ( ) jika y>0 karena dalam kejadian ini . Jadi, limitnya 0 jika y<0 dan 1 jika y>0, yang mana distribusi degenerate pada nilai y=0. Pembentukan nilai limit di y=0 adalah 0, artinya bahwa fungsi

limit tidak hanya diskontinu di y=0 tetapi juga tidak kontinu di bagian kanan y=0, yang mana telah menjadi syarat sebuah CDF.

DEFINISI 7.2.3

Sebuah barisan peubah acak Y₁,Y₂,…dikatakan konvergen stokastik ke konstanta c jika mempunyai distribusi limit yang degenerate pada y=c.

Tambahan: Berikut adalah persamaan limit yang sering di gunakan dalam menyelesaikan soal distribusi limit yaitu

( ) (limit natural) (7.2.7)

( ^{( )}) jika

( ) (7.2.8)

Contoh 7.2.3

Diberikan X1,X2,…Xn adalah sebuah sampel acak dari distribusi pareto, Xi~PAR(1,1), dan Yn=nX1:n order statistik terkecil. Dapatkan distribusi limit dari Yn.

Penyelesaian :

PDF distribusi Pareto: Xi~PAR(1,1) yaitu ( ) { ( ) ^{( )}

CDF distribusi Pareto: ( ) ∫ ( )

∫ ( ) ∫ ( )

∫ ∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

Misalkan :

( ) ∫ ^{( )} [ ( )

] ( )

( ) Sedangkan, CDF dari Yn adalah:

( ) [ ] [ ( )]

[ (

)

]

( ) [ ] (7.2.9) Dengan menggunakan limit natural pada persamaan 7.2.4, kita peroleh distribusi limit sebagai berikut:

( )

( )

( ) ( )

dan 0 untuk yang lain, yang merupakan CDF dari distribusi eksponensial, EXP(1). Ini jika diilustrasikan di dalam gambar 7.2, yang mana menunjukkan grafik dari G(y) dan G_n(Y) untuk n=1,2, dan 5

Gambar 7.2 : Grafik dari CDF G_n(y) dengan distribusi limit G(y) Contoh 7.2.4

Untuk sampel acak dari contoh sebelumnya 7.2.3, tetapi dengan Yn=Xn:n yang mana merupakan order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Yn.

Penyelesaian:

CDF dari contoh 7.2.3 yaitu :

( )

CDF dari Yn adalah : ( ) [ ]

[ ( )]

[

] ( ) [

] (7.2.10)

Dan 0 untuk y yang lain. Karena

, kita dapatkan distribusi limit yaitu:

( ) ( ) untuk semua y, dimana bukan CDF karena tidak mendekati 1 dengan .

Contoh 7.2.5

Pada contoh sebelumnya yaitu contoh 7.2.3 dengan ( ) adalah order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Yn.

Penyelesaian :

CDF dari contoh 7.2.3 yaitu :

( )

CDF dari Yn adalah: ( ) [ ]

[ ( )]

[

] [

] [

]

( ) [

] (7.2.11)

Distribusi limitnya yaitu : ( )

( )

[ ]

[

]

( ) Contoh 7.2.6

Dari sebuah sampel acak pada contoh 7.2.2 dengan ( ) adalah order statistik terbesar. Dapatkan distribusi limit dari Yn.

Penyelesaian :

CDF dari contoh 7.2.2 yaitu :

( ) CDF dari Yn adalah: ( ) [ ]

[ ( )]

[ ^{( )}] [ ^{( )}]

( ) [ ] (7.2.12) Distribusi Limitnya yaitu : ( )

( )

[ ]

( ) ( )

Sekarang menghitung ketelitian saat melimitkan CDF dengan pendekatan Gn(y) untuk n yang besar. Misalkan waktu bertahan dalam bulan untuk beberapa tipe dari komponen variabel acak X~EXP(1) dan misalkan 10 komponen yang independen tersebut terhubung dengan sistem parallel. Waktu kegagalan dari sistem adalah T=X10:10, dan CDFnya

( ) ( )

Untuk pendekatan ini digunakan distribusi limit CDF:

( ) [ ]

[ ] ( ) ( ^{( )}) ( )

Misalkan t yang digunakan pada saat t=1,2,5 dan 7 bulan , maka pendekatan peluangnya diperoleh sebagai berikut:

t: 1 2 5 7

( ) 0.010 0.234 0.935 0.9909

( ) 0.025 0.258 0.935 0.9909

Jadi , nilai pendekatan meningkat ketika n bertambah.

Contoh 7.2.7

Diberikan sebuah sampel mean dari sampel acak yang berdistribusi normal ( ), dan ̅ ( ⁄ )

Pdf distribusi normal :

( )

√

( )⁄

CDF dari distribusi normal :

( ) (

)

CDF dari Y_n adalah : ( ) [ ] [

⁄√

⁄√ ] [^{√ ( ) √ ( )}]

( ) [^{√ ( )}] (7.2.13) Limit dari CDF Yn degenerate pada karena, ( )

( ) jika ⁄ jika dan 1 jika , jadi sampel mean konvergen stokastik ke .

7.3 TEOREMA LIMIT PUSAT

TEOREMA 7.3.1

Misal adalah barisan variabel acak dengan CDF masing-masing ( ) ( ) dan dengan MGF masing-masing ( ) ( ) Jika ( ) adalah MGF dari CDF ( ) ( ) ( ) untuk semua pada selang terbuka , maka ( ) ( ) untuk semua titik kontinu pada ( ).

Contoh 7.3.1

Diberikan X1, ..., Xn adalah sampel acak dari distribusi Bernoulli, ( ) dan ∑ . Jika untuk dengan untuk . Dapatkan distribusi limit dari Y_n.

Penyelesaian :

PDF distribusi Bernoulli :

( ) ( ) MGF distribusi Bernoulli :

( ) ( ) ∑

( ) Sedangkan untuk MGF dari CDF G_n(y) yaitu :

( ) ( ) ( )

( ) [ ^{( )}] (7.3.1)

Menurut limit natural pada persamaan (7.2.7), didapakan

( ) ( ) ^{( )} (7.3.2)

yaitu MGF dari distribusi Poisson dengan mean µ. Hal ini konsisten dengan hasil dari Teorema 3.2.3, sehingga dapat disimpulkan ( ).

Contoh 7.3.2

Hukum Bernoulli untuk Nilai yang Besar

Misalkan terdapat tetap dan mengingat barisan dari proporsi sampel, ̂ ⁄ . Dengan menggunakan deret ekspansi ⁄ dengan ⁄ . Dapatkan distribusi limit dari W_n .

Penyelesaian:

PDF distribusi Bernoulli :

( ) ( ) MGF distribusi Bernoulli :

( ) ( ) ∑

( ) ( ) ( ^⁄ )

[ ( ) ]

[ ^{( )}] (7.3.3)

Dimana ( ) ⁄ meliputi bentuk yang diabaikan dari deret ekspansi, dan ( ) untuk . Dari limit (7.2.8) didapat

( ) (7.3.4) dimana MGF dari distribusi berada pada dan ̂ konvergen stokastik pada untuk mendekati tak hingga.

Contoh 7.3.3

Mengingat barisan variabel yang ‘terstandarisasi’:

√ (7.3.5)

Dengan notasi yang disederhanakan √ , didapat ⁄ ⁄ . Dapatkan distribusi Limitnya.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan deret ekspansi dari contoh sebelumnya, ( ) ^⁄ ( ^⁄ )

[ ^⁄ ( ^⁄ )]

[(

) (

)]

[

( )] (7.3.6)

Dimana ( ) untuk . Jadi,

( ) ^⁄ (7.3.7)

yaitu MGF dari distribusi normal standar, dan maka ( ). Ini merupakan contoh dari hasil limit khusus yang disebut Teorema Limit Pusat.

TEOREMA 7.3.2 Teorema Limit Pusat

Jika adalah sampel acak dari distribusi dengan mean µ dan variansi , lalu limit distribusi dari

∑

√ (7.3.8)

adalah normal standar,maka ( ) untuk . Contoh 7.3.4

Diberikan adalah sampel acak dari distribusi uniform, ( ) dan ∑ . Dapatkan Y_n dengan pendekatan distribusi normal.

Penyelesaian:

Pdf distribusi Uniform:

Xi~UNIF(0,1)  ( )

CDF distribusi Uniform :

( ) ∫ ( ) ∫ Mean dari distribusi Uniform :

( ) Variansi dari distribusi Uniform:

( ) ( )

( )

Karena ( ) ⁄ dan ( ) ⁄ didapat perkiraan ( )

( )

Sebagai contoh, jika , kemudian dengan perkiraan ( )

Perkiraan ini sangat dekat, sering digunakan untuk mensimulasikan nomor acak normal standar pada aplikasi komputer.

7.4 PENDEKATAN UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Contoh 7.3.1 sampai 7.3.3 menunjukkan macam-macam distribusi limit yang tergantung pada barisan dari variabel binomial dan diasumsikan sifat dari p dengan .

Contoh 7.3.1 ditunjukkan untuk variabel binomial Y_n ~ BIN (n,p) jika n besar dan p kecil, maka dapat didekati dengan Y_n ~ POI(n,p). Pembahasan ini ditunjukkan dengan cara lain dalam contoh 3.2.9 pada Bab 3 yaitu:

Contoh 3.2.9:

Misalkan 1% dari produksi transistor sebuah perusahaan adalah cacat. Sebuah model baru komputer membutuhkan 100 transistor dan 100 transistor tersebut diseleksi acak dari perakitan perusahaan. Diperoleh 3 transistor cacat dalam pengacakan tersebut, maka peluangnya diperoleh transistor cacat

( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

Dan pendekatan dengan distribusi Poissonnya yaitu:

( )

( )

Contoh 7.3.3 , dengan p dan barisan baku yang sesuai digunakan untuk distribusi normal standart, maka menggunakan sebuah pendekatan normal. Dalam kenyataannya, hal tersebut digunakan untuk nilai n yang besar dan memiliki nilai p maka didekati dengan Yn

~N(np,npq). Pendekatan ini bekerja paling baik ketika nilai p=0,5 karena distribusi binomial simetri ketika p=0,5. Ketepatan ini tergantung pada aplikasinya. Pedoman digunakan untuk distribusi normal standart ketika dan , tetapi tetap memerlukan ketelitian.

Contoh 7.4.1 :

Peluang seorang pemain basket melakukan sebuah penembakan adalah p = 0,5. Jika pemain melakukan 20 penembakan, berapa peluang pemain melakukan penembakan paling sedikit 9 kali?

Penyelesaian : Yn~BIN(n,p) n = 20

p = 0,5 q = 0,5

np = nq = 10 ≥ 5 sehingga dipendekatan Y_n ~N(np,npq) Penyelesaian :

P [Y20≥9] = 1 - P[Y20≤8]

=1 – ∑ (

) Sebuah pendekatan normal

P [Y20≥9] = 1 - P[Y20≤8]

= 1- (

√ )

= 1 - Ø ( - 0,89 )

Karena distribusi binomial merupakan distribusi distribusi diskrit dan distribusi normal merupakan distribusi kontinu, pendekatannya dapat diperbaiki dengan membuat sebuah koreksi kontinuitas. Kenyataannya, masing-masing distribusi binomial , ( ), mempunyai hasil yang sama dengan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi ( ) dan selang [ ] sebagai dasarnya, karena panjang dasarnya 1. Daerah persegi panjang tersebut dapat dipendekatan dengan daerah dibawah PDF dari ( ), yang berhubungan dengan distribusi normal dengan mean dan varians ( ). Hal tersebut ditunjukkan untuk n=20, p=0.5 dan y=7 dalam gambar 7.3, dimana probabilitasnya adalah

( ) (

) ( ) ( ) Aprosikmasi ditunjukkan dengan daerah yang diarsir pada gambar,

Gambar 7.3 koreksi kontinuitas untuk pendekatan normal dari sebuah probabilitas binomial

(

√ ) (

√ ) ( ) ( )

Cara yang sama dapat digunakan untuk probabilitas binomial, seperti [ ] [ ]

(

√ )

( )

yang lebih mendekati nilai yang sebenarnya tanpa koreksi kontinuitas. Keadaan ini ditunjukkan dalam gambar 7.4.

Umumnya, jika ( ) adalah bilangan bulat , maka

[ ] Φ(

√ ) (

√ ) (7.4.1)

Koreksi kontinuitas juga berguna untuk distribusi diskrit yang dapat dipendekatan dengan distribusi normal.

Gambar 7.4 pendekatan normal untuk distribusi binomial

Contoh 7.4.2

Misalkan ( ) dimana n adalah bilangan bulat positif. Dari hasil pada bab 6, diketahui bahwa mempunyai distribusi yang sama dengan jumlahan ∑ , dimana X₁,….,Xn independen, X_i~POI(1) . Berdasarkan teorema limit pusat , ( )√

( ) yang menunjukkan pendekatan Yn~N(n,n) untuk n yang besar. Sebgai contoh, n=20, Berapakah nilai [ ]

Penyelesaian : Diketahui :

Ditanya : [ ] Jawab : PDF poisson f(x;μ) =

x ,

[ ] ∑

= 0,982 Dan nilai pendekatannya

Φ(

√ ) (

√ )= Φ( ) ( )

7.5 DISTRIBUSI NORMAL ASIMPTOTIK

Akibat dari teorema limit pusat , jika sampel meannya distandarisasi berdasarkan pada persamaan 7.3.13 yaitu ^̅

√ yang berhubungan dengan barisanZn Z~N(0.1).

Hal tersebut tidak sesuai untuk distribusi dengan sampel mean ̅ sebagai pendekatan dari N(μ, σ²/n) untuk n yang besar.berikut ini contoh dari dugaan yang lebih umum.

DEFINISI 7.5.1

Jika adalah barisan variabel acak, serta dan konstan, maka

√ ⁄ ( ) (7.5.1)

untuk , dan dikatakan mempunyai distribusi normal asimptotik dengan mean asimptotik dan variansi asimptotik ⁄

Contoh 7.5.1

Berdasarkan sampel acak dalam contoh 4.6.3 yang menunjukkan n=40 daya tahan sebuah peralatan elektrik, X_i~EXP(100). Dengan teorema limit pusat , ̅

Mempunyai distribusi normal asimptotik dengan mean =100 dan varians c²/n=(100)²/40=250.

7.5.1 DISTRIBUSI ASIMTOTIK DARI ORDER STATISTIK PUSAT

Dalam subbab 7.1 ditunjukkan beberapa contoh yang menggunakan order statistik ekstri,misalkan yang terbesar atau yang terkecil, dengan distribusi limit yang tidak normal.

Dalam keadaan lain, mungkin untuk menunjukkan pusat order statistikyang normal asimptotik.

Teorema 7.5.1

Misalkan adalah sampel acak dari sebuah distribusi kontinu dengan pdf ( ) yang kontinu dan tidak nol pada persentil ke- , , untuk . Jika ⁄ (dengan tertentu), maka barisan order statistik ke- , , adalah normal asimptotik dengan mean dan variansi ⁄ , dimana

( )

[ ( )] (7.5.2)

Contoh 7.5.2

Misalkan adalah sampel acak dari distribusi eksponensial, ( ), sehingga ( ) dan ( ) . Untuk n ganjil, ( ) ⁄ , sehingga

adalah median dari sampel. Jika , maka mediannya ( ) maka

= 0.5

( )

Dan ^{( )}

[ ( )]

( )

Dengan demikian, normal asimptotik dengan mean asimptotik dan variansi asimptotik ⁄ ⁄

Contoh 7.5.3

Misalkan X1,…., Xn adalah sebuah sampel acak dari distribusi uniform, Xi ~ UNIF (0,1), sehingga PDF nya :

( )

CDF nya :

( ) ∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( ) ∫ ( )

∫

| = x-0 = x ; 0<x<1

Diasumsikan bahwa n adalah bilangan ganjil dan k=(n+1)/2, sehingga Y_k=X_k:n adalah order statistik pusat atau median sampel. Persamaan 6.5.3 yaitu

( )

( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( )]

menjelaskan pdf dari Yk yang memiliki bentuk khusus karena k-1=n-k=(n-1)/2 dalam contoh ini. Maka, PDF nya adalah

( )

{[^{( )}] }

[ ( )] (7.5.3) Berdasarkan teorema, dengan p=0.5, persentil ke p, X0.5=0.5 dan c²=0.5(1-0.5) / 1² = 0.25, sehingga √ ( ) Z~N(0.1). sebenarnya ini sangat berkaitan dengan pdf pada 7.5.3 setelah transformasi √ ( ) , yang memiliki transformasi invers √ dan jacobian J=1/√ . hasil PDFnya adalah

( ) ^{( )}

√ {[^{( )}] }

( ) | | √ (7.5.4)

Dari limit (7.2.7) dan hasil bahwa (1-z²/n)^-1/2 1, maka ( )

Dan hal ini menunjukkan nilai konstan pada (7.5.4) yang mendekati 1/√ dengan n .

7.6 SIFAT-SIFAT KONVERGENSI STATISTIK

Untuk mengetahui apakah suatu estimator merupakan sebuah estimator yang baik adalah dengan sifat antara lain konvergen stokastik ke nilai parameternya untuk

TEOREMA 7.6.1

Barisan Y₁,Y₂,… konvergen stokastik ke c, jika dan hanya jika untuk setiap =0,

[| | ] (7.6.1)

Sebuah barisan dari variabel acak yang memenuhi teorema (7.6.1) disebut konvergen dalam probabilitas ke konstanta c, dinotasikan dengan Yn c.

Contoh 7.6.1:

Contoh 7.3.2 terbukti, sehingga disebut hukum Bernoulli Law of Large Numbers (LLN) dengan pendekatan MGF. Itu juga dapat diuji dengan teorema sebelumnya dan dengan pertidaksamaan Chebychev. Secara khusus, mean dan varians dari p_n adalah

E (p_n) = p dan Var (p_n) = pq/n , jadi

P[ | p_n – p | <  ] ≥ 1 – pq/ ²n [| | ] ≥

1 –

pq/ ²n

≥ 1-0

≥ 1

Maka , untuk setiap  > 0, maka [| | ]

Pendekatan yang sama juga bisa digunakan untuk membuktikan hasil yang lebih umum, biasanya disebut sebagai Law of Large Numbers (LLN).

Teorema 7.6.2

Jika X_1, X₂, . . . , X_n adalah contoh acak dari distribusi dengan mean (µ) berhingga dan varians (σ²), maka barisan dari sampel mean konvergen dengan peluang ke µ :

̅

Bukti : Dari E( ̅ ) = µ

Var ( ̅ )= , dengan demikian

[| ̅ | ] (7.6.3) Sehingga,

[| ̅ | ]

Jadi,

[| ̅ | ]

Teorema 7.6.3

√ ( ) Z~N(0,1), maka

Contoh 7.6.2 :

Diketahui bahwa dalam contoh 7.5.2 dan 7.5.3 bahwa median sampel Xk:n adalah normal asimptotik dengan mean asimptotik x0.5 .Sehingga dalam teorema diperoleh bahwa Xk:n

x0.5 dengan n  dan k/n 0.5.

Maka sesuai teorema 7.5.1 jika k/n p, maka order statistik konvergen stokastik terkecil pada persentil ke p adalah Xk:n xp

7.7 TEOREMA LIMIT TAMBAHAN

DEFINISI 7.7.1 (Konvergensi pada Peluang)

Barisan variabel acak dikatakan konvergen pada peluang pada , ditulis jika [| | ] (7.7.1)

TEOREMA 7.7.1

Untuk barisan variabel acak, jika maka . Untuk kejadian khusus , melimitkan distribusi berarti menurunkan distribusi [ ] . Kondisi ini digunakan untuk mendefinisikan konvergensi stokastik.

TEOREMA 7.7.2

Jika , maka untuk setiap fungsi ( ) yang kontinu di , ( ) ( )

BUKTI

Karena ( ) kontinu di , hal tersebut berarti untuk setiap dan ada, dimana

| | berakibat | ( ) ( )| . Hal ini berakibat [| ( ) ( )| ] [| | ] karena ( ) ( ) sebagaimana . Tetapi karena , hal itu berarti untuk setiap berlaku [| ( ) ( )| ] [| | ] . Limit pada ruas kanan tidak mungkin melebihi 1, maka harus sama dengan 1, dan ( ) ( ).

TEOREMA 7.7.3

Jika dan adalah dua barisan variabel acak yang mana dan , 1.

2.

3. ⁄ untuk

4. ⁄ ⁄ jk [ ] utk semua . 5. √ √ jk [ ] utk semua . CONTOH 7.7.1

Misal ( ).

Diketahui ̂ ⁄ . Maka ̂( ̂) ( )

TEOREMA 7.7.4 (Teorema Slutsky)

Jika dan adalah dua barisan variabel acak yang mana dan , 1.

2.

3. ⁄ ⁄ untuk

Untuk kejadian khusus, bisa jadi barisan luar biasa seperti ( )⁄ . CONTOH 7.7.2

Dari sampel acak berukuran dari distribusi Bernoulli, ( ), diketahui ̂

√ ( ) ⁄ ( )

Juga diketahui jika ̂( ̂) ( ) maka jika dibagi dengan [ ̂( ̂) ( )⁄ ] ^⁄ menjadi

̂

√ ̂( ̂) ( ) (7.7.2)

TEOREMA 7.7.5

Jika , maka untuk setiap fungsi kontin ( )u berlaku ( ) ( ), dengan asumsi ( ) tidak bergantung pada .

TEOREMA 7.7.6

Jika √ ( ) ⁄ ( ) dan jika ( ) mempunyai turunan bukan nol pada ( ) maka ^{√ [ ( ) ( )]}

| ( )| ( ) BUKTI

Didefinisikan ( ) [ ( ) ( )] ( )⁄ ( ) jika , dan misal ( ) . Hal tersebut berarti ( ) kontinu di dengan ( ) , dan dengan demikian

( ) ( ) ( ).

Selanjutnya, ^{√ [ ( ) ( )]}

| ( )| [^{√ ( )}]^{[ ( ) ( )]}

( ) .

Dari teorema 7.7.3 didapat [ ( ) ( )] ( )⁄ , dan hasilnya didapat dari teorema 7.7.4.

Berdasarkan pemahaman awal dari distribusi normal asimptotik, dapat disimpulkan untuk bernilai besar, jika ( ⁄ ) maka

( ) { ( ) [ ( )]

}

Contoh 7.7.3

Teorema Limit Pusat menyebutkan bahwa mean dari sampel terdistribusi normal asimptotik,

√ ( ̅ )

( )

Atau perkiraan untuk yang bernilai besar, ̅ ( )

Diketahui dari teorema 7.7.6 bahwa fungsi yang dapat diturunkan dari ̅ juga terdistribusi normal asimptotik. Sebagai contoh, jika ( ̅ ) ̅ , maka ( ) , dan diperkirakan ̅ [ ( )

]

7.8* DISTRIBUSI ASIMPTOTIK DARI ORDER STATISTIK TERTINGGI

Seperti yang telah disebutkan pada subbab 7.5, order statistik pusat, Xk:n , yang didistribusikan sebagai normal asimptotik yaitu n∞ dan  p. Jika order statistik ekstrim seperti X1:n, X2:n, dan Xn:n distandarisasi sehingga tidak mendegenerasikan pembatasan distribusi, pembatasan distribusi ini bukan termasuk distribusi normal. Contohnya dari pembatasan distribusi seperti yang diberikan sebelumnya. Itu dapat ditunjukkan bahwa tanpa mendegenerasikan pembatasan distribusi dari variable ekstrim harus termasuk ke dalam satu dari 3 kemungkinan tipe dari distribusi. Sehingga 3 tipe dari distribusi ini berguna saat mempelajari rataan melalui Terorema Limit Pusat.

TEOREMA 7.8.1

Jika limit dari barisan CDF adalah CDF kontinu, ( )

( ) , kemudian untuk an > 0 dan bn yaitu

( ) ( ) (7.8.1)

Jika dan hanya jika

dan

.

TEOREMA 7.8.2

Jika limit dari barisan CDF adalah CDF kontinu, dan jika

( ) ( ) untuk semua n > 0 dan semua Real y, Kemudian

( ) ( ) untuk αn > 0, jika dan hanya jika dan

( )

dengan n  ∞.

7.8.1 DISTRIBUSI LIMIT MAKSIMUM

Diberikan X1:n,……, Xn:n menunjukkan sampel acak dengan ukuran n dari distribusi CDF F(x). Di dalam konteks teori nilai ekstrim, nilai maksimum Xn:n adalah yang mempunyai distribusi limit G(y) jika ada barisan dari standarisasi konstan { n} dan {bn} dengan n > 0 seperti bahwa standar variable, ^{( )}, konvergen dalam distribusi G(y) yaitu:

( )

d Y ~ G(y) (7.8.2)

Jika Xn:n memiliki distribusi terbatas dengan tipe G , itu berarti bahwa pembatasan distribusi dengan standar variable Yn adalah tidak menurunkan distribusi G(y). Mengingat bahwa distribusi yang tepat dari Xn:n diberilan oleh

( ) [ ( )] (7.8.3)

Jika kita pertimbangkan ^{( )} , kemudian distribusi yang tepat dari Yn adalah ( ) [ ] ( )

[ ( )] (7.8.4)

Sehingga , pembatasan distribusi dari Xn:n (atau lebih tepatnya Yn) adalah diberikan oleh ( )

( )

[ ( )] (7.8.5)

Sehingga, persamaan 7.8.5 menyediakan pendekatan langsung untuk menentukan nilai limit distribusi ekstrim (tertinggi), jika barisan {an} dan {bn} dapat ditentukan bahwa hasilnya adalah limit yang didegenerasikan.

Mengingat dari contoh 7.2.6 bahwa jika X~EXP(1), kemudian dengan a_n= 1 dan b_n = ln n.

Sehingga, ( ) [ ( )] [[ ( ) ]] (7.8.6) dan ( )

[[ ( ) ]] ( ) (7.8.7)

Teorema 7.8.3

Jika ^{( )} memiliki distribusi limit G(y) , kemudian G(y) harus memenuhi 3 tipe nilai distribusi tertinggi:

1. Tipe I (untuk maksimum) (tipe eksponensial)

( )( ) ( ) , -∞<y<∞ (7.8.8) 2. Tipe II (untuk maksimum) (tipe chauchy)

( )( ) ( ) , y > 0, γ > 0 (7.8.9) 3. Tipe III (untuk maksimum) (tipe limit)

( )( ) [ ( ) ] , y < 0, γ > 0 (7.8.10)

1 , y ≥ 0

TEOREMA 7.8.4

Dalam menentukan pembatasan distribusi dari ^{( )} ,

( ) [ ( )] ( ) (7.8.11)

Jika dan hanya jika

[ ( )] ( ) (7.8.12)

Diberikan CDF F(x) yang mungkin dapat menggunakan teorema 7.8.4 untuk menyelesaikan a_n dan b_n pada F(x) untuk setiap 3 tipe pembatasan distribusi. Sehingga, jika tipe limit untuk F(x) diketahui, kemudian an dan bn dapat di hitung. Jika tipe tidak diketahui, maka an dan bn

tetap dapat dihitung untuk setiap jenis dan kemudian diterapkan untuk melihat tipe hasilnya.

Satu sifat dari CDF yang digunakan dalam mengekspresikan konstanta standar yaitu

“Karakteristik Nilai Terbesar”

DEFINISI 7.8.1

Karakteristik nilai terbesar, Un, dari CDF F(x) di definisikan oleh persamaan

[ ( )] (7.8.13)

Untuk sampel acak dengan ukuran n dari F(x), jumlah yang diharapkan dari pengamatan yang akan melebihi U_n adalah 1. Peluang bahwa sebuah pengamatan akan melebihi U_n adalah

[ ] ( ) dan jumlah yang diharapkan untuk pengamatan n independen adalah

[ ( )]

Teorema 7.8.5

Diberikan X~F(x), dan asumsikan bahwa ^{( )} memiliki pembatasan distribusi.

1. Jika F(x) adalah kontinu dan naik tegas, kemudian distribusi limit dari Y_n adalah tipe Eksponensial jika dan hanya jika

[ ( )] , -∞<y<∞ (7.8.14)

Dimana bn = Un dan an adalah solusi dari ( ) ( )

2. G(y) adalah tipe Cauchy jika dan hanya jika

( )

( ) , k > 0, γ > 0 (7.8.15)

dan dalam hal ini, an = Un dan bn = 0 3. G(y) adalah tipe Limit jika dan hanya jika

( )

( ) , k > 0 (7.8.16)

dimana { | ( ) }, batas atas dari x. Juga bn = x0 dan an = x0 – Un. 7.8.2 DISTRIBUSI LIMIT MINIMUM

Jika sebuah pembatasan distribusi tidak turun untuk contoh acak minimum, maka juga harus termasuk satu dari tiga tipe yang memungkinkan. Memang sebuah distribusi minimum dapat berhubungan dengan distribusi maksimum, karena

( ) ( )

Jadi semua hasil maksimum dapat diubah menjadi bentuk minimum jika detailnya dapat diurutkan.

Misalkan x kontinu, X~Fx(X) dan ( ) ( ) Catatan X1:n=-Zn:n.

Sekarang menganggap bahwa ( ) .Kita mempunyai, ( ) [

] [ ] = [ ] = [ ] =1- ( )

Pembatasan distribusi dari Wn disebut H(w) kemudian diberikan dengan ( )

( )

( ) ( )

Dimana G(y) sekarang menunjukkan pembatasan distribusi dari ( ) . Sehingga untuk menemukan H(w), distribusi terbatas untuk minimum. Langkah pertamanya menentukan ( ) ( ) dan pembatasan distribusi G(y) dengan metode penggambaran untuk maksimum, sebagai terapan dari ( ).

Kemudian pembatasan distribusi dari Wn adalah ( ) ( )

Catatan : jika ( ) harusnyauntuk limit tipe 1, mungkin ( ) memiliki tipe yang berbeda. Sebagai contoh maksimum dari EXP() mempunyai pembatasan distribusi tipe 1, sedangkan ( ) memiliki tipe tiga, maka pembatasan distribusi dapat diubah menjadi tipe tiga.

DEFINISI 7.8.2

Nilai karakteristik yang paling kecil adalah Sn yang didefinisikan dengan

( ) (7.8.24)

TEOREMA 7.8.6

Jika ( ) mempunyai pembatasan distribusi H(w), kemudian H(w) harus mengikuti salah satu dari tiga nilai distribusi tertinggi.

1. Tipe I ( untuk minimum) (tipe eksponensial) Dalam keadaan ini didefinisikan oleh ( )

Dan ,

( )( ) ^{( )}( ) ( ), Jika dan hanya jika ( )

2. Tipe II (untuk minimum) (tipe Cauchy)

Dakam keadaan ini dan

( )( ) ^{( )}( ) [ ( ) , > 0

Jika dan hanya jika ^{( )}

( ) , k>0, >0 atau ( ) , y>0 3. Tipe III (untuk minimum)(tipe limit)

Jika { | ( ) } merupakan penurunan limit untuk x (dimana =- ) kemudian

Dan

( )( ) ^{( )}( ) ( ), > 0 Jika dan hanya jika

( )

( )

( ) ( )

RANGKUMAN

Tujuan dari bab ini adalah untuk membahas dugaan dalam kekonvergenan sebuah distribusi, distribusi limit, dan kekonvergenan dalam probabilitas. Konsep ini sangat penting untuk dipelajari melalui sifat-sifat asimptotik dari barisan variabel acak dan distribusnya.

The Law of large Number (LLN) dan Teorema Limit Pusat (CLT) berhubungan dengan sifat limit dari fungsi tertentu sebuah rataan sampel yang berarti ukuran sampel mendekati tak hingga. Khususnya, LLN menyatakan bahwa barisan dari rataan sampel bersifat konvergen stokastik pada rataan populasi suatu kondisi tertentu. Tipe kekonvergenan ini ekuivalen dengan kekonvergenan pada peluang kasus ini, karena limitnya bernilai konstan. Sedangkan, CLT menyatakan bahwa mengubah yang sesuai dengan bentuk barisan dari rataan sampel adalah distribusi limit normal. Teorema ini memiliki dampak teoritis yang penting pada

peluang dan statistik, dan juga memberikan pendekatan pada banyak situasi . Contohnya, CLT memberikan pendekatan yang bagus untuk distribusi binomial.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Diberikan sebuah sampel acak dengan ukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF ( ) {

a. Dapatkan CDF dengan order statistik terkecil

b. Dapatkan distribusi limit dari c. Dapatkan distribusi limit dari Penyelesaian :

a. CDF : ( )

Dengan order statistik terkecil , dan CDF ( ) Sehingga CDF untuk yaitu :

( ) [ ] [ ( )]

[ ( )]

( )

Jadi didapatkan,

( ) { ( )

b. Dengan menggunakan definisi 7.2.1 yaitu : ( )

( )

Sehingga dapat dicari distribusi limitnya adalah : ( )

( )

( )

( ) ( )

Jadi didapatkan distribusi limit dari ( ) yaitu ( ) dan degenerate ke y=1

c. Dengan maka √ Sehingga CDF dari yaitu :

( ) [ ] [ ( )]

[ (

√ )]

(

√ )

Distribusi limitnya yaitu : ( )

( )

( )

Jadi didapatkan distribusi limit dari ( ) adalah

( ) {

2. Diberikan sebuah sampel acak berukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF ( ) ( ) , untuk semua x bilangan real.

a. Dengan order statistik terbesar X_n:n, apakah mempunyai distribusi limit?

b. Dengan , apakah mempunyai distribusi limit? Jika iya, tunjukkan!

Penyelesaian :

a. PDF : ( ) ( )

Dengan order statistik terbesar Yn=Xn:n , dan CDF ( ) ( ) Sehingga CDF untuk Yn=Xn:n yaitu :

( ) [ ] [ ( )]

[( ) ] ( )

Distribusi limitnya yaitu :

( )

( )

( )

Jadi ( ) tidak mempunyai distribusi limit saat . b. Dengan

Sehingga CDF dari yaitu : ( ) [ ]

[ ( )]

[( ^{( )}) ] [( ) ] [ ] [ ] [ ] [

]

( ( )) Distribusi limitnya yaitu :

( )

( )

( ( )) ( ( ))

Jadi didapatkan distribusi limit dari yaitu ( ) ( ( ))

3. Diberikan sampel acak dengan ukuran n dari sebuah distribusi dengan CDF ( ) {

Tentukan distribusi limitnya jika:

a.

b.

c.

Penyelesaian :

a. Dengan order statistik terkecil dan ( )

Sehingga CDF untuk yaitu : ( ) [ ]

[ ( )]

[ ( )]

Distribusi Limitnya adalah : ( )

( )

Jadi didapatkan distribusi limit dari ( ) yaitu ( ) dan degenerate ke y=1

b. Dengan order statistik terbesar Sehingga CDF untuk yaitu:

( ) [ ] [ ( )]

[ ]

Distribusi limitnya adalah : ( )

( )

[ ]

Jadi ( ) tidak mempunyai distribusi limit saat .

c. Dengan

Sehingga CDF untuk yaitu : ( ) [ ]

[ ( )]

[ ( )

] [ ] [

]

[

( )

]

Distribusi limitnya adalah:

( )

( )

[

( )

]

( ) Jadi didapatkan ,

( ) {

( )

9. Diketahui X₁,X₂,…,X₁₀₀ adalah sebuah sampel acak dari distribusi eksponensial.

Xi~EXP(1) dan Y=X1+X2+…+X100

(a) Tentukan pendekatan untuk P[Y>110]

(b) jika ̅ adalah sampel mean, maka aproksimasi dari P[ ̅ ] Penyelesaian :

Diket : X_i~EXP(1)

PDF dari Xi~EXP(1) , ( ) =

CDF dari X_i~EXP(1) , ( ) (a) P[Y>110] =1-P[Y 110]

= 1- [

√ ]

= 1- [

]

=1-0,8413 = 0,1587

(b) P[ ̅ ]= [^{√ ( )}] [^{√ ( )}]

= [√ ( )

] [√ ( )

]

= [ ( )] [ ( )]

= [ ] [ ]

=0.9772-0.8413 = 0.1359 15. Diketahui pdf,

( ) { Tentukan:

(a) Jika , maka tentukan pendekatan [∑

]

(b) Jika merupakan nilai terkecil dari n, maka tunjukkan bahwa dimana

(c) Jika merupakan nilai terbesar dari n, maka tunjukkan bahwa dimana

(d) Temukan distribusi terbatas dari ( )

(e) Temukan distribusi normal asimptotik dari median, , dimana dengan terbatas.

(f) Tentukan dari (e) yang merupakan stokastik konvergen?

(g) Tentukan distribusi terbatas dari . Penyelesaian:

( ) ∫ ( )

∫

|

( )

(a) ( )

[∑ ] [∑ ]

[∑

]

29 (b) [ ( )]

[ ( ) ] ( )

( )

Jadi, (c) ( ( ))

[ | |

[ | |

[ |( ( )) |

[ |( ( ))

| Jadi,

(d) ( ) ( ) [ ]

[( ) ] [ ] ( ) [ ( ) ]

[(

) ]

[ ]

(e) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) [ ( )]

( )

( ) ( )

Jadi normal asimptotik dengan asimptotik mean dan ( )

(f)

Dari (e) diketahui bahwa asimptotik normal dengan mean . Sehingga dapat disimpulkan bahwa

(g)

( ) [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ [ ]]

[ [ ( )]]

[

(

) ]

[ ( )]

( )

16. Terdapat sampel acak dari distribusi Poisson, ( ).

(a) Tunjukkan bahwa ^̅ stokastik konvergen ke [ ] . (b) Temukan distribusi normal asimptotik dari

(c) Tunjukkan bahwa ̅ ( ̅ ) stokastik konvergen ke [ ] . Penyelesaian:

(a) ( ) {

[ ]

^̅

Jadi terbukti bahwa ^̅ stokastik konvergen ke [ ]

(b)

√

( ) ( ) ( )

(c) ̅ ( ̅ ) [ ]

̅ ( ̅ ) ̅ ^̅

Jadi terbukti bahwa ̅ ( ̅ ) stokastik konvergen ke [ ]

17. merupakan sampel acak berukuran dari distribusi normal, ( ) dan ̅ merupakan median sampel. Temukan dan yang menyatakan bahwa ̅ merupakan normal asimptotik ( ).

Penyelesaian:

Karena ( ) maka

√

( )

√

( )

( (

√ ) ) ( (

√ ) ) ( )

Jadi dapat disimpulkan bahwa ̅ ( ).

18. Dari soal no. 1, temukan distribusi terbatas dari . Penyelesaian:

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ( )]

[ ( )]

( )

Jadi,

( ) {

19. Dari soal no. 2, temukan distribusi terbatas dari ( ) ( ) Penyelesaian:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

[( ) ( ) ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

20. Dengan menggunakan Teorema 7.5.1 :

(a) Tunjukkan bahwa stokastik konvergen ke

(b) Tunjukkan bahwa ( ) jika diketahui ( ) kontinu.

Penyelesaian:

(a) Misal diketahui , dimana dengan terbatas merupakan mean dan merupakan varians dimana;

( ) [ ( )]

Jadi normal asimptotik dengan asimptotik mean dan

( )

[ ( )] sehingga

(b) Jika ( ) maka , dimana dengan terbatas. Hal ini artinya, pdf ( ) kontinu dan tidak bernilai 0 pada persentil ke-p, . Sedangkan merupakan mean saat normal asimptotik dan merupakan varians dengan ^{( )}

[ ( )] .

Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) kontinu untuk memenuhi ( ) ( ) {

Sehingga didapat ;

BAB VIII

STATISTIK DAN DISTRIBUSI SAMPLING

8.1 PENGANTAR

Pada Bab 4 telah diterangkan tentang sampel acak. fungsi distribusi empiris digunakan untuk memberikan alasan mean sampel dan varians sampel sebagai perkiraan intuitif mean dan varians dari populasi distributi. Tujuan dari bab ini adalah untuk memperkenalkan konsep statistik, yang meliputi sampel mean dan varians sampel sebagai kasus khusus, dan untuk mendapatkan sifat statistik tertentu yang memainkan peran penting dalam bab-bab selanjutnya

8.2 STATISTIK

Terdapat himpunan teramati dari variabel acak, Sebagai contoh, terdapat variabel yang merupakan sampel acak berukuran dari suatu populasi.

Dalam notasi ini, lambang adalah fungsi yang kita gunakan dalam untuk menentukan statistik, yang dilambangkan oleh kapital T. diperlukan bahwa variabel dapat diamati karena penggunaan yang dimaksudkan dari statistik. Tujuannya adalah untuk membuat kesimpulan tentang distrubuti dari himpunan variabel acak, dan jika variabel tidak teramati atau jika fungsi , tergantung pada parameter yang tidak diketahui, maka T tidak mempengaruhi dalam membuat kesimpulan seperti itu. Sebagai contoh, mengenai data lihat contoh pada bab 4.6.3 tentang mencari order dataterkecil sampai terbesar yang diperoleh dengan mengamati tahan dari 40 bagian listrik yang dipilih secara acak. adalah wajar untuk menganggap bahwa adalah nilai-nilai observased sampel acak dengan ukuran 40 dari populasi semua bagian seperti biasanya, populasi tersebut akan memiliki satu atau lebih parameter yang tidak diketahui, seperti populasi yang tidak diketahui un berarti, katakanlah . Untuk membuat inferensi tentang populasi, misalkan perlu numerik mengevaluasi beberapa fungsi dari data yang juga tergantung pada parameter yang tidak diketahui kita,

seperti , = , atau . Tentunya perhitungan

tersebut akan menjadi tidak mungkin, karena tidak diketahui, dan fungsi-fungsi tidak akan cocok untuk mendefinisikan statistik.

Contoh 8.2.1

Jika terdapat yang merupakan sampel acak dari suatu populasi dengan pdf . Mean sampel dalam statistik diberikan dengan fungsi

Biasanya ditulis seperti berikut:

DEFENISI 8.2.1

Jika terdapat fungsi dari variabel acak, , dimana tidak dipengaruhi oleh parameter yang tidak diketahui, maka disebut statistik

Ketika sampel acak merupakan nilai dari , maka perhitungan dari data biasanya di tulis dengan yang berguna untuk memperkirakan mean populasi, .

Teorema 8.2.1

Contoh 8.2.2

Terdapat variabel acak , dan terdapat sampel acak dengan ukuran n dari distribusi Binomial, . Mean dan varians dari populasi adalah dan dengan . Mean sampel dalam hal ini adalah dengan merupakan variabel binomial dan biasanya disebut proporsi sampel, ditulis .

Untuk menunjukan bahwa merupakan perkiraan dari maka, Sehingga didapat,

Contoh 8.2.3

Terdapat fungsi . Varians sampel diberikan sebagai

berikut :

Maka didapat:

Jika merupakan sampel acak dari dengan dan

maka

Dan

Teorema 8.2.2

Pembuktian:

8.3 DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi dari statistik merupakan penjelasan untuk distribusi sampling, yang berbeda dengan distribusi populasi. Banyak statistic penting yang dapat ditulis dengan kombinasi linear dari variabel acak normal yang independen.

8.3.1 KOMBINASI LINEAR DARI VARIABEL NORMAL Teorema 8.3.1

Pembuktian :

Jika ; merupakan variabel normal independen, maka

Jika merupakan sampel acak dengan ukuran n dari dengan

dan , maka didapat :

Akibatnya : jika X_i,...,X_n merupakan sampel acak dari maka 8.3.2 DISTRIBUSI CHI-SQUARE

Distribusi Gamma dengan θ=2 dan κ= disebut distribusi Chi-Square. Atau bisa dituliskan sebagai berikut

Teorema 8.3.2

Teorema 8.3.3

Pembuktian:

Ini merupakan distribusi Chi-Square dengan derajat kebebassan 2κ.CDF Gamma juga dapat dinyatakan dalam bentuk notasi Chi-Square. Jika dan jika [CDF Chi- Square dengan derajat bebas v], maka :

Teorema 8.3.4

Pembuktian:

Jika

Jika , maka

Jika , maka

Yang merupakan MGF dari Teorema 8.3.5

Pembuktian:

Yang merupakan MGF dari Sebagai akibat :

Jika Xi,...,Xn merupakan sampel acak dari maka :

Teorema 8.3.6

Pembuktian :

1) Dengan menambah dan mengurangkan x dengan hubungan :

Jadi densitas bersama dari X_i,...,X_n dinyatakan sebagai : Jika Xi,...,Xn merupakan sampel acak dari maka : 1. dan suku-suku adalah independen 2. dan S² adalah independen

3.

Jika

Perhatikan transformasi bersama :

Maka :

dan

adalah konstan dan dapat ditunjukkan bahwa . Selanjutnya faktor-faktor fungsi densitas bersama adalah perkalian fungsi densitas marginal saja. Ini

menunjukkan bahwa dan suku-suku independen, karena

.

Terbukti bahwa dan suku-suku adalah independen

Karena , Maka berdasarkan bukti diatas

terbukti independen.

2) Perhatikan bahwa

Dari akibat 8.3.2 :

Dan Jadi

Contoh 8.3.6:

1. Berapa waktu yang dibutuhkan suatu komponen dengan distribusi Gamma dengan θ = 3 dan κ =2. Dimana komponen tersebut dapat bertahan 90%. Sedemikian hingga

. Penyelesaian :

Dengan demikian :

Maka :

untuk θ = 3 dan κ =2

2. X dinotasikan berat karung makanan, . Berapa peluang dari tas yang beratnya minimal 1 ton?

Penyelesaian :

; n=20 ; µ = 101 ;

Setelah dilihat di tabel distribusi normal, hasilnya adalah 0,987.

8.3.3 DISTRIBUSI t, F DAN BETA DISTRIBUSI STUDENT’S t

Diketahui bahwa dapat digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai parameter dalam distribusi normal. Dengan cara yang sama, berguna untuk parameter ; distribusi dari tergantung pada parameter . Hal ini membuat suatu ketidakmungkinan untuk menggunakan dalam bentuk pasti dari prosedur statistik yang berkaitan dengan mean ketika tidak diketahui.

Ini berbeda, jika digantikan dengan S dalam ,maka distribusi yang digunakan tidak lagi standar normal, tapi tidak bergantung pada dan itu diselesaikan menggunakan metode transformasi.

Teorema 8.3.3

Pembuktian :

Hasil dari Z dan V bisa dibuktikan dengan cara :

Terdapat transformasi , dengan transformasi invers Jacobiannya yaitu dan

Setelah disederhanakan, pdf marginalnya ;

sehingga sesuai dengan persamaan dalam teorema 8.4.1 Teorema 8.3.4

Pembuktian :

Pada saat 2r yaitu :

dimana dan . Substitusi dari distribusi normal dan chi-square dituntut memberikan hasil.

Jika , dengan ,

Jika dan , dan jika Z dan V independen , maka

distribusi dari

Disebut Distribusi Student’s t dengan v derajat kebebasan, dinotasikan . Pdf nya sebagai berikut :

Seperti yang dijelaskan di awal, satu aplikasi dari distribusi t akan muncul ketika terdapat sampling dari distribusi normal, seperti yang diilustrasikan pada teorema ini.

Teorema 8.3.5

Pembuktian :

Dari teorema 8.4.1 didapat dan dari teorema 8.3.6 didapat , maka dan adalah independen.

DISTRIBUSI SNEDECOR’S F Teorema 8.3.6

Ini disebut Distribusi Snedecor’s F dengan derajat kebebasan yaitu dan dinotasikan ). Beberapa penulis lebih suka menggunakan notasi dari pada untuk menyimbolkan rasio seperti dalam teorema 8.4.4.

Jika independen, maka variable random

dengan pdf untuk :

Jika dinotasikan dengan sample random dari , maka

Teorema 8.3.7

Pembuktian :

Terdapat dan adalah independen, dan chi-square (8.3.6). sehingga dapat diperoleh:

Persentil dari adalah

yang diberikan pada Tabel 7 (Appendix C) untuk nilai dan . Persentil untuk nilai kecil dari dapat diperoleh dengan menggunakan ), kemudian

).

Jadi diperoleh ,

sehingga didapatkan ,

Contoh 8.3.7:

dan adalah sampel acak yang independen dari populasi dengan

distribusi masing-masing adalah dan

Jika maka dan , sehingga

didapatkan

dan didapatkan pula

Jika , maka

dan

Jika dan , maka , dan untuk kedua sampel itu

biasanya memiliki 95% kepercayaan bahwa rasio . Notasi ini akan dibahas di bab selanjutnya.

DISTRIBUSI BETA

Sebuah variabel F dapat ditransformasikan ke distribusi beta. Jika , memiliki variable acak seperti berikut

mempunyai pdf

dimana dan .

Pdf ini menjelaskan tentang distribusi beta dengan parameter dan

dinotasikan .

Mean dan varians dari di tulis sebagai berikut;

Persentil ke- dari distribusi beta dapat ditulis dengan bentuk persentil dari distribusi , yaitu :

Jika dan adalah bilangan bulat positif, maka diintegralkan secara berurutan dengan bagian utama untuk hubungan antara CDF dari distribusi beta dan distribusi binomial.

Jika dan , maka

Distribusi beta muncul dalam hubungan dengan distribusi dari statistik order. Untuk variable acak kontinu , pdf dari statistic order ke-k dalam sampel acak dengan ukuran n diberikan sebagai berikut.

Dibuat perubahan dari variabel maka didapat . Karena dan merupakan order terbesar ke-k dari variabel acak uniform. CDF dari dapat ditulis dengan bentuk CDF beta, karena

dimana dinotasikan dengan CDF dari .

Contoh 8.3.8

Diketahui dan menghitung kemungkinan yang berhubungan dengan . Dimana

dan

Dimana di akhir peluang ini memerlukan variable berdistibusi . Dengan demikian untuk nilai dari dan , peluang ini dapat diperoleh dari table komulatif beta atau dari table komulatif jika terdapat kecocokan level.

Tujuan dari ilustrasi tersebut, agar kita dapat mengetahui seperti;

, kemudian

dan

Jika n = 11, k = 6, dan γ = 0.95, maka ; dan atau

dimana adalah median dari sample dan adalah mean dari populasi.

Kita dapat mengetahui tentang definisi distribusi beta dan dapat mengetahui hubungannya dengan distribusi dan CDF binomial, seperti aplikasi untuk distribusi dari variabel acak uniform berorder. Distribusi beta menjelaskan tentang distribusi uniform secara