BAB 3 LIMIT - BAB 3 Limit Fungsi

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. A.



4



2

4

.

2

4

lim

2





2







x

x

2. C. 3. D. 4. E.



   

 

 2 3 10

0 x x2 x



x5



x2





pilih  1 x5 



x2



7 x2 7 8

7 2 1   

pilih 

     

8 , 1 min 

 , maka 0 x2 berarti        

8 8 2 5 10

3

2

x x x

x 5. C.

       



 1 4 3 24 22 5

0 x x3 x2 x



x1





4x27x17



 pilih 1



1

 

1



20

4 17 7

4x2 x  x 2 x 

6 20 2 4 .

4   



pilih 

     

6 , 1 min 

 , maka 0 x1

berarti

17 7 4 1 5 22 24 3

4x3 2x x   x x2 x

    

6

  

 6

6 



6. D.

 



       



 1 2 9 4 3

0 x x2 x



x1



2x7





pilih  2



1



7 1 7 2

7

2x  x   x  11 5 3 . 2   

pilih 

     

11 , 2 min 

 , maka 0 x1 berarti

 

3 4 9

2 2     x x



 _

  

 11

11 7 2 1 x x 7. B.



3

2

3

4



3

2

3

4

lim

x

3



x

2



x













2  

8. B.









2

1 2 2 1

1 3

lim ₃

2 3

2

  

 x

x

9.

5 000 . 10

1 2

000 . 10

1 _

   

      

  f

000 . 5

999 . 4 4 

10. A.



 



2

c b a c b a

f     



ab ac bc



c

b

a     

 2 2 2 2

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

1.

a. 0 d.

2 1

b.

2 1

e.

4 1

c. 0 f.1

2. a.untuk setiap



0 terdapat



0

sedemikian sehingga

f

 

t



M





berlaku untuk semuatyang memenuhi









t

a

0

BAB 3

LIMIT

Latihan Kompetensi Semester 1

1

 

x 1

  x

1

b.untuk setiap



0 terdapat



0

sedemikian sehingga

g

 

u



LI





berlaku untuk semuauyang memenuhi









u

b

0

c.untuk setiap



0 terdapat



0

sedemikian sehingga

h

 

z



P





berlaku untuk semuazyang memenuhi









4

0

z

d.untuk setiap



0 terdapat



0

sedemikian sehingga

h

 

z



Q





berlaku untuk semuazyang memenuhi









4

0

z

3. a.

0



x



3







5

x



11



4



















11

4

5

15

5

x

x







3

5

x

5 3 



 x

Pilih

5







untuk



0 terdapat

5















3



0

x



5

x



11





4



5

x



15



 







5

x

3

5

 Tertunjuk

b.

0



x



2









2

x



4





8





















4

8

2

2

2

x

x

2 2 



 x

Pilih

2







untuk



0 terdapat

2





 sehingga









2



0

x



 











4

8

2

2

2

2

x

x

 Tertunjuk

c. 0 x3 







x2 2x



3





3



1



3

2

2_{    }

x x x

x

Pilih



1



3



4

3

4

1















x

x

x

6 4 2  

Bukti formal : andaikan



0

pilih 

     

6 , 1

min





sehingga









3

0

x

berarti





_

    

 .6

6 1 3 3

2

2

x x x

x

 Tertunjuk

d. 0 _x2   _x24_x33 2

2 4

2x2 x x x Bukti formal :

Andaikan



0

Pilih 

     

8 , 1 min 

 sehingga



 

 2

0 x , berarti

  _

     

6 . 8 21 2

3 3 4

2x2 x x x

 Tertunjuk

4. a. 10 , 5

5 25 5

0

2

       

 x

x x

x  







_{ }

  

10 5

5 5 x

x x



 5 x Pilih







Untuk



0 terdapat







sehingga



    

    

 10 5

5 25 5

0

2

x x

x x

 Tertunjuk

b. 7 , 1

1 6 5 7

1 0

2

   

    

 x

x x x

x 







_{ }

  

7 1

1 6 x

x x



 1 x Pilih







Untuk



0 terdapat







sehingga 7

1 6 5 7

1 0

2

 

     

x x x x



   x 1

c.























5

1

3

2

1

0

2

x

x

x

x







_{ }

_



 

5 1

1 3 2

x x x







1

2

x

2 1



 x

Pilih

2







Untuk



0 terdapat

2





 sehingga

5

1

3

2

1

0

2

















x

x

x

x





 







2

x

1

2

 Tertunjuk

d.

0









3



4



4





2

x

x

x

x





x

x

2

3





x

2

3



 x

Pilih

3







Untuk



0 terdapat

3





 sehingga

4

4

3

0

2











x

x

x

x





 





3

x

3

 Tertunjuk

5. a. 

x 1 lim

MisalkanMbilangan positif yang sangat besar dan



0

M x

x   

 0 1

0



M x

x  

 1

0





 

M

x 1

Pilih



1 

M sehingga

M x

x   

 0 1

0



 Tertunjuk

b.Misalkan M 0 dan terdapat



0 M

x x

x 

    

1 1

0



M x

x x

x 

     

1



1

1







x

x

M x

x x x

x _{ }

  

  

 1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1













M

M

x

x



1 1

 

M



Pilih



   





 0 1

1 1

x M

M x

x _

1  Tertunjuk

c. 1

1   

x x M

x

2

1

2

1

1

1













M

x

x

Berarti,







   

 2

1 1

1 M

x x



1 2  M

 Tertunjuk

d.Jika

x



p



1

maka

M

x

x

_



1

2

x

x

x

x

x

x

x

2

1

2

1

1

2 2

2











p

x

x

p

x

2

1

1

2

1

2

1

2

_







0

Berarti,

M

p

M

x

x









2

1

1

2

M P2  Tertunjuk

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. c0

















x

c

x

c

0







c x

c x c x c

x

  

 

c

x

c

x











_













c

c

c

c

x

c

x

c

x

Bukti formal : Misalkan



0

Pilih

 



c

, maka Untuk

0



x



c





berarti







c x

c x c x c

x

  

 

c

x

c

x











_







c

c

c

x

 Terbukti

2. a. Misalkan terdapat sembarang



0





  

  

c x c

x 1 1

0

c

x

c

x

c

x

x

c

c

x











1

.

1

.

.

1

1

x

x

c

x

x

c

c













c

x

c

x







pilih

2

c





, maka

2

c

x



kita juga mensyaratkan

2

2

c



 

sehingga  







2 . 1 . 1 .

1 .

1 2

2

c c c

x c

x c

bukti formal : andai



0, pilih















2

,

2

min

2

c

c













x

c



0

xc x c c x

. 1 1

 

c

x

c

x





1

.

1





_



2 . 1 .

1 2

2

c c c  Terbukti

b. 0 xc 



 x2 c2 



andaikan



0

pilih

   

 

 

c 2 1 , 1

min





maka,

untuk

0



x



c





berarti

c x c x c

x2 2   

c

x

c

c

x









2



x



c



c



x



c



2







_

 

 

c c

2 1

2 1

 Terbukti

3.Andaikan LM dan andaikan



2





M

L

terdapat bilangan – bilangan positif



₁ dan



₂ sehingga

(i)

0



x



c





₁



f

 

x



L





(ii)

0



x



c





₂



f

 

x



M





Andai

 

min





₁

,



₂



, maka

M L c

x    

  2

0

   

x f x M f

L  



 

x L f

 

x M

f   



   2 

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

7

3

7

3

.

6

7

3

lim

₂

















x

x

x

x

x











3

7

1

.

2

3

2

lim















x

x

x

x

30 1 6 1 . 5 1

   

2. C.

0 8 0 2

2

lim ₂  

 

x x

x

3. B.

1 5 3 3

1 5 3 3 . 8 4

1 5 3 3 lim

  

   

  

x x

x x

x x x









3 3 5 1

1 .

2 4

2 2 lim

   

  

x x

x x

12 1 6 1 2

1 _{ } 



4. A.

x

x

x

x

2

2

2

2

.

2

2

4

lim

2





















x



x

x

x











2

2

2

2

2

2

lim

8 2

4 . 4

 

5. D.

2 1 3

2 1 3 . 3 4 5

3 4 5 . 2 1 3

3 4 5 lim

 

  

   

  

x x x

x x

x









5 4 3

2 1 3 . 1 3

1 5 lim

 

  

 

x x x

x

9 10 6 4 3 5_{ } 

6. C.

7

7

lim





x

x







7

7

7

lim









x

x

x

7

2



7. C.

x

x

x

6

2

27

lim

₂

3















3



2

9

3

3

lim

2











x

x

x

x

x

2 9 

8. B.





























1

2

3

6

4

2

1

lim

y

y

y

y

y

y



































3

2

1

2

3

2

1

lim

y

y

y

y

y

2 1 1 . 3 . 2

3    

9. D.











2 2



lim

a

ax

x

a

x

a

x

x









a a a

3 1 3 2 



10. B.

 













_

3

1

lim

x

g

 

lim3 3 lim

1 _{ }



x g

11. E.

 



_











x

h

1

4

lim

 

 



x h lim

1 4

lim

12. B.

 

.

lim

 

0

.

0

lim

g

x

h

x







13. D.















5

12

2

3

4

2

2

lim

2













t

t

t

t

t

14. A.







2





1



2

lim

₂

3







x

x

x





0 1 2

lim ₂

2

   

x x

Latihan Kompetensi Siswa 2

2



x

2



x

2

 

x

2



x

2



x

2



x

2



x

1



x

1



x

7



x

7



x

2



y

2

 y

3



x

3



x

a x

a x

a x

a x

n x

n x

n x

p x p

x

2



x

2



x

2



15. C.

.

3

2

3

2

.

2

3

3

2

lim

x

a

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

















x

a

x

x

a

x

3

2

3

2



















x a





x a x



x a x a x

3 2

3

2 3 lim

  



  

 

3

9

2

3

2

4

.

3

1

_



a

a

16. E.









1

1

.

3

2

1

3

2

lim

₂













x

x

x

x

x

x









2 3



1





1



1 3 2 lim

 



  

x x

x

x x

10 1 2 . 5

1    

17. B.

2 2

4 2 2

lim

a x

a x a x

   





a

x

a

x

a

x

a

x

2

2

2

2

lim



















a

x

2

1

lim

a

x

a

x

a

x

a

x

2

2

2

2









a

a

a

a

2

1

2

2

.

2

0

2

1

_

_



18. B.





a x

x a ax a

x

  

 3 2 2

2 2

lim







2



2

2 2

lim xa  ax  a 

19. A.





2

1

1

2

lim

3 1 3 2







x

x

x

 

 



0

1 1

1 lim

3 1 3 2 3 1

3

1 2

     

  

  

 

x x x

x

20. B.

x

x

x

x

x

4

4

3

3

lim

₂

2 3





















4

21

4

1

4

lim

2

























x

x

x

x

x

21. B.

4 3 4

4

lim 

  

x x b x

0 2 4ab 

2 4ab

a b24 ...(1) Menggunakan Lopital :

4

3

1

lim

2

1





_x

a

4 3 4 1_  a

1  a

2 4 2  

b 1   b a

22. E.













5

0

,

6

3

1

2

3

1

1

2

lim













x

x

x

x

23. C.













0

,

5

2

1

1

3

1

2

lim

















x

x

x

x

24. C.

5

1

5

1

.

5

1

2

lim

2 2

2

_

_











x

x

x

x











2



2 5 1 2

lim

2

 

  



x x

x x

5 2 1 4

5 2

 

25. C.

1 1

3

lim 

   x

b x

a

0 2ab

a b2

Menggunakan Lopital :

a x

a x

1



x

1



x

a x2

a x2

a x2

a x

a x

1



x

1



x

4



x

4



x

4



x

4



x

1



x

1



x

2



x

2



x

1



1

1

lim

2 x3



a

1

4

2



a

4  a

8 2   a b

4 4 8  

a b

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

1. a. 123410

b.



_



_

_



7

1

7

1

4

3

2

3

lim

















x

x

x

x

c.

22

1

6

2

5

lim

₃

2









t

t

d.

_





_



_

1

7

7

4

9

4

4

5

3

lim













x

x

x

x

e.















0

1

5

4

7

7

lim

₂

2

t

t

t

t

2. a.

9



1



10

b.

 

2 9 1

3 1 3 3 .

2 _

  

c.

 



1

3



3







6

d. 0

e.

lim

f

 

t



lim

   

t



1

g

t



 

1

3

3











a

a

f.



33



30

3. a. 10x c. 1₂

x 

b. 6x d. 6₃

x 

4. a. 0 2 0 _

b.











1



1



4

3

1

1

lim













y

y

y

y

y

c.











2



2



5

2

3

2

lim















w

w

w

w

w

d.

















17

11

34

22

1

4

3

1

2

3

lim

₂

2

















x

x

x

x

x

x

e. 1

4 4 1 2 3

6 2 3 1

      

  

5. a.

8 8 . 4 8 lim

2 1 2 1

3 1 2 1

  

 x x

x x

  

4

8

64

lim

3 1 3 1









x

x

x

 

8

1

.

4

4

lim

3 1 3

1 3 1

3 3









x

x

x

8

1

.

16

4

lim

2 1 3

1 3 2









x

x

x

3 16 48 _ 

b.

_



_



₂





₂



₂

3

1

1

lim

a

a

a

ax

x

a

x

x

a

x















c.

_

_

_

.

1 3

6 2 6

2 lim

2 2

 

    

x x

x x x x

6 2 6

2

6 2 6

2

2 2

2 2

    

    

x x x x

x x x x











_



 _{    }

 

  

6 2 6

2 1

3

3 4 lim

2

2 _{x x x}

x x x

x

3 1 6 . 2

4 _

 

d. _





_

  

1 1 2 2

lim ₂

x x

    

1 2 lim ₂

x x

e.

0

4

2

2

2

lim

3 1 3

1











x

x

6. a.















3

4

1

1

1

3

lim

₂













x

x

x

x

x

b.

2 3 2

2 3 2 . 1 4 1 5

2 3 2 lim

  

   

 

  

x x

x x

x x

x x

1 4 1 5

1 4 1 5

  

  

x x

x x











2





2 3 2



1 4 1 5 4 2 lim

   

   

 

x x

x

x x

x

 

3 4

6 2 _ 

 1



x

3

 

x

2



t

4



x

1

 

t

a

t ta

1



y

2

 

w

3



x

64



x

64



x

64



x

64



x

3



x a x

3



x

2



x

1



x

1



x

1



x

2



x

2



c.

2 2 2

8

2

8

2

.

8

2

2

lim

x

x

x

x

























2



2



8 2 2 lim

2

 

   

x x

x x

1 4 4

   

d.Menggunakan Lopital :

 





x x

x x

2 7 3 lim lim

3 2

3 2

7 3

1 2

1 _

 

6

2

4

.

3

2

8

.

3

32







7. a.

_{ }





_























2 2

1

1

3

1

lim

t

t

t

t

t



 

 



2



1

1

1

2

lim

t

t

t

t

t















1 3 3 _  

b.





















2

2

₀

1

2

1

1

1

2

lim

3 1 3 2

n

n

n

c.

lim



1





n

n n

na

x

a

x

a

d.

n

t

t

t

n

2

1

1

lim

2









C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a.

3

1

lim

2









x

b

ax

x







3 1

1

lim 

  

x b x x

3 1b

2   b 0

2_{  }

b ax x

0 2 1a 

1  a

b.

1

2

lim

2







x

bx

ax





1 2

2

lim 

  x

x ax

1 2a

2 1  a

0

2 _{ }

bx ax

0 2 . 2 1 .

4 b 

1   b

c.



_



_



_

2

2

1

1

lim











x

x

b

x

x

2 2 1 1

  



 b

2 1 

 b

3  b 0

2_{  }

b ax x

0 1ab

0 3 1a 

4  a

d.









5

5 2

lim 2 

  

x x

x b

5 2 2b 

6  b 0

2  

b ax x

0 6 2 4 a 

1  a

2.

_





















x

x

x

x

1

20

20

1

1

1

lim

20

























20 ₂

2

1

19

20

lim

x

x

x

x























x

x

2

2

20

20

lim

19















2

380

lim

18

x

190 2

380 _ 



3. x1abcd 0...(1)

0 2

4 8

2    



 a b c d

x …..(2)

Menggunakan Lopital :

2

lim

₂

2 3











x

x

d

cx

bx

ax

1

1

2

2

3

lim

2











x

c

b

ax

1 3

2 3a bc_

3 2

3a bc …..(3) 2

 

x

2

 

x

1



x

1



x

1



t

1



t

1



n

x a

1



t

2



x

1



x

1



x

2



x

2



x

1

 

x

1



x

1



x

1



x

1



x

1



x

1



2

lim

₂

2 3











x

x

d

cx

bx

ax

4

1

2

2

3

lim

2











x

c

b

ax

4 1 2

2 12

 

 

x c b a

12 4

12a bc …..(4) Dari (1) dan (2)

0 3 3

9a b c …..(5) Dari (3) dan (4)

15 6

9  

 a b

45 18

27  

 a b …..(6) Dari (4) dan (5)

36 9

27a b …..(7) Dari (6) dan (7)

9 9b

1  b

4  c

Dari (1)

0   

b c d

a

0 4

1

1   

 d

4   d

Jadi, a1,b1,c4,d 4

4. a.

f

 

x



ax

3



bx

2



cx



d

4

1

lim

2 3













x

d

cx

bx

ax

0

1    

 a b c d

x ...(1)

1

a b

a

c a+b

d a+b+c a a+b a+b+c a+b+c+d





4

2















c

b

a

x

b

a

ax

4

1      

 a a b a b c

x

4 2

3a bc …..(2)

7

2

lim

2 3











x

d

cx

bx

ax

0 2

4 8

2    

 a b c d

x …..(3)

2

a b

2a

c

4a+2b

d

8a+4b+ 4c a 2a+b 4a+2b+c 8a+4b+2c+d



2

 

4

2



7

2













c

b

a

x

b

a

ax

7 4

12

2   

 a b c

x …..(4)

Dari (1), (2), (3), dan (4)

?? , 3 , 8 ,

3   

 b c d

a

 



3

3



8

2



3



2



f

x

x

x

x

b.

f

 

x



ax

5



bx

4



cx

3



dx

2



ex



f

–1

a b

–a c a–b

d

–a+b–c a b–a a–b+c –a+b–c+d



e a–b+c–d

f

–a+b–c+d

–a+b–c+d –a+b–c+d 0

     

a b c d e f …..(1)





















3 2

4

x

c

b

a

x

a

b

ax





a



b



c



d



x



a



b



c



d



e



0

1

  x

6 2

3 4

5     

 a b c d e …..(2)

2

a b

2a

c a+b

d a+b+c a a+b a+b+c a+b+c+d



e a+b+c+d

f a+b+c+d+e a+b+c+d+e a+b+c+d+e+f

0     

b c d e f

a …..(3)





















3 2

4

x

c

b

a

x

b

a

ax



a



b



c



d



x



a



b



c



d



e



0

1

  x

6 2

3 4

5     

 a b c d e …..(4)

2

a b

2a

c

4a+2b

d

8a+4b+2c a 2a+b 4a+2b+c 8a+4b+3c+d



e

16a+8b+4c+2d

f

32a+16b+8c+4d+2e

16a+8b+4c+2d+e 32a+16b+8c+4d+2e+f

0 2

4 8 16

32a b c d ef  …..(5)











 





 3 2

4

2 4

2a bx a b cx ax



8a4b2cd



x16a8b4c2d0 2

 x

3 3 4 12 32

80     

 a b c d …..(6)

Dari (1), (2), (3), (4), (5), dan (6)

5.

2

2

lim





x

x

n n

80

lim

1





n

nx

80 2

. 5 2

. n1  51 

n

5  n

6.



1



2

p



4



1



4

 

2

p



6

+

+

+

+

+

2

 

x

2

 

x

1



x

2



x

2



x

2



7. a.



_



_



_

_



2

1

1

3

3

2

3

3

lim















c

x

x

x

x

x

b.



_



_



_









7

8

5

2

2

2

2

2

lim

₂

2



















x

x

x

x

x

x

x

x

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

3

1

3

1

3

3

2

lim

2















x

x

x

2. B.









3

2

3

2

lim









x

x

x

x

3. C.

x

x

x

x

x















1

1

1

1

1

1

lim

2



x



x

x x

    

1 1

1 1 lim

2 1 2 1 1 1 _   

4. D.

x

x

x

x

x

x

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4

lim























2 4

2 1 2 1 4

lim    



x

x x

x

5. D.









3

2

6

2

6

2

lim

2











x

x

x

x

x

6. C.

x

x

x

x

x

x

x

x









lim

2 2

2

lim

x

x

x

x

x

x

















1

1 1 2

1 1

lim  

 

 

x x x

x x

7. D.

   

 



      

a a

a a a a a a

3

2 3 2

3

1 3 3 1

3 3 lim

2 6 2 lim ₃

3

  

a a a









6

1 6 1

6 2 lim ₂

2

  

 

a a

a a

8. D.







1



1

1 1

lim

3 1

2 1

 

 

x x

  2

3 lim

3 1 2 1

1 3

1 1 2

1

3 2

  

  x

x

9. A.





x

x

x

x

x















9

3

9

3

9

3

5

2

lim





x x

x

x _{ }

 

lim 2 5 3 9

30 6 1

5 _

  

10. A.





 







5

1

4

1

1

lim

_



















x

x

x

x

x

x

 

5 10

2 4  



11. C.





2

2

2

2

lim









p

p

p

x

p

x

12. D.





x x x

x 3 3

lim  

   

x

x x

x x

x2 2 3

3 3

lim  



 

2 2 2

3 3

3

lim x  x x x  x



13. C.





x

x

8

4

lim

3 2









A

x



_

_

_





3

1

2

1

3

2

1

8

lim

3 1

3 2

Latihan Kompetensi Siswa 3

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



x

0



p

∆x0

∆x0

∆x0

∆

∆

∆

∆

∆

∆

0



x

0



x

2



x

3

