Lokalisasi Nilai Eigen

Masalah Nilai Eigen

4.1 Lokalisasi Nilai Eigen

Ketika menyelesaikan masalah nilai eigen, seringkali kita harus cukup puas dengan metode iteratif. Penentuan lokasi nilai eigen merupakan hal krusial dalam metode-metode iteratif.

Dari Teorema 3.2.7, norma matriks dapat digunakan untuk menentukan lokasi nilai-nilai eigen. Semua nilai eigen matriks A ∈ C^n×nberada di dalam lingkaran dengan pusat titik asal dan jari-jari kAk, untuk sembarang norma di C^n×n.

Penggunaan norma untuk menentukan lokasi nilai eigen masih terlalu kasar. Teorema berikut memberikan lokalisasi yang lebih baik. Bukti teo-rema memerlukan fakta bahwa nilai-nilai eigen sebuah matriks bergantung secara kontinu pada komponen-komponen matriks tersebut. Sebelum meny-atakan teorema, untuk A = [a_ij] ∈ C^n×n kita definisikan terlebih dahulu cakram Gershgorin Di =    z ∈ C       |z − a_ii| ≤^X j6=i |a_ij|    , i = 1, 2, . . . , n. 49

50 4. MASALAH NILAI EIGEN Teorema 4.1.1 (Gershgorin). Setiap nilai eigen matriks A ∈ C^n×n berada dalam salah satu cakram Di. Lebih jauh, jika gabungan m buah cakram D = D_i1 ∪ D_i2 ∪ · · · ∪ D_im tidak beririsan dengan n − m cakram lainnya, maka D memuat tepat m nilai eigen A.

Bukti: Untuk membuktikan bagian pertama, misalkan λ ∈ C nilai eigen A dengan vektor eigen x ∈ Cn, kxk∞ = 1. Maka terdapat k sehingga 1 = kxk∞= |x_k| ≥ |x_i|, i = 1, 2, . . . , n. Dari hubungan Ax = λx, komponen ke-k pada Ax adalah

n X j=1 akjxj = λxk, sehingga (λ − akk) xk = ^X j6=k akjxj. Dengan mengambil modulus, kita peroleh

|λ − a_kk| ≤^X j6=k |a_kj| |x_j| ≤^X j6=k |a_kj| |x_k| =^X j6=k |a_kj|.

Untuk bukti bagian kedua, misalkan D = diag(a₁₁, a₂₂, . . . , a_nn) dan N = A − D. Maka A = D + N. Untuk t ∈ [0, 1], definisikan A(t) = D + tN. Misalkan k tetap, 1 ≤ k ≤ n. Perhatikan bahwa cakram Gershgorin D_k(t) untuk A(t) memiliki titik pusat a_kk, yang tidak bergantung pada t, dan jari-jari yang bergantung secara linier pada t. Ketika t bergerak dari t = 0 ke t = 1, cakram Gershgorin D_k(t) membesar dan nilai eigen ke-k bagi A(t) bergerak mengikuti lintasan terhubung Γkdari akk ke suatu nilai eigen λ bagi A. Jika λ berada di cakram Gershgorin Dj, maka keterhubungan lintasan Γ_k membuat D_j ∩ D_k(1) = D_j ∩ D_k 6= ∅. Ini berakibat m lin-tasan nilai eigen A(t) yang berawal di titik-titik ai1i1, ai2i2, . . . , aimim akan berada sepenuhnya di D. Hal serupa juga berlaku bagi n − m lintasan nilai eigen A(t) lainnya yang akan berada sepenuhnya di komplemen D. Jadi, D memuat tepat m nilai eigen.

Teorema berikut memberikan sebuah aplikasi Teorema Gershgorin. Teorema 4.1.2 (Bauer-Fike). Misalkan A ∈ C^n×n dapat didiagonalkan dan A = SDS⁻¹, dimana S ∈ C^n×n tak singular dan D ∈ C^n×n diagonal. Misalkan E ∈ C^n×n sembarang. Maka untuk setiap nilai eigen µ bagi A + E terdapat nilai eigen λ bagi A yang memenuhi |µ − λ| ≤ κ∞(S)kEk∞. Bukti: Misalkan D = diag(λ1, λ2, . . . , λn) dan F = S⁻¹ES. Maka nilai-nilai eigen A + E adalah nilai-nilai-nilai-nilai eigen D + F. Dengan mengenakan Teo-rema 4.1.1 pada matriks D + F kita memperoleh hasil yang diinginkan.

Perhatikan bahwa Teorema Bauer-Fike juga menetapkan lokasi nilai eigen di dalam sebuah cakram. Jika kita mengetahui nilai-nilai eigen matriks A,

maka nilai eigen tersebut akan menjadi pusat cakram untuk lokasi nilai-nilai eigen matriks A + E. Berbeda dengan Teorema Gershgorin, jari-jari cakram yang diberikan Teorema Bauer-Fike konstan.

Karena norma-norma matriks ekivalen, kita boleh mengharapkan ada versi lain Teorema Bauer-Fike yang menggunakan norma selain norma-∞. Teorema 4.1.3 (Bauer-Fike). Misalkan A ∈ C^n×n dapat didiagonalkan dan A = SDS⁻¹, dimana S ∈ C^n×n tak singular dan D ∈ C^n×n diagonal. Misalkan E ∈ Cn×n sembarang. Maka untuk setiap p ∈ R, 1 ≤ p < ∞, dan untuk setiap nilai eigen µ bagi A + E terdapat nilai eigen λ bagi A yang memenuhi |µ − λ| ≤ κ_p(S)kEk_p.

Bukti: Misalkan v vektor eigen A + E untuk nilai eigen µ. Misalkan w = S⁻¹v 6= 0 dan F = S⁻¹ES. Maka (D + F)w = (D + F)S⁻¹v = S⁻¹(A + E)v = S⁻¹µv = µw dan kFkp ≤ kS⁻¹k_pkEk_pkSk_p= κp(S)kEkp. Jika µI − D singular, maka µ sama dengan salah satu komponen diagonal utama D, yang beerarti µ = λ, salah satu nilai eigen A.

Misalkan sekarang µI−D tak singular. Maka w = (µI−D)⁻¹Fw. Kita per-oleh juga kwk_p ≤ k(µI − D)−1k_pkFk_pkwk_p, sehingga k(µI − D)⁻¹k_pkFk_p ≥ 1. Menurut Soal Latihan 2, k(µI − D)⁻¹k_p = 1/ min

1≤j≤n|µ − d_j|, dimana D = diag(d₁, d₂, . . . , d_n). Akibatnya, k(µI − D)⁻¹k_p = 1/|µ − λ|, untuk suatu nilai eigen λ bagi A. Jadi, terdapat nilai eigen λ bagi A sehingga |µ − λ| ≤ kFk_p ≤ κ_p(S)kEk_p.

Sebagai contoh, misalkan matriks A + E =    1 1 0 1 2 1 1¹₂ 1 2 0 1   . Kita dapat

mengambil A matriks sirkulan    1 1 0 0 1 1 1 0 1   , sehingga E =    0 0 0 1 2 0 ¹₂ −1 2 0 0   . De-ngan ω = −¹₂ + ¹₂i^√3, nilai-nilai eigen A adalah 2, 1 + ω, 1 + ω², dan S =

1 √ 3    1 1 1 1 ω ω2 1 ω² ω  

. Kita peroleh κ1(S) = κ∞(S) = 3 dan kEk1 = kEk∞= 1, sehingga jari-jari cakram Bauer-Fike adalah 3. Di lain pihak, κ2(S) = 1 dan kEk₂= ¹₄(1 +^√5), yang memberikan jari-jari ¹₄(1 +^√5) ≈ 0, 809.

Lokalisasi nilai eigen juga dapat diberikan untuk matriks dengan struk-tur tertentu. Di Bab 1 kita telah mengenal kuosien Rayleigh untuk matriks Hermite. Teorema 1.3.8 memberikan nilai-nilai eigen matriks sebagai batas

52 4. MASALAH NILAI EIGEN bagi nilai kuosien Rayleigh dalam subruang tertentu. Lebih jauh, nilai-nilai eigen batas tersebut adalah kuosien Rayleigh untuk vektor tertentu, yaitu vektor eigen bagi masing-masing nilai eigen.

Hal sebaliknya juga berlaku. Diberikan kuosien Rayleigh untuk sem-barang vektor, kita dapat memberikan lokalisasi bagi vektor eigen berdasar-kan vektor dan kuosien Rayleigh tersebut.

Teorema 4.1.4. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite dan u ∈ Cn dengan u^∗u = 1. Misalkan µ = u^∗Au ∈ R. Maka selang

{x ∈ R | |x − µ| ≤ kAu − µuk2} memuat suatu nilai eigen A.

Bukti teorema ini diserahkan kepada pembaca.

4.2 Metode QR

Secara teoritis, semua nilai eigen matriks A dapat kita peroleh kalau kita berhasil melakukan dekomposisi Schur pada A, lihat Teorema 2.2.1. Bukti Teorema 2.2.1 bersifat konstruktif, tetapi memerlukan nilai eigen A. Akibat-nya, kita tidak dapat menggunakan konstruksi tersebut untuk memperoleh nilai-nilai eigen A.

Teknik yang lazim digunakan untuk memperoleh dekomposisi Schur tan-pa memerlukan nilai eigen adalah dengan memanfaatkan faktorisasi QR. Berikut ini kita deskripsikan metode QR untuk memperoleh nilai eigen matriks A. Pertama-tama kita konstruksi barisan matriks {Ak} sebagai berikut:

Inisialisasi: A0= A; Iterasi: untuk k = 0, 1, . . . :

Ak= QkRk (faktorisasi QR); A_k+1= R_kQ_k.

Perhatikan bahwa R_k= Q^∗_kA_k, sehingga A_k+1= Q^∗_kA_kQ_k, yaitu A_k+1 serupa uniter dengan A_k. Kita akan perlihatkan bahwa, dengan kondisi tertentu, barisan {Ak} konvergen ke sebuah matriks segitiga atas. Kekon-vergenan barisan {A_k} seperti ini ekivalen dengan barisan {Q_k} konvergen ke suatu matriks diagonal diag(e^iθ1, e^iθ2, . . . , e^iθn).

Sebelum itu, kita perkenalkan dahulu notasi-notasi berikut: Q^(k) = Q0Q1· · · Q_k dan R^(k) = R_kR_k−1· · · R₀. Maka untuk k = 0, 1, . . . , mat-riks Q^(k) adalah matriks uniter, sedangkan matriks R^(k) matriks segitiga atas. Kita mempunyai sifat-sifat berikut.

Sifat 4.2.1. Untuk k = 0, 1, . . . berlaku: 1. Ak+1= Q^(k)
∗AQ^(k),

2. AQ^(k)= Q^(k+1)R_k+1,

3. Ak+1= Q(k)R(k) adalah faktorisasi QR untuk pangkat ke-k dari A. Bukti: Kita akan membuktikan pernyataan pertama dengan melakukan nduksi pada k. Bukti untuk dua pernyataan lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Untuk k = 0: A1= Q^∗₀A0Q0 = Q^(0)
∗AQ⁽⁰⁾. Asumsikan k ≥ 0 dan A_k+1 = Q^(k)
∗AQ^(k). Maka

Ak+2 = Q^∗_k+1Ak+1Qk+1 = Q^∗_k+1  Q^(k) ∗ AQ^(k)Qk+1 =  Q^(k)Q_k+1 ∗ AQ^(k)Q_k+1 = ^Q^(k+1) ∗ AQ^(k+1).

Teorema berikut memberikan syarat cukup bagi ‘kekonvergenan’ barisan {A_k} ke sebuah matriks segitiga atas. Kita tuliskan A_k= [a_k,ij].

Sebelum itu, kita berikan sejumlah fakta yang berkaitan dengan kekon-vergenan barisan matriks, yang kita perlukan dalam pembuktian teorema. Bukti fakta-fakta tersebut diberikan sebagai latihan.

1. Misalkan {Ak} dan {B_k} dua barisan di Cn×nyang konvergen berturut-turut ke A dan B di C^n×n. Maka barisan {A_kB_k} konvergen ke AB ∈ Cn×n.

2. Misalkan {A_k= [a_k,ij]} barisan di C^n×n dan A = [aij] di C^n×n. Maka {A_k} konvergen ke A jika dan hanya jika barisan {a_k,ij} konvergen ke aij, i, j = 1, 2, . . . , n.

3. Jika sebuah barisan matriks segitiga atas {R_k} konvergen ke A, maka A matriks segitiga atas.

54 4. MASALAH NILAI EIGEN 4. Misalkan {Uk} barisan matriks uniter di Cn×nyang konvergen ke U ∈ C^n×n. Maka U juga uniter dan, dengan demikian, himpunan semua matriks uniter di C^n×n tertutup.

Teorema 4.2.2. Misalkan A ∈ C^n×n dapat didiagonalkan, sehingga A = PDP⁻¹, dengan D = diag(λ₁, λ₂, . . . , λ_n), |λ₁| > |λ₂| > · · · > |λ_n| > 0. Misalkan pula P⁻¹ = LR, untuk suatu matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas R. Maka untuk i = 1, 2, . . . , n, a_k,ii konvergen ke λi, sedangkan untuk 1 ≤ j < i ≤ n, a_k,ij konvergen ke 0.

Bukti: Pertama-tama, asumsikan bahwa semua komponen diagonal utama L adalah 1, lihat diskusi sesudah Teorema 2.2.2.

Misalkan P = UT adalah faktorisasi QR pada matriks P (jadi U matriks uniter dan T matriks segitiga atas). Maka

A^k = PD^kP⁻¹ = UTD^kLR = UT  D^kLD^−k  D^kR.

Perhatikan bahwa matriks L_k = D^kLD^−k = [l_k,ij] adalah matriks segitiga bawah dengan komponen-komponen:

lk,ij =          0 jika i < j, 1 jika i = j,  λi λj k lij jika i > j.

Karena asumsi pada modulus nilai-nilai eigen A, maka L_k konvergen ke I. Misalkan Lk = I+Fk. Maka Fkkonvergen ke 0, dan TLk= I + TFkT⁻¹
T. Kekonvergenan F_k ke 0 menyebabkan I + TF_kT⁻¹ tak singular untuk se-mua k > K, dimana K suatu bilangan asli. Untuk k > K, menurut Teo-rema 2.2.3, terdapat secara tunggal matriks-matriks uniter Ukdan matriks-matriks segitiga atas T_k= [t_k,ij], sehingga I+TF_kT⁻¹ = U_kT_kdan t_k,ii> 0 untuk 1 ≤ i ≤ n.

Barisan matriks uniter {U_k} adalah barisan terbatas. Akibatnya, terdapat subbarisan {U_k0} yang konvergen ke matriks bU. Dari Soal Latihan 6, bU haruslah uniter. Karena Tk = U^∗_k I + TFkT⁻¹
, maka subbarisan {T_k0} juga konvergen ke matriks bT. Perhatikan bahwa bT adalah matriks segit-iga atas yang semua komponen diagonal utamanya tak-negatif. Dengan

mengambil limit subbarisan {I + TFk0T⁻¹}, kita peroleh I = bU bT. Aki-batnya, semua komponen diagonal utama bT positif. Dengan menggunakan Teorema 2.2.3 sekali lagi, haruslah bU = bT = I.

Argumentasi di atas kita gunakan untuk menunjukkan bahwa jika terdapat subbarisan konvergen lainnya dari {U_k} dan {T_k}, maka kedua subbarisan tersebut haruslah konvergen ke matriks identitas. Ini berarti bahwa keselu-ruhan barisan {U_k} dan {T_k} keduanya konvergen ke I.

Dari I + TF_kT⁻¹ = U_kT_k, kita peroleh TL_k = U_kT_kT dan, akibatnya, Q^(k−1)R^(k−1) = A^k = UU_kT_kTD^kR = (UU_k) T_kTD^kR
. Karena UU_k matriks uniter dan T_kTD^kR matriks segitiga atas, maka (UU_k) T_kTD^kR
adalah juga faktorisasi QR untuk matriks A^k. Untuk setiap k, terdapat mat-riks ∆_k= diag (d_k,1, d_k,2, . . . , d_k,n), dengan |d_k,1| = |d_k,2| = · · · = |d_k,n| = 1, sehingga Q^(k−1) = UU_k∆_k.

Karena P = UT, maka A = UTDT⁻¹U⁻¹. Dari A_k+1 = Q^(k)
∗AQ^(k), kita peroleh

A_k+1 = ^Q^(k)∗UTDT⁻¹U⁻¹Q^(k)

= (UU_k+1∆_k+1)^∗UTDT⁻¹U⁻¹UU_k+1∆_k+1 = ∆^∗_k+1U^∗_k+1TDT⁻¹U_k+1∆_k+1.

Misalkan B_k = U^∗_kTDT⁻¹U_k= [b_k,ij]. Karena {U_k} konvergen ke matriks identitas, maka {Bk} konvergen ke TDT⁻¹ yang merupakan matriks se-gitiga atas yang diagonal utamanya sama dengan diagonal utama D, yaitu b_k,ii konvergen ke λ_i, untuk i = 1, 2, . . . , n, dan b_k,ij konvergen ke 0 untuk 1 ≤ j < i ≤ n.

Kita juga memperoleh A_k = ∆^∗_kB_k∆_k. Dengan demikian, untuk i 6= j, ak,ij = dk,idk,jbk,ij, sedangkan ak,ii = bk,ii. Jadi, untuk i = 1, 2, . . . , n, ak,ii

konvergen ke λi, dan untuk 1 ≤ j < i ≤ n, a_k,ij konvergen ke 0. Kekon-vergenan terakhir ini kita peroleh karena |d_k,i| = 1, untuk i = 1, 2, . . . , n.

Perhatikan bahwa kita menggunakan tanda kutip untuk menyatakan kekonvergenan barisan matriks {Ak}. Sesungguhnyalah, yang kita peroleh adalah kekonvergenan komponen-komponen matriks A_k yang terletak pada diagonal utama dan di bawahnya. Hanya komponen-komponen tersebut yang relevan untuk pembicaraan kita tentang nilai-nilai eigen matriks A. Sedangkan untuk komponen-komponen di atas diagonal utama matriks A_k, kita tidak mengetahui, dan tidak memerlukan, kekonvergenan mereka.

56 4. MASALAH NILAI EIGEN Dalam implementasinya, kita dapat mempercepat kekonvergenan me-tode QR dengan terlebih dahulu mengubah matriks A ke bentuk Hessen-berg. Ini kita lakukan dengan memanfaatkan Teorema 2.2.8. Dengan pe-rubahan ini, metode QR tinggal membuat diagonal tepat di bawah diagonal utama berisikan komponen-komponen 0.