Analisis Matriks
Ahmad Muchlis January 22, 2014
Notasi
Pada umumnya matriks yang kita bicarakan dalam naskah ini adalah mat-riks kompleks. Himpunan semua matmat-riks kompleks [real] berukuran m × n dinyatakan dengan Cm×n [Rm×n]. Huruf kapital cetak tebal digunakan un-tuk menyatakan sebuah matriks. Padanan huruf kecil cetak normal dari se-buah nama matriks digunakan untuk menyatakan komponen matriks terse-but. Persisnya, jika A menyatakan sebuah matriks, maka komponen pada baris ke-i kolom ke-j matriks A kita nyatakan dengan aij. Dalam hal
terse-but kita tuliskan juga A = [aij]. Satu-satunya kekecualian adalah
penggu-naan simbol “nol”, 0, untuk menyatakan matriks yang semua komponennya adalah bilangan 0. Matriks identitas dinyatakan dengan I. Bilamana diper-lukan, ukuran matriks diberikan sebagai subskrip. Sebagai contoh, 0m,n
menyatakan matriks nol berukuran m × n, sedangkan Ik menyatakan
mat-riks identitas k × k.
Huruf kecil cetak tebal digunakan untuk menyatakan vektor. Seringkali, ketika mengatakan vektor, yang kita maksud adalah matriks kolom, yaitu matriks m × 1, untuk m yang relevan. Unsur ke-i basis baku kita nyatakan dengan ei. Jadi, ei adalah vektor kolom yang semua komponennya adalah
0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1.
Transpos matriks A dituliskan sebagai At. Sedangkan transpos konyugat matriks A, yaitu matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap komponen At dengan konyugat kompleksnya, dituliskan sebagai At atau dengan lebih singkat sebagai A∗.
Himpunan semua nilai eigen matriks persegi A kita tuliskan sebagai sp(A). Sedangkan radius spektral, yaitu modulus terbesar nilai-nilai eigen, matriks A kita tuliskan sebagai ρ(A).
Himpunan semua kombinasi linier vektor-vektor u1, u2, . . . , uk dinyatakan
1
Matriks Normal
Teorema Spektral telah memberikan kaitan antara matriks Hermite dengan diagonalisasi oleh matriks uniter yang menghasilkan matriks diagonal real. Matriks seperti apa yang terkait dengan diagonalisasi oleh matriks uniter secara umum? Pertanyaan ini menjadi fokus perhatian kita dalam bab per-tama ini.
1.1
Matriks Permutasi
Bab ini kita awali dengan mempelajari sebuah kelas matriks sederhana. Definisi 1.1.1. Misalkan P matriks berukuran n × n. Kita katakan P matriks permutasi jika setiap baris dan setiap kolom P memuat tepat satu komponen taknol dan komponen taknol tersebut adalah 1.
Dari definisi di atas, jelas bahwa matriks identitas adalah sebuah mat-riks permutasi. Selanjutnya, perhatikan bahwa semua baris setiap matmat-riks permutasi adalah baris-baris matriks identitas. Dua baris berbeda pada se-buah matriks permutasi adalah dua baris berbeda pada matriks identitas. Demikian pula, semua kolom setiap matriks permutasi adalah kolom-kolom matriks identitas. Dua kolom berbeda pada sebuah matriks permutasi ada-lah dua kolom berbeda pada matriks identitas.
Misalkan P matriks permutasi berukuran n × n. Untuk i = 1, 2, . . . , n, misalkan komponen 1 baris ke-i matriks P terletak di posisi (kolom) ti.
Ini berarti bahwa baris tersebut adalah baris ke-ti pada matriks identitas.
Dengan kata lain, baris ke-i matriks P adalah etti. Pengaitan i 7−→ ti
mem-berikan pemetaan σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n}: σ(i) = ti. Karena dua
baris berbeda P adalah dua baris berbeda pada matriks identitas, maka pemetaan σ ini bersifat satu-satu, dan akibatnya juga bersifat pada. Jadi σ adalah permutasi pada {1, 2, . . . , n}. Sebaliknya, dari setiap permutasi σ pada {1, 2, . . . , n} kita memperoleh secara tunggal matriks permutasi P = [pij], yaitu dengan mengambil pij = δjσ(i), dimana δ menyatakan
delta Kronecker: δkl = 1, jika l = k 0, jika l 6= k.
. Hal ini menunjukkan korespon-densi satu-satu antara himpunan semua permutasi pada {1, 2, . . . , n} dengan himpunan semua matriks permutasi berorde n.
Untuk selanjutnya, matriks permutasi yang berkaitan dengan permutasi σ kita tuliskan sebagai Pσ. Ini berarti, komponen 1 baris ke-i matriks Pσ
terletak pada kolom ke-σ(i), i = 1, 2, . . . , n.
Kita akan lihat berikut ini aksi perkalian matriks permutasi terhadap matriks. Misalkan u = u1 u2 .. . un ∈ Cn. Maka P σu = uσ(1) uσ(2) .. . uσ(n) . Sebagai
kon-sekuensinya, mengalikan matriks Pσ di sebelah kiri matriks A ∈ Cn×m
berarti melakukan permutasi σ terhadap baris-baris A.
Bekerja menurut kolom, untuk j = 1, 2, . . . , n, komponen 1 pada kolom ke-j matriks Pσ terletak di posisi (baris) σ−1(j); dengan kata lain, kolom
ke-j matriks Pσ adalah eσ−1(j).
Misalkan v ∈ Cn dan vt= h v1 v2 · · · vn i . Maka vtPσ = h vσ−1(1) vσ−1(2) · · · vσ−1(n) i .
Dengan demikian, mengalikan matriks P di sebelah kanan matriks B ∈ Cm×n berarti melakukan permutasi σ−1 terhadap kolom-kolom B.
Misalkan σ dan τ dua permutasi pada {1, 2, . . . , n}. Maka Pσ =
etσ(1) etσ(2) .. . etσ(n)
1.1. MATRIKS PERMUTASI 5 dan Pτ = etτ (1) et τ (2) .. . etτ (n)
. Selanjutnya, untuk i = 1, 2, . . . , n, baris ke-i matriks
PσPτ adalah baris ke-σ(i) matriks Pτ, yaitu baris etτ (σ(i)). Jadi, PσPτ =
et(τ ◦σ)(1) et(τ ◦σ)(2) .. . et(τ ◦σ)(n)
, yaitu matriks permutasi Pτ ◦σ.
Fakta-fakta di atas dapat kita pahami sebagai berikut. Aksi perkalian matriks permutasi memberikan pemetaan dari himpunan baris-baris matriks ke himpunan yang sama. Kemudian, fakta bahwa PσPτ = Pτ ◦σmenegaskan
bahwa perkalian dua matriks permutasi merepresentasikan komposisi dua permutasi.
Dari baris-baris dan kolom-kolom Pσ kita peroleh
Ptσ = h eσ(1) eσ(2) · · · eσ(n) i = etσ−1(1) etσ−1(2) .. . etσ−1(n) .
Fakta-fakta di atas cukup bagi kita untuk menyimpulkan tiga sifat berikut. Sifat 1.1.2. Untuk setiap permutasi σ berlaku Ptσ = Pσ−1.
Akibat 1.1.3. Untuk setiap permutasi σ berlaku Ptσ = P−1σ .
Akibat 1.1.4. Jika A ∈ Cn×n, maka PσAPtσ diperoleh dari A dengan
melakukan permutasi σ sekaligus kepada baris-baris dan kolom-kolom A. Akibat 1.1.3 mengatakan bahwa setiap matriks permutasi adalah mat-riks ortogonal. Karena matmat-riks permutasi adalah matmat-riks real, maka setiap matriks permutasi juga adalah matriks uniter.
Permutasi πkpada {1, 2, . . . , k} dengan πk(i) = i + 1, i = 1, 2, . . . , k − 1,
dan πk(k) = 1 adalah sebuah siklus dengan panjang k. Matriks permutasi
k × k yang berkaitan dengan siklus memiliki arti penting.
Pertama, setiap permutasi adalah komposisi sejumlah permutasi siklis yang saling lepas. Misalkan σ permutasi pada {1, 2, . . . , n}. Perhatikan
bahwa terdapat bilangan asli terkecil k yang memenuhi σk(1) = 1. Kita da-pat mengubah urutan 1, 2, . . . , n untuk meletakkan 1, σ(1), σ2(1), . . . , σk−1 di muka. Kemudian lakukan perubahan urutan dengan cara serupa kepada bilangan-bilangan lainnya, sampai semua bilangan 1, 2, . . . , n selesai diu-rutkan.
Contoh. Pada permutasi τ = 1 2 3 4 5 6 7 2 6 5 7 3 1 4
!
berlaku τ3(1) = 1, τ2(3) = 3 dan τ2(4) = 4. Maka kita dapat mengambil urutan baru 1, 2, 6, 3, 5, 4, 7 yang berasal dari urutan 1, τ (1), τ2(1), 3, τ (3), 4, τ (4).
Selanjutnya, kita memperoleh matriks baru dengan melakukan penyusun-an ulpenyusun-ang baris-baris dpenyusun-an kolom-kolom matriks permutasi ypenyusun-ang diberikpenyusun-an sesuai dengan urutan baru bilangan-bilangan 1, 2, . . . , n. Tindakan ini tidak lain dari melakukan permutasi yang sama kepada baris-baris dan kolom-kolom matriks permutasi yang diberikan. Dalam bahasa matriks, tindakan ini adalah perkalian dengan sebuah matriks permutasi di sebelah kiri dan de-ngan transpos matriks permutasi terakhir tersebut di sebelah kanan. Karena matriks permutasi adalah matriks ortogonal, matriks permutasi semula seru-pa dengan matriks baru yang kita peroleh.
Perhatikan bahwa matriks baru yang kita peroleh adalah matriks per-mutasi juga. Bentuk matriks baru ini adalah matriks blok diagonal dengan komponen-komponen diagonal utama berupa matriks permutasi siklus.
Dengan demikian, setiap matriks permutasi dapat dituliskan sebagai perkalian P−1diag(S1, S2, . . . , S`)P, untuk suatu matriks permutasi P dan
matriks-matriks permutasi siklus S1, S2, . . . , S`. Akibatnya, nilai-nilai dan
vektor-vektor eigen matriks permutasi dapat diperoleh melalui nilai-nilai dan vektor-vektor eigen matriks siklus.
Contoh. Matriks permutasi untuk τ = 1 2 3 4 5 6 7 2 6 5 7 3 1 4
!
di atas serupa dengan matriks diag(S1, S2, S3), dengan
S1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 dan S2= S3 = " 0 1 1 0 # .
Nilai penting kedua adalah bahwa matriks permutasi siklus C = Pπn =
h
en e1 e2 · · · en−1
i
membangun kelas matriks sirkulan, yaitu matriks yang merupakan kombinasi linier dari {I, C, C2, . . . , Cn−1}. Oleh karena itu, matriks C dikenal juga dengan nama matriks sirkulan fundamental. Berikut ini, kita tentukan nilai-nilai dan vektor-vektor eigen C.
1.2. MATRIKS NORMAL 7 Sifat 1.1.5. Polinom karakteristik C adalah c(t) = tn− 1.
Bukti: Dengan ekspansi pada kolom pertama, kita dapatkan
det(tI − C) = det t −1 0 · · · 0 0 0 t −1 · · · 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 · · · t −1 −1 0 0 · · · 0 t = t · tn−1+ (−1)n+1(−1)(−1)n−1 = tn− 1.
Dengan demikian, nilai-nilai eigen C adalah semua akar-pangkat-n dari 1. Dalam bentuk polar, akar-akar-pangkat-n dari 1 adalah 1, ω, ω2, . . . , ωn−1, dimana ω = e2πi/n.
Teorema berikut dapat kita buktikan dengan menghitung langsung. Teorema 1.1.6. Untuk i = 0, 1, . . . , n − 1, ωi adalah nilai eigen C dengan
vektor eigen berupa kelipatan wi =
1 ωi ω2i .. . ω(n−1)i .
Sebagai akibatnya, C = F diag(1, ω, ω2, . . . , ωn−1) F−1, dimana F = h
w0 w1 · · · wn−1
i
. Perhatikan bahwa F∗F = nIn. Dengan demikian,
C adalah matriks dengan nilai-nilai eigen tak semuanya real yang dapat didiagonalkan oleh matriks uniter.
Fakta di atas bersama-sama dengan dua fakta bahwa (i) setiap matriks permutasi adalah matriks uniter, dan (ii) setiap matriks permutasi serupa, oleh matriks permutasi, dengan matriks blok diagonal yang komponen-komponen diagonalnya adalah matriks permutasi siklus atau [1], membawa kita kepada kesimpulan bahwa setiap matriks permutasi adalah matriks de-ngan nilai-nilai eigen tak harus semuanya real yang dapat didiagonalkan oleh matriks uniter.
1.2
Matriks Normal
Sebagai konsekuensi Teorema Spektral, kita ketahui bahwa setiap matriks Hermite dapat didiagonalkan oleh matriks uniter dan bahwa semua nilai
karakteristik matriks Hermite adalah real. Dengan kata lain, setiap matriks Hermite A dapat dituliskan sebagai A = UDU∗, dimana U adalah matriks uniter dan D adalah matriks diagonal real.
Kita juga dapat dengan mudah menunjukkan keberlakuan pernyataan sebaliknya: setiap matriks berbentuk UDU∗, dengan U suatu matriks uniter dan D suatu matriks diagonal real, adalah matriks Hermite. Dengan demikian, pendiagonalan oleh matriks uniter menjadi matriks diagonal real adalah karakteristik matriks Hermite.
Pada subbab terdahulu, telah kita lihat bahwa matriks permutasi dapat didiagonalkan oleh matriks uniter, tetapi ia tidak mesti matriks Hermite. Pertanyaan yang dapat diajukan disini adalah kelas matriks mana yang memiliki karakteristik dapat didiagonalkan oleh matriks uniter?
Pertama-tama, perhatikan bahwa jika A ∈ Cn×n dapat didiagonalkan oleh matriks uniter, yaitu A = UDU∗, untuk suatu matriks uniter U dan matriks diagonal D, maka
AA∗ = (UDU∗)(UDU∗)∗ = (UDU∗)(UDU∗) = UDDU∗= UDDU∗
= (UDU∗)(UDU∗) = (UDU∗)∗(UDU∗) = A∗A.
Definisi 1.2.1. Misalkan A ∈ Cn×n. Kita katakan A matriks normal jika AA∗ = A∗A.
Perhatikan bahwa matriks Hermite, matriks permutasi dan matriks uni-ter adalah matriks-matriks normal.
Berdasarkan diskusi sebelum Definisi 1.2.1, sifat normal adalah syarat perlu agar sebuah matriks dapat didiagonalkan oleh matriks uniter. Lebih lanjut, sifat normal juga ternyata merupakan syarat cukup untuk itu. De-ngan demikian, kita memperoleh karakterisasi berikut.
Teorema 1.2.2. Misalkan A ∈ Cn×n. Maka A dapat didiagonalkan oleh matriks uniter jika dan hanya jika A matriks normal.
Bukti: Kita cukup membuktikan bahwa jika A matriks normal, maka A dapat didiagonalkan oleh matriks uniter. Pertama-tama, implikasi ini benar untuk kasus A = 0. Selanjutnya, asumsikan A 6= 0 dan kita gunakan induksi pada n untuk membuktikan implikasi.
1.2. MATRIKS NORMAL 9 Misalkan A ∈ C2×2 matriks normal. Misalkan λ ∈ C nilai eigen A dengan vektor eigen u ∈ C2 yang memenuhi u∗u = 1. Pilih v ∈ C2 sehingga U = [u v] ∈ C2×2 uniter. Perhatikan bahwa A = U
" λ α 0 β #
U∗, untuk suatu α, β ∈ C. Dari kenormalan A kita peroleh
U " λ α 0 β # " λ 0 α β # U∗ = U " λ α 0 β # U∗ ! U " λ 0 α β # U∗ ! = AA∗= A∗A = U " λ 0 α β # U∗ ! U " λ α 0 β # U∗ ! = U " λ 0 α β # " λ α 0 β # U∗.
Dengan mencoret U dan U∗ di kedua ruas, kita peroleh " λλ + αα αβ βα ββ # = " λλ λα αλ αα + ββ # .
Dengan menyamakan komponen pada baris pertama kolom pertama, kita peroleh α = 0, sehingga A = U
" λ 0 0 β #
U∗. Jadi A didiagonalkan oleh matriks uniter.
Misalkan n > 2 dan pernyataan teorema benar untuk semua matriks berorde n − 1.
Misalkan A ∈ Cn×n matriks normal. Misalkan λ ∈ C nilai eigen A dengan vektor eigen u ∈ C2 yang memenuhi u∗u = 1. Pilih v2, v3, . . . , vn ∈ Cn
sehingga X = hu v2 v3 · · · vn
i
∈ Cn×n uniter. Perhatikan bahwa
A = X "
λ y∗ 0 B #
X∗, untuk suatu y ∈ Cn−1 dan B ∈ C(n−1)×(n−1). Kita peroleh y = 0 dan BB∗ = B∗B (rincian pembuktian diberikan sebagai Soal Latihan 9). Akibatnya, A = X
" λ 0∗ 0 B #
X∗ dan B matriks normal. Dari hipotesis induksi, B = U1D1U∗1, untuk suatu matriks uniter U1 dan
matriks diagonal D1 di C(n−1)×(n−1). Pilih U = X
" 1 0∗ 0 U1
#
dan D = diag (λ, D1) di Cn×n. Maka U matriks uniter, D matriks diagonal dan
A = UDU∗ (tuliskan rincian penjelasan untuk kesimpulan-kesimpulan ini). Jadi A didiagonalkan oleh matriks uniter.
Dari pembuktian di atas, kita dapat mengkonstruksi matriks diagonal D sedemikian rupa, sehingga nilai-nilai eigen A muncul secara berkelom-pok di diagonal utama D. Ini berarti bahwa kita dapat memilih D = diag(λ1In1, λ2In2, . . . , λsIns), dimana λ1, λ2, . . . , λs adalah nilai-nilai eigen
A yang berbeda, dan n1+ n2+ · · · + ns= n.
Secara struktur, Teorema 1.2.2 memberikan dekomposisi ruang vektor Cn atas subruang-subruang yang saling ortogonal, dimana setiap subruang itu tidak lain daripada ruang eigen matriks A. Dengan demikian, setiap vektor di masing-masing subruang dipetakan oleh A ke kelipatan dirinya sendiri. Secara persis, kita dapat menuliskan Cnsebagai hasil tambah lang-sung Cn= E1⊕ E2⊕ · · · ⊕ Es, dimana Ei adalah ruang eigen A untuk nilai
eigen λi, i = 1, 2 . . . , s, yang memenuhi Ei ⊥
X
j6=i
Ej.
1.3
Matriks Definit Taknegatif
Misalkan A ∈ Cm×nsembarang. Maka AA∗adalah matriks Hermite. Lebih jauh, setiap nilai eigen AA∗tidak negatif: jika λ ∈ C adalah nilai eigen AA∗ dengan vektor eigen x, maka λ = x
∗AA∗x
x∗x =
kA∗xk2
kxk2 ≥ 0. Kita memiliki
nama khusus untuk matriks dengan nilai eigen seperti itu.
Definisi 1.3.1. Matriks Hermite A ∈ Cn×n adalah matriks definit tak-negatif [definit positif ] jika semua nilai eigen A tidak tak-negatif [positif].
Dengan mengingat hubungan antara nilai eigen dan singularitas sebuah matriks persegi, kita mempunyai sifat berikut.
Sifat 1.3.2. Misalkan A matriks definit tak-negatif. Maka: (a) A definit positif jika dan hanya jika A tak-singular, (b) jika A definit positif, maka A−1 juga definit positif.
Matriks definit tak-negatif memiliki sejumlah karakterisasi. Karakter-isasi pertama berkaitan dengan variasi.
Teorema 1.3.3. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite. Maka:
(a) A definit tak-negatif jika dan hanya jika x∗Ax ≥ 0, untuk setiap x ∈ Cn, dan
1.3. MATRIKS DEFINIT TAKNEGATIF 11 (b) A definit positif jika dan hanya jika x∗Ax > 0, untuk setiap x ∈ Cn,
x 6= 0.
Bukti: Kita berikan di sini bukti untuk (a). Bukti untuk (b) diberikan sebagai latihan.
Misalkan A definit tak-negatif dan x ∈ Cn. Karena A Hermite,
terda-pat basis ortonormal {u1, u2, . . . , un} bagi Cn dengan Aui = λiui, untuk
suatu λi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n. Karena A definit tak-negatif, maka semua
λ1, λ2, . . . , λn tak-negatif. Tulis x = n X i=1 αiui, dengan α1, α2, . . . , αn ∈ C. Maka x∗Ax = n X j=1 αjuj ∗ A n X i=1 αiui ! = n X j=1 αjuj ∗ n X i=1 αiAui ! = n X j=1 αjuj ∗ n X i=1 αiλiui ! = n X j=1 n X i=1 αjαiλiu∗jui = n X j=1 λj|αj|2kujk2≥ 0.
Untuk arah sebaliknya, misalkan x∗Ax ≥ 0, untuk setiap x ∈ Cn. Misalkan λ ∈ R nilai eigen A dengan vektor eigen u, u∗u = 1. Maka 0 ≤ u∗Au = u∗λu = λu∗u = λ.
Ingat kembali bahwa submatriks dari matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan memilih baris-baris dan kolom-kolom dari A tanpa men-gubah urutan. Sebagai alternatif, submatriks dari A adalah A sendiri atau matriks yang diperoleh dengan menghapus sebagian baris atau kolom A. Definisi 1.3.4. Submatriks utama berorde k dari matriks A adalah sub-matriks yang diperoleh dengan membuang n − k baris dan n − k kolom bernomor sama dari matriks A. Submatriks utama pemuka berorde k dari matriks A adalah submatriks yang diperoleh dengan membuang n − k baris dan n − k kolom terakhir dari matriks A.
Sifat 1.3.5. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite dan matriks B adalah submatriks utama dari A. Jika A definit tak-negatif, maka B juga definit tak-negatif. Jika A definit positif, maka B juga definit positif.
Bukti: Pertama-tama, asumsikan B adalah submatriks utama pemuka dari A yang berukuran k ×k, sehingga A =
" B F F∗ C #
dan C ∈ C(n−k)×(n−k). Karena A matriks Hermite, haruslah B juga matriks Hermite. Misalkan y ∈ Ck. Tulis x =
" y 0 # ∈ Cn. Maka x∗Ax =hy∗ 0∗ i " B F F∗ C # " y 0 # =hy∗B y∗F i " y 0 # = y∗By. Dengan demikian, jika A definit tak-negatif, maka y∗By ≥ 0, untuk setiap y ∈ Ck, yaitu B definit tak-negatif. Jika A definit positif, maka y∗By > 0, untuk setiap y ∈ Ck, y 6= 0, yang berarti B definit positif.
Jika B bukan submatriks utama pemuka dari A, kita mempunyai matriks permutasi P ∈ Cn×n, sehingga B adalah submatriks utama pemuka dari PAPt. Perhatikan bahwa A dan PAPt= PAP−1memiliki spektrum (him-punan nilai eigen) yang sama. Jika A definit tak-negatif, maka PAPt juga
definit tak-negatif dan berdasarkan pembuktian yang telah kita lakukan B definit tak-negatif.
Argumentasi serupa kita gunakan untuk menyimpulkan bahwa jika A definit positif, maka B definit positif.
Akibat 1.3.6. Semua komponen diagonal utama matriks definit tak-negatif senantiasa tak-negatif. Semua komponen diagonal utama matriks definit positif senantiasa positif.
Sebagai contoh, matriks "
−1 2 2 1 #
pasti tidak definit tak-negatif.
Demi-kian pula, matriks "
0 2 2 1 #
pasti tidak definit positif.
Akibat 1.3.6 memberikan syarat perlu untuk definit tak-negatif dan defi-nit positif. Syarat tersebut tidak cukup. Matriks kedua pada contoh di atas tidak definit tak-negatif sekali pun memenuhi syarat yang diberikan.
Teorema berikut memberikan karakterisasi bagi matriks definit tak-nega-tif dan definit positak-nega-tif berdasarkan minor (determinan submatriks utama) matriks.
Teorema 1.3.7. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite. Maka:
(a) A definit positif jika dan hanya jika determinan setiap submatriks utama pemuka A positif, dan
(b) A definit tak-negatif jika dan hanya jika determinan setiap submatriks utama A tak-negatif.
1.3. MATRIKS DEFINIT TAKNEGATIF 13 Untuk kasus definit tak-negatif, persyaratan pada determinan submat-riks utama pemuka saja tidak cukup. Ini ditunjukkan oleh matsubmat-riks
" 0 0 0 −1
#
yang determinan kedua submatriks utama pemukanya tak-negatif, tetapi matriksnya sendiri tidak definit tak-negatif.
Untuk membuktikan Teorema 1.3.7 kita lihat terlebih dahulu hubungan antara nilai-nilai eigen sebuah matriks Hermite dan nilai-nilai eigen submat-riks utamanya.
Teorema 1.3.8. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite dengan nilai-nilai eigen λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn. Untuk i = 1, 2, . . . , n, misalkan ui vektor eigen
A untuk λi. Jika 1 ≤ k < l ≤ n, maka
λk≤ x∗Ax ≤ λl,
untuk semua x ∈ huk, uk+1, . . . , uli, x∗x = 1.
Bukti: Cukup kita buktikan untuk kasus {u1, u2, . . . , un} bebas linier.
Karena A matriks Hermite, maka ruang-ruang eigen A saling ortogonal dan kita dapat memilih {u1, u2, . . . un} himpunan ortonormal.
Misalkan 1 ≤ k < l ≤ n dan x ∈ huk, uk+1, . . . , uli, x∗x = 1. Maka x =
αkuk+ αk+1uk+1+ · · · + αlul, dengan αk, αk+1, . . . , αl ∈ C dan l X i=k |αi|2 = 1. Perhatikan bahwa αi = u∗ix, i = k, . . . , l.
Karena A matriks Hermite, haruslah x∗Ax ∈ R dan kita peroleh x∗Ax = x∗A l X i=k αiui = x∗ l X i=k αiAui = x∗ l X i=k αiλiui = l X i=k αiλix∗ui= l X i=k αiλiαi= l X i=k λi|αi|2. Karena λk≤ λi≤ λl, i = k + 1, . . . , l − 1, maka λk= λk l X i=k |αi|2 ≤ l X i=k λi|αi|2≤ λl l X i=k |αi|2= λ l. Jadi λk≤ x∗Ax ≤ λl.
Perhatikan bahwa, pada bukti di atas, u∗kAuk = λk dan u∗lAul = λl.
Dengan demikian, λk = min{x∗Ax | x ∈ huk, uk+1, . . . , uli, x∗x = 1} dan
λl = maks{x∗Ax | x ∈ huk, uk+1, . . . , uli, x∗x = 1}. Ketika k = 1 dan l = n
Akibat 1.3.9. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite dengan nilai-nilai eigen λ1≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn. Maka λ1 = min x∗x=1x ∗ Ax dan λn= maks x∗x=1x ∗ Ax.
Vektor x pada Teorema 1.3.8 dan Akibat 1.3.9 di atas dibatasi pada vektor dengan panjang 1. Kita dapat mengganti vektor tersebut dengan sembarang vektor x yang taknol, tetapi ekspresi x∗Ax juga diganti dengan x∗Ax
x∗x . Ekspresi ratio ini dikenal sebagai kuosien Rayleigh, sedangkan
Aki-bat 1.3.9 dikenal dengan nama Teorema Rayleigh-Ritz.
Teorema berikut dikenal dengan nama Teorema Sela (interlacing theo-rem).
Teorema 1.3.10. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite dan B ∈ Ck×k
submatriks utama dari A. Misalkan pula nilai-nilai eigen A adalah λ1 ≤
λ2 ≤ · · · ≤ λn dan nilai-nilai eigen B adalah µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µk. Maka
λi ≤ µi ≤ λn+i−k, untuk i = 1, 2, . . . , k.
Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, misalkan B adalah submatriks uta-ma pemuka dari A. Misalkan uj ∈ Cn adalah vektor eigen A untuk nilai
eigen λj, j = 1, 2, . . . , n, dan yi ∈ Ck adalah vektor eigen B untuk nilai
eigen µi, i = 1, 2, . . . , k, sehingga {u1, u2, . . . , un} dan {y1, y2, . . . , yk}
ked-uanya bebas linier. Maka vi =
" yi
0 #
∈ Cn adalah vektor eigen matriks blok
diagonal diag(B, 0) ∈ Cn×n untuk nilai eigen µi, i = 1, 2, . . . , k.
Misalkan i = 1, 2, . . . , k. Definisikan dua subruang K = hv1, v2, . . . , vii dan
L = hui, ui+1. . . , uni dari Cn. Maka dim(K) = i dan dim(L) = n − i + 1,
sehingga K ∩ L bukan ruang nol. Misalkan x ∈ K∩L, x∗x = 1. Maka x = " y 0 # , untuk suatu y ∈ hy1, y2, . . . , yii.
Dengan Teorema 1.3.8 kita peroleh λi≤ x∗Ax = y∗By ≤ µi.
Dengan hasil di atas yang dikenakan pada matriks −A kita memperoleh µi ≤ λn+i−k.
Sebagai ilustrasi penggunaan Teorema Sela ini, matriks "
−1 2 2 1 #
memi-liki dua nilai eigen berbeda. Sesungguhnya, nilai eigen terkecil matriks ini tidak lebih dari −1, sedangkan nilai eigen terbesarnya tidak kurang dari 1.
1.3. MATRIKS DEFINIT TAKNEGATIF 15 Akibat 1.3.11. Misalkan A ∈ Cn×nmatriks Hermite dan B ∈ C(n−1)×(n−1) submatriks utama dari A. Misalkan pula nilai-nilai karakteristik A adalah λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn dan nilai-nilai karakteristik B adalah µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤
µn−1. Maka
λ1 ≤ µ1 ≤ λ2 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ λn−1≤ µn−1≤ λn.
Sekarang kita siap untuk membuktikan Teorema 1.3.7. Ingat kembali bahwa determinan matriks Hermite adalah hasilkali semua nilai eigennya. Bukti Teorema 1.3.7:
Misalkan A = [aij] dan λ1≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn adalah nilai-nilai eigen A.
Untuk bagian (a):
(=⇒) Untuk n = 2: Dari Akibat 1.3.6, a11> 0. Lalu, det(A) = λ1λ2 > 0.
Misalkan sekarang n ≥ 3 sembarang dan implikasi (=⇒) pada Teorema 1.3.7 (a) benar untuk semua matriks berukuran n − 1. Misalkan Ak adalah
sub-matriks utama pemuka dari A yang berorde k, 1 ≤ k ≤ n − 1. Maka Ak
adalah submatriks utama pemuka dari matriks B yang diperoleh dengan membuang baris dan kolom terakhir dari A. Dari Sifat 1.3.5, B definit positif, sehingga semua submatriks utama pemuka dari B memiliki determi-nan positif. Ini berarti determidetermi-nan semua submatriks utama pemuka dari A yang berukuran kurang dari n positif. Submatriks utama pemuka dari A yang berukuran n adalah A sendiri. Akan tetapi, det(A) = λ1λ2· · · λn> 0,
dan bukti selesai.
(⇐=) Untuk n = 2: Diketahui a11> 0 dan det(A) > 0. Dari Akibat 1.3.10,
kita beroleh 0 < a11 ≤ λ2. Karena det(A) = λ1λ2 > 0, haruslah λ1 > 0.
Jadi, λ1, λ2 keduanya positif, berarti A definit positif.
Misalkan sekarang n ≥ 3 sembarang dan implikasi (⇐=) pada Teorema 1.3.7 (a) berlaku untuk semua matriks berukuran n − 1. Partisi A menjadi A =
" B u u∗ α #
, dimana B berorde n − 1. Semua submatriks utama pemuka dari B adalah submatriks utama pemuka dari A yang berukuran kurang dari n. Dengan hipotesis induksi, B definit positif.
Misalkan nilai-nilai eigen A terurut sebagai λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn, dan
nilai-nilai eigen B adalah µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn−1. Teorema Sela memberikan
urutan λi ≤ µi ≤ λi+1, i = 1, 2, . . . , n − 1. Karena B definit positif, maka
µ1> 0, sehingga λ2, . . . , λnsemuanya positif. Akhirnya, λ1=
det(A) λ2· · · λn
> 0. Untuk bagian (b):
menunjukkan determinan setiap submatriks utama pemuka A tak-negatif. Untuk menuntaskan pembuktian, perhatikan bahwa setiap submatriks utama A adalah submatriks utama pemuka sebuah matriks yang serupa dengan A. (⇐=) Polinom karakteristik untuk A dapat ditulis cA(t) = tn+
n
X
i=1
(−1)isitn−i,
dimana si adalah jumlah determinan semua submatriks utama dari A yang
berukuran i×i, i = 1, 2, . . . , n. Karena determinan semua submatriks utama dari A tak negatif, maka s1, s2, . . . , sn semuanya tidak negatif.
Misalkan λ sembarang nilai eigen A. Maka cA(λ) = 0. Andaikan λ < 0.
Jika n genap, maka λn positif dan (−1)iλn−i ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n, sehingga cA(λ) > 0. Sebaliknya, jika n ganjil, maka λn negatif dan (−1)iλn−i ≤ 0,
i = 1, 2, . . . , n, sehingga cA(λ) < 0. Kedua kasus n ini berakhir dengan
kontradiksi. Jadi haruslah λ ≥ 0.
Di awal subbab ini telah kita lihat bahwa matriks AA∗ definit tak-negatif, untuk setiap matriks A sembarang. Kebalikannya juga berlaku. Teorema 1.3.12. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite. Maka:
(a) A definit tak-negatif jika dan hanya jika terdapat matriks B ∈ Cn×n yang memenuhi A = BB∗, dan
(b) A definit positif jika dan hanya jika terdapat matriks tak-singular B ∈ Cn×n yang memenuhi A = BB∗.
Bukti: Kita cukup membuktikan bagian “hanya jika” pada kedua per-nyataan dalam teorema. Karena A matriks Hermite, terdapat matriks uniter U ∈ Cn×n dan matriks diagonal D = diag (λ
1, λ2, . . . , λn) yang
memenuhi A = UDU∗. Sifat definit tak-negatif pada A berarti λ1, λ2, . . . , λn
semuanya tak-negatif. Pilih bilangan-bilangan kompleks α1, α2, . . . , αn,
de-ngan |αi|2 = λi, i = 1, 2, . . . , n. Definisikan B = U diag (α1, α2, . . . , αn) U∗.
Maka
BB∗ = (U diag (α1, α2, . . . , αn) U∗) (U diag (α1, α2, . . . , αn) U∗)
= U diag |α1|2, |α2|2, . . . , |αn|2 U∗
= U diag (λ1, λ2, . . . , λn) U∗ = A.
Dalam hal A definit positif, semua α1, α2, . . . , αn taknol, sehingga B
tak-singular.
Pada bukti di atas tampak bahwa B adalah matriks normal. Lebih jauh, dari pemilihan bilangan-bilangan α1, α2, . . . , αn dalam pembuktian di atas,
1.4. SOAL LATIHAN 17 kita lihat bahwa matriks normal B pada Teorema 1.3.12 tidaklah tunggal. Akan tetapi, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 1.3.13. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite. Maka A definit
positif jika dan hanya jika terdapat matriks segitiga bawah tak-singular L ∈ Cn×n yang memenuhi A = LL∗. Hanya ada satu matriks L yang semua komponen diagonal utamanya real positif.
Bukti: Seperti pada Teorema 1.3.12, kita cukup membuktikan bagian “ha-nya jika” saja. Ini kita lakukan dengan induksi pada n.
Untuk n = 2, jika A = " a11 a21 a21 a22 # , pilih matriks L = " l11 0 l21 l22 # , di-mana l11 memenuhi |l11|2 = a11, l22 memenuhi |l22|2 =
det A a11 , sedangkan l21= a21l11 a11
. Hanya satu l11dan l22positif yang memenuhi, yaitu l11=
√ a11 dan l22= r det A a11 .
Misalkan n ≥ 3 dan asumsikan teorema berlaku untuk semua matriks berorde n − 1. Partisi A menjadi A = " B u u∗ α # , dengan B berorde n − 1, u ∈ Cn−1 dan α ∈ C. Dengan Sifat 1.3.5, B definit positif dan α real positif. Dari hipotesis induksi kita peroleh B = L1L∗1, untuk suatu matriks segitiga
bawah L1 berorde n − 1. Matriks L1 mestilah tak-singular. Perhatikan
bahwa karena A ekivalen baris dengan "
B u
0∗ α − u∗B−1u #
, maka det A =
α − u∗B−1u det B. Pilih matriks L = "
L1 0
v∗ β #
, dimana v = L−11 u dan β ∈ C yang memenuhi |β|2 = det A
det B. Ketunggalan L diperoleh dari ketung-galan L1 dan pemilihan β =
r det A det B.
Penulisan A = LL∗pada teorema ini dikenal sebagai faktorisasi Cholesky.
1.4
Soal Latihan
1. Misalkan Snadalah himpunan semua permutasi pada {1, 2, . . . , n} dan
Permn adalah himpunan semua matriks permutasi n × n. Tunjukkan
bahwa terdapat pemetaan bijektif Φ : Sn−→ Permn yang memenuhi
2. Misalkan A ∈ Cm×n dengan rank(A) = r. Tunjukkan bahwa terda-pat matriks permutasi P, matriks-matriks B berukuran m × r dan C berukuran r × n, yang memenuhi rank(B) = rank(C) = r dan AP = BC.
3. Misalkan P1, P2, . . . , Pk matriks-matriks permutasi berorde n.
Mi-salkan αi ∈ R, 0 ≤ αi ≤ 1, i = 1, 2, . . . , k. Tunjukkan bahwa jumlah
semua komponen pada setiap baris matriks A =
k
X
i=1
αiPi konstan,
demikian pula dengan jumlah semua komponen setiap kolomnya.
4. Misalkan τ = 1 2 3 4 5 6 7 2 6 5 7 3 1 4
! .
(a) Tentukan matriks permutasi P ∈ C7×7 yaang memenuhi Pτ =
Pdiag (S1, S2, S3) P−1, dimana S1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 dan S2 = S3 = " 0 1 1 0 # .
(b) Tentukan nilai-nilai dan vektor-vektor eigen Pτ.
5. Misalkan A = 0 1 0 1 0 1 0 1 0
. Apakah terdapat matriks tak singular S sehingga S−1AS tidak simetris?
6. Misalkan A ∈ Cn×n. Tunjukkan bahwa A dapat didiagonalkan oleh matriks uniter menjadi matriks diagonal yang semua komponen uta-manya imajiner murni jika dan hanya jika A∗ = −A.
[Matriks A ∈ Cn×n yang memenuhi A∗ = −A dikatakan Hermite miring.]
7. Buktikan bahwa A ∈ R2×2 adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika A = " cos θ − sin θ sin θ cos θ # atau A = " cos θ sin θ sin θ − cos θ # untuk suatu θ ∈ R.
8. Misalkan A matriks normal. Buktikan bahwa ruang kolom A ortogo-nal terhadap ruang nol A.
1.4. SOAL LATIHAN 19 9. Misalkan A matriks normal berorde n dan Au = λu, untuk suatu skalar λ dan u ∈ Cn yang memenuhi u∗u = 1. Misalkan X = h u v2 v3 · · · vn i ∈ Cn×n uniter. Jika X∗AX = " λ y∗ 0 B # , di-mana y ∈ Cn−1 dan B berorde n − 1, tunjukkan bahwa y = 0 dan BB∗= B∗B.
10. Misalkan L matriks segitiga bawah. Buktikan bahwa L matriks normal jika dan hanya jika L matriks diagonal.
11. Misalkan A matriks normal berorde n dan x ∈ Cn. Buktikan bahwa x vektor eigen A jika dan hanya jika x vektor eigen A∗.
12. Misalkan A ∈ Cn×n. Tunjukkan bahwa terdapat matriks-matriks H, M ∈ Cn×n yang memenuhi H∗ = H, M∗ = −M dan A = H + M, sehingga setiap matriks dapat dituliskan sebagai jumlah dua matriks nomal.
13. Misalkan A, B ∈ Cn×n definit tak-negatif dan α, β bilangan-bilangan real tak-negatif. Tunjukkan bahwa αA + βB definit tak-negatif. 14. Misalkan x1, x2, . . . , xn ∈ Cn. Misalkan komponen baris ke-i kolom
ke-j matriks A ∈ Cn×n adalah x∗jxi, i, j = 1, 2, . . . , n. Tunjukkan
bahwa A definit tak-negatif.
15. Misalkan A ∈ Cn×n matriks Hermite. Tunjukkan bahwa A definit
tak-negatif jika dan hanya jika A = B2, untuk suatu matriks definit tak-negatif B ∈ Cn×n. Tunjukkan bahwa dalam hal ini B tunggal. 16. Misalkan A matriks definit tak-negatif. Buktikan bahwa Ak definit
tak-negatif, untuk semua bilangan asli k.
17. Tunjukkan bahwa matriks A = 1 2 3 2 8 12 3 12 27
definit positif. Kemu-dian, dapatkan faktorisasi Cholesky untuk A.
2
Faktorisasi Matriks
Diagonalisasi sebuah matriks persegi adalah contoh dekomposisi matriks. Melalui dekomposisi, kita memberikan representasi matriks dalam bentuk atau struktur yang lebih sederhana. Representasi ini pada dasarnya terkait dengan perubahan basis ruang vektor. Dalam bahasa matriks, dekompo-sisi matriks adalah penulisan matriks tersebut sebagai perkalian beberapa matriks yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Secara umum, penulisan sebuah matriks sebagai perkalian dua atau lebih matriks dikatakan seba-gai faktorisasi matriks. Sebaseba-gaimana dekomposisi, kita menginginkan fak-torisasi matriks ke dalam faktor-faktor dengan bentuk atau struktur yang lebih sederhana.
2.1
Dekomposisi Nilai Singular
Dalam Subbab 1.2 kita membicarakan diagonalisasi matriks normal oleh matriks uniter. Diagonalisasi ini dapat kita pandang sebagai perubahan matriks representasi sebuah operator linier (pemetaan linier dengan domain dan kodomain yang sama). Secara persis, terdapat sebuah basis ortonormal yang memberikan matriks representasi baru berupa matriks diagonal. Eksis-tensi basis ortonormal demikian terbatas hanya untuk operator linier yang memiliki matriks representasi berupa matriks normal. Bagaimana dengan matriks lainnya?
Matriks yang tidak normal tidak mungkin serupa uniter dengan matriks diagonal. Pada subbab ini, kita masih ingin mempertahankan representasi diagonal terhadap basis ortonormal. Untuk itu kita harus mengorbankan sifat keserupaan.
Misalkan A ∈ Cm×n. Dalam Subbab 1.3 telah kita lihat bahwa mat-riks AA∗ ∈ Cm×m adalah matriks definit tak-negatif. Sesungguhnyalah,
menurut Teorema 1.3.12, setiap matriks definit tak-negatif dapat dituliskan sebagai perkalian sebuah matriks dengan transpos konyugatnya. Ini be-rarti semua nilai eigen AA∗ tak-negatif. Kita buktikan terlebih dahulu sifat berikut.
Sifat 2.1.1. Misalkan A ∈ Cm×n. Maka Inti(A∗) = Inti(AA∗), yaitu untuk setiap x ∈ Cm berlaku A∗x = 0 jika dan hanya jika AA∗x = 0.
Bukti: Bagian hanya jika jelas berlaku. Misalkan sekarang AA∗x = 0. Maka kA∗xk2= x∗AA∗x = x∗0 = 0. Jadi A∗x = 0.
Teorema 2.1.2. Misalkan A ∈ Cm×n, A 6= 0. Maka terdapat bilangan asli r ≤ min{m, n}, matriks diagonal D ∈ Rr×r yang semua komponen diag-onal utamanya positif dan matriks-matriks uniter U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n, sehingga A = U " D 0 0 0 # V∗.
Bukti: Tulis AA∗ = UΛU∗, dimana Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λm), λi real
tak-negatif, dan U ∈ Cm×m uniter. Dengan melakukan permutasi serentak pada baris-baris dan kolom-kolom Λ bila perlu, kita dapat mengasumsikan λ1, λ2, . . . , λr semuanya positif, sedangkan λr+1 = λr+2 = · · · = λm = 0,
untuk suatu r ≤ m. Pilih D = diag(√λ1,
√ λ2, . . . , √ λr). Partisi U menjadi U = hU1 U2 i , dimana U1 ∈ Cm×r. Maka Λ = " D2 0 0 0 # , U∗1U1 = Ir,
U∗1U2 = 0 dan AA∗ = U1D2U∗1. Dengan demikian, AA∗U2 = 0, dan
akibatnya A∗U2 = 0.
Definisikan V1 = A∗U1D−1 ∈ Cn×r. Maka V∗1V1 = Ir. Perluas V1menjadi
matriks uniter V =hV1 V2 i ∈ Cn×n. Kita peroleh U " D 0 0 0 # V∗ = h U1 U2 i " D 0 0 0 # " V∗1 V∗2 # = hU1D 0 i " V1∗ V2∗ # = U1DV∗1 = U1D A∗U1D−1 ∗ = U1DD−1U∗1A = U1U∗1A.
2.1. DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR 23 Karena U uniter, maka Im = UU∗ = U1U∗1 + U2U∗2, sehingga U1U∗1 =
Im− U2U∗2. Dengan demikian, U " D 0 0 0 # V∗ = U1U∗1A = A − U2U∗2A = A − (A∗U2U∗2) ∗ = A. Baris terakhir kita peroleh dari A∗U2 = 0.
Definisi 2.1.3. Misalkan A ∈ Cm×n. Misalkan pula λ1, λ2, . . . , λr
nilai-nilai eigen positif AA∗, u1, u2, . . . , ur dan v1, v2, . . . , vr seperti pada bukti
Teorema 2.1.2. Kita katakan √λ adalah nilai singular dari A, dan untuk i = 1, 2, . . . , r, vektor ui [vi] dinamakan vektor singular kiri [kanan] matriks
A. Definisi 2.1.4. Dekomposisi A = U " D 0 0 0 #
V∗ yang diberikan pada Teo-rema 2.1.2 dinamakan dekomposisi nilai singular matriks A.
Dari Teorema 2.1.2 dan buktinya kita memperoleh fakta-fakta berikut: 1. Perhatikan bahwa AV =
h
U1D 0
i
, sehingga kolom-kolom U1
me-nyusun sebuah basis bagi Peta(A). Kemudian, perhatikan juga bahwa AV2 = 0. Dengan memperhatikan dimensi Inti(A), kita dapat
me-nyimpulkan bahwa kolom-kolom V2menyusun sebuah basis bagi Inti(A).
Akibatnya, bilangan r pada Teorema 2.1.2 adalah rank A. Jadi, setiap matriks A ∈ Cm×n memiliki nilai singular sebanyak ranknya.
2. Dekomposisi nilai singular menyatakan bahwa Cn terdekomposisi atas subruang-subruang saling ortogonal yang dipetakan “konstan” oleh A ke subruang-subruang dari Cm yang juga saling ortogonal.
3. Untuk i = 1, 2, . . . , r, Avi=
√
λiui dan A∗ui =
√ λivi.
4. Sekali pun dekomposisi nilai singular tidak tunggal, biasanya diambil urutan √λ1 ≥
√
λ2 ≥ · · · ≥
√
λr sebagai bentuk kanonik dekomposisi
nilai singular. Dalam hal ini, matriks "
D 0 0 0 #
5. Kalau kita kalikan ruas kanan pada dekomposisi nilai singular, kita lihat bahwa submatriks-submatriks U2 dan V2 tidak berperan untuk
menghasilkan A di ruas kiri. Oleh karena itu, kita mempunyai bentuk ringkas dekomposisi nilai singular:
Teorema 2.1.5. Misalkan A ∈ Cm×n, A 6= 0. Maka terdapat bilangan asli r ≤ min{m, n}, matriks diagonal D ∈ Rr×r yang semua komponen diagonal utamanya positif dan matriks-matriks U ∈ Cm×r, V ∈ Cn×r yang memenuhi U∗U = Ir= V∗V, sehingga A = UDV∗.
Dalam hal ini kita mempunyai V = A∗UD−1.
5. Pada Teorema 2.1.5, misalkan D = diag (σ1, σ2, . . . , σr), U =
h u1 u2 . . . ur i , dan V = h v1 v2 . . . vr i
. Maka kita peroleh A =
r
X
i=1
σiuiv∗i. Ruas
kanan hubungan terakhir ini dikenal dengan nama ekspansi hasilkali luar matriks A. Dengan demikian, setiap matriks dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan sejumlah hingga matriks dengan rank satu. Dekomposisi nilai singular memberikan kepada kita sebuah faktorisasi, yaitu faktorisasi kutub.
Teorema 2.1.6. Misalkan A ∈ Cm×n dengan m ≤ n. Maka terdapat matriks definit tak-negatif P ∈ Cm×m dan U ∈ Cm×n yang memenuhi UU∗ = Im sehingga PU = A dan rank(P) = rank(A). Dalam hal ini,
matriks P tunggal.
Bukti: Tulis dekomposisi nilai singular untuk A: A = W1D1V∗1, dengan
D1 ∈ Rr×r matriks diagonal yang semua komponen diagonal utamanya
positif, W1 ∈ Cm×r, V1 ∈ Cn×r memenuhi W1∗W1 = Ir = V1∗V1.
Per-luas D1, W1 dan V1 menjadi D = diag(D, 0) ∈ Cm×m, W = [W1 W2] ∈
Cm×m, V = [V1 V2] ∈ Cn×m sehingga W uniter dan V∗V = Im. Maka
WDV∗ = A.
Pilih P = WDW∗ ∈ Cm×m dan U = WV∗ ∈ Cm×n. Perhatikan bahwa P
definit tak-negatif, UU∗= WV∗VW∗= WW∗= Im, dan PU = A.
Selanjutnya, kita berikan di sini garis besar bukti ketunggalan P, rincian diserahkan kepada pembaca.
Misalkan PU dan P1U1 dua faktorisasi kutub untuk A. Dengan meninjau
AA∗ serta mengingat sifat Hermite P dan P1, kita peroleh P2 = P21.
2.2. FAKTORISASI SEGITIGA 25 eigen P dan P2 persis sama. Akibatnya, vektor-vektor eigen P dan P1 juga
persis sama. Dengan dasar yang sama, jika λ nilai eigen P2, maka λ = µ2, untuk suatu nilai eigen µ bagi P. Karena P definit tak-negatif, λ ada-lah nilai eigen P2 jika dan hanya jika√λ adalah nilai eigen P. Pernyataan serupa juga berlaku untuk P1. Ini membawa kita kepada kesimpulan bahwa
P1= P.
Faktorisasi kutub pada matriks dapat dibandingkan dengan represen-tasi kutub bilangan kompleks. Setiap bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai perkalian sebuah bilangan real tak-negatif dengan sebuah bilangan kompleks dengan modulus 1, yaitu dalam bentuk z = reiθ, untuk r, θ ∈ R, r ≥ 0.
2.2
Faktorisasi segitiga
Dengan dekomposisi nilai singular, setiap matriks persegi ekivalen uniter dengan suatu matriks diagonal. [Dua matriks persegi A dan B dikatakan ekivalen jika terdapat matriks-matriks tak singular S dan T yang memenuhi B = SAT. Kedua matriks A dan B ekivalen uniter jika S dan T adalah matriks-matriks uniter.] Pengertian ekivalen ini lebih umum daripada ke-serupaan. Keserupaan tidak lain dari ekivalensi dimana kita meminta syarat tambahan T = S−1.
Telah kita lihat bahwa hanya matriks normal yang serupa uniter de-ngan matriks diagonal. Mempertahankan kediagonalan memaksa kita me-longgarkan keserupaan menjadi ekivalensi. Sebaliknya, mempertahankan keserupaan memaksa kita melepaskan kediagonalan. Secara umum, matriks persegi hanya serupa uniter dengan matriks segitiga.
Teorema 2.2.1 (Dekomposisi Schur). Misalkan A ∈ Cn×n. Maka terda-pat matriks uniter U ∈ Cn×n dan matriks segitiga atas R ∈ Cn×n yang memenuhi A = URU∗.
Teorema Schur ini dapat dibuktikan menggunakan induksi terhadap n dengan cara yang serupa dengan pembuktian Teorema 1.2.2.
Belakangan nanti akan kita lihat bahwa dengan melepaskan syarat uniter kita dapat memperoleh matriks segitiga dengan struktur yang lebih baik. Bila komponen-komponen di luar diagonal utama matriks segitiga pada dekomposisi Schur tidak teridentifikasi, dekomposisi yang akan kita tinjau nanti memberikan informasi tentang komponen-komponen tersebut.
Bila pada dekomposisi kita berbicara tentang mencari representasi lain bagi matriks sebagai pemetaan linier, dalam pembicaraan selanjutnya kita ingin “memecah” matriks sebagai hasil perkalian dua matriks lain. Dalam bahasa pemetaan, yang akan kita tinjau tidak lain dari menuliskan pemetaan linier sebagai komposisi dua pemetaan linier.
Pada Bab 1 kita telah mengenal faktorisasi yang melibatkan matriks segitiga, yaitu faktorisasi Cholesky (lihat Teorema 1.3.13). Faktorisasi ini berlaku untuk matriks definit positif. Secara umum kita mempunyai fak-torisasi berikut.
Teorema 2.2.2. Misalkan A ∈ Cn×n dengan rank(A) = r. Jika deter-minan submatriks utama pemuka berorde k dari A taknol, k = 1, 2, . . . , r, maka A = LR, untuk suatu matriks segitiga bawah L ∈ Cn×n dan matriks segitiga atas R ∈ Cn×n.
Bukti: Pertama-tama, kita gunakan induksi pada n untuk membuktikan kasus A tak singular.
Misalkan n = 2 dan A = [aij]. Maka
L = " 1 0 a21/a11 1 # , R = " a11 a12 0 a22− a12a21/a11 # memenuhi LR = A.
Asumsikan A ∈ Cn×n dan teorema berlaku untuk semua matriks tak singu-lar berukuran (n − 1) × (n − 1). Partisi matriks A menjadi A =
" B w z∗ α
# , dengan B ∈ C(n−1)×(n−1). Dengan hipotesis teorema, B tak singular dan memenuhi hipotesis induksi, sehingga B = L1R1, dimana L1 matriks
segit-iga bawah dan R1 matriks segitiga atas. Karena B tak singular, L1 dan R1
keduanya juga tak singular. Maka L = "
L1 0
z∗R−11 1 #
adalah matriks
segit-iga bawah, R = "
R1 L−11 w
0∗ α − z∗R−11 L−11 w #
adalah matriks segitiga atas dan LR = A.
Sekarang misalkan A singular dengan rank r. Maka A memiliki submatriks utama pemuka B berukuran r × r yang tak singular dan memenuhi hipotesis teorema, sehingga B = L1R1, untuk suatu matriks segitiga bawah L1 dan
2.2. FAKTORISASI SEGITIGA 27 C ∈ Cr×(n−r), E ∈ C(n−r)×r, sehingga A memiliki bentuk blok
A = " B BC EB EBC # = " L1R1 L1R1C EL1R1 EL1R1C # . Pilih L = " L1 0 EL1 0 # dan R = " R1 R1C 0 0 #
. Maka L matriks segitiga bawah, R matriks segitiga atas dan LR = A.
Faktorisasi pada Teorema 2.2.2 ini lazim dikenal sebagai faktorisasi LU karena diperkenalkan dengan menggunakan notasi U untuk matriks segit-iga atas. Pada dasarnya, faktorisasi ini adalah notasi matriks untuk hasil eliminasi Gauss, tanpa pertukaran baris, pada matriks A.
Faktorisasi LU , bila ada, tidak mesti tunggal. Kita dapat memperoleh ketunggalan dengan menambahkan syarat bahwa L tak singular dan semua komponen diagonal utama L adalah 1. Dari sisi eliminasi Gauss, ketung-galan ini kita peroleh jika kita membatasi diri hanya pada satu tipe operasi baris elementer saja, yaitu menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris lainnya.
Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt kita gunakan untuk memperoleh basis ortonormal dari sebuah basis sembarang. Dalam bahasa matriks, proses Gram-Schmidt mengubah matriks tak-singular A ∈ Cn×n menjadi matriks uniter Q ∈ Cn×n. Dengan memperhatikan bagaimana proses
ortonor-malisasi ini bekerja, kita lihat bahwa kedua matriks tersebut memenuhi hubungan A = QR, untuk suatu matriks segitiga atas R ∈ Cn×n.
Proses Gram-Schmidt dapat juga kita kenakan pada himpunan bebas linier selain basis. Teorema berikut merupakan konsekuensi proses Gram-Schmidt.
Teorema 2.2.3. Misalkan A ∈ Cm×n dengan m ≥ n. Jika rank(A) = n, maka A = QR, untuk suatu Q ∈ Cm×n yang memenuhi Q∗Q = In dan
matriks segitiga atas R ∈ Cn×n. Dengan menambahkan persyaratan bahwa semua komponen diagonal utama R real positif, faktorisasi ini tunggal.
Faktorisasi yang diperkenalkan dalam teorema ini dikenal sebagai fak-torisasi QR. Berbagai teknik dalam komputasi matriks bersandar pada faktorisasi QR ini.
Secara teoritis, proses Gram-Schmidt memberikan bukti konstruktif un-tuk faktorisasi QR. Akan tetapi, dalam prakteknya kita menggunakan teknik lain dalam melakukan faktorisasi ini. Dua teknik, refleksi House-holder dan rotasi Givens, telah digunakan secara luas.
Teorema 2.2.4. Misalkan v ∈ Cn, v 6= 0. Maka H = In−
2vv∗
v∗v adalah
refleksi terhadap subruang v⊥ = {y ∈ Cn| y∗v = 0}, yaitu Hx = y − αv,
untuk setiap x = y + αv ∈ Cn, dengan y ∈ v⊥, α ∈ C. Bukti: Dengan menghitung langsung:
Hx = In− 2vv∗ v∗v (y + αv) = y + αv − 2v ∗y v∗v − 2αv = y − αv. Kesamaan terakhir diperoleh karena y ∈ v⊥.
Matriks H pada Teorema 2.2.4 disebut refleksi Householder.
Teorema 2.2.5. Refleksi Householder H adalah matriks Hermite, memenuhi H2 = In, dan, dengan demikian, H uniter.
Bukti: Dengan menghitung langsung. Bukti lengkap diserahkan pada pem-baca.
Gagasan menggunakan refleksi Householder untuk memperoleh faktorisasi QR untuk matriks A adalah mencari vektor v sehingga H memetakan kolom pertama A ke kelipatan e1 (vektor ei adalah unsur basis baku bagi Cn
de-ngan komponen 1 pada posisi ke-i). Sifat uniter H mengharuskan vektor hasil peta tersebut memiliki norma Euklid yang sama dengan norma kolom pertama A.
Refleksi Householder kita gunakan untuk memperoleh vektor dengan komponen nol dalam jumlah banyak. Untuk matriks real, ketika kita ingin mendapatkan komponen nol secara lebih selektif, kita menggunakan rotasi Givens.
Definisi 2.2.6. Matriks G ∈ Rn×n dinamakan rotasi Givens jika
G = P cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 In−2 P t,
2.2. FAKTORISASI SEGITIGA 29 Ini berarti, komponen-komponen matriks G = [gij] selain gkk, gkl, glk
dan gll sama dengan komponen-komponen matriks identitas, untuk suatu
1 ≤ k, l ≤ n, k 6= l. Dengan menghitung langsung, kita memperoleh sifat berikut.
Sifat 2.2.7. Matriks G adalah matriks ortogonal.
Secara geometri, G adalah matriks rotasi pada bidang-kl sebesar θ (ber-lawanan dengan arah jarum jam).
Selain matriks segitiga, bentuk lain yang juga banyak digunakan dalam komputasi matriks adalah bentuk Hessenberg. Matriks A = [aij] ∈ Cn×n
dikatakan matriks Hessenberg jika aij = 0, untuk semua 1 ≤ j + 1 < i ≤ n.
Kita dapat memanfaatkan refleksi Householder untuk memperoleh fak-torisasi A = US, dimana U, S ∈ Cn×n, U matriks uniter, dan S matriks Hessenberg. Lebih jauh, dengan menggunakan rangkaian refleksi House-holder yang sama di sebelah kanan, bentuk Hessenberg yang telah diperoleh pada faktorisasi A = US di atas akan tetap dalam bentuk Hessenberg. Ini memberi kita teorema berikut.
Teorema 2.2.8. Misalkan A ∈ Cn×n. Maka terdapat matriks uniter U ∈ Cn×n dan matriks Hessenberg S ∈ Cn×n yang memenuhi A = USU∗.
Keperluan akan bentuk Hessenberg akan tampak ketika kita bekerja di lapangan real. Dekomposisi Schur tidak berlaku kalau C kita ganti dengan R. Kegagalan terjadi manakala matriks real yang didekomposisi memiliki nilai eigen bukan real. Dalam hal ini, hasil paling mendekati yang dapat diperoleh adalah bentuk Hessenberg sebagai pengganti matriks segitiga. Teorema 2.2.9. Misalkan A ∈ Rn×n. Maka terdapat matriks ortogonal Q ∈ Rn×n sehingga berlaku QtAQ = Λ1 N12 N13 · · · N1k 0 Λ2 N23 · · · N2k 0 0 Λ3 · · · N3k .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · Λk ,
dimana Λ1, Λ2, . . . , Λk adalah matriks-matriks berukuran 1 × 1 atau 2 × 2,
dan Λi berukuran 2 × 2 hanya jika nilai-nilai eigennya tak real.
Matriks Λi berukuran 2 × 2 pada teorema di atas berbentuk
" α −β β α
#
2.3
Soal Latihan
1. Misalkan λ ∈ R, λ > 0. Tunjukkan bahwa λ nilai karakteristik AA∗ jika dan hanya jika λ nilai karakteristik A∗A.
2. Misalkan A ∈ Cn×n memenuhi A∗ = −A.
(a) Apa yang bisa dikatakan tentang nilai-nilai karakteristik A? (b) Tentukan dekomposisi nilai singular untuk A.
3. Berikan bukti alternatif untuk Teorema 2.1.2 dengan pertama-tama mendiagonalisasi A∗A.
4. Misalkan σmaks(A) menyatakan nilai singular terbesar A. Buktikan bahwa
σmaks(A) = maks{|x∗Ay| | x ∈ U2m, y ∈ U2n} dimana U2k= {x ∈ Ck| kxk2 = 1}.
5. Misalkan A ∈ Cm×n, rank(A) = r, dan B diperoleh dengan mem-buang kolom terakhir A sehingga rank(B) = r − 1. Misalkan nilai-nilai singular A adalah σ1 ≤ σ2 ≤ · · · ≤ σr dan nilai-nilai singular
B adalah τ1 ≤ τ2 ≤ · · · ≤ τr−1. Tunjukkan bahwa σi ≤ τi ≤ σi+1,
i = 1, 2, . . . , r − 1.
6. Misalkan A, B ∈ Cm×n. Buktikan bahwa
σmaks(A + B) ≤ σmaks(A) + σmaks(B),
dimana σmaks(X) menyatakan nilai singular terbesar matriks X. 7. Misalkan A ∈ Cn×n tak-singular. Jika PU = A adalah dekomposisi
kutub untuk A, tunjukkan bahwa A normal jika dan hanya jika PU = UP.
8. Tentukan semua α ∈ C yang membuat matriks A = α 2 0 1 α 1 0 1 α tidak memiliki faktorisasi LU .
9. Misalkan A ∈ Cn×n tak singular dan A = QR = Q1R1 adalah dua
faktorisasi QR untuk matriks A. Tunjukkan bahwa terdapat matriks diagonal D = diag(d1, d2, . . . , dn), dengan |d1| = |d2| = · · · = |dn| = 1,
2.3. SOAL LATIHAN 31
10. Diberikan matriks real A = 1 19 −34 −2 −5 20 2 8 37
, gunakan refleksi House-holder untuk memperoleh faktorisasi QR bagi A. Kemudian, gunakan rotasi Givens untuk tujuan yang sama. [Gunakan kalkulator, lakukan pembulatan sampai 4 angka di belakang koma.]
11. Misalkan A = h a1 a2 · · · an i ∈ Cn×n. Tentukan v ∈ Cn sehingga H = In− 2vv∗ v∗v memenuhi Ha1 = ka1ke1. 12. Buktikan Teorema 2.2.5.
13. Misalkan A = [aij] ∈ Rn×n. Tentukan θ ∈ R sehingga
cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 In−2 A
memiliki komponen nol pada baris kedua kolom pertama.
14. Jika A ∈ Cn×n matriks tridiagonal, haruskah matriks R hasil fak-torisasi QR matriks A adalah matriks diagonal? Mengapa?
[A = [aij] matriks tridiagonal jika aij = 0, untuk semua i, j yang
memenuhi |i − j| > 1.] 15. Buktikan Teorema 2.2.8.
Norma Matriks
Konsep ruang vektor merupakan rampatan sifat-sifat aljabar vektor di bi-dang dan di ruang. Selain sifat aljabar, vektor di bibi-dang dan ruang juga memiliki sifat-sifat geometris yang bertumpu pada konsep sudut dan jarak. Dengan memperkenalkan konsep hasilkali dalam di ruang vektor, kita memu-nculkan kembali sejumlah sifat geometris vektor.
Sekali pun adanya konsep sudut membuat tinjauan geometris pada ruang vektor lebih lengkap, konsep jarak sudah memadai untuk berbagai keper-luan. Secara aljabar, ini kita lakukan melalui konsep norma.
Sudah kita ketahui bahwa ruang matriks m × n isomorfik dengan ruang vektor berdimensi mn. Melalui isomorfisma ini, kita dapat menggunakan sembarang norma ruang vektor berdimensi mn untuk ruang matriks m × n. Ketika perkalian matriks juga kita perhitungkan, norma tersebut memer-lukan syarat yang lebih keras.
Dalam bab ini kita akan membicarakan norma matriks, khususnya untuk matriks persegi. Sebelum itu, kita akan membicarakan beberapa hal yang berkaitan dengan norma vektor.
3.1
Norma Vektor
Pertama-tama, kita berikan sejumlah norma yang lazim digunakan di Cn. Misalkan x = hx1 x2 . . . xn
it
∈ Cn. Norma yang lazimnya
diperke-nalkan pertama kali adalah norma Euklid: kxk2 = n X i=1 |xi|2 !1/2 . Norma ini berasal dari hasilkali titik.
34 3. NORMA MATRIKS Perampatan hasilkali titik menjadi hasilkali dalam memberi kita lebih banyak norma. Untuk setiap hasilkali dalam h·, ·i : Cn× Cn −→ C, kita
memperoleh norma kxk = hx, xi12. Secara khusus, jika A ∈ Cn×n definit
positif, maka hx, yi = x∗Ay, x, y ∈ Cn, memberikan hasilkali dalam di Cn. Dengan demikian, dari matriks definit positif A ∈ Cn×n kita peroleh norma kxkA=
√ x∗Ax.
Tidak setiap norma berasal dari hasilkali dalam. Agar norma k · k di Cn berasal dari hasilkali dalam, identitas jajargenjang berikut harus berlaku:
kx + yk2+ kx − yk2= 2 kxk2+ kyk2 , untuk setiap x, y ∈ Cn. Dengan demikian, kedua norma berikut ini tidak berasal dari hasilkali dalam: kxk1 = n X i=1 |xi| dan kxk∞= maks i |xi|.
Indeks subskrip pada ketiga norma tersebut memiliki makna. Secara umum kita mempunyai, untuk p ∈ R, p ≥ 1, norma-p:
kxkp = n X i=1 |xi|p !1/p .
Ketaksamaan segitiga untuk norma-p dikenal sebagai ketaksamaan Min-kowski. Untuk membuktikan ketaksamaan ini, kita akan menggunakan se-buah rampatan dari ketaksamaan Cauchy-Bunyakowski-Schwarz, yaitu ke-taksamaan H¨older.
Sifat 3.1.1 (Ketaksamaan H¨older). Misalkan p, q ∈ R positif dan memenuhi 1
p + 1
q = 1. Maka |y
∗x| ≤ kxk
pkykq, untuk setiap x, y ∈ Cn.
Bukti: Tidak ada yang perlu dibuktikan ketika n = 1. Asumsikan n ≥ 2. Kita buktikan terlebih dahulu kasus xi dan yi real positif, i = 1, 2, . . . , n,
dan kxkp = kykq = 1. Dalam hal ini, xi < 1 dan yi < 1, i = 1, 2, . . . , n.
Misalkan i = 1, 2, . . . , n. Definisikan ai = p ln xi dan bi = q ln yi. Sifat
cekung ke atas fungsi eksponensial memberikan xiyi = eai/p+bi/q ≤ 1 pe ai+ 1 qe bi = 1 px p i + 1 qy q i.
Dengan menjumlahkan terhadap i = 1, 2, . . . , n, kita peroleh y∗x ≤ 1
p+ 1
q = kxkpkykq.
Dalam hal norma x atau y bukan 1, ambil ˆx = x/kxkp dan ˆy = y/kykq.
Maka kˆxkp = kˆykq = 1 dan ˆy∗x ≤ kˆˆ xkpkˆykq = 1. Perkalian kedua ruas
dengan kxkpkykq memberikan y∗x ≤ kxkpkykq.
Dalam hal komponen-komponen x dan y real tak-negatif, kita perpendek x dan y menjadi berturut-turut w dan z dengan membuang semua posisi di mana komponen x atau y adalah 0. Maka semua komponen w dan z real positif. Selanjutnya kita peroleh:
|y∗x| = y∗x = z∗w ≤ kzkpkwkq
≤ kykpkxkq.
Akhirnya, misalkan x, y ∈ Cn sembarang. Misalkan w, z ∈ Cn dengan
wi = |xi|, zi = |yi|, i = 1, 2, . . . , n. Maka kxkp = kwkp dan kykp = kzkp.
Ketaksamaan segitiga bilangan kompleks memberikan
|y∗x| = n X i=1 yixi ≤ n X i=1 |yi| |xi| = z∗w ≤ kzkpkwkq = kxkpkxkq.
Teorema 3.1.2 (Ketaksamaan Minkowsi). Misalkan p ∈ R, p ≥ 1. Maka untuk setiap x, y ∈ Cn berlaku
n X i=1 |xi+ yi|p !1/p ≤ n X i=1 |xi|p !1/p + n X i=1 |yi|p !1/p .
Bukti: Ketaksamaan jelas berlaku ketika kx + ykp = 0. Karena itu
asum-sikan sebaliknya. Pertama-tama, kita peroleh kx + ykpp = n X i=1 |xi+ yi|p = n X i=1 |xi+ yi||xi+ yi|p−1 ≤ n X i=1 |xi||xi+ yi|p−1+ n X i=1 |yi||xi+ yi|p−1.
36 3. NORMA MATRIKS Dengan ketaksamaan H¨older, kita peroleh
n X i=1 |xi||xi+ yi|p−1≤ kxkp n X i=1 |xi+ yi|q(p−1) !1/q ,
dimana 1/p + 1/q = 1. Syarat 1/p + 1/q = 1 berakibat q(p − 1) = p dan 1/q = (p − 1)/p. Dengan demikian, n X i=1 |xi+ yi|q(p−1) !1/q = n X i=1 |xi+ yi|p !(p−1)/p = kx + ykp−1p , sehingga n X i=1 |xi||xi+ yi|p−1≤ kxkpkx + ykp−1p .
Dengan cara serupa,
n X i=1 |yi||xi+ yi|p−1≤ kykpkx + ykp−1p . Jadi, kx + ykpp ≤ kxkpkx + ykp−1p + kykpkx + ykp−1p = (kxkp+ kykp) kx + ykp−1p ,
dan ketaksamaan Minkowski segera kita dapatkan.
Indeks tak hingga pada norma maksimum modulus memperoleh pembe-naran dari sifat berikut.
Sifat 3.1.3. Untuk setiap x ∈ Cn berlaku kxk∞= lim
p→∞kxkp.
Bukti: Untuk x = 0, pernyataan jelas benar. Misalkan x 6= 0 dan |xm|
adalah maksimum modulus komponen-komponen x. Maka:
kxkp = n X i=1 |xi|p !1/p = |xm| n X i=1 |xi| |xm| p!1/p = |xm| k +X xi xm p1/p ,
dimana k ≥ 1 menyatakan banyaknya komponen x yang modulusnya sama dengan |xm| dan penjumlahan pada ekspresi terakhir diambil untuk
se-mua komponen x yang modulusnya lebih kecil dari |xm|. Dengan kalkulus,
k +X xi xm p1/p
−→ 1 jika p −→ ∞, dan Sifat 3.1.3 terbukti.
Norma vektor pada Cn membawa sebuah metrik di ruang tersebut, se-hingga memungkinkan kita berbicara tentang sifat-sifat analitis pada Cn. Sifat 3.1.4. Diberikan sembarang norma k·k pada Cn, definisikan d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ Cn. Maka berlaku:
1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Cn, dan d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y; 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ Cn;
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ Cn.
Dengan demikian, Cnadalah sebuah ruang metrik dengan metrik d. Per-hatikan bahwa ketiga sifat pada Sifat 3.1.4 adalah sifat-sifat jarak antara dua vektor di garis, ruang dan bidang. Ini berarti bahwa metrik tidak lain dari rampatan pengertian jarak.
Tujuan pembahasan kita selanjutnya adalah menunjukkan bahwa sifat-sifat analitis ruang vektor bernorma yang berdimensi hingga tidak bergan-tung pada norma yang digunakan. Sebagai contoh, sebuah barisan di Cn
yang konvergen menurut satu norma juga konvergen menurut norma yang satu lagi. Hal ini terjadi karena semua norma pada ruang demikian ekivalen. Perhatikan bahwa, sesuai namanya, ekivalensi norma adalah sebuah relasi ekivalen.
Definisi 3.1.5. Dua norma k · k0 dan k · k00 di Cn dikatakan ekivalen jika terdapat konstanta-konstanta real positif m dan M yang memenuhi
mkxk0 ≤ kxk00≤ M kxk0, ∀x ∈ Cn.
Pertama-tama, subhimpunan tak hampa S dari sebuah ruang metrik dikatakan tertutup jika setiap barisan di S yang konvergen mestilah kon-vergen ke suatu unsur S. Barisan {xk} kita katakan konvergen ke a jika
d(xk, a) −→ 0 ketika k −→ ∞.
Sifat 3.1.6. Misalkan k · k sembarang norma di Cn. Himpunan U = {x ∈ Cn| kxk = 1} bersifat tertutup dan terbatas dengan metrik yang diturunkan dari norma k · k.
38 3. NORMA MATRIKS Bukti: Sifat terbatas U jelas terpenuhi.
Sekarang misalkan {uk} barisan di U yang konvergen ke a. Akan
ditun-jukkan bahwa a ∈ U , yaitu bahwa kak = 1. Perhatikan bahwa 0 ≤ |1 − kak| = |kukk − kak| ≤ kuk− ak. Karena uk konvergen ke a, maka
kuk− ak konvergen ke 0. Akibatnya, |1 − kak| = 0, sehingga kak = 1. Secara khusus, Sifat 3.1.6 berlaku untuk norma k · k1. Kita akan
tun-jukkan bahwa semua norma di Cn ekivalen dengan norma k · k1.
Sifat 3.1.7. Dengan metrik yang diturunkan dari norma k · k1, sembarang
fungsi norma k · k : Cn−→ R kontinu di U1= {x ∈ Cn| kxk1 = 1}.
Bukti: Pertama-tama, kita buktikan bahwa terdapat konstanta real posi-tif c yang memenuhi kxk ≤ ckxk1, untuk semua x ∈ Cn. Misalkan x =
[α1 α2 · · · αn]t∈ Cn, maka x = n X i=1 αiei. Kita peroleh kxk ≤ n X i=1 |αi|keik ≤ n X i=1 |αi| maks j kejk = c n X i=1 |αi| = ckxk1, dimana c = maksjkejk.
Selanjutnya, misalkan {uk} barisan di U1 yang konvergen (menurut metrik
yang diturunkan dari k · k1) ke a ∈ U1. Maka 0 ≤ |kukk − kak| ≤ kuk− ak ≤
ckuk − ak1. Karena kuk − ak1 konvergen ke 0, maka |kukk − kak| juga
konvergen ke 0, sehingga kukk konvergen ke kak, bukti selesai.
Dengan menggunakan Teorema Weierstrass (setiap fungsi real yang kon-tinu pada himpunan yang tertutup dan terbatas mencapai maksimum dan minimum di himpunan tersebut), Sifat 3.1.7 membawa konsekuensi berikut: Teorema 3.1.8. Setiap norma sembarang k · k mencapai maksimum dan minimum di U1 = {x ∈ Cn| kxk1= 1}.
Misalkan norma k · k mencapai maksimum dan minimum berturut-turut M dan m di U1. Perhatikan bahwa M dan m keduanya positif. Misalkan
pula x sembarang vektor taknol di ∈ Cn. Maka m ≤ x kxk1 ≤ M. Dengan menggunakan sifat norma kita peroleh
mkxk1≤ kxk ≤ M kxk1.
Ini berarti bahwa setiap norma di Cn ekivalen dengan norma k · k1.
Dengan menggunakan fakta bahwa ekivalensi norma adalah sebuah relasi ekivalen kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 3.1.9. Setiap dua norma k · k0 dan k · k00 di Cn ekivalen.
Teorema 3.1.9 berlaku untuk ruang berdimensi hingga. Contoh penyang-kal dapat kita temukan pada ruang vektor ` = {(a1, a2, . . . ) | ai ∈ C, hampir
semuanya 0}, dengan operasi komponen demi komponen. Maka k · k1 dan
k · k∞ keduanya norma di `, tetapi keduanya tidak ekivalen (lihat Soal
La-tihan 4).
3.2
Norma Matriks
Telah kita ketahui bahwa himpunan matriks Cm×n membentuk ruang vek-tor atas C yang isomorfik dengan Cmn. Sebagai akibatnya, ruang matriks ini dapat kita perlengkapi dengan norma, yaitu dengan mengambil norma vektor di Cmn.
Dalam hal m = n, kita juga mempunyai operasi perkalian di Cn×n.
Dalam kasus ini, kita menginginkan adanya kaitan antara norma matriks dengan operasi perkalian.
Definisi 3.2.1. Pemetaan ν : Cn×n −→ R adalah norma matriks jika berlaku:
1. ν(A) ≥ 0, ∀A ∈ Cn×n, dan ν(A) = 0 ⇐⇒ A = 0; 2. ν(A + B) ≤ ν(A) + ν(B), ∀A, B ∈ Cn×n;
3. ν(αA) = |α| ν(A), ∀α ∈ C, A ∈ Cn×n; dan 4. ν(AB) ≤ ν(A)ν(B), ∀A, B ∈ Cn×n.
Sifat 1 kita namakan kepositifan, Sifat 2 ketaksamaan segitiga, dan Sifat 4 submultiplikatif.
Sebagaimana norma vektor, kita lazim menggunakan notasi kAk untuk menyatakan norma matriks A.
Berikut ini beberapa norma matriks A = [aij] ∈ Cn×n yang banyak
digunakan. 1. kAk1 = maks j n X i=1
|aij| (jumlah modulus kolom terbesar);
2. kAk2 = maks
40 3. NORMA MATRIKS 3. kAk∞= maks i n X j=1
|aij| (jumlah modulus baris terbesar);
4. kAkF = v u u t n X i=1 n X j=1 |aij|2 (norma Frobenius).
Ekivalensi norma yang kita bicarakan di atas juga berlaku untuk norma matriks. Ini kita peroleh karena ekivalensi norma tidak memerlukan sifat submultiplikatif.
Norma matriks yang kita perkenalkan di atas memuat subskrip. Peng-gunaan subskrip pada Contoh 1-3 di atas memiliki makna tertentu.
Teorema 3.2.2. Misalkan A ∈ Cn×n. Untuk sembarang norma k · k di Cn, kAk := maks
x6=0
kAxk
kxk = makskxk=1kAxk mendefinisikan sebuah norma matriks di
Cn×n.
Bukti: Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa maksimum pada definisi me-mang ada. Mengingat Sifat 3.1.6, kita cukup menunjukkan bahwa fungsi x 7−→ kAx|| kontinu di U = {x ∈ Cn| kxk = 1}. Karena norma vektor di Cn ekivalen, kita dapat menggunakan norma k · k1.
Misalkan barisan {uk} di U konvergen ke w ∈ U . Ini berarti bahwa
kuk− wk1 konvergen ke 0. Akan ditunjukkan bahwa |kAukk − kAwk|
kon-vergen ke 0. Untuk i = 1, 2, . . . , n, modulus komponen ke-i pada A (uk− w)
memenuhi |(A (uk− w))i| = n X j=1 aij (uk)j − wj ≤ n X j=1 |aij| (uk)j− wj ≤ n X j=1 |aij| n X j=1 (uk)j− wj = n X j=1 |aij| kuk− wk1.
Dengan menjumlahkan kedua ruas, kita peroleh 0 ≤ kAuk− Awk1 = kA(uk− w)k1 = n X i=1 |(A(uk− w))i| ≤ n X i=1 n X j=1 |aij| kuk− wk1 = kuk− wk1 n X i=1 n X j=1 |aij| .
Karena kuk− wk1 konvergen ke 0, maka kAuk − Awk1 konvergen ke 0.
Dengan ekivalensi norma di Cn, kAuk− Awk juga konvergen ke 0. Karena
0 ≤ |kAukk − kAwk| ≤ kAuk− Awk,
kita peroleh |kAukk − kAwk| konvergen ke 0, sehingga kAukk konvergen
ke kAwk. Ini berarti bahwa fungsi x 7−→ kAx|| kontinu di U . Dengan Teorema Weierstrass, fungsi tersebut mencapai maksimum di U . Jadi kAk terdefinisi.
Selanjutnya, di sini hanya akan diberikan bukti sifat submultiplikatif. Bukti ketiga sifat norma matriks lainnya diserahkan kepada pembaca.
Sifat kABk ≤ kAkkBk jelas berlaku ketika AB = 0. Sekarang misalkan AB 6= 0. Maka kABk > 0 dan maksimum kABxk
kxk tercapai ketika Bx 6= 0. Akibatnya, kABk = maks x6=0 kABxk kxk = maksx6=06=Bx kABxk kxk = maks x6=06=Bx kABxk kBxk kBxk kxk ≤ maks Bx6=0 kABxk kBxk maksx6=0 kBxk kxk ≤ maks y6=0 kAyk kyk maksx6=0 kBxk kxk = kAkkBk.
Norma matriks yang diperoleh menurut Teorema 3.2.2 disebut norma hasil induksi. Norma matriks yang merupakan hasil induksi dari norma vektor k · k0 kita tulis dengan notasi yang sama k · k0.
42 3. NORMA MATRIKS Kita tunjukkan berikut ini bahwa norma matriks jumlah modulus kolom terbesar adalah benar hasil induksi dari norma vektor k · k1.
Misalkan x ∈ Cn memenuhi kxk1= n X i=1 |xi| = 1. Maka kAxk1 = n X i=1 n X j=1 aijxj ≤ n X i=1 n X j=1 |aijxj| = n X j=1 n X i=1 |aij| |xj| = n X j=1 |xj| n X i=1 |aij| ! ≤ maks k n X i=1 |aik| ! n X j=1 |xj| = maks j n X i=1 |aij|. Akibatnya maks kxk1=1 kAxk1≤ maks j n X i=1
|aij|. Selanjutnya, misalkan maksimum
jumlah kolom modulus A tercapai pada kolom m. Maka maks kxk1=1 kAxk ≥ kAemk1 = n X i=1 |aim| = maks j n X i=1 |aij| ≥ maks kxk1=1 kAxk.
Norma matriks hasil induksi memenuhi dua sifat berikut. Bukti kedu-anya tidak terlalu sukar, sehingga pembaca diharapkan dapat dengan mudah memperolehnya.
Sifat 3.2.3. Misalkan k · k0 norma vektor di Cn. Maka norma matriks hasil induksinya di Cn×n memenuhi kAxk0 ≤ kAk0kxk0, untuk setiap A ∈
Cn×n, x ∈ Cn.
Sifat 3.2.4. Jika k · k adalah norma matriks di Cn×n hasil induksi, maka kInk = 1.
Sebagai konsekuensi Sifat 3.2.4, norma matriks k · kF pada contoh di
atas bukan norma hasil induksi. Sifat 3.2.3, dengan demikian tidak dapat dikenakan kepada norma k · kF. Sekali pun demikian, untuk norma matriks
bukan hasil induksi kita mempunyai sifat berikut.
Sifat 3.2.5. Untuk setiap norma matriks k · k di Cn×n, terdapat norma vektor k · k0 di Cn yang memenuhi kAxk0 ≤ kAk kxk0, untuk setiap A ∈
Bukti: Kita hanya perlu memberikan bukti untuk kasus dimana k · k bukan norma hasil induksi.
Untuk setiap x ∈ Cn, definisikan kxk0 = kxe∗1k, dimana e1 adalah vektor basis baku pertama di Cn. Akan kita tunjukkan terlebih dahulu bahwa k · k0 adalah norma vektor di Cn.
Pertama-tama, kxk0 = kxe∗1k ≥ 0. Kemudian, kxk0 = 0 =⇒ kxe∗1k = 0 =⇒ xe∗1 = 0 =⇒ x = 0.
Kemudian, untuk α ∈ C berlaku kαxk0 = k(αx)e∗1k = kα(xe∗
1)k = |α|kxe∗1k =
|α|kxk0.
Akhirnya, kx + yk0 = k(x + y)e∗1k = kxe∗
1 + ye∗1k ≤ kxe∗1k + kye∗1k =
kxk0+ kyk0.
Sekarang kita buktikan bahwa k · k0 memenuhi kAxk0 ≤ kAkkxk0. Karena perkalian matriks bersifat asosiatif, kita dapatkan
kAxk0 = k(Ax)e∗1k = kA(xe∗1)k ≤ kAkkxe∗1k ≤ kAkkxk0.
Jelas bahwa, pada Sifat 3.2.5, norma hasil induksi dari norma vektor k·k0 didominasi oleh norma matriks yang diberikan, yaitu kAk0 ≤ kAk, untuk setiap A ∈ Cn×n. Teorema berikut menyatakan bahwa norma hasil induksi tidak mungkin mendominasi norma hasil induksi lain.
Teorema 3.2.6. Misalkan k·k dan k·k0 norma-norma hasil induksi di Cn×n. Jika kAk ≤ kAk0, untuk semua A ∈ Cn×n, maka kAk = kAk0, untuk semua A ∈ Cn×n.
Bukti: Dari Soal Latihan 16, terdapat c ∈ R, c > 0, yang memenuhi kvk = ckvk0, untuk setiap v ∈ Cn. Akibatnya, untuk semua v ∈ Cn, v 6= 0, berlaku
kAvk kvk =
kAvk0
kvk0 . Kesimpulan yang diinginkan segera kita dapatkan.
Ingat kembali bahwa radius spektral matriks A, ditulis ρ(A), adalah maksimum modulus nilai karakteristik A. Perhatikan bahwa radius spektral bukan norma matriks, kecuali ketika n = 1. Sekali pun demikian, kita mempunyai dua teorema berikut yang menunjukkan hubungan antara norma matriks dengan radius spektralnya.
Teorema 3.2.7. Jika k · k adalah norma matriks di Cn×n, maka ρ(A) ≤ kAk, untuk setiap A ∈ Cn×n.
Bukti: Kita gunakan norma vektor k · k0 yang diberikan pada bukti Sifat 3.2.5. Misalkan A ∈ Cn×n dan λ sembarang nilai eigen A dengan vektor
