MAKS-PLUS INTERVAL

Siswanto¹, Ari Suparwanto², M. Andy Rudhito³ 1)

Mahasiswa S3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UGM dan Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UNS Jl. Ir. Sutami No. 36a, Surakarta sis.mipauns@yahoo.co.id

2)

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,UGM Sekip utara, Yogyakarta ari_suparwanto@yahoo.com

3)

Program Studi Pend. Matematika, Fakultas KIP,Sanata Dharma Kampus III Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta

arudhito@yahoo.co.id

Abstrak-Makalah ini membahas kriteria sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A⊗ � = � yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Misalkan ℝ himpunan semua bilangan real dan ℝ_� = ℝ ∪ {− ∞}. Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� ^{dilengkapi operasi} ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). Butkovic dan Tam telah membahas tentang kriteria sistem persamaan persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian..Aljabar maks-plus interval adalah himpunan �(ℝ)� ^{yaitu himpunan yang anggota-anggotanya}

interval tertutup dalam ℝ� ^{dilengkapi dengan operasi} ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). .

Kata kunci: sistem persamaan linear, aljabar maks-plus interval.

PENDAHULUAN

Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ_� = ℝ ∪ {�}, ℝ himpunan bilangan real, � = −∞ dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. _Aljabar maks-plus merupakan semifield idempoten. Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas (Baccelli, et.al [2]). Menurut Tam [9], aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ_� dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ_�′ = ℝ ∪ {�′}, �′ ₌ ∞ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ _{dan plus} ⊗′_.

Disamping itu, Tam [9] juga mendefinisikan aljabar maks-plus lengkap dan aljabar min-plus lengkap.

Dalam tulisan ini definisi aljabar maks-plus yang digunakan diambil dari Baccelli, et.al [2]. Sejalan dengan definisi tersebut, aljabar min-plus didefinisikan sebagai himpunan ℝ�′ ^{dilengkapi dengan operasi minimum} ⊕′ _{dan plus} ⊗ ′. Aljabar min-plus merupakan semifield idempoten. Selanjutnya, aljabar maks-plus lengkap adalah himpunan ℝ_�,�′ =ℝ�∪ {�′} dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus lengkap adalah ℝ_�′_,� ⁼

ℝ_�′ ∪ {�} dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ _{dan plus} ⊗′_{. Tampak bahwa}

ℝ_�,�′ =ℝ_� ∪ {�′_{} =}ℝ ∪ {�, �′_{} =}ℝ ∪ {�, �′_{} =}ℝ_�′ ∪ {�′_{} =}ℝ_�′_,�^{. Selanjutnya} 15

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

ℝ_�,�′ dan ℝ_�′_,� ^{ditulis dengan} ℝ. Dari himpunan ℝ_� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran � × � yang elemen-elemennya merupakan elemen ℝ_�, yang selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar maks-plus dan dinotasikan dengan ℝ_��×�_.

Butkovic [4, 5] dan Tam [9] telah membahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b. Telah dibahas juga oleh keduanya mengenai kriteria sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian..

Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar maks-plus telah digeneralisasi menjadi aljabar maks-plus interval dan aljabar maks-plus bilangan kabur. Aljabar maks-plus interval yaitu himpunan �(ℝ)_� dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar maks-plus bilangan kabur yaitu himpunan �(ℝ)� ^{dilengkapi dengan operasi} ⊕� dan ⊗� (Rudhito [7]).

Dalam tulisan ini akan dibahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Akan diselidiki eksistensi penyelesaian, baik sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, maupun sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian.

Sebelum membahas hasil dalam penelitian ini disampaikan konsep-konsep yang diperlukan dalam pembahasan. Adapun konsep-konsep yang diperlukan adalah aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus, mengacu pada Akian et al.[1], Baccelli et al. [2], Butkovic [3, 4, 5], dan Schutter [8] sebagai berikut.

Definisi 1.1. Diberikan � ∈ ℝ, konjugat dari � adalah �∗ ₌ �−1 ₌−�. Misalkan � = ��_��� ∈ ℝ^�×�, konjugat matriks A adalah �∗ ₌��_��∗� atau �∗ ₌−��_.

Definisi 1.2. Diberikan � = (�_��) ∈ ℝ_��×� _dan � = (�1, … ,�_�)∈ ℝ_��_{. Sistem}

persamaan linear dalam aljabar maks-plus berbentuk � ⊗ � = �.

Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut, Tam [10] memberikan 2 definisi sebagai berikut.

Definisi 1.3. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � dapat diubah menjadi sistem persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 dengan �̅ = ��̅_��� = (�_�� − �_�) ∈ ℝ_��×� _{. Sistem}

persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 disebut sistem persamaan linear yang dinormalkan dan proses ini disebut normalisasi.

Proses normalisasi ini dapat dilakukan juga dengan mengalikan dari kiri, kedua ruas sistem persamaan linear � ⊗ � = � dengan matriks

� = ���� (−�1,−�2, … ,−�_�) =�^−�⋮^{1 ⋯}⋱ ^�⋮

� ⋯ −��

�,

yaitu � ⊗ � ⊗ � = � ⊗ � ⟺ (� ⊗ �) ⊗ � = � ⊗ � ⟺ �̅ ⊗ � = 0.

Definisi 1.4. Diberikan suatu sistem � ⊗ � = � dengan � = (���⁾∈ ℝ�^�×�,

� = (�1, … ,��⁾∈ ℝ�^�, � = {1,2, … , �} dan � = {1,2, … , �}. Didefinisikan, i. �(�, �) = {� ∈ ℝ�^�|� ⊗ � = � },

ii. ��⁽�, �) = �� ∈ � |���� − ��� = �����=1,…,����� − ����, ∀� ∈ �, iii. �� = ����� = �−�����=1,…,����� − ���� , ∀� ∈ �.

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

penyelesaian dasar (principal solution) (Butkovic [5], Cuninghame [6], Tam [9]). Jika � = (�, �, … , �) maka �(�, �) = {� ∈ ℝ_��_|�_� =� jika �_� ≠ �, � ∈ � }. Jika A matriks yang semua entrinya � maka �(�, �) = ℝ_��_{. Adapun untuk A matriks yang}

semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �) maka �(�, �) = ∅. Oleh karena itu, diasumsikan A bukan matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �). Misalkan bahwa �� ⁼� untuk suatu � ∈ � berarti untuk suatu � ∈ �(�, �), �� ⁼ � jika ��� ≠ �, � ∈ �. Dengan demikian, persamaan ke k dapat dihapus. Demikian juga, dapat diatur sehingga �_� = � untuk setiap kolom �_� dimana �_�� ≠ �, sehingga kolom-kolom tersebut dapat dihapus dari sistem. Oleh karena itu, tanpa mengurangi keumuman bahwa b diasumsikan berhingga.

Jika b berhingga dan A memuat baris yang semua elemenya � maka �(�, �) = ∅. Jika A memuat kolom yang semua elemennya �, misalkan �_� = � untuk suatu j maka dapat diatur �� ^{sebarang nilai pada penyelesaian x. Berarti,}

dapat diasumsikan A ℝ-astik ganda.

Dengan memperhatikan beberapa kemungkinan tersebut, tanpa mengurangi keumumaan dibahas sistem persamaan linear dengan � = ��_��� ∈ ℝ_��×� _adalah

ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ�_.

Berdasarkan Definisi 1.4, Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan teorema tentang kriteria penyelesaian sistem persamaan linear.

Teorema 1.5. Misalkan � = [�_��]∈ ℝ_��×� _adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ�_.

Vektor � ∈ �(�, �) jika dan hanya jika 1) � ≤ �� dan

2) ∪_{� ∈��} �_�(�, �) = � dengan �_� = {� ∈ �|�_� =��_�}.

Kemudian Butkovic [5], Cuninghame-Green [6], dan Tam [9] memberikan teorema berikut :

Teorema 1.6. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika penyelesaian dasarnya yaitu �� merupakan penyelesaian.

Selanjutnya, Butkovic [5] dan Tam [10] menyebutkan dua akibat yang muncul dari Teorema 1.5. Akibat pertama menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian dan akibat kedua menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal.

Akibat 1.7. Misalkan � ∈ ℝ�^{�×� adalah} ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ�_{, tiga}

pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(�, �) ≠ ∅.

2) �� ∈ �(�, �).

3) ∪_{� ∈�}�_�(�, �) = �.

Akibat 1.8. Misalkan � ∈ ℝ_��×� _adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ�_, �(�, �) = {�̅} jika dan hanya jika

1) ∪_{� ∈�}�_�(�, �) = � dan

2) ∪� ∈�′ ��⁽�, �) ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �.

Selanjutnya disajikan tentang sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar plus. Menurut Tam [9], sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus didefinisikan sebagai berikut,

Definisi 1.9. Diberikan � = ����� ∈ ℝ�^{�×� dan} � = (�1, … ,��⁾ ∈ ℝ�^{�. Sistem}

� ⊗ � ≤ � disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus.

Selanjutnya Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan penyelesaian dari sistem

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

pertidaksamaan linear melalui teorema berikut,

Teorema 1.10. Diberikan � = ��_��� ∈ ℝ^�×� , � = (�1, … ,�_�)∈ ℝ^� dan � ∈ ℝ^� berlaku � ⊗ � ≤ � jika dan hanya jika � ≤ �∗⊗ ′�.

Berdasarkan Definisi 1.4, �� = �∗⊗ ′� jika � adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ�_{. Sesuai dengan Teorema 1.10,} �� = �∗⊗ ′� merupakan penyelesaian dasar dari sistem � ⊗ � = � dan � ⊗ � ≤ � untuk ℝ^�×� dan � ∈ ℝ^�. Berarti, penyelesaian dasar merupakan penyelesaian terbesar dari sistem � ⊗ � ≤ �.

Berikut disajikan definisi dan teorema tentang aljabar maks-plus interval, matriks atas aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, [7]).

Interval tertutup x dalam ℝ� ^{adalah suatu himpunan bagian dari} ℝ� ^yang

berbentuk x =� x, x � = � � ∈ ℝ�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ� ^disebut

interval maks-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ_� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x].

Definisi 1.11. Dibentuk �(ℝ)_� =�� = � �, � � ��, � ∈ ℝ, � < � ≤ � � ∪ { � }, dengan ε = [ε, ε]. Pada himpunan �(ℝ)� ^{didefinisikan operasi maksimum} ⊕��� dan plus ⊗��� dengan x ⊕��� y = [ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗��� y = [ x ⊗ y , x ⊗ y ] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)� ^{. Himpunan} �(ℝ)� ^{dilengkapi dengan operasi} ⊕��� dan ⊗��� merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar maks-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� ⁼ ��(ℝ)�^; ⊕���, ⊗����.

Definisi 1.12. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)_� dinotasikan dengan �(ℝ)_��×� _yaitu

�(ℝ)_��×� ₌ �A = �A_��� �A_�� ∈ �(ℝ)_�; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)_��×� _{disebut matriks interval maks-plus. Selanjutnya matriks interval}

maks-plus cukup disebut dengan matriks interval.

Definisi 1.13. Untuk A∈ �(ℝ)_��×� _{didefinisikan matriks A = [A}

ij]∈ ℝ_��×� _dan

A = [A_ij]∈ ℝ_��×� _{masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas}

atas dari matriks interval A.

Definisi 1.14. Diberikan matriks interval A ∈ �(ℝ)_��×�_{, dengan A dan A}

masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝmax^{m ×n}� A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ_��×�₎

b = ��A, A�| A ∈ �(ℝ)_��×��.

Definisi 1.15.

1. Untuk α ∈ I(ℝ)max, �A, A�, �B, B� ∈ �(ℝ�^�×�)b didefinisikan i. α ⊗ �A, A� = �α ⊗ A, α ⊗ A�,

ii. �A, A� ⊕ �B, B� = �A ⊕ A, B ⊕ B�,

2. Untuk �A, A� ∈ �(ℝ�^�×�)b, �B, B� ∈ �(ℝ�^�×�)b didefinisikan �A, A� ⊗ �B, B� = �A ⊗ A, B ⊗ B�.

Teorema 1,16. Struktur aljabar dari �(ℝ_��×�₎

b yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗��� dinotasikan dengan �(ℝ_�����×� ₎

b = (�(ℝ_��×�₎

b; ⊕, ⊗) merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan �(ℝ_��×�₎

b merupakan semimodul atas �(ℝ)_�.

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

�(ℝ)�^{� = {x = [x}1, x₂, … , x_n]^T|x_i ∈ �(ℝ)�^{; i = 1, 2, … . , n}. Himpunan} �(ℝ)�^�

dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)_�1×�_{. Unsur-unsur dalam} �(ℝ)_�� _disebut

vektor interval dalam �(ℝ)_�. Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor yaitu x≈ �x, x�.

Definisi 1.18. Diberikan A∈ �(ℝ)�^{�×� dan b}∈ �(ℝ)�^{�. Suatu vektor interval}

x^∗ ∈ �(ℝ)_�� _{disebut penyelesaian persamaan linear maks-plus interval A} ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x∗ _{= b.}

Definisi 1.19. Diberikan A∈ �(ℝ)_��×� _{dan b}∈ �(ℝ)_��_{. Suatu vektor interval}

x^′ ∈ �(ℝ)_�� _{disebut subpenyelesaian persamaan linear maks-plus interval}

A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x′ ≤ b.

Definisi 1.20. Diberikan A∈ �(ℝ)_��×� _{dan b}∈ �(ℝ)_��_{. Suatu vektor interval}

x� ∈ �(ℝ)_�� _{disebut subpenyelesaian terbesar persamaan linear maks-plus interval}

A⊗ x = b jika x′ ≤ x� untuk setiap subpenyelesaian x′ _{dari sistem persamaan}

linear maks-plus interval A ⊗ x = b.

Selanjutnya, disajikan definisi konjugat matriks dari matriks atas aljabar

maks-plus interval, I(ℝ)-astik dan aljabar min-plus interval yang diambil dari Siswanto [10] sebagai berikut :

Definisi 1.21. Matriks interval A ∈ �(ℝ)_��×� _{, A}≈ [A, A] dikatakan I(ℝ)-astik ganda jika � adalah ℝ-astik ganda untuk setiap � ∈ [A, A] .

Teorema 1.22. Matriks A ∈ �(ℝ)_��×� _{dengan A}≈ [A, A] adalah I(ℝ)-astik ganda jika dan hanya jika A ℝ-astik ganda.

Interval tertutup x dalam ℝ_�′ adalah suatu himpunan bagian dari ℝ_�′ yang berbentuk x = � x, x � = �� ∈ ℝ_�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ_��� disebut interval min-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ��� ^{dapat dinyatakan sebagai interval}

[x,x].

Definisi 1.23. Dibentuk �(ℝ)_�′ =�x = � x, x � �x, x ∈ ℝ, x ≤ � < �′ � ∪ {ε′_},

dengan ε′ _{= [}�′, �′]. Pada himpunan �(ℝ)_��� didefinisikan operasi minimum ⊕^′ dan plus ⊗^′ dengan x ⊕^′ y = [ x ⊕′ � , x ⊕′ �] dan x ⊗^′ y = [ x ⊗′ � , x ⊗′ �] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)���^{. Selanjutnya disebut}

aljabar min-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� ⁼ ��(ℝ)�′^; ⊕^′, ⊗^′�.

Definisi 1.24. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)_� dinotasikan dengan �(ℝ)_�′�×� _yaitu

�(ℝ)�′^{�×� =} �A = �A��� �A�� ∈ �(ℝ)�′^; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)_�′�×� _{disebut matriks interval Min-Plus.}

Definisi 1.25. Untuk A ∈ �(ℝ)_�′�×� _{didefinisikan matriks A = [A}

��^]∈ ℝ_�′�×� _dan

A = [A_��]∈ ℝ�′^{�×� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas}

atas dari matriks interval min-plus A.

Definisi 1.26. Diberikan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)�′^{�×�, dengan A dan A}

masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝ�′^�×�� A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ�′^�×�)b = ��A, A�|A ∈ �(ℝ)�′^�×��.

Semimodul �(ℝ)_���^�×� atas �(ℝ)��� ^{isomorfis dengan semimodul} �(ℝ_���^�×�)_b

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

atas �(ℝ)_��� , dengan pemetaan �: �(ℝ)_�′�×� → �(ℝ_�′�×�₎

b , �(A) = �A, A�, ∀A ∈ �(ℝ)_�′�×�_{. Interval matriks} �A, A� ∈ �(ℝ_�′�×�₎

b disebut interval matriks min-plus yang bersesuaian dengan matriks interval min-plus A∈ �(ℝ)_����×� _dan

dilambangkan dengan A≈ �A, A�.

Definisi 1.27. Didefinisikan.

�(ℝ)_���^� = {� = [x1, x₂, … , x_�]^�|x_i ∈ �(ℝ)�′^;� = 1, 2, … . , �}. Himpunan �(ℝ)�′^�

dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)�′^{�×1. Anggota} �(ℝ)�′^{� disebut vektor}

interval atas �(ℝ)_�′. Vektor interval min-plus x bersesuaian dengan interval vektor min-plus �x, x� yaitu x ≈ �x, x�.

Definisi 1.28. Aljabar maks-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)_ε = �(ℝ)ε∪ {ε′} dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar min-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)� ⁼�(ℝ)ε′ ∪ {ε} dilengkapi dengan operasi minimum ( ⊕^′) dan plus ( ⊗^′).