Manfaat Penelitian

BAB I PENDAHULUAN

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang bilangan kromatik lokasi pada graf pohon.

2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam ilmu matematika dalam bidang teori graf terutama tentang bilangan kromatik lokasi dari graf pohon.

3. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang penentuan bilangan kromatik lokasi graf pohon.

6

II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON

2.1 Konsep Dasar Graf

Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989).

Graf G adalah himpunan terurut (V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan himpunan titik dari G dengan ( )✧ , dan ( )menyatakan himpuanan sisi yaitu pasangan tak terurut dari ( ). Banyaknya himpunan titik ( ) disebut orde dari graf G. Misalkan v dan w adalah titik pada graf G, jika v dan w dihubungkan oleh sisi e, maka v dan w dikatakan bertetangga (adjacent), sedangkan titik v dan w dikatakan menempel (incident) dengan sisi e, demikian juga sisi e dikatakan menempel dengan titik v dan w. Himpunan tetangga (Neigborhood) dari suatu titikv, dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga denganv.

Pada Gambar 2. Graf (V, E) dengan ( ) ✁ , , , , ✂ dan ( ) ✁ , , , , , , ✂. Titik bertetangga dengan titik , , dan sedangkan dan menempel dengan . Sebaliknya, sisi menempel pada titik dan titik . ( ) ✁ , ✂ .

Derajat suatu titikvpada grafGadalah banyaknya sisi yang menempel pada titik v, dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat 1. Pada Gambar 2. ( ) 2, ( ) ✄, ( ) 3, ( ) 3 dan adalah daun karena berderajat satu.

Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai sisi ganda atau loop disebut graf sederhana. Graf pada Gambar 2. bukan merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut terdapat loop, yaitu pada titik .

Pada graf terhubung G, jarak diantara dua titik x dan y adalah panjang lintasan terpendek diantara kedua titik tersebut, dinotasikan dengan d(x, y). Istilah lain yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lintasan (path) dan sirkuit (circuit). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Contoh jalan berdasarkan Gambar 2. adalah ☎ ☎

8

Lintasan (path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda. Graf G dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Pada Gambar 2., Contoh lintasan adalah ✆ ✆ ✆ ✆

✆ ✆ ✆ ✆ .

Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan menjadi dua macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit dengan banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit dengan banyaknya titik ganjil. Contoh sirkuit berdasarkan gambar pada Gambar 2. adalah ✆ ✆ ✆

✆ ✆ ✆ .

Berikut ini adalah lemma yang menyatakan kaitan antara jumlah derajat semua titik pada suatu graf G dengan banyak sisinya.

Lemma 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung dengan✝ ✝✞ , maka :

( )✞2

Sebagai contoh pada graf Gambar 2 adalah ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )=2 +✟+ 3 + 3 + 1= 14 = dua kali jumlah sisi .

Teorema 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang berderajat ganjil, selalu genap.

Bukti : MisalkanV_genapdanV_ganjil masing – masing adalah himpunan himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Maka persamaan dapat ditulis sebagi berikut :

( )✠ + ( )

Karena untuk setiap ✡ , maka suku pertama dari ruas kanan persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan juga harus bernilai genap. Ninai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga harus genap. Karena ( )untuk setiap ✡ , maka banyaknya titik di dalam harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.

2.2 Graf Pohon

Graf pohon (tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus. Suatu graf yang setiap titiknya mempunyai derajat satu disebut daun (pendant vertex).

Gambar 3. Contoh pohonGdengan enam titik

Pada Gambar 3, graf ( , ) merupakan graf pohon karena graf tersebut merupakan graf terhubung dan tidak memuat siklus. Titik , , , disebut

10

Gambar 4. Contoh hutan (forest)

Selanjutnya, akan diberikan definisi beberapa kelas graf pohon.Suatu graf bintangK1,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajatnyang disebut pusat dan titik lainnya berderajat satu (Chartrand dkk., 1998).

Gambar 5. Contoh graf bintangK1,6

Graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua titikxdanyberderajat lebih dari satu. Jikaxdany berturut-turut berderajata+1 danb+1, dinotasikan dengan Sa,b,(Chartrand dkk., 1998)

Gambar 6. Contoh graf bintang gandaS_3,2

Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).

Gambar 7. Contoh graf ulatC(3, 3, 3)

Misalkan ☛

, untuk setiap ☞ [1, ] dan 1 . Graf almagamasi bintang tak seragam, _{,( , , , )}, untuk 2 adalah graf pohon yang diperoleh dengan menyatukan sebuah daun dari setiap graf . Titik penyatuan tersebut dikatakan sebagai titik pusat dari _{,( , , , )}, dinotasikan dengan x. Titik – titik yang berjarak 1 dari titik pusat disebut dengan titik antara, dinotasikan dengan untuk [1, ]. Titk daun ke-j dari titik dinotasikan dengan untuk 1, 1 (Carlson., 2006).

Gambar 8. Contoh graf almagasi bintang tak seragam _{,( , , , )}

Graf almagamasi bintang seragam, _, adalah almagamasi dari k buah graf bintangK1,m bila = , untuk setiapi(Asmiati dkk., 2012).

12

Graf pohon pisang, _, adalah graf yang diperoleh dari n buah graf bintang dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap ke suatu titik baru (Chen dkk.(1997)).

Gambar 10. Contoh graf pohon pisang _,

Graf kembang api seragam, _, adalah graf yang diperoleh darinbuah buah graf bintang dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap melalui sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)).

Gambar 11.Contoh graf kembang api _,

Selanjutnya diberikan beberapa teorema mengenai graf pohon sebagai berikut :

Teorema 2.2 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Jika adalah pohon dengan titik (vertex ) dan sisi (edge), maka ✌ + 1.

Bukti: Jika adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk . Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari , artinya untuk ✍ , maka ✌ + 1. Misal pohon dengan sisi. Kita pilih satu lintasan terpanjang di dari ke . Titik harus berderajat 1. Karena kalau

tidak lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di . selanjutnya kita buang titik , akibatnya sisi terhubung titik terbuang. Sehingga pohon terbentuk dengan ( ✎1) dan ( ✎1) sisi dengan asumsi ✎1✏ ( ✎1) + 1) diperoleh ✎1✏ atau ✏ + 1.

Teorema 2.3 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Graf adalah pohon jika dan hanya jika ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik tersebut.

Bukti:

(1) Akan ditunjukkan graf adalah pohon maka ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik.

Kita asumsikan adalah pohon. Misal dan titik-titik di . Maka pohon dihubungkan lintasan ke . Anggaplah dua lintasan dari ke ,

✏ ✥ dan ✏ ✥ .Jika berbeda dengan

, selanjutnya sampai ditemukan suatu titik yang ada dalam yang juga dalam . Maka kita mempunyai siklus . Jika = , maka kita lihat pada . Untuk beberapa , , karena ada dua lintasan sebagai asumsi. Selanjutnya dari sampai ditemukan suatu titik yang ada dalam yang juga dalam dan selanjutnya ambil kembali ke , dan kita mendapatkan siklus lagi. Tetapi adalah pohon, sehingga tidak ada siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua lintasan salah.

(2) Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik maka graf adalah pohon .

14

Kita asumsikan adalah graf dengan tepat satu lintasan di antara dua titik . Pertama perhatikan terhubung. Anggaplah bahwa memuat siklus ✑ . Jelas bahwa ada dua lintasan dari ke . Ini kontradiksi , karena mempunyai tepat satu lintasan di antara dua titik. Jadi graf tidak memuat siklus dan adalah pohon.

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF

Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan titik pada graf adalah ✒ ( ) {1,2,3, , } dengan syarat untuk setiap titik bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Minimum banyaknya warna yang digunakan untuk pewarnaan titik pada graf G disebut bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan ( ).

Berikut ini diberikan definisi bilangan kromatik lokasi graf yang diambil dari Chartrand dkk.(2002). Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ( ) ( ) untuk udanv yang bertetangga diG. Misalkan himpunan titik–

titik yang diberi warna i , yang selanjutnya disebut kelas warna, maka = { , , , } adalah himpunan yang terdiri dari kelas – kelas warna dari V(G). Kode warna ( ) dari v adalah k-pasang terurut( ( , ), ( , ),..., ( , ))dengan ( , )= min{ ( , )| }untuk1 . Jika setiapG mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan ( ). Karena setiap

16

Berikut ini Chartrand dkk.(2002) telah memberikan teorema dasar dari bilangan kromatik lokasi suatu graf.

Teorema 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian sehingga d(u,w)=d(v,w) untuk setiap ✓ ( )✔✕ , ✖, maka ( ) ( ). Secara khusus, jika u dan v titik _– titik yang tidak bertetangga di G sedemikian sehingga ( ) ( ), maka ( ) ( ).

Bukti : misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan misalkan ✗✘ ✕ , ,✙, ✖ adalah partisi dari titik – titik G ke dalam kelas warna . Untuk suatu titik , ✓ ( ), andaikan ( )✘ ( ) sedemikian sehingga titik udan v berada dalam kelas warna yang sama, misalkan dari✗. Akibatnya ( , ) ✘ ( , )✘✚. Karena ( , ) ✘ ( , ) untuk setiap ✓ ( )✔✕ , ✖, maka ( , )✘ , untuk setiap , ✛ . Akibatnya, ( )✘ ( ) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi ( )

( ).

Akibat dari teorema tersebut, dapat ditentukan batas bawah trivial bilangan kromatik lokasi graf.

Akibat 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan G adalah graf terhubung dengan satu titik yang bertetangga dengan k daun, maka ( ) + 1.

Bukti :Misalkanvadalah satu titik yang bertetangga dengankdaun , ,✢, di G. Berdasarkan teorema 3.1 , setiap pewarnaan lokasi diGmempunyai warna yang berbeda untuk setiap , ✣✤,✦,✢, . Karenav bertetangga dengan semua maka v harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua daun . Akibatnya, ( ) +✤.

Selanjutnya, akan diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada suatu grafGseperti Gambar 12 berikut ini :

Gambar 12. Pewarnaan lokasi minimum pada grafG

Diberikan graf G seperti terlihat pada Gambar 12. akan ditentukan terlebih dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi dari grafG. Karena terdapat titik yang memiliki 3 daun, maka berdasarkan Akibat 3.1, ( ) ★. (3.1.1)

Selanjutnya, akan ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G. Titik –

titik pada ( ) dipartisi sebagai berikut : ✣

✩ , , ✪; ✣

✩ , , ✪; ✣

✩ , ✪; ✣

✩ ✪. Kode warnanya adalah ( )✣(✫,✦,✤,★); ( ) ✣ (✦,✫,✤,★); ( )✣ (✤,✤,✫,✬); ( ) ✣(✫,✤,✤,✦); ( )✣ (✤,✫,✦,✬); ( ) ✣(✤,✫,✤,✤); ( ) ✣(✫,✤,✦,✦); ( ) ✣(✦,✤,✫,✦); ( ) ✣(✦,✤,✦,✫).

18

Karena kode warna semua titik di ( ) berbeda, maka pewarnaan tersebut

merupakan pewarnaan lokasi, dengan ( ) ✭. (3.1.2)

Berdasarkan persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh ( )✮ ✭.

Teorema 3.2 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan k adalah derajat maksimum di graf G, maka ( ) ✯+ .

Berikut ini akan diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa kelas graf sederhana.

Teorema 3.3 (Chartrand dkk, 2002) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan ( ✰) adalah 3.

Bukti : Perhatikan bahwa ( )✮✯ dan ( )✮✱. Jelaslah bahwa ( ) ✰ untuk ✰. Berdasarkan Teorema 3.2 ( ) ✯+ , dengan k derajat titik maksimum. Karena pada , ✮✱, maka ( ) ✯+✱. Akibatnya ( ) ✰. Jadi terbukti ( ) ✮✰.

1 2 3 1 2 1 . . . . 2 1

. . . .

v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ v₆ u_n-1 u_n

Gambar 13. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan

Teorema 3.4 (Chartrand dkk, 2002) Untuk bilangan bulat a dan b dengan

Bukti : Berdasarkan Akibat 3.1, diperoleh batas bawah yaitu _, +✲. Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya yaitu _, +✲. Misalkan c adalah pewarnaan titik menggunakan (b+1) warna sebagaimana terlihat pada Gambar 14. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik _, berbeda, akibatnyac adalah pewarnaan lokasi. Jadi _, +✲.

Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada _,

Chartrand dkk. (2003) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorde 5 yang memiliki bilangan kromatik lokasi dari 3 sampai n, kecuali n-1, sebagaimana torema berikut ini.

Teorema 3.5 (Chartrand dkk, 2002) Terdapat Pohon berorde 5 yang mempunyai bilangan kromatik k jika dan hanya jika (3,4, , 2, ).

20

Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan danclearpath yang diambil dari Asmiati dkk. (2012). Misalkan c adalah k-pewarnaan lokasi pada graf G(V,E)dan misalkanΠ✳✴ , ,✵, ✶ adalah partisi dariV(G) yang diinduksi olehc. Titik vV



G

dikatakan suatu titik dominan jika

( , )✳✷, jika v . Suatu lintasan yang menghubungkan dua titik dominan di graf G disebutclear path, jika semua titik internalnya bukan merupakan titik dominan.

Gambar 16. GrafGdengan 3 titik dominan

Titik dominan pada Gambar 16. adalah v2, v4,dan v7.Clear path pada Gambar 16. adalah lintasan yang menghubungkan v4 dan v7 dimana tidak terdapat titik dominan dalam titik internalnya. Karena graf G pada Gambar 16. mempunyai bilangan kromatik lokasi tiga, maka panjangclear pathdari grafGganjil.

Lemma 3.1 (Asmiati dkk, 2013) Diberikan graf G dengan ( )✳ maka terdapat paling banyak k titik dominan di G dan masing-masing titik dominan memiliki warna yang berbeda.

Bukti : Misalkan v G merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung, maka ( , ) ✳✸untuk v dan ( , )✳✷untuk v . Karena ( )✳ ,

maka kelas partisiΠmemuatkkelas warna, katakan , ,✹, dan setiapxG

memiliki kode warna yang berbeda. Oleh karena itu, G paling banyak memuat sebanyak k titik dominan dan masing – masing titik dominan pada G memiliki kode warna yang berbeda.

Lemma 3.2 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan graf G dengan ( )✺✻ , maka panjang dari setiap clear path di G adalah ganjil.

Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan P adalah clear path yang menghubungkan 2 titik dominan x dan y di G. Asumsikan c(x) = 1 dan c(y)=2. Karena P adalahclear path maka warna dari titik titik didalamnya harus 1 dan 2 berturut-turut. Misalkan x dan y akan membentuk barisan alternating. Karena banyaknya titik dalamclear pathP harus genap, maka panjang P ganjil.

Lemma 3.3 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan G adalah graf terhubung dengan ( )✺✻ Jika memuat 3 titik dominan maka terdapat 3 titik dominan dalam suatu lintasan.

Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan x, y dan z adalah tiga titik dominan dari grafG.Padalah lintasan yang menghubungkanxdanz. Asumsikan ytidak terdapat dalam lintasan P. Karena G adalah graf terhubung maka terdapat titik dalam u, sehingga u memiliki jarak terpendek (dibandingkan dengan titik dalam lainnya) key. LintasanL1menghubungkanxkeukemudian key. Sehingga

22

ganjil. Sekarang, pertimbangkan lintasan L2 yang menghubungkan y ke u kemudian ke z. Maka, L2 merupakan clear path. Oleh karena itu, panjangnya adalah ganjil. Kedua fakta tersebut menyatakan panjang dari lintasan yang menghubungkan x ke u ditambahpanjang lintasan yang menghubungkan u ke z panjangnya adalah genap, kontradiksi.

Selanjutnya Asmiati dkk. (2012) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi graf kembang api _, untuk ✼dan ✽, sebagimana teorema berikut ini.

Teorema 3.6(Asmiati dkk, 2012) Misalkan _, graf kembang api, maka: i. ( _, )✾ ✿❀ ✼

ii. Untuk k≥ 5

( _, ) ✾

❁❂❀✼ ❁❂

❀lainnya

Bukti: Misalkan _, = , , = 1,2, …, ; = 1,2, …, − 2 dan

, = { , | = 1,2,…, − 1}∪ , = 1,2,…, ; = 1,2,…, − 2}. Pertama akan ditentukan batas bawah dari _, untukn ≥ 2. Berdasarkan Akibat

3.1, χ ( _, ) ≥ 3untukn ≥ 2. Selanjutnya akan ditunjukan bahwaχ ( _, ) ≥ 4.

Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan-3 lokasi untuk _, ; n ≥ 2, jika ketiga warna itu adalah 1,2,3 maka { ( ), ( ), ( )} =

{ ( ), ( ), ( )} = {1,2,3} sangat jelas, c(m ) ≠ c(m ), jika tidak, kode

warna dari l dan l untuk suatu i,j ∈{1,2} adalah sama, suatu kontradiksi. Pandang c( ) untuk i = 1,2 . Tanpa mempertimbangkan warna dari , kode

warna titik akan sama dengan kode warna dari atau , suatu kontradiksi.

Akibatnyaχ ( _, ) ≥ 4. (3.1.3)

Akan ditentukan batas atas dari _, untuk n ≥ 2. Untuk menunjukan bahwa

χ ( _, ) ≤ 4untukn ≥ 2, pandang pewarnaan-4 pada _, sebagai berikut :

 ( ) = 1jika i ganjil dan ( ) = 3jika i genap.

 ( ) = 2untuk setiapi;

 Untuk semua titikl , definisikan:

c l =

4 jika = 1 , = 1

1 jika ≥ 2, = 1

2 jika = 2

Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π pada V( _, ). Akan ditunjukan bahwa kode warna dari semua titik di _, berbeda. Untuk i ganjil diperoleh

( ) = (0,1,1, + 1) dan untuk i genap ( ) = (1,1,0, + 1). Untuk m

diperoleh ( ) = (1,0,1,1) dan ( ) = (11,0,1, + ) untuk ≥ 2. Untuk titik – titik diperoleh ( ) = (2,1,2,0) dan ( ) = (2,1,0,2). Untuk

≥ 2, ( ) = (0,1,2, + 3) dan ( ) = (2,1,0, + 3). Karena kode warna

dari semua titik _, berbeda, makacadalah pewarnaan lokasi.

Jadi χ ( _, ) ≤ 4. (3.1.4)

Berdasarkan persamaan (3.1.3) dan (3.14), diperolehχ ( _, ) = 4; ≥ 2

Akan ditunjukan bahwa untuk ≥ 5,χ ( _, ) = k dan χ ( _, ) = − 1

24

Kasus 1.Untuk ≥ 5 dan 2 ≤ ≤ − 1

Pertama akan ditentukan batas bawah dari _, , untuk ≥ 5dan 2 ≤ ≤ − 1.

Karena setiap titik bertetangga dengan ( − 2) daun, maka berdasarkan Akibat

3.1,χ ( _, ) ≥ − 1. (3.1.5)

Akan ditunjukan bahwa χ ( _, ) ≤ k − 1 untuk k ≥ 5 dan n ≤ k − 1. Definisikan suatu pewarnaan-( − 1) pada _, sebagai berikut. Beri warna

( ) = , untuk ∈[1, ] dan semua daun: = 1,2,…, − 2 dengan

{1,2,…,k − 1}\ {i} untuk sembarang i. Selanjutnya definisikan ( ), untuk

∈[1, ] secara berturut – turut dengan warna 3, 4, 5, . . . , n,2,3. Catatan: jika

= 2, maka ( ) = 2 dan ( ) = 3. Akibatnya, pewarnaan c akan membangun suatu partisi ∏ = { , ,…, } pada _, , dengan adalah himpunan dari semua titik yang berwarnai.

Akan ditunjukan bahwa kode warna untuk semua titik di _, untuk k ≥ 5 dan

n ≤ k − 1. Misalkan , ∈ ( _, ) dan ( ) = ( ) maka pandang kasus –

kasus berikut ini :

 Jika = , = untuk suatu i, j, h, l dan ≠ , maka ( ) ≠ ( )

karena ( , ) ≠ ( , ).

 Jika = , = untuk suatui, j, h, dan ≠ ,maka karenaubukan titik dominan danvharus menjadi titik dominan . Jadi ( ) ≠ ( ).

 Jika = , = untuk suatui, j, h, maka terdapat tepat satu himpunan di

Π yang mempunyai jarak 1 di u dan terdapat sedikitnya dua himpunan di Π

yang mempunyai jarak 1 div. Jadi ( ) ≠ ( ).

 Jika = , = untuk suatu i, j dan ≠ , maka karena uharus menjadi titik dominan danvbukan titik dominan. Jadi ( ) ≠ ( ).

 Jika = dan = maka = 1dan = jadi ( ) ≠ ( ).

Berdasarkan semua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kode warna dari semua titik di _, untuk k≥ 5 dan n ≤ k − 1 adalah berbeda, jadi χ ( _, ) ≤

k − 1 (3.1.6)

Berdasarkan persamaan (3.1.5) dan (3.1.6), diperoleh χ _, = k − 1 untuk k≥ 5 dann ≤ k − 1.

Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi dari _, yang dapat dilihat pada Gambar 17.

3 3 2 2

2 4 1 4 1 4 1 3

1 2 3 4

3 4 2 3

Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum dari _,

Kasus 2,Untuk k≥ 5 dan n≥k

Akan ditentukan batas bawah untuk k≥ 5 dan ≥ . Berdasarkan Akibat 3.1 , diperoleh ( _, ) ≥ − 1. Tetapi akan ditunjukan bahwa k− 1 warna tidaklah cukup untuk mewarnai. Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan

26 (k− 1) lokasi c pada _, untukk≥ 5 dan ≥ . Karena n≥ k, maka terdapat dua i, j, ≠ sedemikian sehingga { ( )| = 1,2,…, − 2} = { | =

1,2,…, − 2}. Akibatnya kode warna dan akan sama, suatu kontradiksi.

Akan ditentukan batas atas dari _, untuk k ≥ 5, n≥ k. Untuk menunjukan

, ≤ k, k≥ 5 dan n≥ k pandang pewarnaan lokasi c pada _, sebagai berikut:

 ( ) = 1jika i ganjil dan ( ) = 3jika i genap.

 ( ) = 2, untuk setiapi.

 Jika = {1,2,…, }, definisikan

= 1,2,…, − 1 = ^{\ {1 ,2} jika = 1}

\ {2, } lainya.

Sangat mudah untuk membuktikan bahwa semua kode warna dari semua titik berbeda. Akibatnya, c adalah pewarnaan lokasi pada _, , jadi ( _, ) ≤ , untuk ≥ k.

3 3 3 3 3 3

5 4 1 4 1 4 1 41 4 1 4

2 2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3

Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum dari _,

Penelitian tesis ini merupakan penelitian lanjutan yang telah dilakukan oleh Asmiati dkk.(2012). Penelitian ini bertujuan untuk melihat perluasan yang dapat dilakukan pada graf kembang api _, sedemikian sehingga mempertahankan

bilangan kromatik lokasinya. Perluasan graf kembang api yang peneliti lakukan adalah dengan memberikan subdivisi pada sisi untuk setiap ∈[1, ].

Kasus 1. Graf kembang api yang disubdivisi satu titik pada untuk setiap

∈[1, ] , dinotasikan dengan ^∗_, . Langkah – langkah untuk menentukan

bilangan kromatik lokasi graf kembang api ^∗_, adalah sebagai berikut :

1) Penentuan batas bawah dari ( ^∗_, ). Berdasarkan Akibat 3.1, dapat ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .

2) Penentuan batas atas dari ( ^∗_, ). Pada graf kembang api ^∗_, dapat dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya sama dengan graf kembang api _, , tetapi disubdivisi satu titik pada

untuk setiap ∈[1, ].

Kasus 2. Graf kembang api _,^∗ diperoleh dengan mensubdivisi graf ^∗_, sebanyak ≥ 2 titik genap pada masing–masing sisi dan untuk setiap

∈[1, ]. Akibatnya dan menjadi sebuah lintasan untuk setiap

∈[1, ]; untuk setiap ∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Misalkan lintasan

= { , , ,…, , } dan lintasan = { , , ,…, , } untuk

setiap ∈[1, ]; untuk setiap ∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Langkah – langkah untuk menentukan bilangan kromatik lokasi graf kembang api _,^∗ adalah sebagai berikut :

1) Penentuan batas bawah dari ( _,^∗). Berdasarkan Akibat 3.1, dapat ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .

28

sama dengan graf kembang api ^∗_, , tetapi disubdivisi sebanyak ≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi dan untuk setiap ∈[1, ]. Untuk ( ) = ( ) untukrganjil dan ( ) = ( ) untukrgenap, untuk

( ) = ( ) untuk r ganjil dan ( ) = ( ) untuk r genap setiap

V. KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Pada penentuan bilangan kromatik lokasi graf kembang api ❆ , Asmiati.dkk (2012), memperoleh ❆

❇ ❈❉❊❋● ❊k ❍ ■; sedangkan untuk k ≥ 5, ❆

❇ ❏❑❉❊❋●❊k■▲ ▲ ❏❑ dan k untuk n yang lainnya. Pada penelitian tesis ini, peneliti melanjutkan penelitian Asmiati.dkk(2012) dengan mensubdivisi graf kembang api ❆ . Apabila salah satu sisi yang bukan sisi daun pada graf kembang api ❆ disubdivisi satu titik pada untuk setiap ▼

[1, ],dinotasikan dengan _, , diperoleh :

i. χ ( _, ) = 4 ; n 2

ii. Untuk k≥ 5

χ ( _, ) = ^k_k ^{1 ; 1}_{; lainnya}^{n k 1}

Selanjutnya graf kembang apai ^∗_, disubdivisi sebanyak ≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi dan untuk setiap ∈[1, ], dinotasikan dengan

,

∗. Akibatnya dan menjadi sebuah lintasan untuk setiap ∈[1, ]; untuk setiap ∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Misalkan lintasan = { , , ,…, , } dan lintasan = { , , ,…, , } untuk

◆6 i. χ ( _,^∗) = 4 ; n ≥ 2

ii. Untuk k≥ 5

χ ( _,^∗) = ^{k − 1 ; 1 ≤ n ≤ k − 1} k ; lainnya

Sehingga terlihat perluasan yang dapat dilakukan pada graf kembang api _, sedemikian sehingga mempertahankan bilangan kromatik lokasinya.

4.2 Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan bilangan kromatik lokasi graf _, dengan mensubdivisintitik pada masing–masing sisi daun.

DAFTAR PUSTAKA

Asmiati, The Locating-Chromatic Number of Non-Homogeneous Almagamation of Starts, Far East Journal of Mathematical Science (FJMS), 93(1), 89-96, 2014.

Asmiati, Baskoro, E.T, Characteristic pf graphs Containing Cycle with Locating-cromatic Number Three,AIP Conf.Proc.,1450, 351-357, 2012.

Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Suprijanto, D, Simanjuntak, R, Uttunggadewa, S, Locating-Chromatic Number of Firecracker Graph, Far East Journal of Mathematical Sciences,63(1),11-23, 2012.

Asmiati, Assiatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic Number of Almagamation of Starts,ITB J.Sci.,43A, 1-8, 2011.

Baskoro, E.T, and Purwasih, I.A, The locating-chromatic number of corona product of graph,Southeast Asian Journal of Science,1:1 , 89-101, 2011. Carslon, K., (2006): Generalized books and C_m-snakes are prime graphs, Ars

Combinatorics,80,215-221.

Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2002. The locating-chromatic number of a graph, Bull.inst. combin. Apll., 36, 89-101.

Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2003. graf of order n with locating-chromatic numbern-1,Discrate Math.,269,65-79. Chartrand, G.Zhang, P,Chromatic Graph Teory.2009.CRC Press.

Chen,W., Lii, H., and Yeh, Y., (1997): Operation of Interlaced Tree and Graceful Tree,Shoutheast Asian Bull. Math.,21, 337-348.

Deo, Narsing. 1989. Graph Teory With Aplications To Engineering And Computer Science.Prentice-Hall of India Private Lomited.