C. Model Matematika
BAB IV PENYELESAIAN MASALAH PEMOTONGAN ROL KERTAS DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATLAB
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
5 BAB II
PROGRAM LINEAR
A. Program Linear dan Program Linear Bulat
Istilah Program Linear mulai dikenal pada tahun 1950-an, akan tetapi masalah Program Linear sudah mulai ada sejak tahun 1940-an di Departemen Pertahanan Inggris dan Amerika untuk menjawab masalah optimisasi perencanaan operasi perang melawan Jerman dalam Perang Dunia ke-II. Pada tahun 1947 teori dan teknik Simpleks dikembangkan oleh Dantzig dan para pakar lainnya. Sejak itu, para ahli dari berbagai bidang ilmu pengetahuan, terutama dalam bidang matematika dan ekonomi, telah mengembangkan teori dalam Program Linear dan penerapan aplikasi dari Program Linear. Masalah Program Linear adalah mengoptimalkan suatu fungsi tujuan dengan adanya batas kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan. Pada zaman sekarang Program Linear digunakan di berbagai bidang seperti, industri, ekonomi, bisnis, dan lain-lain.
Selanjutnya akan dilihat beberapa asumsi yang terdapat pada masalah Program Linear sebagai berikut
1. Proporsionalitas
Setiap variabel yang terdapat pada fungsi tujuan atau fungsi kendala haruslah sebanding. Misalnya, untuk membuat sebuah kursi dibutuhkan waktu selama 4 jam, jadi untuk membuat 2 kursi dibutuhkan waktu selama 8 jam.
2. Aditivitas
Kontribusi dari setiap variabel dari fungsi tujuan atau fungsi kendala tidak ter-gantung dari nilai-nilai variabel lainnya. Contohnya untuk membeli 1 mang-kok bakso dibutuhkan 1000 dan untuk membeli 1 es jeruk 500 sehingga total-nya 1500. Sedangkan untuk memebeli 2 mangkok bakso dibutuhkan 2000 dan 1 es jeruk 500 sehingga totalnya 2000. Jadi tidak harus memebeli 2 mangkok bakso dan juga 2 es jeruk.
3. Divisibility
Variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Namun, dengan menggunakan teknik khusus yang disebut integer programing (Program Linear bulat) dapat menghasilkan variabel keputusan yang bernilai bulat. 4. Kepastian
Setiap parameter (koefisien fungsi tujuan, koefisien kendala, dan nilai di sisi kanan) diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisis.
Secara umum masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimumkan atau Minimumkan
(1) Kendala (2) (3)
Bagian (1) biasa disebut sebagai fungsi tujuan yang akan dicari nilai optimal. Sedangkan bagian (2) adalah fungsi kendala yang harus di penuhi. Variabel disebut variabel keputusan dan nilainya harus memenuhi kendala. Himpunan yang memenuhi semua kendala di sebuah titik layak dan himpunan semua titik-titik layak tersebut disebut daerah layak. Solusi dari Program Linear haruslah titik di daerah layak. Secara umum rumus tersebut dapat ditulis secara lebih ringkas menjadi Maksimumkan atau Minimumkan (1) ∑ Kendala (2)
∑
(3) Bagian (3) menunjukkan bahwa setiap variabel keputusan haruslah bernilai tidak negatif. Konstanta disebut koefisien teknis, disebut koefisien ongkos,
dan disebut suku tetap di ruas kanan.
Rumus Program Linear juga bisa ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut:
Minimumkan atau Maksimumkan
Kendala dengan [ ] [ ] [ ]
Menggunakan matrik untuk masalah Program Linear bertujuan agar dalam proses pembuatan program lebih mudah serta menghemat simbol.
Selanjutnya akan dilihat bagaimana jika hasil dari Program Linear harus bulat atau yang sering disebut Program Linear bulat. Misalnya saja pada masalah pemotongan kertas pasti banyak kertas yang dihasilkan haruslah utuh sehingga nilai desimal pada variabel keputusan harus dihindari. Untuk menghilangkan nilai desimal maka rumusan Program Linear dapat diubah menjadi seperti berikut: Minimum atau Maksimum
Kendala
[ ] [ ] [
]
Perbedaan rumus Program Linear bulat hanya terletak pada variabel keputusan sehingga kendalanya ditambah dengan setiap anggota haruslah bilangan bulat positif. Program Linear bulat ini dapat diselesaikan dengan berbagai cara salah satunya dengan metode pencabangan dan pembatasan. Metode pencabangan dan pembatasan akan dibahas pada subbab selanjutnya.
B. Metode Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound Method)
Metode pencabangan dan pembatasan berkembang pada tahun 1960 dan dikembangkan oleh A. Land dan G. Doig untuk menyelesaikan program bilangan bulat dan program bilangan bulat campuran. Metode pencabangan dan pembatasan merupakan metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah Program Linear bulat. Pada Metode pencabangan dan pembatasan memiliki tiga hal penting yaitu:
1. Pencabangan (Branching)
Pencabangan dilakukan jika masih terdapat variabel keputusan yang harus bernilai bulat namun memiliki solusi yang tidak bulat. Pencabangan dilakukan dengan cara menambahkan kendala baru pada masalah awal. Kendala baru yang ditambahkan merupakan pembulatan ke atas dan ke bawah dari solusi yang masih berbentuk pecahan. Penambahan kendala ini bertujuan untuk membuat variabel keputusan yang belum bernilai bulat supaya bernilai bulat. Proses seperti ini dilakukan terus menerus sampai semua cabang menghasilkan solusi bulat.
2. Pembatasan (Bound)
Pada metode pencabangan dan pembatasan terdapat dua batas yaitu batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound). Langkah ini bertujuan untuk membatasi solusi sehingga didapat solusi yang optimal. Pada masalah maksimum batas atas merupakan solusi dari masalah Program Linear bulat
dan pada masalah minimum batas bawah merupakan solusi dari masalah Program Linear bulat.
3. Penghentian Cabang (Fathoming)
Pencabangan pada metode pencabangan dan pembatasan akan berhenti jika
Tidak memiliki daerah layak (infeasible).
Semua variabel keputusan yang harus bernilai bulat sudah memenuhi syarat yaitu sudah menjadi bilangan bulat.
Pada masalah maksimum, penghentian pencabangan pada suatu sub masalah dilakukan jika batas atas dari sub masalah tersebut tidak lebih besar atau sama dengan batas bawah.
Pada masalah minimum penghentian pencabangan pada suatu sub masalah dilakukan jika batas bawah tidak lebih kecil atau sama dengan batas atas.
Kondisi optimal pada metode pencabangan dan pembatasan terjadi jika tidak ada lagi sub masalah yang perlu dicabangkan lagi.
Pencabangan dan pembatasan memiliki cara kerja sebagai berikut
1. Selesaikan Program Linear tanpa memperhatikan kendala bilangan bulatnya. Jika penyelesaian yang didapat merupakan bilangan bulat maka solusi optimal sudah didapat. Jika ada variabel keputusan yang belum bulat maka pencabangan dilakukan.
2. Tambahkan kendala pada variabel keputusan yang tidak menghasilkan bilangan bulat. Penambahan kendala hanya menambah satu demi satu kendala. Penambahan kendala ini berakibat terbentuknya dua sub masalah baru.
3. Menyelesaikan setiap Program Linear dengan batas baru tetapi fungsi tujuan sama.
4. Jika masih terdapat variabel keputusan yang belum bulat maka lakukan pencabangan kembali dan jika semua variabel keputusan sudah bulat maka pencabangan dihentikan sehingga solusi yang didapat menjadi kandidat solusi optimal.
Untuk melihat cara kerja pencabangan dan pembatasan diambil contoh sebagai berikut:
Contoh 2.1 Maksimumkan � Kendala
Pertama dipilih solusi awal secara sebarang yaitu
sehingga diperoleh nilai � sebagai LP1, selanjutnya lihat bagan di bawah
Sub LP1, langkah 1. Dipilih batas atas dan batas bawah . Pada kondisi ini disebut sebagai masalah P0
Maksimumkan � Kendala
Dengan penyelesaian , z=23.75 akan tetapi disini
Langkah 2. (Pencabangan). Pada kondisi ini variabel keputusan haruslah bulat maka pencabangan dilakukan. Pada kondisi ini kendalanya bertambah atau
sebab nilai
Sub LP2, masalah LP2. Maksimumkan
� Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP2 adalah
z=23
Langkah 4. Pada kondisi ini sudah terlihat bahwa variabel keputusan sudah bulat semuanya sehingga kita dapat menyimpan solusi ini sebagai kandidat solusi opti-mal.
Sub LP3, masalah LP3. Maksimumkan
� Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP3 adalah
, z=23.33
Langkah 4. Pada kondisi ini terlihat bahwa variabel keputusan masih belum bulat sehingga harus dilakukan pencabangan kembali.
Langkah 2. (Pencabangan). Pada kondisi ini variabel keputusan haruslah bulat maka pencabangan dilakukan. Pada kondisi ini kendalanya bertambah atau
Sub LP4, masalah LP4. Maksimumkan
� Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP4 adalah
, z=22.55
Langkah 4. Pada kondisi ini terlihat bahwa variabel keputusan masih belum bulat sehingga harus dilakukan pencabangan kembali.
Langkah 2. (Pencabangan). Pada kondisi ini variabel keputusan haruslah bulat maka pencabangan dilakukan. Pada kondisi ini kendalanya bertambah atau
Sub LP5,masalah LP5. Maksimumkan
� Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP5 tidak ada sebab pada kasus ini tidak terdapat daerah layak.
Langkah 4. Pada kondisi seperti ini pencabangan dihentikan sebab tidak terdapat solusi sama sekali.
Sub LP6,masalah LP6. Maksimumkan
� Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP6 adalah
, � .
Langkah 4. Pada kondisi ini sudah terlihat bahwa variabel keputusan sudah bulat semuanya sehingga kita dapat menyimpan solusi ini sebagai kandidat solusi opti-mal.
Sub LP7, masalah LP7. Maksimumkan
Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah LP7 tidak ada sebab pada kasus ini tidak terdapat daerah layak.
Langkah 4. Pada kondisi seperti ini pencabangan dihentikan sebab tidak terdapat solusi sama sekali.
Semua pencabangan sudah dihentikan sehingga tinggal dipilih solusi optimal dari kandidat solusi yang ada dan didapat dengan nilai z = 23.
Berikut adalah gambar bagan pencabangan yang dilakukan LP1 , z=23.75 LP2 , z=23 LP3 , z=23.33 LP7
tidak ada solusi yang layak LP6
, z=20
LP5
tidak ada solusi yang layak LP4 , z=22.55
C. Program Linear Biner
Pada Program Linear biner setiap variabel keputusan hanya dapat mengambil nilai 0 atau 1. Pada dunia nyata masalah Program Linear biner seperti pilihan ya atau tidak, 0 untuk pilihan tidak dan 1 untuk pilihan ya. Program Linear biner ini dapat diselesaikan dengan metode pencabangan dan pembatasan.
Pada masalah Program Linear biner metode pencabangan dan pembatasan bekerja seperti menyelesaikan Program Linear bulat. Berikut adalah langkah menyelesaikan Program Linear biner:
1. Langkah pertama adalah melihat variabel keputusan pada fungsi tujuan. Jika masalah minimum maka variabel keputusan yang memiliki nilai kecil dilakukan pencabangan. Jika masalah maksimum maka variabel keputusan yang memiliki nilai besar dilakukan pencabangan.
2. Pencabangan ini akan menghasilkan dua sub masalah baru.
3. Menyelesaikan setiap Program Linear. Jika solusi belum berada di daerah layak maka lakukan pencabangan lagi.
Contoh 2.2 Maksimum � Kendala
Langkah pertama, mencari variabel keputusan yang memiliki koefisien paling besar pada fungsi tujuan. Terlihat bahwa memiliki nilai terbesar yaitu 6. Ambil nilai sebagai LP1 dengan nilai , dan solusi ini berada di daerah yang tidak layak sehingga dilakukan pencabangan kembali.
Langkah selanjutnya melihat kembali nilai terbesar kedua dari koefisien variabel keputusan pada fungsi tujuan. Terlihat bahwa memiliki nilai 5, sehingga pada LP1 dilakukan pencabangan dengan menambah kendala
dan . Pada LP2 yaitu pencabangan dengan menambah kendala
diperoleh kandidat solusi optimal yaitu , dengan nilai
� dan berada pada daerah layak. Pada LP3 yaitu pencabangan dengan menambah kendala tetap dihasilkan solusi yang sama sehingga pencabangan dihentikan.
Semua pencabangan telah dihentikan sehingga dapat dilihat solusi yang paling optimal dari kandidat solusi yang ada dan diperoleh solusi optimal adalah
, � .
Berikut adalah bagan pencabangan yang dilakukan
D. Program Linear Campuran (Mixed Integer Linear Programing)
MILP adalah Program Linear dengan beberapa variabel keputusannya haruslah bilangan bulat. Pada dunia nyata masalah MILP adalah masalah yang paling sering. Masalah MILP dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pencabangan dan pembatasan. Metode pencabangan dan pembatasan merupakan metode yang efisien secara komputasi.
Selanjutnya akan dilihat algoritma pencabangan dan pembatasan untuk menyelesaikan MILP
LP1
, Tidak ada solusi layak
LP2
, �
LP3 ,
Tidak ada solusi layak
1. Inisialisasi
Mengatur batas atas dan batas bawah dari solusi optimal dan selanjutnya memilih penyelesaian MILP pada daerah layak.
2. Cabang (Brancing)
Menyelesaikan setiap Program Linear dengan batas baru tetapi fungsi tujuan sama. Misalkan variabel berada pada interval [a,b] dan merupakan batas yang harus bilangan bulat maka batas baru yang bisa dibentuk adalah
. 3. Penyelesaian
Menyelesaikan masalah selanjutnya pada cabang yang lain. 4. Pembaharuan Batas
Jika nilai z yang kita peroleh pada cabang yang baru lebih optimal daripada sebelumnya maka cabang ini menjadi kandidat sebagai solusi optimal.
5. Pemotongan
Jika penyelesaian yang diperoleh berada di daerah layak bukan berarti pen-cabangan berhenti, mungkin bisa ada penpen-cabangan lebih lanjut. Jika pada per-soalan tidak terdapat penyelesaian pada daerah layakanya maka pencabangan dihentikan atau dipotong.
6. Optimal
Jika terdapat pencabangan yang belum terselesaikan kita lanjutkan pada langkah ke-3. Jika semua pencabangan telah dihentikan maka dari kandidat penyelesaian yang telah diperoleh dipilih kandidat penyelesaian yang paling optimal.
Metode pencabangan dan pembatasan akan menghasilkan solusi optimal jika:
1. Sub masalah berada di daerah yang tidak layak.
2. Penyelesaian sudah berada pada batas-batanya (memenuhi daerah layak) dan memenuhi kondisi bilangan bulat untuk variabel keputusan yang ditetapkan. 3. Batas bawah yang diperoleh lebih besar dari batas atas.
Berikut adalah contoh metode pencabangan dan pembatasan untuk menyelesaikan masalah MILP
Contoh 2.3 Minimum Kendala
Contoh 2.3 adalah contoh masalah MILP sebab variabel keputusan pada dan haruslah bernilai bulat dan variabel keputusan dan tidak harus bernilai bulat. Langkah 1. (Inisialisasi). Dipilih batas atas dan batas bawah . Pada kondi-si ini disebut sebagai masalah P0
Minimum Kendala
Dengan penyelesaian , akan tetapi disini
Langkah 2. (Pencabangan). Pada kondisi ini variabel keputusan haruslah bulat maka pencabangan dilakukan. Pada kondisi ini kendalanya bertambah atau
Sub LP1,masalah P1. Minimum
Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah P1 adalah
Langkah 4. (Pembaharuan Batas). Pada kondisi ini sudah memenuhi kendala awal yaitu , . Nilai dari fungsi tujuan adalah 1.5 lebih kecil dari pada batas atas yang dimiliki sehingga nilai batas atas diubah dari ∞ ke 1.5, dan nilai ini disimpan sebagai kandidat optimal.
Langkah 5. (Pemotongan) Tidak ada pencabangan lebih jauh dari cabang ini se-hingga kita potong, sebab , sehingga dilanjutkan ke langkah 3.
Sub LP2, masalah P2. Minimum
Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Penyelesaian untuk masalah P2 adalah
Langkah 4. (Pembaharuan Batas). Pada kondisi ini nilai dari bukan bilangan bulat. Fungsi tujuannya bernilai 0.5 berada diantara batas bawah 0 dan batas atas 1.5 maka batas bawah di perbaruhi dari 0 menjadi 0.5 (sehingga solusi optimal yang akan didapat harus berada pada interval 0.5 sampai 1.5). Selanjutnya pen-cabangan akan dilakukan pada variabel menjadi dua masalah sebagai berikut:
Sub LP3,masalah P3. Minimum
Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). Pada masalah P3 tidak terdapat daerah layak.
Langkah 4. (Pembaharuan Batas). Tidak ada yang dilakukan pada langkah ini se-hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya.
Langkah 5. (Cutting). Pada kondisi ini tidak terdapat penyelesaian optimal se-hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya.
Sub LP4,masalah P4. Minimum
Kendala
Langkah 3. (Penyelesaian). P4 memiliki daerah layak sehingga dapat dicari so-lusinya dan diperoleh
Langkah 4. (Pembaharuan Batas). Tidak ada yang dilakukan pada langkah ini se-hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya.
Langkah 5. (Pemotongan). Pada kondisi ini variabel tidak bilangan bulat dan nilai solusi optimalnya lebih optimal pada masalah sebelumnya maka dilanjutkan langkah selanjutnya.
Langkah 6. (Optimasi). Pada kondisi ini tidak terdapat pencabangan lebih lanjut sehingga solusi optimal diperoleh yaitu:
Untuk melihat proses pencabangan yang dilakukan, dapat dilihat pada gambar 2.3.
Masalah MILP dapat diselesaikan dengan metode pencabangan dan pembatasan akan tetapi bagaimana jika pada fungsi kendala terdapat fungsi yang tidak linear atau yang disebut dengan masalah MINLP. Masalah MINLP dapat diselesaikan sama seperti menyelesaikan masalah MILP ditambah dengan menyelesaikan kendala yang tidak linear.
P0
P1 P2
P3 P4
Gambar 2.3 Alur Percabangan Contoh 2.3
22 BAB III
MASALAH SISA PEMOTONGAN
A. Masalah Sisa Pemotongan (Trims Loss Problem)
Dalam dunia industri, khususnya industri kertas masalah meminimalkan sisa pemotongan kertas merupakan salah satu faktor terpenting. Terjadinya sisa pemotongan ini dapat disebabkan oleh beberapa hal, salah satu diantaranya adalah lebar dan panjang kertas permintaan tidak sesuai dengan rol kertas produksi. Meminimumkan sisa pemotongan juga tergantung pada pola pemotongan yang merupakan kombinasi dari lembaran kertas permintaan yang dipotong pada waktu yang sama.
Pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai bagaimana meminimalkan sisa pemotongan dari rol kertas ke lembaran kertas. Masalah utama dari pemotongan dari rol kertas ke lembaran kertas adalah bagimana memenuhi banyaknya permintaan yang ada dengan meminimalkan sisa pemotongan kertas dengan berbagai ukuran kertas yang diminta. Proses pemotongan kertas dari rol kertas produksi ke lembaran kertas disebut masalah pemotongan dua dimensi. Hal tersebut dikarenakan dalam memotong rol kertas produksi harus memperhatikan panjang dan lebar rol kertas produksi serta ukuran kertas permintaan yang ada.
Pada proses produksi rol kertas produksi memiliki panjang yang berbeda-beda, akan tetapi pada tugas akhir ini panjang dan lebar rol kertas produksi diang-gap sama. Panjang dan lebar rol kertas produksi memiliki batas atas dan batas bawah pemotongan. Lebar rol kertas produksi digunakan untuk membuat pola pemotongan. Banyaknya pola pemotongan merupakan salah satu faktor dalam meminimalkan sisa pemotongan, oleh sebab itu pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai bagaimana cara mencari banyaknya pola pemotongan.