Konstanta-Konstanta Matematika
Tabel 3.1 adalah daftar dari beberapa konstanta matematika yang telah terpasang di dalam Scilab.
Tabel 3.1 Konstanta Matematika di dalam Scilab
Variabel Deskripsi
%i i = 1
%pi = 3.1415927...
%e e = 2.7182818 ...
Contoh penggunaan konstanta-konstanta matematika di atas adalah sebagai berikut.
-->sin(%pi/2) ans =
1.
-->log(%e) ans = 1.
-->%i^2 ans = - 1.
Operator-Operator Aritmatika
Simbol-simbol untuk operator aritmatika yang terdapat di dalam Scilab diperlihatkan pada Tabel 3.2. Selain simbol-simbol tersebut, terdapat simbol lain yang digunakan dalam penulisan suatu ekspresi matematika yaitu tanda kurung-buka dan kurung-tutup, ( ), yang digunakan untuk mengelompokkan suatu bagian ekspresi matematika.
Tabel 3.2 Operator Matematika
Operasi Notasi Matematika Notasi Scilab
Penjumlahan a + b a + b
Pengurangan a – b a – b
Perkalian a × b a * b
Pembagian a / b
Pemangkatan a ^ b atau a ** b
Urutan operasi aritmatika dari tingkatan yang paling tinggi ke tingkatan yang lebih rendah adalah sebagai berikut:
1. Operasi matematika yang terletak di antara tanda kurung ( ) 2. Operasi pemangkatan
3. Operasi perkalian atau pembagian 4. Operasi pejumlahan atau pengurangan.
Eksekusi terhadap suatu ekspresi matematika yang didalamnya terdapat beberapa macam operasi aritmatika dimulai dari operasi yang mempunyai tingkatan tertinggi kemudian ke operasi berikutnya yang mempunyai tingkatan operasi lebih rendah dan seterusnya sampai selesai. Apabila di dalam suatu ekspresi matematika terdapat beberapa operasi yang mempunyai tingkatan sama maka urutan eksekusinya dimulai dari sebelah kiri ke kanan.
Berikut ini ilustrasi berbagai macam perhitungan aritmatika.
-->1 + 2/(3*4) ans =
1.1666667
-->(1 - 2/(3 + 2))/(1 + 2/(3 - 2)) ans =
0.2
-->1000*(1 + 0.15/12)^60 ans =
2107.1813
Penggunaan tanda spasi dalam penulisan suatu ekspresi matematika bersifat opsional namun sebaiknya tanda spasi digunakan untuk mempermudah pembacaan dari ekspresi matematika yang dibuat.
Contoh 1. Tentukan besarnya resultan gaya yang dihasilkan oleh gaya-gaya yang bekerja pada roda-roda mobil, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1, serta posisi resultan gaya tersebut dari titik A?
Gambar 3.1
Penyelesaian. Misalkan FA, FB dan FC adalah gaya-gaya yang bekerja pada titik A, B dan C maka resultan gaya R yang dihasilkan oleh ketiga gaya tersebut adalah
R = FA + FB + FC
Misalkan d adalah letak resultan gaya dari titik A, maka d dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
R
x F x F x
d FA A B B C C
dimana xA, xB, xC adalah letak gaya FA, FB dan FC dari titik A.
Perhitungan resultan gaya R dan letaknya dari titik A adalah sebagai berikut:
-->FA = 20; // Gaya pada titik A (kN)
-->FB = 20; // Gaya pada titik B (kN)
-->FC = 10; // Gaya pada titik C (kN)
-->xA = 0; // Letak gaya FA (m)
-->xB = 3; // Letak gaya FB (m)
-->xC = 5; // Letak gaya FC (m)
-->R = FA + FB + FC // Resultan gaya R (kN) R =
50.
-->d = (FA*xA + FB*xB + FC*xC)/R // Letak gaya R (m) d =
2.2
Jadi resultan gaya R adalah sebesar 50 kN dan letaknya sejauh 2.2 m dari titik A.
Contoh 2. Sebuah baterei mempunyai gaya gerak listrik 12 V dan tahanan internal 0.05 .
Jika pada terminal-terminal baterei tersebut dihubungkan dengan sebuah tahanan luar sebesar 3 . Tentukan arus yang mengalir pada rangkaian tersebut dan beda tegangan yang terdapat pada terminal baterei tersebut?
Penyelesaian. Arus (I) pada rangkaian tersebut dapat dihitung dengan menggunakan formula sebagai berikut:
r I R
dimana adalah gaya gerak listrik, r adalah tahanan internal dan R adalah tahanan luar.
Beda tegangan (V) yang terdapat di antara terminal baterei dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
Ir V
Arus yang mengalir pada rangkaian dan beda tegangan yang terdapat pada terminal baterei dapat kita hitung dengan perintah-perintah sebagai berikut.
-->epsilon = 12; // gaya gerak listrik
-->r = 0.05; // tahanan internal baterei (Ohm)
-->R = 3; // tahanan luar (Ohm)
-->I = epsilon/(R + r) // arus yang mengalir pada rangkaian (Ampere) I =
3.9344262
-->V = epsilon - I*r // beda tegangan pada terminal baterei (Volt) V =
11.803279
Arus yang mengalir pada rangkaian adalah 3.9 A dan beda tegangan yang terdapat pada terminal baterei yaitu 11.8 V.
Contoh 3. Sebuah bahan radioaktif mempunyai waktu paruh 150 hari. Apabila hari ini massa radioaktif tersebut adalah 10 gram, berapakah jumlah massa radioaktif yang tertinggal setelah 300 hari ?
Penyelesaian. Peluruhan suatu bahan radioaktif dapat dihitung dengan sebagai berikut:
( )
dimana m adalah massa bahan radioaktif yang tertinggal, mo adalah massa awal bahan radioaktif, t adalah waktu peluruhan, serta h adalah waktu paruh.
Perhitungan massa radioaktif yang tertinggal adalah sebagai berikut.
-->massa_awal = 10;
-->waktu_paruh = 150;
-->waktu = 300;
-->massa_tersisa = massa_awal * (1/2)^(waktu/waktu_paruh) massa_tersisa =
2.5
Sehingga setelah 300 hari, bahan radioaktif yang tertinggal yaitu sejumlah 2.5 gram.
Variabel-Variabel Khusus untuk Aritmatika Komputer
Di dalam Scilab, terdapat beberapa variabel khusus yang berkaitan dengan operasi aritmatika dengan komputer. Variabel-variabel khusus tersebut yaitu %eps, %inf dan %nan. Deskripsi singkat mengenai ketiga variabel tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.3.
Tabel 3.3 Daftar Beberapa Konstanta Aritmatika Komputer
Variabel Deskripsi
%eps Presisi komputer
%nan Bukan sebuah bilangan (not a number)
%inf Takhingga (∞, infinity)
Variabel %eps merupakan variabel khusus yang menyatakan presisi komputer. Nilai dari variabel ini adalah nilai terkecil yang dapat ditambahkan pada suatu bilangan sehingga menghasilkan suatu nilai yang berbeda dengan nilai dari bilangan tersebut. Nilai variabel
%eps akan tergantung pada jenis komputer. Untuk komputer yang mendukung sistem 64 bit IEEE, nilai variabel %eps kira-kira adalah 2.220 10-16.
Berikut ini beberapa contoh ilustrasi mengenai variabel %eps. -->%eps
%eps =
2.220D-16 -->format(20)
-->1 + %eps ans =
1.00000000000000022 -->1 + %eps/2
ans =
1.
Variabel %inf merupakan suatu variabel yang digunakan untuk menyatakan operasi pembagian suatu bilangan real, (selain bilangan nol), dengan bilangan nol.
-->ieee(2) -->9.99/0
ans = Inf -->-345/0 ans =
-Inf
Fungsi ieee yang terdapat pada contoh ini digunakan untuk mengontrol suatu perkecualian yang terjadi dalam sebuah operasi aritmatika. Penjelasan mengenai fungsi ini akan diberikan pada subbab berikutnya tentang pembagian dengan nol.
Variabel %inf digunakan untuk merepresentasikan suatu bilangan yang nilainya diluar jangkauan bilangan yang dapat disimpan oleh Scilab. Jika suatu bilangan mempunyai nilai yang lebih besar dari 10308 maka nilainya akan dinyatakan dengan simbol %inf namun jika nilainya lebih kecil dari -10308 maka nilainya akan dinyatakan dengan simbol -%inf.
-->2^1023 ans =
8.98D+307
-->2^1024 ans =
Inf
-->-2^1024 ans =
- Inf
Variabel %nan adalah variabel yang digunakan untuk menyatakan suatu operasi matematika yang tidak didefinisikan, seperti 0/0, ∞ - ∞, ∞/∞
-->0/0 ans =
Nan
Pembagian dengan Nol
Terdapat suatu perkecualian dalam suatu operasi pembagian yaitu pembagi nilainya tidak boleh sama dengan nol. Jika hal ini terjadi maka Scilab secara default akan menampilkan suatu pesan kesalahan, seperti yang terlihat pada contoh di bawah ini.
-->99/0
!--error 27 division by zero...
Fungsi ieee dapat digunakan untuk mengontrol perkecualian yang mungkin terjadi pada suatu operasi aritmatika. Fungsi ieee mempunyai sintaks sebagai berikut:
ieee(m)
dimana m adalah mode untuk menangani operasi perkecualian yang terdapat di dalam suatu ekpresi aritmatika. Terdapat tiga pilihan untuk argumen mode dalam fungsi ieee yaitu 0, 1, dan 2. Dekripsi untuk ketiga mode tersebut adalah sebagai berikut:
Mode 0 (mode default), jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol maka akan muncul sebuah pesan error.
Mode 1, jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol maka akan muncul suatu pesan peringatan yang disertainya dengan hasil perhitungannya yang berupa Inf atau Nan sesuai dengan operasi aritmatikanya.
Mode 2, jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol maka hasil perhitungannya berupa Inf atau Nan sesuai dengan operasi aritmatikanya tanpa disertai suatu pesan peringatan.
Berikut ini beberapa contoh perhitungan sebagai ilustrasi untuk fungsi ieee. -->ieee(1)
-->99/0
Warning :division by zero...
ans = Inf -->0/0
Warning :division by zero...
ans = Nan -->ieee(2) -->99/0 ans = Inf -->0/0 ans = Nan
Apabila fungsi ieee() dijalankan tanpa menggunakan argumen maka fungsi tersebut akan menampilkan mode ieee yang sedang dipergunakan.
Akar Kuadrat
Fungsi sqrt adalah fungsi untuk menghitung akar kuadrat dari suatu bilangan real (termasuk bilangan negatif) maupun akar kuadrat dari suatu bilangan kompleks.
Contoh 4. Sebuah mobil bergerak dari keadaan diam dengan percepatan konstan 5 m/det2. Tentukan kecepatan mobil tersebut setelah menempuh jarak sejauh 40 m?
Penyelesaian. Kecepatan mobil dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
√
dimana v0 adalah kecepatan awal, a adalah percepatan dan d jarak yang ditempuh.
Berikut ini statemen-statemen Scilab untuk menentukan kecepatan mobil.
-->v0 = 0; // kecepatan awal [m/s];
-->a = 5; // percepatan mobil [m/det^2]
-->d = 40; // jarak tempuh [m]
-->v = sqrt(v0 + 2*a*d) // kecepatan mobil [m/s]
v =
20.
Jadi kecepatan mobil adalah 20 m/det.
Contoh 5. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + x + 1 = 0.
Penyelesaian. Akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan formula sebagai berikut :
,
√
Perhitungan akar-akar dari persamaan adalah sebagai berikut:
-->a = 1; b = 1; c = 1; // koefisien persamaan kuadrat
-->D = b^2 - 4*a*c; // diskriminan -->r1 = (-b + sqrt(D))/(2*a) // akar pertama r1 =
- 0.5 + 0.8660254i
-->r2 = (-b - sqrt(D))/(2*a) // akar kedua r2 =
- 0.5 - 0.8660254i
Jawaban yang diperoleh yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + x + 1 = 0 adalah -0.5 + 0.866i dan -0.5 - 0.866i.
Nilai Mutlak
Fungsi abs adalah fungsi untuk menghitung nilai mutlak dari suatu bilangan real atau nilai modulus dari suatu bilangan kompleks. Berikut ini contoh penggunaan fungsi abs.
-->abs(-28.9) ans = 28.9
-->abs(3 - 4*%i) ans =
5.
Contoh 6. Tentukan jarak terdekat antara titik (1, -4, -3) dengan sebuah bidang planar 2x – 3y + 6z = -1.
Penyelesaian. Jarak terdekat antara suatu titik P(x0, y0, z0) dengan sebuah bidang planar ax + by + cz + d = 0 dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
| |
√
Dengan menggunakan rumus ini, jarak antara titik P dengan bidang planar dapat dihitung dengan statemen-statemen sebagai berikut:
-->a = 2; b = -3; c = 6; d = 1; // normal bidang
-->x0 = 1; y0 = -4; z0 = -3; // Titik P0
-->D = abs(a*x0 + b*y0 + c*z0 + d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) D =
0.4285714
Jawaban yang diperoleh yaitu jarak terdekat antara titik (1, -4, -3) dengan bidang planar 2x – 3y + 6z = -1 adalah 0.429.
Tanda Bilangan
Tanda suatu bilangan dapat diketahui dengan fungsi sign yang mempunyai definisi sebagai berikut:
0 jika
, 1
0 jika
, 0
0 jika
, 1
x x x x
sign
Contoh-contoh penggunaan fungsi sign adalah sebagai berikut.
-->sign(56.78) ans =
1.
-->sign(-28.9) ans =
- 1.
Pembulatan
Scilab menyediakan beberapa macam fungsi untuk melakukan operasi pembulatan, seperti yang terlihat pada Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Fungsi-Fungsi Pembulatan
Fungsi Deskripsi
round Pembulatan
ceil Pembulatan ke atas floor Pembulatan ke bawah fix atau int Pembulatan ke arah nol
clean Pembulatan nilai yang sangat kecil menjadi nol
Contoh-contoh penggunaan fungsi pembulatan adalah sebagai berikut:
-->round(5.67) ans =
6.
-->ceil(2.34) ans =
3.
-->floor(5.67) ans =
5.
-->int(-123.45) ans =
- 123.
Fungsi clean(x, tol) akan membulatkan nilai dari suatu variabel x menjadi angka nol apabila nilai absolutnya lebih kecil daripada suatu nilai toleransi tol. Argumen tol adalah argumen yang bersifat opsional dengan nilai default 10-10.
-->x = cos(%pi/2) x =
6.123D-17
-->x = clean(x) x =
0.
Aproksimasi Bilangan Real dengan Bilangan Rasional
Suatu bilangan real x dapat diaproksimasi nilainya dengan suatu bilangan rasional m/n melalui fungsi rat sebagai berikut:
[m,n] = rat(x, )
dimana adalah toleransi aproksimasi. Apabila argumen tidak dipergunakan maka nilai toleransi aproksimasi yang digunakan adalah 10-6.
Ilustrasi penggunaan fungsi rat adalah sebagai berikut:
-->[n,d] = rat(1.25) d =
4.
n = 5.
-->[m,n] = rat(%pi,0.001) n =
7.
m =
22.
Contoh yang terakhir ini adalah salah satu pendekatan nilai yang populer.
Trigonometri
Daftar dari fungsi-fungsi trigonometri dan inverse trigonometri yang terdapat di dalam Scilab diberikan pada Tabel 3.5. Sebagian besar fungsi trigonometri dan inverse trigonometri hanya membutuhkan argumen input tunggal, kecuali fungsi atan dan atand. Terdapat dua macam sintaks untuk kedua fungsi tersebut, yaitu sintak dengan argumen input tunggal (atan(n) dan atand(n)), serta sintak lainnya dengan dua argumen input (atan(y,x) dan atand(y,x)).
Fungsi atan(n) dan atand(n) menggunakan dua kuadran dalam perhitungan nilai inverse tangen. Output dari fungsi atan(n) dan atand(n) masing-masing berada dalam interval sudut [-½, ½] radian dan [-90, 90] derajat. Fungsi atan(y,x) dan atand(y,x) menggunakan empat kuadran dalam perhitungan nilai inverse tangen. Output dari fungsi atan(y,x) dan atand(y,x) masing-masing berada dalam interval sudut [-, ] radian dan [-180, 180] derajat.
Tabel 3.5 Fungsi-Fungsi Trigonometri
Fungsi Deskripsi sin Sinus (radian) sind Sinus (derajat) cos Cosinus (radian) cosd Cosinus (derajat) tan Tangen (radian) tand Tangen (derajat) cotg Cotangen (radian) asin Inverse sinus (radian) asind Inverse sinus (derajat) acos Inverse cosinus (radian) acosd Inverse cosinus (derajat) atan Inverse tangen (radian) atand Inverse tangen (derajat)
Contoh-contoh penggunaan fungsi-fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
-->sin(%pi/3) ans =
0.8660254 -->cosd(45) ans =
0.7071068 -->tan(%pi/4) ans =
1.
Berikut ini adalah beberapa contoh pengunaan fungsi-fungsi inverse trigonometri.
-->acosd(0.5*sqrt(2)) ans =
45.
-->4*atan(1) ans =
3.1415927 -->atan(-1,1) ans =
- 0.7853982
Contoh 7. Sebuah peluru ditembakkan dari sebuah meriam dengan kecepatan awal 72 m/detik dan sudut kemiringan terhadap bidang horisontal adalah 60 derajat. Tentukan jarak jangkauan peluru tersebut ?
Penyelesaian. Jarak jangkauan (r) peluru dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
( )
dimana vo adalah kecepatan awal, adalah sudut tembakan, g adalah percepatan gravitasi.
Statemen-statemen untuk menghitung jarak jangkauan peluru adalah sebagai berikut:
-->v0 = 72; // kecepatan awal (m/detik)
-->theta = 60; // sudut tembakan (derajat) -->g = 9.81; // percepatan gravitasi (m/detik^2)
-->r = v0^2*sind(2*theta)/g // jangkauan peluru (m) r =
457.64278
Jadi jangkauan peluru adalah sejauh 457.6 m.
Contoh 8. Dengan mengacu pada Gambar 3.2, tentukan besarnya gaya F yang harus dikerjakan pada ujung pengungkit sehingga dihasilkan momen pada titik O sebesar 15 Nm yang bekerja searah jarum jam? Diketahui = 60o, = 30o, a = 50 mm, serta b = 300 mm.
Gambar 3.2
Penyelesaian. Momen yang dihasilkan oleh gaya F yang bekerja pada pengungkit adalah:
sin
sin
cos
cos a b F b
F
M
Dari persamaan ini diperoleh besarnya gaya F untuk menghasilkan momen M yaitu"
sin
sin
coscos a b b
F M
Berikut ini adalah statemen-statemen Scilab untuk menghitung gaya F.
-->M = 15; // Nm
-->phi = 60; // derajat -->theta = 30; // derajat
-->a = 0.05; // m
-->b = 0.30; // m
-->F = M/(cosd(theta)*(a + b*sind(phi)) - b*sind(theta)*cosd(phi)) F =
77.599076
Jadi gaya yang diperlukan untuk menghasilkan momen sebesar 15 Nm adalah 77.6 N.
Hiperbolik
Daftar dari fungsi-fungsi hiperbolik dan inverse hiperbolik yang terdapat di dalam Scilab dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Tabel 3.6 Fungsi-Fungsi Hiperbolik dan Inverse Hiperbolik
Fungsi Deskripsi
sinh Sinus hiperbolik cosh Cosinus hiperbolik tanh Tangen hiperbolik coth Cotangen hiperbolik asinh Inverse sinus hiperbolik acosh Inverse cosinus hiperbolik atanh Inverse tangen hiperbolik
Berikut ini adalah ilustrasi penggunaan fungsi-fungsi hiperbolik dan inverse hiperbolik.
-->sinh(2) ans =
3.6268604
-->tanh(0.5 + 2.5*%i) ans =
0.6433315 - 0.5249367i
-->asinh(3.5) ans =
1.9657205
Contoh 9. Sebuah kabel optik tergantung pada tiang-tiang dimana ujung-ujung pada setiap bentangnya membentuk sudut terhadap horisontal (Gambar 3.3). Tentukan tegangan minimum yang bekerja pada kabel dan tinggi maksimum lendutannya? Diketahui kabel optik mempunyai kerapatan massa 0.9 kg/m dan jarak antar tiang adalah 30 m.
Gambar 3.3
Penyelesaian. Tegangan tarik maksimum (Tmax) yang bekerja pada kabel dan tinggi lendutan maksimum (h) dapat ditentukan dengan rumus-rumus sebagai berikut
tan
asinh 2 wa FH
max cos FH
T
cosh 2 1
H H
F wa w
h F
g w
Dimana: FH adalah tegangan tarik horisontal yang bekerja pada kabel optik Tmax adalah tegangan tarik maksimum yang bekerja pada kabel optik h adalah panjang lendutan maksimum
a adalah jarak antara tiang w adalah berat satuan kabel
adalah kerapatan massa (density) kabel g adalah percepatan gravitasi
Perhitungan tegangan tarik maksium (Tmax) yang bekerja pada kabel dan tinggi lendutan maksimum (h) adalah sebagai berikut.
-->g = 9.81; // percepatan gravitasi (m/s^2)
-->rho = 0.9; // density kabel (kg/m)
-->w = rho*g; // berat satuan kabel;
-->theta = 22/180*%pi; // sudut kemiringan pd ujung kabel (rad)
-->a = 30; // jarak antar tiang (m)
-->FH = w*(a/2)/asinh(tan(theta)) // Gaya horisontal (N) FH =
336.32494
-->Tmax = FH/cos(theta) // Tegangan tarik maksimum pd kabel (N) Tmax =
362.73813
-->h = FH/w*(cosh(w*(a/2)/FH) - 1) // Tinggi lendutan maksimum h =
2.9916403
Jadi tegangan tarik maksimum yang bekerja pada kabel adalah 362.7 N dan tinggi lendutan maksimum pada bagian tengah kabel adalah 2.99 m.
Eksponensial dan Logaritma
Daftar dari fungsi-fungsi exponensial dan logaritma yang terdapat terpasang di dalam Scilab diberikan pada Tabel 3.7.
Tabel 3.7 Fungsi-Fungsi Exponensial dan Logaritma
Fungsi Deskripsi
exp Exponensial
nextpow2 Pangkat dua terbesar selanjutnya
log Logaritma alami
log2 Logaritma base 2 log10 Logaritma base 10
Deskripsi mengenai fungsi-fungsi tersebut adalah sudah jelas dari deskripsi yang diberikan pada Tabel 3.7 kecuali untuk fungsi nextpow2. Fungsi nextpow2(x) adalah suatu fungsi yang digunakan untuk menghitung suatu bilangan integer n terkecil yang memenuhi persyaratan 2n |x|.
Contoh penggunaan fungsi-fungsi exponensial dan logaritma adalah sebagai berikut:
-->exp(2.5) ans =
12.182494 -->log(10) ans =
2.3025851 -->log10(0.001) ans =
- 3.
-->nextpow2(20) ans =
5.
Contoh 10. Anggap suatu minuman kopi mempunyai kandungan ion hidrogen sebanyak 1.2×10-6 mol/Liter. Tentukan berapakah nilai pH-nya ?
Penyelesaian. Nilai pH suatu zat dapat ditentukan dengan formula sebagai berikut:
H
pH log10
dimana [H+] adalah konsentrasi dari ion hidrogen dalam satuan mol/Liter. Maka nilai pH dari minuman kopi dapat dihitung sebagai berikut:
-->kopi = 1.2E-6; // kandungan ion hidrogen dalam kopi -->pH_kopi = -log10(kopi)
pH_kopi = 5.9208188
Jadi nilai pH kopi adalah sekitar 5.9.
Contoh 11. Jumlah penduduk dunia pada awal tahun 1990 diperkirakan adalah sekitar 5.3 milyar dengan laju pertambahan penduduk sekitar 2% per tahun. Dengan mengunakan asumsi bahwa pertumbuhan populasi penduduk akan bertambah secara eksponensial, maka perkirakan jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 ?
Penyelesaian. Jumlah penduduk pada awal suatu tahun tertentu dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
kt oe y y
dimana yo adalah jumlah penduduk pada awal tahun 1990 (dalam satuan milyar), k adalah laju pertambahan penduduk dan t adalah perbedaan waktu sejak tahun 1990 (dalam satuan tahun).
Perhitungan jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 dapat diselesaikan dengan perintah-perintah sebagai berikut:
-->y0 = 5.3; // jumlah penduduk pada awal th 1990 (milyar) -->k = 0.02; // laju pertumbuhan pertahun
-->t = 2015–1990; // selang waktu sejak awal th 1990 (tahun) -->y = y0*exp(k*t) // jumlah penduduk pada awal th 2015 (milyar) y =
8.7382227
Jadi jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 adalah sebanyak 8.73 milyar.
Faktorial
Notasi matematika untuk faktorial dari suatu bilangan bulat n adalah n!. Di dalam Scilab, nilai faktorial dari suatu bilangan dapat dihitung dengan menggunakan fungsi factorial, seperti yang ditunjukkan pada contoh di bawah ini:
-->factorial(6) ans =
720.
Contoh 12. Sebuah panitia yang terdiri dari tiga orang akan diambil dan dibentuk dari delapan orang. Tentukan berapa banyak kombinasi panitia yang dapat dibentuk apabila satu orang hanya dapat masuk sekali saja dalam satu grup?
Penyelesaian. Jumlah kombinasi panitia yang dapat dibentuk dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
( )
dimana n adalah jumlah orang yang akan dipilih dan k adalah jumlah anggota panitia. Jadi, jumlah kombinasi panitia yang dapat dibentuk adalah
-->K = factorial(8)/(factorial(3)*factorial(8-3)) K =
56.
Bilangan Kompleks
Misalkan z adalah bilangan kompleks z = x + iy, dimana i adalah simbol bilangan imajiner
1, maka bilangan kompleks z di dalam Scilab dapat dinyatakan sebagai berikut:
z = x + y*%i atau z = x + %i*y
Sebagai contoh, notasi untuk bilangan kompleks z = 2 – 3i adalah sebagai berikut:
-->z = 2 - 3*%i z =
2. - 3.i
Operasi Aritmatika terhadap Bilangan Kompleks
Operasi aritmatika terhadap suatu bilangan kompleks dapat dilakukan dengan menggunakan notasi yang sama seperti notasi pada bilangan real. Berikut ini beberapa contoh operasi aritmatika terhadap bilangan kompleks.
-->x = 1 - 3*%i;
-->y = -2 + %i*5;
-->p = x + y p =
- 1. + 2.i
-->q = x - y q =
3. - 8.i
-->r = x*y r =
13. + 11.i -->r/x
ans =
- 2. + 5.i
Komponen Real dan Imajiner.
Komponen real dan imajiner dari suatu bilangan kompleks dapat diekstrak dengan menggunakan fungsi real dan imag, seperti pada contoh di bawah ini.
-->x = 3 + 4*%i;
-->real(x) ans = 3.
-->imag(x) ans = 4.
Conjugate Bilangan Kompleks.
Jika z = x + iy maka conjugate untuk bilangan compleks tersebut didefiniskan sebagai ̅ .
Conjugate suatu bilangan kompleks dapat dihitung dengan fungsi conj, seperti pada contoh di bawah ini.
-->w = 8 + 10*%i;
-->conj(w) ans =
8. - 10.i
Modulus Bilangan Kompleks
Modulus atau nilai mutlak dari bilangan z = x + iy didefinisikan sebagai berikut
| | √
Modulus bilangan kompleks dapat kita hitung dengan fungsi abs. -->v = 12 - 5*%i;
-->abs(v) ans =
13.
Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks
Selain dalam notasi kartesian (x, y) sebuah bilangan komplek z = x + iy juga dapat dinyatakan dengan notasi koordinat polar (r, ) sebagai berikut:
( ( ) ( )) dimana: √ ( )
Seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini.
Gambar 3.4 Ilustrasi Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks
Sebagai contoh, bilangan kompleks z = -3 + 4i dapat dirubah ke dalam bentuk polar dengan perhitungan sebagai berikut.
-->z = -3 + 4*%i;
-->r = abs(z) r =
5.
-->theta = atand(imag(z),real(z)) // derajat theta =
126.8699
Jadi bentuk polar untuk bilangan kompleks z = -3 + 4i adalah z = 5 (cos(126.9o) + i sin(126.9o))
Notasi Eksponensial untuk Bentuk Polar
Dengan menggunakan identitas Euler: ( ) ( ). Bilangan komplek ( ( ) ( )) juga dapat dinyatakan dalam notasi ekponensial . Dalam notasi ini sudut harus dinyatakan dalam satuan radian.
Berikut ini adalah ilustrasi penulisan bilangan kompleks dalam notasi eksponensial.
-->z = -3 + 4*%i;
-->r = abs(z) r =
5.
-->theta = atan(imag(z),real(z)) // radian theta =
2.2142974
-->r*exp(theta*%i) ans =
- 3. + 4.i
Terlihat bahwa statemen 5*exp(2.21*%i) ekuivalen dengan statemen -3 + 4*%i.