Bab 5
-->B = [5 -1 7; 3 1 8]
B =
5. - 1. 7.
3. 1. 8.
-->C = A + B C =
1. 5. 10.
3. 2. 10.
-->D = B - A D =
9. - 7. 4.
3. 0. 6.
Apabila operasi penjumlahan atau pengurangan dilakukan terhadap matrik-matrik atau vektor-vektor yang tidak mempunyai dimensi yang sama maka akan muncul sebuah pesan kesalahan, seperti yang terlihat pada contoh-contoh di bawah ini.
-->d = [1 3 7];
-->p = [3; 4; 3];
-->t = d - p
!--error 9 inconsistent subtraction -->A = [-4 6 3; 0 1 2]
A =
- 4. 6. 3.
0. 1. 2.
-->Z = [7 -2; 3 8]
Z =
7. - 2.
3. 8.
-->A + Z
!--error 8 inconsistent addition
Pada contoh ini, kesalahan pertama terjadi karena meskipun vektor d dan p jumlah elemennya sama namun kedua vektor tersebut berbeda dimensinya, selanjutnya kesalahan kedua terjadi karena matrik A dan Z mempunyai jumlah kolom yang berbeda.
Operasi penjumlahan dan pengurangan juga dapat dilakukan antara suatu matrik atau vektor dengan skalar. Sintaks untuk operasi ini adalah sebagai berikut:
Y = X + k Y = X - k
dimana X adalah suatu matrik atau vektor dan k adalah suatu skalar. Pada kasus ini, skalar akan dioperasikan terhadap semua elemen-elemen vektor atau matrik.
Contoh operasi penjumlahan dan pengurangan antara matrik dan vektor dengan skalar adalah sebagai berikut:
-->T_Celcius = 0:20:100 T_Celcius =
0. 20. 40. 60. 80. 100.
-->T_Kelvin = 273.15 + T_Celcius T_Kelvin =
273.15 293.15 313.15 333.15 353.15 373.15 -->P = [2001:2005; 2006:2010]
P =
2001. 2002. 2003. 2004. 2005.
2006. 2007. 2008. 2009. 2010.
-->Q = P - 2000 Q =
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
Contoh 1. Sebuah pesawat terbang dengan arah N30oE dan kecepatan 400 km/jam.
Apabila angin bertiup dari arah utara dengan kecepatan 110 km/jam, tentukan kecepatan relatif pesawat terhadap tanah? (Lihat Gambar 5.1)
Penyelesaian. Misalkan vpa adalah vektor kecepatan pesawat dan vag adalah vektor kecepatan angin. Dengan menggunakan data-data yang diberikan maka kedua vektor kecepatan tersebut dapat kita nyatakan sebagai berikut:
-->vpa = [400*cosd(60) 400*sind(60)];
-->vag = [0 -110];
Kecepatan relatif pesawat terhadap tanah (vpg) dapat dihitung sebagai berikut:
-->vpg = vpa + vag vpg =
200. 236.41016
Gambar 5.1
Kemudian, laju pesawat (v) serta arah kecepatannya () dapat dihitung sebagai berikut:
-->v = sqrt(vpg(1)^2 + vpg(2)^2) v =
309.66072
-->theta = atand(vpg(2),vpg(1)) theta =
49.769202
Diperoleh bahwa pesawat melaju dengan kecepatan 309.7 km/jam dengan arah N40oE.
Perkalian dan Pembagian antara Matrik atau Vektor dengan Skalar
Terhadap sembarang matrik atau vektor dapat dilakukan suatu operasi perkalian atau pembagian dengan suatu skalar. Sintaks untuk kedua operasi tersebut yaitu:
Y = k*X Y = X/k
Pada kedua operasi ini, skalar akan dioperasikan terhadap semua elemen vektor atau matrik.
Berikut ini contoh-contoh operasi perkalian dan pembagian antara matrik atau vektor dengan skalar
-->panjang_cm = 0:25:100 panjang_cm =
0. 25. 50. 75. 100.
-->panjang_inch = panjang_cm/2.54 panjang_inch =
0. 9.8425197 19.685039 29.527559 39.370079 -->Temperature = 0:20:100
Temperature =
0. 20. 40. 60. 80. 100.
-->Tahanan = 0.288*Temperature + 28.123 Tahanan =
28.123 33.883 39.643 45.403 51.163 56.923 -->E = 210e6; A = 0.003; L = 1.5;
-->k = E*A/L*[1 -1; -1 1]
k =
420000. - 420000.
- 420000. 420000.
Contoh 2. Sebuah gaya F sebesar 100 N diaplikasikan pada titik O (Lihat Gambar 5.2).
Tentukan komponen-komponen gaya F yang bekerja pada sumbu x, y dan z?
Penyelesaian. Dengan mengacu pada Gambar 5.2, komponen gaya F yang bekerja pada sumbu x, y dan z dapat dihitung dengan statemen sebagai berikut:
-->F = 100*[3 4 5]/sqrt(3^2 + 4^2 + 5^2) F =
42.426407 56.568542 70.710678
Gambar 5.2
Jadi komponen-komponen gaya F pada sumbu x, y dan z masing-masing yaitu 42.4 N, 56.6 N dan 70.7 N.
Contoh 3. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 30 m/detik pada arah E 60o N kemudian mobil tersebut berbelok secara tiba-tiba ke arah timur pada kecepatan 25 m/detik dalam waktu 2.5 detik. Tentukan percepatan dari mobil tersebut?
Penyelesaian. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor kecepatan mobil sebelum dan sesudah berbelok maka kedua vektor kecepatan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
-->v1 = [30*cosd(60) 30*sind(60)]
v1 =
15. 25.980762
-->v2 = [25 0];
Maka kecepatan relatif (dv) antara v2 dengan v1.
-->dv = v2 -v1 dv =
10. - 25.980762
Besarnya percepatan (a) mobil dapat diperoleh dengan membagi besarnya kecepatan relatif mobil dengan waktu (t) selama berbelok.
-->t = 2.5;
-->sqrt(dv(1)^2 + dv(2)^2)/t ans =
11.135529
Jadi percepatan mobil selama berbelok adalah 11 m/detik2.
Perkalian Matrik
Terdapat dua macam operasi dalam operasi perkalian matrik, yaitu:
Operasi perkalian matrik yang mengikuti kaidah aljabar linier.
Operasi perkalian matrik secara elemen-dengan-elemen.
Pada operasi perkalian matrik, pengertian matrik dipergunakan dalam arti yang luas termasuk untuk vektor.
Perkalian Matrik yang Mengikuti Aturan Aljabar Linier
Dalam komputasi aljabar linier, operasi perkalian matrik hanya dapat dilakukan terhadap matrik-matrik yang mempunyai dimensi cocok. Simbol bintang (*) adalah operator perkalian matrik. Berikut ini adalah sintaks untuk operasi perkalian matrik
Z = X*Y
Operasi perkalian matrik ini hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom dari matrik X sama dengan jumlah baris dari matrik Y.
Berikut ini contoh-contoh operasi perkalian matrik yang mengikuti aturan aljabar linier.
-->p = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
p =
8. 1. 6.
3. 5. 7.
4. 9. 2
-->q = [0; 1; 0]
q =
0.
1.
0.
-->p*q ans =
1.
5.
9.
-->A = [4 3; 7 2; 9 0]
A =
4. 3.
7. 2.
9. 0.
-->B = [2 5; 1 6]
B =
2. 5.
1. 6.
-->C = A*B C =
11. 38.
16. 47.
18. 45.
Pada operasi perkalian terhadap matrik-matrik yang dimensinya tidak cocok maka akan muncul suatu pesan kesalahan seperti yang diperlihatkan pada contoh di bawah ini.
-->D = B*A
!--error 10
Inconsistent multiplication.
Contoh 4. Misalkan A adalah sebuah vektor yang mempunyai komponen (2,5). Apabila terhadap vektor A dilakukan rotasi sebesar 30o berlawanan arah dengan jarum jam, tentukan komponen vektor A setelah dirotasi?
Penyelesaian. Jika (x, y) adalah komponen vektor A sebelum dirotasi dan (xrot, yrot) adalah komponen vektor A setelah dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam yang dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut
*
+ * + * +
Dengan menggunakan formula di atas, komponen vektor A setelah dirotasi sebesar 30o berlawanan arah dengan jarum jam dapat dihitung sebagai berikut:
-->R = [cosd(30) -sind(30); sind(30) cosd(30)] // matrik rotasi R =
0.8660254 - 0.5 0.5 0.8660254
-->A = [2; 5]; // Komponen vektor A sebelum dirotasi
-->Arot = R*A // Komponen vektor A setelah dirotasi xrot =
- 0.7679492 5.330127
Jadi komponen vektor A setelah dirotasi adalah (-0.768, 5.330).
Contoh 5. Perusahaan SuperKomp memproduksi dua model komputer yaitu A dan PC-B. Ongkos produksi (dalam satuan Rupiah) dan jumlah unit yang diproduksi pada setiap kuartal untuk tahun 2010 adalah sebagai berikut:
Hitung jumlah total dari masing-masing komponen ongkos produksi pada setiap kuartal?
Penyelesaian. Anggap Ongkos adalah variabel yang menyatakan komponen ongkos untuk komputer model PC-A dan PC-B dan Produksi adalah variabel jumlah produksi pada setiap kuartal. Berikut ini adalah statemen-statemen Scilab untuk menyatakan ongkos produksi dan jumlah produksi.
-->Ongkos = 100000*[12 16; 3 4; 5 6]
Ongkos =
1200000. 1600000.
300000. 400000.
500000. 600000.
-->Produksi = 1000*[3 8 6 9; 6 2 4 3]
Produksi =
3000. 8000. 6000. 9000.
6000. 2000. 4000. 3000.
Kemudian total komponen ongkos produksi untuk setiap kuartal dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
-->Total_Ongkos_perkuartal = Ongkos*Produksi Total_Ongkos_perkuartal =
10^9 *
13.2 12.8 13.6 15.6 3.3 3.2 3.4 3.9 5.1 5.2 5.4 6.3
Jadi total komponen ongkos produksi pada setiap kuartal pada tahun 2010 adalah sebagai berikut:
Perkalian Matrik Secara Elemen-dengan-Elemen
Operator untuk operasi perkalian matrik secara elemen-dengan-elemen adalah simbol titik-bintang (.*). Sintaks operasi ini adalah sebagai berikut
Z = X.*Y
Operasi perkalian matrik secara elemen-dengan-elemen hanya dapat dilakukan terhadap matrik-matrik yang mempunyai dimensi sama. Karena terdapat simbol titik di dalam operatornya maka operasi ini kadang juga dinamakan operasi perkalian-titik.
Berikut ini contoh-contoh operasi perkalian matrik secara elemen dengan elemen.
-->n = 1:6 n =
1. 2. 3. 4. 5. 6.
-->nn = n.*n nn =
1. 4. 9. 16. 25. 36.
-->X = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
X =
8. 1. 6.
3. 5. 7.
4. 9. 2.
-->I = eye(3,3) I =
1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
-->D = X.*I D =
8. 0. 0.
0. 5. 0.
0. 0. 2.
Jika operasi perkalian elemen-dengan-elemen dilakukan terhadap matrik-matrik yang dimensinya berbeda maka akan muncul sebuah pesan kesalahan seperti pada contoh di bawah ini:
-->A = [4 3; 7 2; 9 0]
A =
4. 3.
7. 2.
9. 0.
-->B = [2 5; 1 6]
B =
2. 5.
1. 6.
-->C = A.*B
!--error 9999
inconsistent element-wise operation
Contoh 6. Sebuah balok digunakan untuk menahan tumpukan karung pasir, seperti yang terlihat pada Gambar 5.3. Tentukan resultan gaya yang dihasilkan oleh tumpukan karung pasir tersebut dan lokasinya dari titik A? Diketahui: a = 3 m, b = 3 m, c = 1.5; w1 = 1.5 kN/M, w2 = 1 kN/M; w3 = 2.5 kN/m.
Gambar 5.3
Penyelesaian. Panjang setiap segmen dan intensitas beban yang bekerja pada setiap segmen adalah sebagai berikut:
-->a = 3; b = 3; c = 1.5; // panjang segmen [m]
-->l = [a, b, c];
-->w1 = 1.5; w2 = 1; w3 = 2.5; // intensitas beban [kN/m]
-->w = [w1, w2, w3];
Gaya yang bekerja pada setiap segmen (F), letak gaya yang bekerja pada setiap segmen dari titik A (x), resultan gaya (R), resultan momen yang bekerja pada titik A (M) serta letak dari resultan gaya dari titik A (d) dapat kita hitung dengan statemen-statemen sebagai berikut:
-->F = w.*l // gaya yang bekerja pada setiap segmen [kN]
F =
4.5 3. 3.75
-->x = [a/2, a+b/2, a+b+c/2] // letak setiap gaya [m]
x =
1.5 4.5 6.75
-->R = sum(F) // resultan gaya [kN]
R = 11.25
-->M = sum(F.*x) // resultan momen pada titik A [kN.m]
M =
45.5625
-->d = M/R // letak resultan gaya [m]
d =
4.05
Diperoleh bahwa resultan gaya adalah sebesar 11.25 kN terletak 4.05 m dari titik A.
Catatan: Fungsi sum adalah fungsi untuk menjumlahkan elemen-elemen suatau matrik atau vektor. Penjelasan mengenai fungsi sum akan dijelaskan pada subbab akhir dari bab ini.
Pembagian Matrik
Terdapat dua macam operasi dalam operasi pembagian matrik, yaitu:
Operasi pembagian matrik yang melambangkan penyelesaian sebuah sistem persamaan linier. Untuk operasi ini terdapat dua macam operator yaitu operator pembagian kiri dan operator pembagian kanan.
Operasi pembagian matrik secara elemen-dengan-elemen.
Seperti pada operasi perkalian matrik, pengertian matrik pada operasi pembagian matrik juga dipergunakan dalam arti yang luas termasuk untuk vektor.
Pembagian Kiri
Operator pembagian kiri (\) digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier , dimana A dan b masing-masing adalah koefisien sistem persamaan linier serta x adalah variabel yang takdiketahui.
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
xn
x x
x
2 1
bm
b b
b
2 1
Nilai dari variabel-variabel yang tak diketahui (x) dari sistem persamaan linier dapat dihitung dengan operator pembagian kiri dengan sintaks sebagai berikut:
x = A\b
Penjelasan yang lebih terperinci mengenai operator pembagian kiri akan diberikan pada bab selanjutnya, yaitu Bab 6: Aljabar Linier.
Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan linier sebagai berikut:
[
] [ ] [ ]
Penyelesaian. Koefisien matrik A dan vektor b dapat dinyatakan dengan statemen-statemen sebagai berikut.
-->A = [1 2 1 4; 2 0 4 3; 4 2 2 1; -3 1 3 2]
A =
1. 2. 1. 4.
2. 0. 4. 3.
4. 2. 2. 1.
- 3. 1. 3. 2.
-->b = [13; 28; 20; 6]
b = 13.
28.
20.
6.
Variabel yang tak diketahui (x) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
-->x = A\b x = 3.
- 1.
4.
2.
Pembagian Kanan
Sintaks untuk operasi pembagian kanan (/) adalah sebagai berikut:
M = Z/Y
Pada statemen di atas, Y dapat berupa skalar atau matrik. Jika Y berupa skalar maka operasi pembagian tersebut adalah operasi pembagian antara matrik dengan skalar.
Namun jika Y berupa sebuah matrik maka operasi pembagian kanan adalah ekuivalen dengan penyelesaian sistem persamaan linier . Pada sistem persamaan tersebut matrik Y dan Z adalah matrik-matrik yang menyatakan koefisien dari sistem persamaan linier kemudian M adalah matrik yang menyatakan variabel-variabel yang tak diketahui.
Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan linier sebagai berikut:
[ ] * + [ ]
Penyelesaian. Misalkan matrik B dan A masing-masing adalah koefisien dari sistem persamaan di atas maka B dan A dapat kita nyatakan dengan statemen-statemen sebagai berikut:
-->B = [1 1; 0 1];
-->A = [4 5];
Selanjutnya, nilai dari variabel yang takdiketahui Y dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
-->Y = A/B Y =
4. 1.
Untuk memeriksa hasil dari perhitungan yang telah kita lakukan, kita dapat menjalankan perintah sebagai berikut:
-->Y*B ans =
4. 5.
Contoh 9. Selesaikan sistem persamaan linier sebagai berikut:
[
] [
] [ ]
Penyelesaian. Misalkan sistem persamaan linier ini dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut
T Y = Z
Dimana T adalah matrik yang menyatakan variabel-variabel yang tak diketahui, Y dan Z masing-masing adalah koefisien persamaan linier pada bagian kiri dan kanan.
Nilai dari matrik T dapat kita hitung dengan statemen-statemen sebagai berikut:
-->Y = [-1 1 0; -1 -1 1; 1 1 1]
Y =
- 1. 1. 0.
- 1. - 1. 1.
1. 1. 1.
-->Z = [0 0 2; 4 2 3; 1 1 1]
Z =
0. 0. 2.
4. 2. 3.
1. 1. 1.
-->T = Z/Y T =
0. 1. 1.
- 1. 0. 3.
0. 0. 1.
Pembagian Matrik Secara Elemen-dengan-Elemen
Operasi pembagian matrik secara elemen-dengan-elemen antara matrik A dengan matrik B dapat diselesaikan dengan salah satu statemen sebagai berikut.
X = A ./ B X = B .\ A
Operasi pembagian ini sering juga disebut sebagai operasi pembagian titik.
Berikut ini beberapa contoh pembagian matrik secara elemen-dengan-elemen.
-->A = [1 2; 3 4]
A =
1. 2.
3. 4.
-->B = [2 3; 9 7]
B =
2. 3.
9. 7.
-->A ./ B ans =
0.5 0.6666667 0.3333333 0.5714286 -->B .\ A
ans =
0.5 0.6666667 0.3333333 0.5714286
Operasi pembagian matrik secara elemen-dengan-elemen juga dapat dilakukan antara matrik dengan skalar, dimana operasi pembagiannya akan dilakukan antara skalar dengan setiap elemen matrik.
-->x = [1 2 3 4 5];
-->y = 1.0./x y =
1. 0.5 0.3333333 0.25 0.2 -->y = x.\1
y =
1. 0.5 0.3333333 0.25 0.2 -->O = ones(3,3);
-->G = [1 2 3; 2 3 4; 3 4 5]
G =
1. 2. 3.
2. 3. 4.
3. 4. 5.
-->H = O./G H =
1. 0.5 0.3333333 0.5 0.3333333 0.25 0.3333333 0.25 0.2
-->H = G.\1 // Cara lain yang lebih ringkas H =
1. 0.5 0.3333333 0.5 0.3333333 0.25 0.3333333 0.25 0.2
Contoh 10. (Diferensiasi Numerik). Tentukan nilai turunan dari fungsi f(x) = sin(x) pada x = /4 secara numerik dengan mengggunakan metode central difference?
Penyelesaian. Aproksimasi nilai turunan pertama dari suatu fungsi f(x) dengan pendekatan central difference dapat diselesaikan dengan menggunakan formula sebagai berikut:
( ) ( ) ( )
Berikut ini perhitungan f '(/4) dengan metode central difference untuk berbagai nilai h.
-->h = logspace(-1,-9,5) h =
0.1 0.001 0.00001 1.000D-07 1.000D-09
-->df = (sin(%pi/4 + h) - sin(%pi/4 - h))./(2*h) df =
0.7059289 0.7071067 0.7071068 0.7071068 0.7071068
Pemangkatan
Seperti pada operasi perkalian dan pembagian, dalam operasi pemangkatan juga terdapat dua macam operasi pemangkatan sebagai berikut:
Operasi pemangkatan yang mengikuti aturan aljabar linier
Operasi pemangkatan secara elemen per elemen
Operasi Pemangkatan yang Mengikuti Aturan Aljabar Linier
Misalkan A adalah suatu matrik bujur sangkar dan n adalah suatu skalar maka operasi matematika dapat dilakukan dengan menggunakan notasi sebagai berikut:
Y = A^n atau Y = A**n
Berikut ini adalah contoh sebuah operasi pemangkatan matrik.
-->P = [1 1 1; 1 2 3; 1 3 6]
P =
1. 1. 1.
1. 2. 3.
1. 3. 6.
-->Q = P^3 // ekuivalen Q = P*P*P Q =
19. 45. 81.
45. 109. 198.
81. 198. 361.
Apabila suatu operasi pemangkatan matrik dilakukan terhadap sebuah matrik yang bukan matrik bujur sangkar maka akan muncul sebuah pesan kesalahan, seperti pada contoh di bawah ini.
-->R = [1 2 3; 9 0 5]
R =
1. 2. 3.
9. 0. 5.
-->R^2
!--error 20
Wrong type for first argument: Square matrix expected.
Contoh 11. Pada tahun 2000, persentase alokasi penggunaan lahan pada sebuah kota yaitu 25% untuk komersial, 20% untuk industrial dan 55% untuk residensial. Tentukan persentase alokasi penggunaan lahan pada tahun 2005, 2010 dan 2015? Anggap probabilitas perubahan alokasi lahan pada inteval 5 tahun adalah seperti pada tabel di bawah ini.
Penyelesaian. Misalkan A adalah matrik yang menyatakan probabilitas perubahan alokasi lahan dalam inteval 5 tahun serta y2000 adalah vektor kolom yang menyatakan persentase penggunaan lahan pada tahun 2000. Variabel A dan y2000 dapat kita nyatakan dengan statemen sebagai berikut:
-->A = [0.7 0.1 0; 0.2 0.9 0.2; 0.1 0 0.8]
A =
0.7 0.1 0.
0.2 0.9 0.2 0.1 0. 0.8 -->y2000 = [25; 20; 55];
Jika variabel y2005, y2010 dan y2015 masing-masing menyatakan persentase alokasi penggunaan lahan pada tahun 2005, 2010 dan 2015. Nilai dari ketiga variabel tersebut masing-masing dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
Selanjutnya persentasi alokasi penggunaan lahan pada tahun 2005, 2010 dan 2015 dapat dihitung dengan statemen-statemen sebagai berikut:
-->y2005 = A*y2000 y2005 =
19.5 34.
46.5
-->y2010 = A^2*y2000 y2010 =
17.05 43.8 39.15
-->y2015 = A^3*y2000 y2015 =
16.315 50.66 33.025
Jadi diperoleh bahwa persentasi alokasi penggunaan lahan untuk tahun 2000, 2005, 2010 dan 2015 adalah seperti pada tabel di bawah ini.
Operasi Pemangkatan secara Elemen-dengan-Elemen
Berikut ini adalah notasi untuk operasi pemangkatan matrik secara elemen per elemen.
Y = A .^ B
Operasi pemangkatan ini hanya dapat dilakukan apabila A dan B memenuhi salah satu kondisi sebagai berikut:
A adalah suatu matrik atau vektor dan B adalah suatu skalar. Pada kasus ini operasi yang dilakukan adalah pemangkatan dari setiap elemen A dengan skalar B.
A adalah suatu skalar dan B adalah suatu matrik segiempat. Pada kasus ini operasi yang dilakukan adalah pemangkatan skalar A dengan setiap elemen matrik B. Untuk kasus ini, tanda titik di depan simbol ^ tidak perlu digunakan sehingga operasi pemangkatannya juga dapat dinyatakan dengan notasi A^B.
A dan B adalah matrik-matrik yang mempunyai dimensi sama. Pada kasus ini operasi yang dilakukan adalah pemangkatan dari setiap elemen A dengan setiap elemen B yang sesuai.
Berikut ini beberapa contoh operasi pemangkatan secara elemen-dengan-elemen.
-->Z = [1 2; 3 4]
Z =
1. 2.
3. 4.
-->Z.^2 // Cara lain yang ekuivalen Z.*Z ans =
1. 4.
9. 16.
-->n = 1:4 n =
1. 2. 3. 4.
-->10^n ans =
10. 100. 1000. 10000.
-->x = [1 2; 4 8]
x =
1. 2.
4. 8.
-->y = [2 0.5; 0.5 2]
y =
2. 0.5 0.5 2.
-->x.^y ans =
1. 1.4142136 2. 64.
Contoh 12. (Aproksimasi nilai e). Berikut ini adalah definisi dari konstanta matematika e.
( )
Tentukan aproksimasi nilai e untuk nilai n sama dengan 1, 102, 104, 106 dan 108?
Penyelesaian. Berikut ini adalah statemen-statemen untuk menentuka nilai aproksimasi konstanta matematika e.
-->n = logspace(0,8,5) n =
1. 100. 10000. 1000000. 1.000D+08
-->e = (1.0 + 1.0./n).^n // Aproksimasi nilai e e =
2. 2.7048138 2.7181459 2.7182805 2.7182818 -->%e // Konstanta e yang telah tersimpan di dalam Scilab
%e =
2.7182818
Terlihat bahwa nilai n = 108 telah menghasilkan nilai aprokasimasi e yang cukup akurat sampai 8 desimal.
Contoh 13. (Peluruhan radioaktif). Sebuah bahan radioaktif mempunyai waktu paruh 150 hari. Apabila hari ini massa radioaktif tersebut adalah 10 gram, berapakah jumlah massa radioaktif yang tertinggal pada awal minggu untuk lima minggu awal dan lima minggu terakhir untuk satu tahun mendatang?
Penyelesaian. Peluruhan suatu bahan radioaktif dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
( )
dimana m adalah massa radioaktif yang tertinggal, mo adalah massa awal bahan radioaktif, t adalah waktu peluruhan, dan h adalah waktu paruh.
Berdasarkan formula tersebut maka jumlah massa bahan radioaktif yang tersisa pada setiap akhir minggunya dapat kita hitung dengan perintah-perintah sebagai berikut:
-->massa_awal = 10; // gram -->waktu_paruh = 150; // hari -->waktu = 1:7:364;
-->massa_tersisa = massa_awal*(1/2)^(waktu/waktu_paruh);
Massa radioaktif yang tersisa selama periode lima minggu pertama dan lima minggu terakhir adalah sebagai berikut:
-->// massa radioaktif yg tersisa pada minggu 1-5 -->massa_tersisa(1:5)
ans =
9.9538968 9.6370712 9.3303299 9.033352 8.7458267
-->// massa radioaktif yang tersisa pada minggu 48-52 -->massa_tersisa($-4:$)
ans =
2.1763764 2.1071039 2.0400362 1.9751033 1.9122371
Matrik atau Vektor sebagai Argumen dari Suatu Fungsi Matematika
Hampir sebagian besar fungsi-fungsi matematika yang telah terpasang di dalam Scilab dapat menerima argumen yang berupa suatu vektor atau matrik, seperti yang diperlihatkan pada contoh-contoh di bawah ini.
-->x = 0:%pi/4:%pi x =
0. 0.7853982 1.5707963 2.3561945 3.1415927 -->y = cos(x)
y =
1. 0.7071068 6.123D-17 - 0.7071068 - 1.
-->p = logspace(0,4,5) p =
1. 10. 100. 1000. 10000.
-->q = log10(p) q =
0. 1. 2. 3. 4.
-->A = [1:4; 5:8; 9:12]
A =
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
-->B = exp(A) B =
2.7182818 7.3890561 20.085537 54.59815 148.41316 403.42879 1096.6332 2980.958 8103.0839 22026.466 59874.142 162754.79
Dari contoh-contoh perhitungan di atas, terlihat bahwa jika argumen input dari suatu fungsi berupa suatu vektor atau matrik maka output yang dihasilkan oleh fungsi tersebut juga merupakan suatu vektor atau matrik dengan ukuran yang sama.
Contoh 14. (Distribusi Poisson). Distribusi Poisson didefinisikan sebagai berikut : ( ) , ,
Diberikan = 2, hitung distribusi Poisson untuk nilai x = 0,1,2,3,4,5 ?
Penyelesaian. Dengan menggunakan rumus di atas, nilai distribusi Poisson (fpoisson) untuk nilai x = 0,1,2,3,4,5 dengan = 2 dapat kita hitung dengan statemen-statemen sebagai berikut :
-->mu = 2;
-->x = 0:5;
-->fpoisson = mu^x./factorial(x).*exp(-mu) fpoisson =
0.13534 0.27067 0.27067 0.18045 0.09022 0.03609
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai maksimum atau minimum dari elemen-elemen yang terdapat pada suatu matrik atau vektor dapat kita cari dengan menggunakan fungsi max dan min. Notasi dan deskripsi untuk kedua fungsi tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Tabel 5.1 Fungsi Nilai Maksimum dan Minimum
Fungsi Deskripsi
max(x) Nilai maksimum dari semua elemen matrik atau vektor
max(x,"r") Nilai maksimum dari elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
max(x,"c") Nilai maksimum dari elemen-elemen pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
min(x) Nilai minimum dari semua elemen
min(x,"r") Nilai minimum dari elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
min(x,"c") Nilai minimum dari elemen-elemen pada pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
Penggunaan dari fungsi max dan min dapat dilihat pada contoh-contoh di bawah ini:
-->volume = [0.97, 1, 0.94, 1.03, 1.11, 1.06, 1.01];
-->min(volume) ans =
0.94
-->M3 = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
M3 =
8. 1. 6.
3. 5. 7.
4. 9. 2.
-->max(M3) ans =
9.
-->max(M3,'r') ans =
8. 9. 7.
Fungsi-Fungsi Penjumlahan dan Perkalian
Fungsi sum dan prod dapat kita gunakan untuk melakukan operasi penjumlahan dan perkalian terhadap elemen-elemen suatu vektor atau matrik. Notasi dan deskripsi untuk kedua fungsi tersebut dapat dilihat pada Tabel 5.2.
Tabel 5.2 Fungsi-Fungsi Penjumlahan dan Perkalian
Fungsi Deskripsi
sum(x) Jumlah dari semua elemen
sum(x,"r") Jumlah dari elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
sum(x,"c") Jumlah dari elemen-elemen pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
prod(x) Perkalian terhadap semua elemen
prod(x,"r") Perkalian terhadap elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
prod(x,"c") Perkalian terhadap elemen-elemen pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
Contoh penggunaan fungsi sum adalah sebagai berikut:
-->volume volume =
0.97 1. 0.94 1.03 1.11 1.06 1.01 -->sum(volume)
ans =
7.12
-->M3 M3 =
8. 1. 6.
3. 5. 7.
4. 9. 2.
-->sum(M3,'r') ans =
15. 15. 15.
Ilustrasi penggunaan fungsi prod adalah sebagai berikut:
-->i = 1:5;
-->prod(i) ans = 120.
-->X = [1:3; 4:6; 7:9]
X =
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
-->prod(X,'r') ans =
28. 80. 162.
Scilab juga menyediakan fungsi untuk melakukan operasi penjumlahan dan perkalian secara kumulatif pada suatu matrik atau vektor. Fungsi-fungsi tersebut dan deskripsinya diberikan pada Tabel 5.3.
Berikut ini adalah contoh-contoh penggunaan fungsi cumsum: -->i = 1:5;
-->cumsum(i) ans =
1. 3. 6. 10. 15.
Tabel 5.3 Fungsi-Fungsi Penjumlahan dan Perkalian
Fungsi Deskripsi
cumsum(x) Jumlah kumulatif dari semua elemen
cumsum(x,"r") Jumlah kumulatif dari elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
cumsum(x,"c") Jumlah kumulatif dari elemen-elemen pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
cumprod(x) Perkalian kumulatif terhadap semua elemen
cumprod(x,"r") Perkalian kumulatif terhadap elemen-elemen pada semua baris untuk setiap vektor kolom yang menyusun matrik
cumprod(x,"r") Perkalian kumulatif terhadap elemen-elemen pada semua kolom untuk setiap vektor baris yang menyusun matrik
-->mat = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
mat =
8. 1. 6.
3. 5. 7.
4. 9. 2.
-->cumsum(mat) ans =
8. 16. 36.
11. 21. 43.
15. 30. 45.
Contoh-contoh penggunaan fungsi cumprod adalah sebagai berikut:
-->i = 1:5;
-->cumprod(i) ans =
1. 2. 6. 24. 120.
-->A = [1 2 3; 4 5 6]
A =
1. 2. 3.
4. 5. 6.
-->cumprod(A) ans =
1. 8. 120.
4. 40. 720.
Contoh 15. Dengan menggunakan metode integrasi trapezoidal tentukan nilai integral dari fungsi f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 pada selang [0, 0.8]?
Penyelesaian. Misalkan a dan b adalah batas bawah dan batas atas integral, maka nilai integral dari fungsi f(x) pada selang tersebut dengan menggunakan metode integrasi trapezoidal dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
( ) [ ( ) ∑ ( ) ( )]
dimana n adalah jumlah segmen.
Statemen-statemen Scilab untuk menghitung nilai integral I adalah sebagai berikut:
-->function y = fx(x)
--> y = 0.2 + 25*x - 200*x^2 + 675*x^3 - 900*x^4 + 400*x^5 -->endfunction
-->a = 0; b = 0.8; // batas bawah dan batas atas
-->n = 1000; // jumlah segmen
-->n1 = n+1;
-->x = linspace(a,b,n1);
-->yxi = fx(x);
-->I = (b - a)/(2*n)*(yxi(1) + yxi(n1) + 2*sum(yxi(2:n))) I =
1.6405308
Jadi nilai aproksimasi untuk integral I adalah 1.6405.
Contoh 16. (Aproksimasi konstanta e). Representasi nilai dari konstanta e dalam dalam bentuk deret takhingga adalah sebagai berikut:
∑
Dengan menggunakan deret di atas, hitung pendekatan nilai e?
Penyelesaian. Berikut ini adalah statemen-statemen untuk menghitung nilai aproksimasi dari konstanta e, dengan menggunakan 10 suku awal dari deret di atas.
-->k = 0:10;
-->fk = factorial(k);
-->i = 1.0./fk;
->e = cumsum(i) e =
column 1 to 7
1. 2. 2.5 2.6666667 2.7083333 2.7166667 2.7180556
column 8 to 11
2.718254 2.7182788 2.7182815 2.7182818
-->%e // Nilai konstanta e yang tersimpan di dalam Scilab ans =
2.7182818
Terlihat bahwa aproksimasi yang cukup akurat untuk nilai e dapat diperoleh dengan menggunakan 10 suku awal dari deret di atas.