BAB II LANDASAN TEORI
2. Matematika
a. Pengertian Matematika
Istilah matematika berasal dari bahasa Yunani “mathein” atau “manthenein” artinya “mempelajari”, namun diduga kata itu ada hubungannya dengan kata Sansekerta “medha” atau “widya” yang artinya “kepandaian”, “ketahuan”, atau “intelegensi” (Andi Hakim
33
Menurut Johnson dan Rising (1978) dalam Ruseffendi (1988:2) menyatakan bahwa matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya (Karso, dkk, 2009: 1.39-1.40).
Kamus Besar Bahasa Indonesia (Kustinah, 2010 : 16., dalam Vandini, 2015: 215) matematika adalah ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antar bilangan-bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. Sementara Manfaat (2010: 11) dalam Vandini (2015: 215) mempunyai pendapat bahwa matematika pada hakikatnya adalah suatu disiplin ilmu yang muncul dari sebuah proses peradaban manusia yang sangat panjang di bumi ini. Manfaat menambahkan matematika adalah pengetahuan yang disusun secara konsisten berdasarkan logika deduktif. Dari pendapat Manfaat dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan suatu
34
disiplin ilmu pengetahuan yang disusun secara konsisten dan diaplikasikan secara logis dan terarah.
Menurut Karso, dkk. (2013: 1.40) matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan dengan penelaahan bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan diantara hal-hal itu.
Russel dalam Uno dan Umar (2009: 108) mendefinisikan bahwa matematika sebagai suatu studi yang dimulai dari pengkajian bagian-bagian yang sangat dikenal menuju arah yang tidak dikenal.
Menurut Soedjadi (1999/ 2000: 11) matematika didefinisikan sebagai berikut:
1) Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara sistematik.
2) Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi. 3) Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logis dan
berhubungan dengan bilangan.
4) Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
5) Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat. Dari beberapa pendapat di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa matematika adalah suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan dibangun melalui penalaran deduktif.
35
b. Karakteristik Matematika
Matematika memiliki ciri-ciri khusus atau karakteristik sebagai berikut (Soedjadi, 1999/2000: 13):
1) Memiliki objek kajian abstrak
Objek abstrak meliputi fakta, konsep, operasi, dan prinsip abstrak. a) Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap
dengan simbol tertentu. Misalnya simbol bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”.
b) Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah
bukan. Misalnya “segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak.
Dengan konsep itu sekumpulan objek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga atau bukan.
c) Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain. Misalnya
“penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak.
d) Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip juga dapat dikatakan sebagai hubungan antar berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat”, dan lain sebagainya.
36 2) Bertumpu pada kesepakatan.
Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang paling mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian.
3) Memiliki simbol yang kosong dari arti
Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, dan sebagainya. Huruf-huruf yang dipergunakan dalam model persamaan, misalnya x+y=z belum tentu bermakna bilangan, demikian dengan tanda + belum tentu operasi tambah untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda dalam model x+y=z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan memanfaatkan model itu. 4) Memperlihatkan semesta pembicaraan
Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika, menunjukkan dengan jelas bahwa dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam
37
lingkup apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraannya bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraannya transformasi, maka simbol-simbol itu diartikan transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut dengan semesta pembicaraan. Benar atau salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya.
5) Konsisten dalam sistemnya
Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem-sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem-sistem geometri tersebut dipandang terlepas satu sama lain, tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama lain.
c. Tujuan Pembelajaran Matematika di SD/ MI
Tujuan pembelajaran matematika di sekolah dasar, sebagaimana yang disajikan oleh Depdiknas dalam Susanto (2013: 190):
1) Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma.
38
2) Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
3) Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan solusi yang diperoleh.
4) Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk menjelaskan keadaan atau masalah.
5) Memiliki sikap menghargai penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
d. Ruang Lingkup Matematika untuk SD/ MI
Ruang lingkup matematika untuk SD/MI adalah sebagai berikut (Depdiknas, 2003: 9):
1) Bilangan, meliputi:
a) Menggunakan bilangan dalam pemecahan masalah.
b) Menggunakan operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah.
c) Menggunakan konsep bilangan cacah dan pecahan dalam pemecahan masalah.
d) Menentukan sifat-sifat operasi hitung, faktor, kelipatan bilangan bulat dan pecahan serta menggunakan dalam pemecahan masalah.
39
e) Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.
2) Pengukuran dan geometri
a) Melakukan pengukuran, mengenal bangun datar dan bangun ruang, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah sehari-hari.
b) Melakukan pengukuran, menentukan unsur bangun datar dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
c) Melakukan pengukuran keliling dan luas bangun datar dan menggunakanya dalam pemecahan masalah.
d) Melakukan pengukuran, menentukan sifat dan unsur bangun ruang, menentukan kesimetrian bangun datar serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.
e) Pengelolaan data meliputi: mengumpulkan, menyajikan, dan menafsirkan data.
e. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Mata Pelajaran
Matematika Kelas IV SD/ MI struktur kurikulum 2013: Tabel 2.1 Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
Kompetensi Inti Kompetensi Dasar
1. Menerima,
menjalankan, dan menghargai ajaran agama yang dianutnya
1.1 Menerima, menjalankan, dan menghargai ajaran agama yang dianutnya
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, santun,
2.1 Menunjukkan sikap kritis, cermat dan teliti, jujur, tertib dan mengikuti aturan, peduli, disiplin waktu, tidak mudah menyerah serta
40 peduli, dan percaya diri dalam berinteraksi
dengan keluarga, teman, guru, dan tetangganya
bertanggungjawab dalam mengerjakan tugas.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu dan ketertarikan pada matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 2.3 Memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar.
2.4 Memiliki sikap terbuka, objektif, menghargai pendapat dan karya teman dalam diskusi kelompok maupun aktivitas sehari-hari. 3. Memahami pengetahuan faktual dengan cara mengamati dan menanya berdasarkan rasa ingin tahu tentang dirinya, makhluk ciptaan Tuhan dan kegiatannya, dan benda-benda yang dijumpainya di rumah, di sekolah dan tempat bermain
3.1 Mengenal konsep pecahan senilai dan melakukan operasi hitung pecahan menggunakan benda kongkrit/ gambar.
3.2 Menerapkan penaksiran dalam melakukan penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian untuk memperkirakan hasil perhitungan. 3.3 Memahami aturan pembulatan dalam
membaca hasil pengukuran dengan alat ukur.
3.4 Memahami faktor dan kelipatan bilangan serta bilangan prima.
3.5 Menentukan kelipatan persekutuan dua buah bilangan dan menentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). 3.6 Menentukan faktor persekutuan dua
buah bilangan dan faktor persekutuan terbesar (FPB).
3.7 Menentukanhasil operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal 3.8 Memahami pola penjumlahan dan
pengurangan bilangan bulat dengan menggunakan hal-hal yang konkrit dan garis bilangan
3.9 Memahami konsep bilangan negatif menggunakan hal-hal yang konkrit dan garis bilangan.
3.10Menyederhanakan kesamaan dua ekspresi menggunakanpenjumlahan, pengurangan, atau perkalian pada kedua ruas sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana.
41
beraturan maupun tak beraturan yang membentuk pola pengubinan melalui pengamatan.
3.12Mengenal sudut siku-siku melalui pengamatan dan membandingkannya dengan sudut yang berbeda.
3.13Memahami luas segitiga, persegi panjang, dan persegi.
3.14Menentukan hubungan antara satuan dan atribut pengukuran termasuk luas dan keliling persegi panjang.
3.15Mengenal sifat dari garis parallel. 3.16Menentukan nilai terkecil dan terbesar
dari hasil pengukuran panjang atau berat berdasarkan pembulatan yang disajikan dalam bentuk tabel sederhana
4. Menyajikan pengetahuan faktual dalam bahasa yang jelas, sistematis dan logis, dalam karya yang estetis, dalam gerakan yang mencerminkan anak sehat, dan dalam tindakan yang mencerminkan perilaku anak beriman dan berakhlak mulia
4.1 Mengemukakan kembali dengan kalimat sendiri, membuat model matematika dan memilih strategi yang efektif dalam memecahkan masalah nyata sehari-hari yang berkaitan dengan KPK dan FPB, satuan kuantitas, desimal dan persen, serta memeriksa kebenarannya
4.2 Menyatakan pecahan ke bentuk desimal dan persen
4.3 Mengurai sebuah pecahan menjadi sebagai hasil penjumlahan atau pengurangan dua buah pecahan lainnya dengan berbagi kemungkinan jawaban
4.4 Melakukan pengubinan menggunakan segi banyak beraturan tertentu
4.5 Mengurai dan menyusun kembali jaring-jaring bangun ruang sederhana 4.6 Membentuk jaring-jaring bangun
ruang yang berbeda dengan jaring bangun ruang yang sudah ada
4.7 Membuat benda-benda berdasarkan jarring-jaring bangun ruang yang ditemukan dengan memanfaatkan barang-barang bekas yang ada di sekitar rumah sekolah atau tempat bermain
42
tempat/benda tanpa menggunakan skala dengan memperhatikan arah mata angin
4.9 Mengembangkan, dan membuat berbagai pola numerik dan geometris 4.10Membuat prediksi yang berhubungan
dengan pola dan menelusuri pola yang berulang dengan menggunakan pencerminan dan rotasi
4.114.11 Mengurai dan menyusun kembali jaring-jaring bangun ruang sederhana 4.12Mengidentifikasi dan
mendeskripsikan lokasi objek menggunakan peta grid dan melalui percerminan
4.13Merepresentasikan sudut lancip dan sudut tumpul dalam bangun datar 4.14Membandingkan jumlah sudut suatu
segitiga dengan jumlah sudut suatu segi empat
4.15Mengumpulkan dan menata data diskrit dan menampilkan data menggunakan bagan dan grafik termasuk grafik batang ganda, diagram garis, dan diagram lingkaran 4.16Menyajikan hasil pengukuran panjang
atau berat berdasarkan pembulatan yang disajikan dalam bentuk tabel sederhana
4.17Menyatakan kesimpulan berdasarkan data tabel atau grafik.
Sumber: (Peraturan Menteri Pendidikan Dan Kebudayaan Nomor 67, 2013 : 89)
f. Materi Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan
Bulat.
Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
(Sumber: Buku Terampil Berhitung Matematika untuk SD/ MI Kelas IV Kurikulum 2013).
43
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilanagan nol, dan bilangan positif.
0
Bilangan bulat di sebelah kanan 0 (nol) adalah bilangan bulat positif. Bilangan bulat di sebelah kiri 0 (nol) adalah bilangan bulat negatif.