KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR, DAN HIPOTESIS PENELITIAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
F. Materi Ajar
Pertemuan Pertama
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Contoh himpunan:
a. Kumpulan hewan pemakan daging.
b. Siswa SMP yang mengikuti latihan menari. Contoh bukan himpunan:
a. Kumpulan warna yang menawan. b. Kelompok siswa yang berbadan tinggi. c. Kumpulan lukisan indah.
2. Anggota Himpunan
Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan .
Contoh:
Kumpulan hewan pemakan daging, maka anggotanya adalah elang, harimau, singa, kucing, anjing, dll sedangkan kambing misalnya, bukan
anggota dari himpunan tersebut, karena kambing bukanlah pemakan daging melainkan pemakan rumput.
3. Notasi Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital (A, B, C, D,....). Jika objek dan anggota himpunan berupa huruf, maka objek ditulis dengan huruf non-kapital (huruf kecil). Kemudian anggota himpunan diletakkan dalam kurung kurawal {...}, anggota yang sama cukup ditulis sekali, dan setiap anggota dipisahkan dengan koma.
Contoh:
A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10
Anggota himpunan bilangan genap yang kurang dari 10 adalah 2, 4, 6, dan 8, maka notasi himpunannya adalah A = {2, 4, 6, 8}
4. Menyatakan Notasi Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu: a. Dengan Kata-kata
Contoh: A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10 A = { bilangan genap kurang dari 10}
b. Dengan Cara Mendaftar
Contoh: A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10
Anggota dari himpunan A adalah 2, 4, 6, 8. Mengapa 10 tidak masuk menjadi anggota, karena himpunan yang diminta adalah kurang dari 10. Sehingga dengan cara mendaftar dapat dituliskan sebagai berikut: A = {2, 4, 6, 8}
c. Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
Contoh: A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10 A = {x| x < 10, x himpunan bilangan genap}
5. Menentukan banyaknya anggota himpunan
Menentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti kita mencacah (menghitung) setiap anggota yang berada dalam himpunan tersebut.
Contoh:
Pertemuan Kedua
1. Himpunan Berhingga dan tak berhingga
Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.
Contoh:
A adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 10, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9}
n (A) = 5
himpunan A disebut himpunan berhingga karena banyaknya anggota himpunan dapat dengan mudah kita hitung jumlahnya.
Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
Contoh:
B adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi 2 B = {2, 4, 6, 8, 10,...}
n (B) = tak berhingga
Karena selain anggota yang disebutkan di atas, masih banyak bilangan asli yang habis dibagi 2, sehingga kita tidak dapat dengan mudah .
2. Definisi Himpunan Kosong dan Himpunan Nol
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau .
Contoh:
P adalah himpunan burung berkaki tiga, maka anggota P tidak ada atau kosong (tidak mempunyai anggota), karena kaki burung berjumlah 2 bukan tiga.
Himpunan nol berbeda dengan himpunan kosong, perhatikan contoh berikut:
R adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 1. Bilangan cacah adalah bilangan yang anggotanya dimulai dari 0, maka anggota himpunan R adalah 0. Artinya himpunan R bukanlah himpunan kosong, karena memiliki anggota, yaitu angka 0.
3. Definisi Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh:
a. {Kerbau, Sapi, Kambing}
Himpunan semesta yang mungkin adalah: 1. S = { binatang berkaki 4}
2. S = {binatang pemakan rumput} 3. S = {binatang memamah biak} b. {senin, selasa,}
Himpunan yang mungkin adalah: S = {nama hari dengan huruf awal S}
Pertemuan Ketiga
1. Definisi Himpunan Bagian Contoh:
A = { 1, 2, 3} B = {4, 5, 6} C = {1, 2, 3, 4, 6}
a. Dari ketiga himpunan di atas, dapat dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, dan himpunan C merupakan himpunan bagian dari A. Karena seluruh anggota A merupakan anggota C. Sehingga dapatlah disimpulkan bahwa:
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, jika setiap anggota dari A juga menjadi anggota dari B dan dinotasikan A B atau B A. b. Perhatikan himpunan B dan himpunan C
Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6 bukanlah anggota C. Sehingga dapatlah dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C. Dinotasikan B C. Sehingga dapatlah disimpulkan bahwa:
Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, jika terdapat anggota A yang bukan merupakan anggota B.
2. Menentukan Himpunan Bagian dan Banyaknya Himpunan Bagian
Dari tabel di atas dapatlah disimpulkan bahwa untuk menghitung banyaknya himpunan bagian dapat menggunakan rumus 2n, dimana n merupakan banyaknya anggota himpunan.
Pertemuan Keempat
1. Pengertian Irisan dan cara menentukannya
Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.
Irisan himpunan dapat dinotasikan sebagai berikut: A B = { x| x A dan x B}
Contoh:
A = { 1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
Jika dilihat anggota dari kedua himpunan di atas ada beberpa anggota yang sama, yaitu 5 dan 7, maka dapatlah dituliskan:
A B = {5, 7}
Jika A dan B dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A atau anggota-anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
A B = {x| x A atau x B} Contoh:
A = {pisang, mangga, jeruk} B = {pepaya, rambutan}
A B = {pisang, mangga, jeruk, pepaya, rambutan}
Pertemuan Kelima
1. Pengertian Operasi Selisih pada Himpunan
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunaan yang anggotanya semua anggota A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\\B.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut: A – B = {x| x A, x B}
B – A = {x| x B, x A}
2. Menentukan Selisih dari Himpunan Contoh:
A = {a, b, c, d, e} B = {a, d, f, g}
Maka selisih A dan B adalah A – B ={a, b, c, d, e} - {a, d, f, g}
Cari anggota yang sama pada himpunan A dan B, kemudian hilangkan anggota yang sama tersebut dari anggota himpunan A. Selanjutnya tuliskan sisa anggota di himpunan A. Dari himpunan A dan B di atas, anggota yang sama adalah a dan d, maka a dan d akan dihilangkan dari himpunan A, dan sisanya adalah b, c, dan e. Sehingga:
A – B = {b, c, e}
3. Pengertian Komplemen pada Himpunan
Komplemen himpuan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A. Komplemen A
dinotasikan dengan Ac atau A/. Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan: Ac = {x| x S dan x A}
4. Menentukan Komplemen Suatu Himpunan Contoh:
Diketahui S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {5, 6}
Maka untuk mendapatkan Ac, cukup menghilangkan anggota himpunan semesta yang sama dengan anggota himpunan A, kemudian tuliskan sisa anggota semestanya. Sehingga diperoleh:
Ac = {1, 2, 3, 4, 7}
Pertemuan Keenam
1. Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dengan gambar yang dikenal dengan "Diagram Venn".
Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama "John Venn" pada tahun 1834-1923.
Langkah-langkah membuat diagram venn adalah sebagai berikut: a. Himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang
b. Himpunan lain dalam semesta dinyatakan dengan kurva mulus tertutup
c. Setiap anggota dinyatakan dengan noktah-noktah. Jika digambarkan, maka diagram venn adalah sebagai berikut:
2. Menyajikan Irisan dalam diagram Venn
Ketika menyajikan irisan dalam bentuk diagram venn, maka langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mencari anggota yang sama (irisan) dari kedua himpunan. Ketika anggota yang sama (irisan) telah diperoleh,
Noktah Himpunan lain
Himpunan Semesta
Himpunan lain S
maka pada diagram venn letakkan irisan tersebut di tengah kedua kurva dari himpunan. Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} A B = {2, 4}
3. Menyajikan gabungan dalam diagram Venn
Ketika menyajikan gabungan dalam bentuk diagram venn, maka langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mencari anggota yang sama (irisan) dari kedua himpunan. Ketika anggota yang sama (irisan) telah diperoleh, maka pada diagram venn letakkan irisan tersebut di tengah kedua kurva dari himpunan. Gabungan dari kedua himpunan tersebut adalah anggota himpunan pertama ditambah dengan anggota himpunan kedua ditambah dengan irisannya. Sehingga tidak akan ada anggota yang tertulis dua kali. Contoh: S = {2, 4, 6, 8, 10, 12} A = {2, 4, 6} B = {2, 6, 8} A B = {2, 4, 6, 8} Pertemuan Ketujuh
Irisan kedua himpunan
Gabungan
1. Menyajikan operasi selisih (kurang) dengan diagram venn
Menyajikan operasi selisih (kurang) dengan diagram venn sama halnya ketika kita menyajikan operasi irisan dan gabungan dengan diagram venn. Contoh 1: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 3, 4, 7} A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 7} = {1, 5, 6} B – A = {2, 3, 4, 7} - {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {7}
2. Menyajikan komplemen dengan diagram venn Contoh: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3, 4} AC = {1, 2, 5, 6} Pertemuan Kedelapan Daerah A - B Daerah B - A Daerah Ac
Masalah sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep himpunan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut!
Contoh 1:
Dari sekelompok siswa terdapat 17 orang yang menyenangi mata pelajaran matematika, 15 orang menyenangi mata pelajaran bahasa inggris, dan 10 orang menyenangi kedua-duanya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas! b. Berapa banyak anak dalam kelas tersebut!
Jawab: Cara 1:
Misalkan M menyatakan himpunan siswa yang menyenangi pelajaran matematika, dan B menyatakan himpunan siswa yang menyenangi pelajaran bahasa inggris, maka n(M) = 17, dan n(B) = 15, cara menyatakan dalam diagram Venn adalah sebagai berikut:
1. Isikan terlebih dahulu yang gemar kedua-duanya yaitu 10 anak. 2. Isikan yang hanya gemar matematika, yaitu 17-10 = 7 anak 3. Isikan yang hanya gemar bahasa inggris, yaitu 15-10= 5 anak a. Diagram Venn-nya sebagai berikut:
b. Banyak anak dalam kelas tersebut adalah, 7+10+5 = 22 anak
Cara 2:
Banyak anak dalam kelas tersebut dapat dicari dengan: n(MB) = n(M) + n(B) – n(MB)
= 17 +15 – 10 = 22 anak
Sekelompok siswa sedang menonton pertandingan basket. Dari sekelompok siswa tersebut 16 orang membeli bakso, 14 orang membeli Mie ayam, dan beberapa orang siswa membeli keduanya. Jumlah seluruh siswa adalah 25 orang. Berapa anakah yang membeli kedua-duanya.
Jawab:
Misalkan B menyatakan himpunan siswa yang membeli bakso, dan MA menyatakan himpunan siswa yang membeli Mie ayam, dan x adalah banyaknya siswa yang membeli keduanya. Maka n(B) = 16- x, dan n(B) = 14-x, cara menyatakan dalam diagram Venn adalah sebagai berikut:
1. Isikan terlebih dahulu yang gemar kedua-duanya yaitu x anak. 2. Isikan yang hanya membeli bakso, yaitu 16-x
3. Isikan yang hanya membeli mie ayam, yaitu 14-x Maka jumlah siswa yang menyukai kedua-duanya adalah:
Jumlah seluruh siswa = jumlah siswa yang membeli bakso + jumlah siswa yang membeli mie ayam + jumlah siswa yan membeli keduanya
25 = (16 – x) + (14-x) + x 25 = 16 – x + 14
25 = 30 – x
x = 30 – 25 x = 5 orang
jadi jumlah siswa yang membeli keduanya adalah 5 orang.
G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
