2 REVIEW DATA PANEL SPASIAL, MATRIKS PEMBOBOT SPASIAL
2.4 Matriks Pembobot Spasial
2.4.1 Matriks Pembobot Berdasarkan Kedekatan Geografis
Terdapat beberapa tipe matriks pembobot spasial menurut kedekatan geografis, yaitu berdasarkan jarak, berdasarkan batas bersama atau perbatasan (boundaries) dan berdasarkan kombinasi dari jarak dan perbatasan. Berikut beberapa ilustrasi dari tipe-tipe matriks pembobot spasial yang berdasarkan kedekatan geografis.
2.4.1.1 Matriks Pembobot Jarak
Matriks pembobot spasial yang didasarkan pada konsep jarak mengambil jarak dij sebagai jarak pusat (centroid distance) antara dua pasang unit-unit spasial i dan j. Matriks pembobot spasial yang didasarkan konsep jarak dapat diklasifikasikan menjadi lima kategori, yaitu matriks k tetangga terdekat (k- nearest neighbor weights), matriks jarak radial (radial distance weights), matriks jarak pangkat (power distance weights), matriks jarak eksponensial (exponential distance weights) dan matriks jarak pangkat ganda (double-power distance weights) (Smith, 2014).
• Matriks k tetangga terdekat (k-nearest neighbor)
Setiap baris i dalam matriks pembobot spasial menurut k tetangga terdekat memiliki k buah kolom j dengan elemen 1 dan kolom selainnya bernilai 0. Apabila terdapat n unit spasial dan dari n unit spasial tersebut akan ditentukan k unit spasial yang bertetangga dengan unit spasial tertentu, katakanlah unit spasial i, maka tahap awal yang perlu diproses adalah menentukan jarak n-1 unit spasial j (i≠j) terhadap unit spasial i. Sebagai ilustrasi, misalkan jarak
dari semua unit spasial j (i≠j) terhadap unit spasial i telah diperingkat dari kecil ke besar sebagai berikut, dij(1)≤ dij(1)≤… dij(n-1). Untuk setiap k=1,2,…,n-1,
himpunlah = 1 , … , yang memuat k tetangga paling dekat terhadap i.
Mengacu pada konsep k-tetangga terdekat (k-rearest neighbor, k-NN), terdapat dua tipe matriks pembobot spasial yang dapat diperoleh yaitu matriks pembobot spasial yang tidak simetris dan matriks pembobot yang mempunyai sifat simetris. Perbedaan kedua matriks ini bergantung pada definisi elemen- elemen matriks pembobot spasial yang diambil. Gambar 2.1 menyajikan sebuah contoh penentuan ketetanggaan berdasarkan k-tetangga terdekat. Jika matriks pembobot spasial bersifat tidak simetris, maka wij didefinisikan sebagai :
= 1, 0, selainnya (, 2.1 sedangkan jika matriks pembobot spasial bersifat simetris maka wij didefinisikan sebagai :
= 1, 0, selainnya . atau ( 2.2
Gambar 2.1 Ilustrasi hubungan k ketetanggaan terdekat
• Matriks jarak radial
Setiap bobot atau elemen matriks pembobot spasial yang didasarkan jarak radial bergantung pada nilai batas (treshold) yang diambil. Untuk baris tertentu, semakin besar nilai threshold maka semakin banyak kolom pada baris tersebut bernilai 1 dan semakin kecil nilai threshold maka semakin sedikit kolom pada baris tersebut yang bernilai 1. Apabila dimisalkan terdapat n unit spasial dan jarak dari unit spasial i terhadap semua unit spasial j (i≠j) adalah dij serta ditentukan nilai d sebagai threshold maka matriks pembobot spasial menurut jarak radial ditentukan sebagai
= 1, 0 ≤ . ≤ .0, selainnya(. 2.3 Gambar 2.2 menyajikan fungsi wij untuk elemen matriks pembobot menurut jarak radial pada persamaan (2.3).
Gambar 2.2 Fungsi pembobot (wij) jarak radial
• Matriks jarak pangkat
Matriks pembobot yang didasarkan pada jarak radial tampak bahwa unit-unit yang berada pada jarak yang tidak lebih dari nilai treshold diberi bobot 1 meskipun mempunyai nilai jarak yang berbeda. Hal yang hampir sama terjadi pula pada matriks pembobot yang didasarkan pada k-NN dimana setiap k tetangga dari unit tertentu, katakanlah unit spasial i, diberi bobot 1. Menurut Cressie (1993) semakin dekat unit j dengan unit i maka semakin mirip. Oleh karena itu, selain pemberian bobot yang hanya bernilai biner (1 dan 0) perlu dipertimbangkan nilai atau bobot jarak sebenarnya, antara lain yang didasarkan pada jarak pangkat. Berdasarkan konsep jarak pangkat setiap bobot matriks semakin kecil ketika semakin jauh dari unit spasial i. Setiap elemen matriks menurut jarak pangkat didefinisikan sebagai
= .01. 2.4 Gambar 2.3 menyajikan fungsi wij untuk elemen matriks pembobot menurut jarak pangkat untuk α=1 pada persamaan (2.4)
Gambar 2.3 Fungsi pembobot (wij) jarak pangkat α=1
• Matriks jarak eksponensial
Matriks pembobot spasial yang didasarkan pada jarak eksponensial pada dasarnya hampir sama dengan bobot jarak pangkat. Apabila dimisalkan dij adalah jarak antara unit spasial i dan unit spasial j, matriks pembobot spasial menurut jarak eksponensial adalah
= exp5−7. 8. 2.5 Gambar 2.4 menyajikan fungsi wij untuk elemen matriks pembobot menurut jarak eksponensial. dij
Gambar 2.4 Fungsi pembobot (wij) jarak eksponensial untuk α=1
• Matriks jarak pangkat ganda
Matriks jarak pangkat ganda mempunyai prinsip yang sedikit berbeda dengan matriks jarak pangkat ataupun jarak eksponensial dimana setiap bobot atau elemen matriks, selain menggunakan fungsi pangkat juga didasarkan pada threshold. Apabila dijmenyatakanjarak antara unit spasial i dan unit spasial j (i≠j) dan d adalah nilai threshold maka matriks pembobot spasial menurut matriks jarak pangkat ganda adalah
= :;1 − 5. /.8 = , 0 ≤ . ≤ .
0, . > . (. 2.6 Gambar 2.5 menyajikan fungsi wij untuk elemen matriks pembobot menurut jarak ganda pada persamaan (2.6).
Gambar 2.5 Fungsi pembobot (wij) jarak pangkat ganda 2.4.1.2 Matriks Pembobot Berdasarkan Batas
Matriks pembobot yang didasarkan pada konsep jarak adalah mudah dihitung, namun dalam beberapa kasus kontribusi perbatasan (boundaries share) antar unit spasial memainkan peranan penting untuk menentukan pengaruh spasial. Dua tipe matriks pembobot yang dapat digunakan dengan memanfaatkan perbatasan, yaitu bobot spatial contiguity (kedekatan spasial) dan bobot shared- boundaries (Smith, 2014).
• Bobot kontiguitas spasial
Elemen-elemen dari matriks pembobot spasial kontiguitas didasarkan pada hubungan ketetanggaan secara geografis. Misalkan W={wij} i, j=1,2,…,n, adalah matriks kontiguitas dengan wij merepresentasikan elemen (nilai bobot) unit spasial i dan j. Berdasarkan aturan dalam matriks kontiguitas, wij bernilai satu ketika antara dua unit spasial saling bertetangga atau bersebelahan dan bernilai nol ketika antara dua unit spasial tidak bertetangga atau bersebelahan,
serta didefinisikan pula wii = 0. Bobot spasial kontiguitas didasarkan pada batas bersama, artinya bahwa apabila terdapat persekutuan antara batas unit spasial i (bnd(i)) dan batas unit spasial j (bnd(j)) maka diberi bobot 1,
= 1, @A. ∩ @A.0, @A. ∩ @A. ≠ 0= 0(. (2.7) Beberapa tipe matriks kontiguitas adalah rook, bishop dan queen. Sebagai ilustrasi, dimisalkan terdapat unit-unit spasial A, B,…,J (Gambar 2.6) dan akan ditentukan unit-unit yang bertetangga dengan F.
Unit spasial Rook Bishop Queen
A B C
B
A
C
A B C
D
F
G
D
F
G
F
D
F
G
H
I
J
I
H
J
H I
J
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 2.6 Ilustrasi matriks kontiguitas tipe rook (b), bishop (c) dan queen (d) dari unit-unit spasial (a) yang bertetangga terhadap F
Berdasarkan tipe matriks kontiguitas yang didasarkan pada aturan rook, unit- unit yang bertetangga dengan F adalah B, D, I dan G (Gambar 2.6.b), sedangkan menurut aturan bishop diperoleh A, C, H dan J (Gambar 2.6.c) dan jika didasarkan pada aturan queen diperoleh A,B,C,…,J (Gambar 2.6.d).
• Bobot shared-boundaries
Bobot atau elemen matriks pembobot spasial yang didasarkan pada shared- boundaries menggunakan informasi panjang batas (D ) dari dua unit yang bersebelahan. Apabila li menyatakan panjang total dari perbatasan unit i yang berbatasan dengan unit-unit spasial lain, yakni D = ∑ DF , dan D adalah panjang perbatasan unit spasial i dan unit spasial j maka bobot shared- boundaries didefinisikan sebagai
=GHI
GH =
GHI
∑JKHGHJ. (2.8)
2.4.1.3 Bobot Kombinasi Jarak dan Boundaries
Bobot matriks yang didasarkan pada kombinasi jarak dan perbatasan (boundaries) menggunakan berbagai kombinasi yang mungkin dari tipe jarak dan batas. Oleh karena itu banyak jenis matriks pembobot yang dihasilkan bergantung pada tipe jarak dan perbatasan yang digunakan (Anselin, 2003). Sebagai ilustrasi ketika jarak yang digunakan adalah jarak pangkat .01 dan panjang perbatasan D maka matriks pembobot spasial hasil kombinasi jarak dan perbatasan didefinisikan sebagai = GHI HI
LM
∑ GHJ HJLM JKH .