Memahami Hubungan Sudut Pusat dengan

9 8 . Kemudian sekitar 250 Sebelum Masehi, seorang matematikawan Yunani terkenal bernama Archimedes menggunakan

poligon sebagai bantuan untuk menemukan nilai π

yaitu antara 71 223 dan 7 22 .

Pada abad ke-50, seorang matematikawan Cina bernama Zu Chungzhi bilangan π yang lebih

akurat daripada temuan Archimedes. Nilai ini tersebut adalah 113 355

, dan enam satuan desimal

π seperti yang sekarang digunakan. Pada tahun 1400, seorang matematikawan Persia bernama Al Kashi menemukan nilai π hingga 16 digit desimal. Dia menggunakan strategi Archimedes,

namun dia melipatgandakan sisinya 23 kali.

egiatan

K 3.3

Memahami Hubungan

Sudut Pusat dengan

Panjang Busur dan Luas Juring

Pengalaman belajar yang diharapkan setelah kalian melakukan kegiatan 3.3 adalah: 1. Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur.

2. Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring.

Masih ingat kah kalian dengan rumus keliling dan luas lingkaran yang sudah kalian peroleh

ketika SD dulu.

Rumus keliling lingkaran yaitu … Rumus luas lingkaran yaitu …

Mungkin, dulu kalian bertanya “Mengapa rumusnya seperti itu?” , atau “Dari manakah asal mula rumus itu?”. Dalam kedua rumus tersebut, terdapat suatu konstanta yang tentu, yaitu π (pi). Tahukah kamu dari manakah asal mula bilangan pi. Pada kegiatan ini kita akan mengetahui asal usul bilangan

π, serta rumus keliling dan luas lingkaran.

Sumber: camphalfblood.wikia.com

Gambar 3.3

Archymedes

William Jones, seorang matematikawan Inggris, memperkenalkan simbol modern untuk “pi” pada

tahun 1700. Simbol “π” dipilih karena π di Yunani, pelafalan huruf π menyerupai huruf “pi” singkatan perimeter (keliling lingkaran). Sejalan dengan

berkembangnya teknologi, penemuan nilai π telah

lebih dari 1 triliun digit di belakang koma.

Nilai konstanta π yang sekarang kita kenal adalah

rasio antara keliling lingkaran dengan diameternya. Jika dinyatakan dengan symbol

d K

= π. Dengan kata lain = ... ×… . Karena d = 2r,

maka hubungan tersebut dapat juga dinyatakan K = ___________

Menurut kalian berapakah keliling lingkaran di samping?

1. Lakukan percobaan untuk menemukan bilangan π denngan langkah-langkah sebagai berikut a. Ukurlah keliling dan diameter benda di sekitar kalian yang berbentuk lingkaran b. Hitunglah rasio (dalam bentuk bilangan desimal) keliling terhadap diameter dari

pengukuran tersebut (K d ).

c. Lakukan langkah a dan b untuk minimal lima benda berbeda. d. Amati rasio (K

d ) dari kelima benda tersebut. Benarkah mendekati nilai π?

2. Buatlah laporan yang menarik untuk dipajangkan.

Tugas

Projek 3.1

Pada kegiatan 3 ini kita akan mencari tahu hubungan antara luas lingkaran, sudut pusat, dan luas juring lingkaran, serta keliling lingkaran, sudut pusat,dan panjang busur lingkaran.

Ayo Kita Amati

Bagaimana kalau yang ditanyakan adalah hanya busur dari lingkaran. Mari kita temukan rumus untuk menentukannya.

Amati garis yang berwarna merah adalah gambar panjang busur lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Lengkapi sel yang masih kosong. pada Tabel 3.3a.

Tabel 3.3a Panjang Busur Lingkaran

Gambar Busur

Rasio sudut pusat α

terhadap 360°

Rasio panjang busur terhadap keliling lingkaran

360 α lingkaran Keliling busur panjang 270° 360 270 = 4 3 4 3 180° 120° 90° 60°

Jika jari-jari dan sudut pusat ketiga gambar di bawah ini diketahui, dapatkah kalian menentukan luas ketiga daerah yang diwarnai merah?

Untuk menentukan luas gambar A tentunya mudah. Kalian bisa menggunakan rumus luas lingkaran yang sudah kalian ketahui. Bagaimana dengan luas juring pada Lingkaran B dan Lingkaran C? Mari kita temukan rumus untuk menentukan luas juring tersebut.

Berikut ini daerah yang berwarna merah adalah gambar juring lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Lengkapi sel yang masih kosong pada Tabel 3.3b berikut.

Tabel 3.3b Luas Juring Lingkaran

Gambar Busur

Rasio sudut pusat α terha-dap 360°

Rasio luas juring terhadap keliling lingkaran 360 α

lingkaran

luas

juring

luas

270°

180°

A α ^{B C β}

120°

90°

60°

α

Dari pengamatan kalian terhadap Tabel 3.3a dan 3.3b, buatlah

pertanyaan tentang hal yang penting untuk dipertanyakan. Kalimat tanya sebaiknya terdapat kata “juring” atau “busur”.

Misal:

“Berapakah panjang busur lingkaran dengan sudut pusat α?”

“Berapakah luas juring lingkaran yang sudut pusatnya 20°? Ayo Kita

Menanya

?

?

Ayo Kita Menalar

1. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 2 pada Tabel 3.4. Bagaimana rasionya?

Buatlah simpulan tentang rumus menentukan panjang busur

AB yang diketahui jari-jarinya

r

dan sudut pusatnya α. _O

^α

A

B r

Ukuran sudut pusat satu lingkaran penuh adalah antara 0° sampai

360°. Kalau kita ingat kembali

pada kegiatan 3.1, kita dapatkan informasi bahwa luas juring dan panjang busur sebanding dengan besarnya sudut pusat. Artinya semakin besar sudut pusat, semakin besar pula luas juring dan panjang busurnya.

Dari kegiatan mengamati di atas diperoleh ringkasan informasi seperti berikut. Lengkapi sel yang

masih kosong pada Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Panjang busur dan Luas juring Ayo Kita

Menggali Informasi

+

=+

Rasio sudut pusat α

terhadap 360°

Rasio panjang busur terhadap keliling lingkaran

Rasio luas juring terhadap luas lingkaran 360 α lingkaran Keliling busur panjang lingkaran luas juring luas 360 270 360 180 360 90 360 60 360 30 360 α

3. Pada kondisi yang bagaimana, panjang busur sama dengan keliling lingkarannya? Jelaskan.

4. Pada kondisi yang bagaimana, luas juring sama dengan luas lingkarannya? Jelaskan.

5. Manakah yang lebih luas.

a. Juring lingkaran A dengan sudut pusat α dan jari-jari r, atau b. Juring lingkaran B dengan sudut pusat α

2 1

dan jari jari 2r.

6. Tentukan suatu busur dengan jari-jari dan sudut pusat tertentu, sedemikian sehingga panjangnya sama dengan busur lingkaran dengan jari-jari r dan sudut pusat α. Petunjuk:

a. Tentukan panjang busur lingkaran yang jari-jari r dan sudut pusat α.

b. Buatlah busur baru dengan jari-jari tertentu yang dimaksud di atas. 2. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 3 pada tabel di atas.

Bagaimanakah rasionya?

Buatlah simpulan tentang rumus luas juring AOB yang

diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya α.

_α

O

A

B r

Presentasikan hasil penalaranmu kepada teman-teman kalian. Presentasikan rumus umum untuk menentukan panjang busur serta rumus umum untuk menentukan luas juring.

Ayo Kita Berbagi

1. Tentukan luas juring lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 70°dan jari-jarinya 10 cm . 2. Tentukan panjang busur lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 35°dan jari-jarinya 7 cm . 3. Lingkaran A memiliki jari-jari 14 cm. Tentukan sudut pusat dan jari-jari suatu juring lingkaran

lain agar memiliki luas yang sama dengan lingkaran A.

4. Buatlah lingkaran A dengan jari-jari tertentu, sedemikian sehingga luasnya sama dengan juring pada lingkaran B dengan sudut pusat dan jari-jari tertentu. Jelaskan.

5. Diketahui:

(1) Lingkaran penuh dengan jari-jari r, (2) setengah lingkaran dengan jari-jari 2r. Tentukan manakah yang kelilingnya lebih besar?

Latihan

!

?!

?

Dengan memotong lingkaran menjadi potongan juring yang sama, kita dapat menyusunnya

menjadi bentuk yang menyerupai jajargenjang seperti pada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa panjang sisi bagian bawah dan atas persegi panjang tersebut adalah setengah dari keliling lingkaran.

2 π r

r

π r r

Tinggi bentuk yang menyerupai jajargenjang tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

Ingat bahwa luas jajargenjang adalah hasil kali dari alas dengan tingginya. Sehingga