Lingkaran
egiatan
K 7.4b
Seperti yang kita ketahui sebelumnya bahwa garis singgung lingkaran adalah garis yang menyinggung suatu lingkaran tepat di satu titik. Jika sebelumnya lingkaran yang disinggung adalah satu, maka pada garis singgung persekutuan dua lingkaran, garis tersebut menyinggung dua lingkaran sekaligus. Garis singgung persekutuan dibedakan menjadi dua, yaitu 1) garis singgung persekutuan dalam, dan 2) garis singgung persekutuan luar. Pada kegiatan ini kita akan berusaha memahami garis singgung persekutuan luar terlebih dulu. Sedangkan garis singgung persekutuan akan dibahas pada Kegiatan 7.4b. Bagaimana cara menentukan jarak dua titik singgung persekutuan luar dua lingkaran. Pada kegiatan berikut kita akan melakukan kegiatan untuk menentukan hubungan antara jarak antara kedua titik singgung, jari-jari kedua lingkaran, dengan jarak titik pusat kedua lingkaran.
Ayo
Kita Amati
Misal kita memiliki dua lingkaran dengan pusat P dan Q. Jari-jari lingkaran P
dan Q berturut-turut adalah r1 dan r2. Garis singgung persekutuan luar lingkaran
P dan Q adalah ruas garis terpendek yang menyinggung kedua lingkaran tersebut dan tidak melalui daerah di antara kedua lingkaran. Perhatikan gambar berikut ini. Ruas garis FH adalah satu dari dua garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q. Titik F adalah titik singgung pada lingkaran P, titik H
adalah titik singgung pada lingkaran Q.
P F
H Q
Untuk melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, ikuti langkah berikut.
Tabel 7.6 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran No. Langkah-langkah
Kegiatan Keterangan
1. Lukislah dua lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r1 dan r2 , kemudian hubungkan titik pusat P dan Q (r1 > r2).
P
r1
r2 Q 2. Lukislah busur lingkaran
dari P dan Q dengan jari-jari yang sama dan r > 1 2PQ, sehingga berpotongan di titik A dan B. P r1 r2 Q B A
3. Hubungkan titik A dan
B, sehingga memotong PQ di titik C. P r1 r2 Q B A C
4. Lukislah lingkaran yang berpusat di C, dengan jari-jari CP = CQ. P r1 r2 Q B A C
No. Langkah-langkah
Kegiatan Keterangan
5. Lukislah busur lingkaran berpusat di P dengan jari-jari (r1 – r2), sehingga memotong lingkaran berpusat di C dengan jari-jari CP = CQ di titik D dan E. P r1 r2 Q B A C D E r2
{
6. Hubungkan titik P dengan titik D dan titik P dengan titik E, dan perpanjanglah sehingga memotong lingkaran berpusat P di titik F dan G. P r1 r2 Q B A C D E G F r2
{
7. Lukislah busur lingkaran dengan pusat F dan panjang jari-jarinya DQ, sehingga memotong lingkaran Q di titik H
(jadi FH = DQ).
Lukislah busur lingkaran dengan pusat G dan panjang jari-jarinya EQ, sehingga memotong lingkaran Q di titik I (jadi GI = EQ). P r1 r2 Q B A C D E G F r2
{
I HAyo Kita Menanya
?
?
Setelah melakukan pengamatan, mungkin beberapa pertanyaan berikut ini muncul.
1. Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran?
2. Bagaimana sudut yang dibentuk oleh garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dengan jari-jari kedua lingkaran?
Silakan buat pertanyaan lain terkait pengamatan (jika ada).
+
=+ Ayo Kita
Menggali Informasi
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan
Q, kita perlu mengumpulkan beberapa informasi penting.
1. Garis singgung FH menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat di satu titik.
2. Dari titik F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang r1 dan siku-siku dengan FH. Mengapa?
3. Dari titik H dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang r2 dan siku-siku dengan FH. Mengapa?
Dari ketiga informasi tersebut, kita membuat ilustrasi sebagai berikut.
8. Hubungkan titik F
dengan titik H dan titik G dengan titik I, sehingga terbentuk garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, yaitu
GI dan FH. P r1 r2 Q B A C D E G F r2
{
I HF H Q P r1 r2
Gambar 7.6 Garis FH, Garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q
Mari kita perhatikan gambar di atas, ada beberapa informasi penting yang kita
peroleh.
1. Ruas garis FH tegak lurus dengan jari-jari FP dan HQ.
2. Kita dapat membuat garis yang menghubungkan titik Q dengan titik S
pada PF, sedemikian sehingga SF = r2. Berikut ini gambar yang diperoleh
setelah dibuat ruas garis QS. Perhatikan segiempat SQHF. 1. Panjang SF = HQ = r2
2. ∠SFH dan ∠QHF sama-sama sudut siku-siku.
Dari informasi 1 dan 2 tersebut,
bisa ditarik simpulan bahwa QS sejajar dengan FH. Akibatnya ∠FSQ dan
∠HQS adalah sudut siku-siku. Dengan kata lain lain segiempat SQHF adalah persegi panjang. Akibatnya adalah panjang QS = FH.
Sekarang mari kita perhatikan segitiga PSQ. Perhatikan beberapa informasi
penting berikut.
1. Sudut QSP berpelurus dengan sudut QSR (Sudut QSR siku-siku), sehingga sudut QSP juga siku-siku. Dengan kata lain, segitiga PSQ berupa segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di S.
2. Panjang PS = r1 – r2
Setelah kita mendapatkan informasi tersebut, kita dapat menentukan panjang
QS menggunakan teorema Pythagoras.
Jika perhitunganmu benar, kalian akan mendapatkan bentuk berikut.
F H Q P S r1 r2
{
r1 − r2Gambar 7.7 Garis SQ sejajar dengan garis singgung FH
( )
2 21 2
QS = PQ − r −r
Seperti uraian sebelumnya, bahwa panjang QS sama dengan FH sama dengan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q.
Ayo Kita Menalar
1. Uraikan langkah untuk menentukan jarak kedua titik singgung kedua lingkaran. Sebaiknya kalian mengingat kembali materi Pythagoras.
2. Bagaimana panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran jika jari-jari kedua lingkarannya sama?
Ayo Kita Berbagi
Silakan presentasikan langkah kalian dalam menentukan jarak dua titik singgung tersebut kepada teman dan guru kalian di kelas. Mintalah saran dan komentar perbaikan dari langkah yang kalian temukan tersebut.
Ayo Kita
!
?!
?
Berlatih 7.4
A. Pilihan Ganda
1. Sudut yang terbentuk antara diameter dengan garis singgung lingkaran adalah ....
A. lancip C. tumpul B. siku-siku D. tidak pasti
2. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 20 cm. Lingkaran
A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah ... cm.
A. 9 cm C. 17 cm
3. Pada gambar di samping, suatu busur dibuat dengan pusat P dan memotong garis di titik Q. Kemudian dengan jari-jari yang sama, dibuat busur dengan pusat Q, sedemikian hingga memotong busur pertama di titik R. Dari titik P, Q, dan R, dibuat sudut PRQ. Ukuran sudut yang terbentuk dari sudut PRQ adalah ....
A. 30° C. 60°
B. 45° D. 75°
TIMSS 2003 8th-Grade Mathematics Items
4. Pada gambar berikut, ABCD adalah suatu persegi panjang. Lingkaran
P dan Q adalah lingkaran yang sisi-sisinya saling bersinggungan dengan sisi persegi panjang.
P Q
A B
C D
Jika jari-jari masing-masing lingkaran tersebut adalah 5 cm, maka luas persegi panjang adalah ....
A. 50 cm2 C. 100 cm2
B. 60 cm2 D. 200 cm2
TIMSS 2003 8th-Grade Mathematics Items
5. Diketahui dua lingkaran berbeda. Jari-jari lingkaran pertama adalah 15 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua adalah 8 cm. Jika jarak pusat kedua lingkaran tersebut adalah 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ... cm
A. 23 cm C. 25 cm
B. 24 cm D. 26 cm
P Q
B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran
A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan: a. panjang garis singggung persekutuan luarnya (jika ada);
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D
adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut (jika ada); b. jarak kedua lingkaran tersebut (jika ada).
3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan
F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada)
4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan:
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut, b. jarak kedua lingkaran.
5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I
memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.