1. Model matematika (kendala).
2. Fungsi objektif (fungsi yang akan dioptimumkan maksimum atau minimum).
3. Gambar daerah himpunan penyelesaian dari model matematikanya.
Kesepakatan: arsirlah daerah yang BUKAN penyelesaian.
4. Nilai optimum yang diminta dengan cara menghitung nilai fungsi objektif pada titik sudut daerah himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
Seorang pedagang sepatu memperoleh keuntungan Rp 30.000,00 dari penjualan sepasang sepatu model A yang harga belinya Rp 300.000,00 dan memperoleh keuntungan Rp 22.500,00 dari penjualan sepasang sepatu model B yang harga belinya Rp 240.000,00. Modal yang dimiliki pedagang tersebut adalah
Rp120.000.000,00 dan kapasitas tempat penjualan adalah 450 pasang sepatu.
a. Berapa rupiah keuntungan maksimum yang dapat diperolehnya?
b. Berapa pasang masing-masing jenis sepatu harus dibeli agar ia memperoleh keuntungan yang maksimum?
Jawab:
* Misalkan: banyak sepatu model A = x pasang banyak sepatu model B = y pasang
Model Sepatu Banyak
(pasang)
Harga sepatu (Rp / pasang)
Untung (Rp / pasang) A
B Kendala
* Model matematika:
* Gambar daerah himpunan penyelesaian x + y 450
Titik potong:
Y
0 X
Titik sudut f(x, y) = ( ….. , ….. )
( ….. , ….. ) ( ….. , ….. ) ( ….. , ….. )
Jadi:
a. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah Rp ………
b. Agar ia memperoleh keuntungan yang maksimum, maka harus membeli ……….. pasang sepatu model A dan ………. pasang sepatu model B.
1. Suatu pesawat udara dapat diisi tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi paling banyak 60 kg, sedang untuk setiap penumpang kelas ekonomi boleh
membawa bagasi paling banyak 20 kg. Pesawat itu hanya mampu membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp 400.000,00 dan kelas ekonomi Rp 250.000,00.
a. Berapa banyak penumpang masing-masing jenis kelas harus diterima agar diperoleh hasil penjualan tiket yang maksimum?
b. Berapa rupiah hasil penjualan tiket yang maksimum tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
2. Untuk menghasilkan sebuah barang A seharga Rp 100.000,00 diperlukan bahan baku 30 kg dan waktu kerja mesin 18 jam. Untuk menghasilkan sebuah barang B seharga Rp 100.000,00 diperlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam. Kedua jenis barang itu akan dibuat selama 720 jam waktu kerja mesin dengan persediaan bahan baku sebanyak720 kg.
a. Berapa banyak masing-masing jenis barang yang harus dihasilkan agar diperoleh hasil produksi dengan harga maksimum.
b. Berapa rupiah harga maksimum dari hasil produksi tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
3. Untuk membuat sebuah roti keju diperlukan 4 ons tepung dan 1 ons mentega, sedangkan untuk sebuah roti coklat diperlukan 2 ons tepung dan 1,5 ons mentega. Seorang tukang roti ingin membuat kedua jenis roti tersebut sebanyak-banyaknya dengan persediaan tepung 8 kg dan mentega 3 kg. Tentukan berapa banyak masing-masing jenis roti harus dibuat!
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
4. Seorang penjaja buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang. Harga beli apel Rp 12.000,00 per kg dan pisang Rp 4.800,00 per kg. Modal yang tersedia Rp 3.000.000,00 dan gerobaknya tidak dapat memuat lebih dari 400 kg buah-buahan. Jika keuntungan per kg apel sama dengan dua kali keuntungan per kg pisang, maka tentukan banyak masing-masing jenis buah tersebut yang harus dibeli agar diperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya.
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
5. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu pria paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 100 pasang. Toko tersebut dapat memuat 500 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu pria Rp 40.000,00 dan untuk setiap pasang sepatu wanita Rp 30.000,00. Jika banyak sepatu wanita tidak boleh lebih dari 300 pasang, maka berapa banyak keuntungan maksimum yang dapat diperoleh?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
6. Seorang peternak memiliki 10 kandang ternak untuk memelihara ayam dan itik. Setiap kandang dapat menampung 36 ayam atau 24 itik. Banyak ternak direncanakan tidak lebih dari 288 ekor. Peternak itu mengharapkan laba Rp 4.000,00 untuk setiap ekor ayam dan Rp 5.000,00 untuk setiap ekor itik.
a. Berapa banyak masing-masing jenis kandang harus digunakan agar diperoleh laba maksimum?
b. Berapa rupiah laba maksimum tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
7. Suatu perusahaan akan mengirim 240 unit televisi dan 120 unit refrigerator dengan menggunakan 2 jenis truk, kecil dan besar. Sebuah truk kecil dapat mengangkut 15 unit televisi dan 10 unit refrigerator dengan ongkos sekali jalan Rp 160.000,00. Sebuah truk besar dapat mengangkut 30 unit televisi dan 10 unit refrigerator dengan ongkos sekali jalan Rp 220.000,00.
a. Berapa banyak masing-masing jenis truk yang harus digunakan agar biaya pengirimannya minimum?
b. Berapa rupiah biaya pengiriman minimum tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
8. Sebuah rombongan ibu-ibu PKK yang terdiri dari 36 orang akan mengadakan peninjauan di suatu kota.
Di kota tersebut rombongan menginap di sebuah wisma penginapan. Ada 2 tipe kamar yang dapat disewa. Kamar tipe Melati dapat ditempati 3 orang dengan ongkos sewa Rp 160.000,00 semalam.
Sedangkan kamar tipe Mawar dapat ditempati 4 orang dengan ongkos sewa Rp 200.000,00 semalam.
Mereka akan menyewa paling sedikit 10 kamar.
a. Berapa banyak masing-masing jenis kamar yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan sesedikit mungkin?
b. Berapa rupiah pengeluaran minimumnya?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
Titik potong:
Titik sudut
9. Seorang kontraktor merencanakan membangun rumah untuk 540 orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah dan terdiri dari 2 jenis rumah. Rumah-rumah tersebut akan disewakan. Rumah tipe Anggrek dapat dihuni oleh 4 orang dengan uang sewa Rp 2.500.000,00 per tahun. Sedangkan rumah tipe Dahlia dapat dihuni oleh 6 orang dengan uang sewa Rp 3.000.000,00 per tahun.
a. Berapa banyak masing-masing jenis rumah harus dibangun agar diperoleh uang sewa sebanyak- banyaknya?
b. Berapa rupiah perolehan uang sewa tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut
10. Setelah berkonsultasi dengan dokter, seorang pasien mendapat petunjuk bahwa kebutuhan minimum protein, karbohidrat dan lemak setiap minggunya adalah 8 unit, 12 unit dan 9 unit. Untuk memenuhi kebutuhan itu ia dianjurkan untuk mengonsumsi 2 jenis makanan, yaitu makanan A dan makanan B.
Makanan jenis A per kg mengandung 2 unit protein, 6 unit karbohidrat dan 1 unit lemak. Sedangkan makanan jenis B per kg mengandung 1 unit protein, 1 unit karbohidrat dan 3 unit lemak. Harga makanan A Rp 43.200,00 per kg dan makanan B Rp 19.200,00 per kg.
a. Berapa banyak masing-masing jenis makanan itu harus dibeli oleh pasien tersebut setiap minggunya agar uang yang ia keluarkan sesedikit mungkin dan kebutuhan akan protein, karbohidrat, dan lemak masih terpenuhi?
b. Berapa rupiah pengeluaran minimum tersebut?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Titik potong:
Titik sudut
11. Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut:
Agar sehat, setiap sapi harus diberi makan yang mengandung paling sedikit 27 unit, 21 unit dan 30 unit unsur nutrisi jenis A, B dan C setiap hari. Dua jenis makanan R dan S diberikan pada sapi tersebut.
Setiap kg makanan jenis R mengandung unsur nutrisi A, B dan C masing-masing 3, 1 dan 1 unit.
Sedangkan setiap kg makanan jenis S mengandung unsur nutrisi A, B dan C masing-masing 1, 1 dan 2 unit. Harga 1 kg makanan R dan S masing-masing Rp 4.000,00 dan Rp 2.000,00.
a. Berapa banyak masing-masing jenis makanan harus dibeli agar pengeluaran petani tersebut sesedikit mungkin dan kebutuhan nutrisi tetap terpenuhi?
b. Berapa rupiah pengeluaran minimumnya?
Jawab:
Misalkan: ...
Tabel:
Model matematika:
...
...
...
...
...
Fungsi objektif:
...
Gambar:
Jadi ...
...
Titik potong:
Titik sudut