TAHUN PELAJARAN 2021/2022 IPS/BHS MODUL SEMESTER 3 UNTUK KALANGAN SENDIRI

IPS/BHS

SEMESTER 3

TAHUN PELAJARAN 2021/2022

MODUL

UNTUK KALANGAN SENDIRI

Nama : ...

Kelas/ no. : XI IPS/BHS ... / ...

MATEMATIKA

XI IPS/BHS

SEMESTER 3

TAHUN PELAJARAN 2021-2022

SMAK KOLESE SANTO YUSUP

Jalan Simpang Borobudur 1 Malang 65142 Telp. (0341) 410590 - 40831

DAFTAR ISI

Halaman

Daftar Isi ... i

Kompetensi Dasar ... ii

1. Matriks ... 1

A. Pengertian dan Notasi ... 1

B. Beberapa Jenis Matriks ... 3

C. Penjumlahan/Pengurangan Matriks ... 5

D. Perkalian Bilangan Real (Perkalian Skalar) dengan Matriks ... 6

E. Perkalian Matriks dengan Matriks ... 7

F. Dua Matriks Saling Invers ... 13

G. Invers Matriks Persegi Berordo 22 ... 15

H. Penyelesaian Persamaan Matriks dengan Menggunakan Invers ... 19

I. Penggunaan Determinan Matriks untuk Menyelesaikan SPL (Metode Cramer) ... 21

J. Invers Matriks Persegi Berordo 3×3 ... 22

2. Transformasi Geometri ... 28

A. Pergeseran (translasi) ... 28

B. Pencerminan (refleksi) ... 31

C. Perputaran (rotasi) ... 38

D. Perkalian Bangun (dilatasi) ... 41

E. Transformasi Sebarang ... 45

3. Program Linear ... 47

A. Persamaan Garis Lurus ... 47

B. Menggambar Daerah Penyelesaian Suatu Pertidaksamaan ... 51

C. Menyelesaikan Permasalahan Program Linear ... 63

D. Menentukan Sistem Pertidaksamaan ... 76

E. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif dengan Menggunakan Garis Selidik ... 82

4. Barisan dan Deret ... 85

A. Barisan Aritmetika (BA) ... 85

B. Deret Aritmetika (DA) atau Deret Hitung (DH) ... 85

C. Suku Tengah pada BA ... 89

D. Barisan Geometri (BG) ... 90

E. Deret Geometri (DG) atau Deret Ukur (DU) ... 91

F. Deret Geometri Tak Hingga/ Deret Geometri Konvergen ... 94

G. Bunga Majemuk ... 97

H. Rente ... 99

I. Anuitas ... 101

5. Induksi Matematika ... 104

MATEMATIKA

K E L A S X I I P S / B H S

SEMESTER 3

TAHUN PELAJARAN 2021-2022

KOMPETENSI DASAR PENGETAHUAN

KOMPETENSI DASAR

KETERAMPILAN JP ^W/P

3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika

4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan

12 W

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual

4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear

dua variabel 20 W

3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose

4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya

20 W

3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3

4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3

3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks

4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi)

20 W

3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri

4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)

32 W

Matriks

A. Pengertian dan Notasi

1. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom, ditulis di antara kurung ( ) atau kurung siku [ ].

Notasi matriks menggunakan huruf besar/kapital.

Matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom dinotasikan sebagai berikut:

 

























mn 3

m 2 m 1 m

n 3 33

32 31

n 2 23

22 21

n 1 13

12 11

ij

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

A

















m ke baris

ke baris

ke baris

ke baris

















 3 2 1

Pada matriks A di atas a₁₁,a₁₂,a₁₃,...,a_mndisebut elemen/unsur/anggota matriks A.

Notasi elemen matriks menggunakan huruf kecil yang bersesuaian dengan notasi matriksnya dan dilengkapi dengan posisi baris dan kolomnya.

Contoh matriks:























4 0 3 5 7 2 A

Elemen pada baris ke-1 kolom ke-1 = a₁₁ = 2 Elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 = ... = ...

Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 = ... = ...

Elemen pada baris ke-2 kolom ke-2 = ... = ...

Elemen pada baris ke-3 kolom ke-1 = ... = ...

Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = ... = ...

2. Ordo Matriks

Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom suatu matriks.

Matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo mn dan dinotasikan A_mn.

Contoh: Tentukan matriks  















 

 

j i untuk , i 2 j

j i untuk , j b i

dengan b

B

2 ij

ij 4 3

Jawab:





































...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

b b b b b b b b b b b b B

34 24 14

33 23 13

32 22 12

31 21 11

b₁₁ = ……… b₂₁ = ……… b₃₁ = ………

b12 = ……… b22 = ……… b32 = ………

b₁₃ = ……… b₂₃ = ……… b₃₃ = ………

b = ……… b = ……… b = ………

kolom ke-1 ← kolom ke-2 ← kolom ke-3 ← ∙ ∙ ∙ kolom ke-n ←

1. Jika A_43 = (a_ij) dengan a_ij = 4j  i + 2, maka A = ....

2. Jika B_32 = (b_ij) dengan



















j i untuk , j i

j i untuk , j 5 i 2

j i untuk , i 4 b

2

ij , maka B = ....

3. Jika C_33 = (c_ij) dengan











 

j i untuk , j i 3

j i untuk , c i

2

ij , maka C = ....

4. Jika D_53 = (d_ij) dengan











 

j i untuk , j 3 i 2

j i untuk , ji d 3

2

ij , maka D = ....

3. Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama, jika:

1. ordonya sama dan

2. elemen-elemen yang seletak bernilai sama.

Contoh: Diketahui matriks













 

1 c b 5

8 A a

2

dan matriks _



 







 

9 a 7

c 3 b 2

B 4 ₃

Jika matriks A = B, maka tentukan nilai a, b, dan c.

Jawab:

4. Transpose Matriks

Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menukar letak elemen baris ke-i kolom ke-j matriks A menjadi elemen baris ke-j kolom ke-i.

Notasi: A^T atau A^t atau A’.

Contoh: Tentukan transpose dari matriks





















0 7

2 1

3 1

P .

Jawab:

Catatan:  Jika matriks A = [aij] berordo mn, maka A^T = [aji] berordo nm.

 (A^T)^T = A.

 Jika A^T

Contoh: Diketahui



























0 4 y 2

1 z 3 3 5

2 1 x 1 Q

diagonal utama Tentukan nilai x, y, dan z agar Q menjadi matriks simetris.

Jawab:

Syarat matriks simetris: Q^T = Q 

































...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1. Jika ^T

2 3 2 1

B A 7 dan b a

1 a 2 b 3 c B 2 , c b

2 a

A  



 









 











 , maka c = ....

2. Jika



















































7 6 b c 2 b d

1 a 3 1

a b

d 1 a 2 15 f

4

e 2 6 c a e 1

2

2 2

2

adalah matriks simetris, maka nilai f = ....

B. Beberapa Jenis Matriks

1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja.

Contoh:

2 

A1 B_15 

2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja.

Contoh:

1

C3 D_41

3. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh:

2 

O2 O_32 

4. Lawan matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya berlawanan dengan elemen matriks A. Lawan matriks A ditulis –A.

Contoh: Jika _



 







 

4 7 0

5 1

E 2 , maka lawan matriks E adalah _



 





 ...

...

...

...

...

...

E

5. Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom yang sama.

Matriks persegi A yang berordo nn dinotasikan A . _n

Jumlah elemen-elemen diagonal utama matriks disebut trace (A).

Contoh: _



 



 



 

1 5

3 2

2 2

2 F

F G_33G₃

diagonal samping diagonal utama

Trace (F) = ... Trace (G) = ...

6. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

2 

H J₃ K₄

7. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai sama.

Contoh:

2 

L M₃  N₄ 

8. Matriks Identitas (I) adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai satu.

Contoh:

2 

I I₃ I₄

9. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

2 

P Q₃  R₄ 

10. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

2 

S T₃  U₄

C. Penjumlahan/Pengurangan Matriks Syarat:  ordonya sama

 jumlahkan/kurangkan elemen-elemen yang seletak.

Misalkan matriks-matriks A, B, dan C berordo sama.

C = A + B dengan c_ij a_ijb_ij C = A  B dengan c_ij a_ijb_ij Contoh:

1.

















 3 0

5 4

2 1

+ _



 





1 4

3

2 =

2.

















1 2 0 3

4 1

+

















 0 1

5 4

1 3

=

3. Diketahui _



 



 2 y

5 x

2 + _



 



 4 y 3

1

x = _



 





8 6 6 12

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan di atas.

Jawab:

4. Diketahui _



 



 

7 10

12

18 – P = _



 







5 3 6

9 . Tentukan matriks P.

Jawab:

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

1. A + B = B + A (sifat komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)

3. mempunyai identitas, yaitu matriks nol O, yang bersifat A + O = O + A = A

4. mempunyai invers, –A adalah lawan/negatif/invers aditif/invers penjumlahan dari matriks A yang bersifat A + (–A) = (–A) + A = O

5. (A + B)^T = A^T + B^T (sifat distribusi tranpose)

D. Perkalian Bilangan Real (Perkalian Skalar) dengan Matriks Kalikan bilangan real (skalar) itu dengan setiap elemen matriks.

  ^

 k.a ,k A

.

k _ij

Contoh:

1. Jika _



 



 

 3 6 1

Q 2 , maka  Q

2 1

2. Diketahui _



 







 

3 9 7

0 4

R 2 dan R = 3S. Tentukan S.

Jawab:

3. Diketahui





















6 3

4 2

0 1

P , _



 





 

2 3 1

1 2

Q 0 , dan f(X,Y) = 2X – 3Y . Tentukan f(Q^T,P).

Jawab:

4. Jika^A2_3  ^aij ^denganaij  ⁱ² ^2j, ^B3_2  ^bij ^{dengan b}ij  ²ⁱ^3j dan f(X,Y) = 3Y – 5X, maka tentukan

T T, A) B

( 2f 3







  .

Jawab:

Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:

Jika p,q; A dan B matriks yang berordo sama, maka:

1. pA = Ap (sifat komutatif)

2. (p + q)A = pA + qA (sifat distributif) 3. p(qA) = (pq)A (sifat asosiatif) 4. p(A + B) = pA + pB

5. 1. A = A 6. –1. A = –A 7. (pA)^T = p (A^T)

1. Jika _



 



 





 





 



 









2 4

5 1 4 1

7 9 d a 2 c 2

b 3 a

3 3 maka tentukan nilai a, b, c dan d.

2. Jika

























































3 0 5 6 2

8 5 0 4 1

7 2 F dan 3 2 4 6

5 4 2 3

8 6 7 2

E , maka tentukan:

a. 2E + F^T b. (E^T  3F)^T c. E + 2F^T

3. Jika





















 























4 1 0

2 2 0

5 3 1 H , 2 5 3

1 0 1

3 2 4

G dan f(x, y) = 3x – 2y, maka tentukan:

a. f(2G, 3H) b. f(H, 4G)

4. Jika _



 



 

 



 





 



 



 

 7 5

2 L 6

4 , 5

12 K 3

10 , 4

7

J 0 dan

f(x, y, z) = 3x  2y + 3z, maka tentukan:

a. f(J, K, L) c. f(2J, K, 3L)

b. f(J, 2K, L) d. f(4J, 3L, 2K)

5. Jika _



 









 





 





7 12

3 M 1

2 3 6

3

4 7 , maka tentukan matriks M.

6. Jika















 



























11 13 2 9 1 6 N 2 1 1

2 5 3 4

5 , maka tentukan matriks N.

E. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika banyak kolom matriks yang pertama sama dengan banyak baris matriks yang kedua.

Jika A_mn,B_pq,danABC, maka:

 C ada jika n = p dan C berordo mq.

 c_ij diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke-i matriks A dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke-j matriks B lalu hasilnya dijumlahkan.





 ⁿ

1 k

kj ik

ij a .b

c

Contoh:

1. Diketahui





















1 1

1 0

2 3

A dan _



 



 

 4 0 2

3 2

B 1 .

Tentukan: a. AB b. BA

Jawab:

Catatan: pada perkalian matriks

2. Diketahui _



 



 

 3 4 0

5 2

A 1 dan _



 



 2 B 1

Tentukan: a. AB b. A^TB Jawab:

3. Diketahui _



 





 

3 1

1

A 2 dan _



 







 

2 0

3 B 1

Tentukan: a. (AB)^T b. A^TB^T c. B^TA^T

Jawab:

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks:

1. Pada umumnya tidak komutatif: AB ≠ BA 2. (AB)C = A(BC) (sifat asosiatif)

3. A(B + C) = AB + AC (sifat distributif kiri) 4. (B + C)A = BA + CA (sifat distributif kanan) 5. Untuk A matriks persegi, A² = A . A

6. Untuk A matriks persegi, A³ = A . A . A = (A . A)A = A(A . A) = A² . A = A . A² 7. Mempunyai identitas, matriks identitas I, yang bersifat: I A = A I = A

8. (AB)^T = B^TA^T

9. k(AB) = (kA)B = A(kB)

1. Hitunglah perkalian matriks berikut ini:

a.   _



 



 4 5 3

8 i. _



 







 





4 3 6 2

5 8

b.  

















5 3 1 6 4

2 j. _



 







 





7 4

1 3 6 2

5 8

c.  























2 p 3 6 p 4 5 p

2 k.



















 





6 5 4 9 3 8 2 7 1

d.  

















6 5 4 3 2

1 l.























 





1 0 6

3 2 5

0 1 4 9 3 8 2 7 1

e.  

















f e d c b

a m.









































1 2 3

1

10 1 2 4 8 5 6 4 9 8 3 8

f.   _



 













 

 sin cos

sin sin cos

cos

g. ^{8 5}

4 3



 



 n.



































 



 





7 3 6

2 2 0

2 4 3

6 0 1

0 5 2

5 4 1 1 0

4 3 0 1 2

h. 1 2 3

6 5 4

















2. Jika _



 







 





 

1 3

2 Q 4

1 dan 1

2

P 3 , maka tentukan:

a. P² f. (P + Q)² k. P²  2PQ + Q²

b. P³ g. (P  Q)² l. (P + Q)(P – Q)

c. P⁴ h. PQ m. P² + PQ + QP + Q²

d. P² + Q² i. QP n. P²  PQ  QP + Q² e. P²  Q² j. P² + 2PQ + Q² o. P²  PQ + QP  Q²

3. Jika _



 



 2 0

1

A 2 , maka A² – A = ....

4. Jika dan f(X) X 4X X 4I

2 5

1

A 3   ³ ² 

 









  , maka f(A) = ....

5. Jika _



 





 



 







 





a 2 3

b 2

1 b 0

0

a , maka a = ....

6. Jika _



 



 



 







 









2 3 1 y x 6 5

4

3 , maka x + y = ....

7. A adalah matriks berordo 2  3 dengan aij = 3i - j dan B adalah matriks berordo 3  2 dengan bij =















j i untuk , j i

j i untuk , j i

2 . Tentukan matriks A, matriks B dan (AB)^T

8. Jika A_{2  3} = (aij) dengan















 

j i untuk j

i

j i untuk i

a_ij j

, ,

2 dan

B_{3  2} = (b_ij) dengan b_ij =













j i untuk , j

j i untk , i²

, maka trace (AB) = ....

Ingat:

* A² – B²  (A + B)(A – B) * Jika A.B = O, maka tidak harus A = O atau B = O

* (A + B)²  A² + 2AB + B² * Jika AB = AC dan A  O, maka tidak harus B = C

* (A – B)²  A² – 2AB + B²

(lanjutan contoh)

4. Diketahui _



 







 





30 X 44 6 2

5

8 . Tentukan matriks X.

Jawab:

5. Diketahui   _



 





20 32

15 5 24

8

X . Tentukan matriks X.

Jawab:

6. Diketahui 



 







 





















15 9 122

3 3 32 1

0 6

3 2 5

0 1 4

X . Tentukan matriks X.

Jawab:

7. Diketahui _



 







 



 





 11 18 2

6 4 8 1 4 3

1 6

X 2 . Tentukan matriks X.

Jawab:

8. Diketahui _



 





 



 







 





1 5

10 , 4

3 3

2 , 1

1 1

2

4 B C

A .

Jika AXB = C, maka tentukan matriks X.

Jawab:

1. Jika _



 







 





0 1

1 A 0

4 . 3

2

1 , maka 2A = ....

2. Jika danA.B C

18 19

7 C 6

2 , 1

3

B 4  



 







 



 , maka A = ....

F. Dua Matriks Saling Invers

Misalkan A dan B matriks persegi berordo sama.

A dan B dikatakan saling invers jika AB = I atau BA = I.

Contoh:

1. Diketahui _



 











 



 







 

9 5

7 B 4

4 dan 5

7

A 9 . Apakah A dan B saling invers?

Jawab:

Periksa ...

Karena ...

Catatan: matriks yang saling invers dengan matriks A dinotasikan dengan A^1.

2. Diketahui _



 





 

4 3

2

P 1 . Tentukan suatu matriks yang saling invers dengan matriks P.

Jawab:

Misalkan matriks yang saling invers dengan matrik P adalah _



 



 P1

3. Diketahui



























1 2 1

1 0 1

1 6 7

Q . Tentukan suatu matriks yang saling invers dengan matriks R.

Jawab:

Misalkan matriks yang saling invers dengan matrik Q adalah Q^1

1. Tentukan matriks yang saling invers dengan matriks _



 







 

4 5

7 R 8

2. Tentukan matriks yang saling invers dengan matriks _



 





 

4 3

2 S 1

3. Jika





















































5 6 c a

c b 3 7 10

3 b a 5 dan 5 2 4

0 1 2

3 2 1

merupakan dua matriks yang saling invers, maka nilai a

G. Invers Matriks Persegi Berordo 22

Diketahui _



 



 d c

b

P a . Tentukan suatu matriks yang saling invers dengan matriks P.

(Matriks yang saling invers dengan P dinotasikan P^1) Jawab:

Misalkan matriks yang saling invers dengan matriks P adalah _



 







z y

x

P ¹ w .

 _



 



 d c

b

P a saling invers dengan P^1

1