METODE ADJUSTED WINNER DAN KRITERIA PEMBAGIAN ADIL
B. Metode Adjusted Winner dan kriteria Efisien
. Karena untuk setiap , berlaku , maka
Hasilnya kontradiksi karena . Akibat dari Teorema 3 yaitu metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional dan Teorema 1 yaitu metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional jika dan hanya jika bebas iri, sehingga akan menghasilkan:
Akibat 4. (S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008)Alokasi yang diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria bebas-iri.
Bukti
Menurut Teorema 3, alokasi yang diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional, sehingga menurut Teorema 1 alokasi yang diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria bebas-iri.
B. Metode Adjusted Winner dan kriteria Efisien
Metode Adjusted Winner dapat membuat sebuah pembagian barang untuk
dua orang dengan tetap memenuhi kriteria proporsional, bebas-iri dan pemerataan.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa prosedur Adjusted Winner memenuhi kriteria
Dalam langkah awal Metode Adjusted Winner, sebuah permasalahan
diselesaikan dengan mengalokasikan setiap barang yang dibagikan kepada orang
yang paling membutuhkan atau memiliki penilaian lebih terhadap barang tersebut.
Suatu barang selanjutnya ditransfer dari pemenang awal kepada pihak lainnya
sampai keduanya memiliki jumlah poin yang sama. Bukti dari efisiensi metode ini
bergantung pada urutan barang yang ditransfer, yaitu dimulai dari barang dengan
rasio poin yang terkecil kepada pihak lainnya. Dengan cara ini akan
meng-efektifkan hasil alokasi barang untuk semua barang yang ditransfer kepada pihak
lainnya. Secara intuitif, metode Adjusted Winner efisien karena tahap awal dari
metode ini efisien, maka efisiensi tidak terpengaruh pada saat penyesuaian
pemerataan (equitability adjustment).
Akan dibuktikan efisiensi Metode Adjusted Winner dengan tiga lemma
berikut. Misalkan dua pihak yang bersengketa disebut pihak pertama dan pihak
kedua. Notasi adalah barang yang akan dibagi antara pihak pertama dan pihak kedua. Selanjutnya dan melambangkan bagian dari barang
yang masing akan dibagi antara pihak pertama dan pihak kedua,
masing-masing menerima dalam alokasi barang tertentu. Sedangkan dan
menunjukkan poin diberikan ke masing-masing barang oleh pihak pertama dan
pihak kedua.
Lemma 1. (S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008) Andaikan kita memiliki alokasi
barang di mana; (i) Penilaian pihak pertama terhadap barang setidaknya
setidaknya sebanyak penilaian pihak pertama. Misalkan pihak pertama menukar
sebagian barang dengan sebagian barang dari pihak kedua.
Jika penukaran ini lebih menguntungkan satu pihak maka akan merugikan pihak
yang lain.
Bukti.
Karena penilaian pihak pertama terhadap barang setidaknya sebanyak penilaian
pihak kedua, maka kita tahu bahwa . Demikian pula, karena penilaian pihak kedua terhadap barang setidaknya sebanyak penilaian pihak pertama,
maka kita tahu bahwa . Selanjutnya semua item kecuali dan dapat diabaikan karena mereka tidak terlibat dalam pertukaran bagiannya. Selama
pertukaran, pihak pertama memberikan total poin , dan mendapatkan
keuntungan total poin.
Jika pertukaran hanya menguntungkan untuk pihak pertama saja, maka kemudian
(1) .
Perhatikan bahwa :
(poin pihak kedua setelah pertukaran) – (poin pihak kedua sebelum pertukaran)
=
≤ karena
< 0 oleh (1),
sehingga setelah pentransferan yang sangat dirugikan adalah pihak kedua.
Demikian pula, jika pertukaran yang lebih diuntungkan adalah pihak kedua, maka
akan merugikan bagi pihak pertama.
Dengan menggunakan kondisi yang berbeda akan dibuktikan pula jika
pertukaran menguntungkan satu pihak saja maka akan merugikan pihak lainnya.
Dituliskan sebagai berikut:
Lemma 2. (S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008) Diketahui suatu alokasi
pembagian barang di mana . Misalkan pihak pertama menukar sebagian
barang dengan sebagian barang dari pihak kedua. Jika penukaran ini lebih
menguntungkan satu pihak maka akan merugikan pihak yang lain.
Bukti.
Seperti dalam bukti Lemma 1, jika pertukaran yang lebih baik bagi pihak pertama,
maka . Karena ., maka .
Sehingga
(poin pihak kedua setelah pertukaran) – (poin pihak kedua sebelum pertukaran)
=
=
< 0 karena,
sehingga setelah pertukaran pihak yang sangat dirugikan adalah pihak kedua. Jika
pertukaran menguntungkan pihak kedua, maka selanjutnya .
Sehingga
(poin pihak pertama setelah pertukaran)–(poin pihak pertama sebelum pertukaran)
=
< karena
=
≤ 0 karena ,
sehingga pihak pertama adalah pihak yang sangat dirugikan setelah pertukaran.
Selanjutnya adalah lemma yang terakhir dimana akan diasumsikan suatu
alokasi yang tidak efisien. Dituliskan sebagai berikut:
Lemma 3. (S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008) Jika suatu alokasi yang diberikan
tidak efisien, maka terdapat barang dan dan suatu bagian daripadanya
sedemikian hingga jika pihak pertama menukarkan bagian dari dengan
setidaknya sama baik untuk kedua pihak dan akan menguntungkan setidaknya
untuk salah satu pihak.
Bukti.
Sebelum membuktikan Lemma 3 terlebih dahulu akan diberikan sifat Additivitas
Lemah Preferensi berikut:
Karena alokasi yang diberikan tidak efisien, maka terdapat alokasi alternatif yang
setidaknya sama baik untuk pihak pertama dan pihak kedua dan menguntungkan
untuk setidaknya salah satu dari pihak yang terlibat. Jadi terdapat himpunan saling
asing dan yaitu berturut-turut himpunan barang milik pihak pertama dan pihak
kedua, sehingga, jika kedua himpunan ini ditukar maka pihak pertama akan
diuntungkan tanpa merugikan pihak kedua.
Misalkan; ; ; ; ; ,
Perhatikan bahwa
… (1)
Akan dibuktikan pertukaran dengan menghasilkan alokasi yang tidak
merugikan bagi pihak kedua.
Asumsikan bahwa terdapat i sehingga pihak pertama lebih memilih alokasi yang
diperoleh dengan menukarkan dengan . Himpunan dan terdiri dari
bagian-bagian beberapa barang. Himpunan merupakan gabungan himpunan
yang saling asing dan sebagai gabungan himpunan yang saling
asing sedemikian rupa sehingga setiap adalah beberapa bagian
𝑆 𝑖 𝑆𝑖 𝑆
si
𝑇 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑃barang tunggal dan pihak pertama akan lebih diuntungkan dengan bertukar
untuk dibandingkan dengan alokasi yang ada.
Dengan alasan yang sama seperti di atas, terdapat seperti dalam alokasi
yang diperoleh dengan bertukar untuk sehingga diperoleh alokasi yang
setidaknya sama baik untuk pihak kedua. Jika tidak demikian, maka alokasi yang
ada lebih baik untuk pihak kedua daripada yang diperoleh dengan bertukar
dengan untuk semua j.
Dengan menggunakan sifat aditivitas lemah preferensi dapat disimpulkan
bahwa alokasi yang ada adalah lebih baik untuk pihak kedua daripada yang
diperoleh bertukar untuk , yang merupakan kontradiksi. Dengan demikian,
telah dihasilkan himpunan bagian dan yang masing-masing terdiri dari
bagian barang tunggal di mana pertukaran dengan menghasilkan sebuah
alokasi yang menguntungkan bagi pihak pertama dan tidak merugikan pihak
kedua daripada alokasi alokasi yang ada
Dengan menggunakan ketiga Lemma di atas akan dibuktikan teorema
yang menjamin bahwa pembagian dengan menggunakan metode Adjusted Winner
memenuhi kriteria efisien.
Teorema 4.
(S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008) Metode Adjusted Winner selalu menghasilkan suatu alokasi yang efisien.Bukti
Akan dibuktikan bahwa metode Adjusted Winner selalu menghasilkan
suatu alokasi yang efisien. Misalkan akan dibuktikan sebaliknya. berdasarkan
Lemma 3, terdapat barang dan dan bagian-bagiannya sedemikian rupa
sehingga jika pertukaran pihak pertama yaitu bagiannya dari untuk bagian
pihak kedua dari , hasil pertukaran yang dihasilkan adalah alokasi yang
setidaknya sama baik untuk keduanya dan menguntungkan setidaknya satu pihak.
Misalkan pihak pertama adalah pemenang awal, karena pihak pertama
masih memiliki setidaknya dari barang setelah setiap transfer yang
diperlukan, maka pihak pertama harus menilai barang setidaknya sebanyak
pihak kedua, sehingga .
Kebalikan dari situasi diatas jika pihak kedua menilai barang setidaknya
sebanyak pihak pertama, maka Lemma 1 menyiratkan bahwa pertukaran tidak
akan menguntungkan kedua belah pihak seperti yang kita asumsikan. Jadi agar
kedua pihak tidak ada yang dirugikan maka harus terdapat kondisi dimana pihak
kedua menilai barang kurang dari pihak pertama, yaitu . tapi pihak kedua telah mempunyai bagian dari , sehingga ia harus menerima hasil transfer
dari metode Adjusted winner. Dalam metode Adjusted Winner barang yang dibagi
hanya satu sehingga adalah barang yang akan dibagi antara kedua pihak dan
pihak pertama memendapatkan semua barang . Karena barang tidak terlibat
dalam tahap transfer, maka rasio poin untuk barang dalam metode Adjusted
Jadi dan bertentangan dengan Lemma 2, sehingga asumsi awal
tidak terbukti bahwa pertukaran tidak merugikan salah satu pihak. Dengan
demikian terbukti bahwa metode Adjusted winner efisien.
Metode Adjusted Winner secara umum berlaku untuk berbagai jenis
perselisihan, dan sangat praktis digunakan. Seorang mediator ataupun negosiator
bisa menjadi suatu alternative cara yang bisa ditambahkan yang berfungsi untuk
mengidentifikasi masalah pada sengketa dan mengidentifikasi apa yang
diperlukan di setiap masalah. Dalam mengalokasikan poin ke suatu item belum
tentu menjadi hal yang mudah, apalagi ketika dalam penerapanya faktor lain
sangat mempengaruhi penilaian barang. Seperti ketika suatu penilai harus
memberikan penilaian tanpa tekanan waktu dan dapat lebih rumit lagi jika
dipengaruhi kecemasan terhadap kecerdasan emosional dengan terampil pendebat.
Lebih baik lagi, jika kedua pihak tunduk kepada penilaian yang jujur, maka setiap
pihak dijamin akan hasil yang iri bebas, adil, dan efisien.
Meskipun Adjusted Winner dapat menjadi metode yang bagus untuk
penyelesaian sengketa, metode ini tetap bukan lah menjadi metode yang sempurna
untuk semua jenis perselisihan tentang pembagian. Kadang-kadang perselisihan
melibatkan lebih dari dua pihak dan tidak ada prosedur pembagian adil yang
sempurna untuk tiga atau lebih pihak.