TEORI SIMILARITAS
4.2 Metode analisis dimensi Buckingham Pi
seperti terlihat pada gambar 4.1b. Sebagai uji bebas maka data fluks apung dari gambar 3.1b, 3.2b dan 3.3b menguatkan keabsahan kurva ini.
Diskusi
Kita berharap dapat menggunakan persamaan ini untuk mendiagnose nilai fluks apung pada sembarang ketinggian dalam interior lapisan tercampur konvektif pada sembarang hari dan lokasi, dengan anggapan kita tahu fluks permukaan dan kedalaman lapisan tercampur. Meskipun tanpa persamaan ini, kita dapat menggunakan gambar 4.1b untuk menentukan fluks pada setiap ketinggian.
4.2 Metode analisis dimensi Buckingham Pi
Misal aliran fluida melalui pipa, dan melibatkan pertanyaan “bagaimana stress geser … bervariasi?”
Langkah 1. Lakukan hipotesis, variabel mana yang bisa menjadi penting untuk aliran. Contoh: stress, densitas, viskositas, kecepatan, diameter pipa, kekasapan pipa
Langkah 2. Temukan dimensi setiap variabelnya. Dimensi fundamental adalah
L : panjang, M : massa, T : waktu, K : temperatur, A : arus listrik, I : intensitas luminous. Dimensi sembarang variabel dapat dipecah ke dalam dimensi dasarnya. Contoh:
ρ : densitas fluida M L-3
µ : viskositas dinamis M L-1 T-1
U : kecepatan L T-1
𝜏 : stress geser M L-1 T-2
D : diameter pipa L
Zo : panjang kekasapan pipa L
Dua yang pertama menggambarkan karakteristik fluida sedangkan dua berikutnya menggambarkan karakteristik aliran sedangkan dua yang terakhir menggambarkan karakteristik pipa.
Langkah 3. Hitung bilangan dimensi dasar dalam masalah kita. Contoh : ada tiga dimensi : L, M, T
Langkah 4. Ambil subset variabel asal kita untuk menjadi “variabel kunci” dengan batasan sebagai berikut:
a. Jumlah variabel kunci harus sama dengan jumlah dimensi dasar b. Semua dimensi dasar harus dinyatakan dalam variable-variabel kunci
43 c. Tak ada kelompok tak berdimensi dari sembarang kombinasi variabel-variabel kunci
ini
Contoh: Ambil 3 variabel: 𝜌 , D dan U untuk menjadi variabel kunci. Catat bahwa ada banyak pilihan yang sama validnya untuk variabel kunci semacam 𝜌, zo,U; atau 𝜏, 𝜇 ,D dsb. Tidak menjadi masalah yang mana yang diambil, dengan mengasumsikan bahwa semua batasan di atas dipenuhi. Himpunan tidak valid terjadi pada U, D, Zo karena 𝐷/𝑍𝑜 tak berdimensi, dan juga karena dimensi dasar M tidak dinyatakan. Himpunan invalid yang lain adalah …., U karena …… tidak berdimensi.
Langkah 5: Bentuk persamaan-persamaan tak berdimensi dari variabel-variabel yang tersisa ke dalam variable-variabel kunci.
Contoh : 𝜏 = (𝜌𝑎)(𝐷𝑏)(𝑈𝑐)
𝜇 = (𝜌𝑑)(𝐷𝑒)(𝑈𝑓) 𝑧𝑜 = (𝜌𝑔)(𝐷ℎ)(𝑈𝑖) Dimana a sampai i adalah proses yang tidak diketahui.
Langkah 6: Pecahkan a sampai dengan i untuk menghasilkan persamaan yang konsisten dimensinya.
Contoh: Pecahkan setiap persamaan secara bebas. Untuk persamaan pertama 𝜏 = (𝜌𝑎)(𝐷𝑏)(𝑈𝑐)
M L-1 T-2 = (M L-3)a (L)b (L T-1)c
M L-1 T-2 = Ma L -3a+b+c T-c
Dimensi pada sisi kiri harus sama dengan dimensi di sebelah kanan. Jadi: M : 1 = a
L : -1 = -3a+ b + c T : -2 = -c
Jadi a = 1, b= 0, dan c =2 .Sehingga persamaan yang konsisten dimensinya adalah 𝜏 = (𝜌1)(𝐷0)(𝑈2)
Dengan cara yang sama, kita peroleh d=1, e=1, f=1 menghasilkan 𝜇 = 𝜌 𝑈 𝐷, Dan juga g = 0, h =1, I = 0 yang menghasilkan zo = D
44 Langkah 7. Untuk setiap pertanyaan, bagi sisi kiri dengan sisi kanan untuk memberikan kelompok - kelompok tak berdimensi (Pi). Jumlah kelompok - kelompok Pi akan selalu sama dengan jumlah variabel-variabel minus jumlah dimensi.
Contoh: 𝑅1 = 𝜏 (𝜌 𝑈^2) 𝑅2 = 𝜇 (𝜌 𝑈 𝐷) 𝑅3 =𝑧𝑜 𝐷
Kita mulai dengan 6 variabel dalam contoh kita dan mengurangi derajat kebebasan kita menjadi 3 kelompok tak berdimensi.
Langkah 8 (optional): Jika diinginkan, alternatif kelompok - kelompok Pi dapat dibentuk dari yang lain yang diturunkan dalam langkah sebelumnya, sepanjang jumlah total kelompok-kelompok Pi tidak berubah, semua variabel dinyatakan, dan tidak ada kelompok-kelompok Pi yang dapat dibentuk dari sembarang kombinasi kelompok-kelompok tersisa. Contoh: satu alternatif himpunan kelompok-kelompok Pi mungkin adalah R1, R4 = ( R2/R3), R5 = ( 1/R3)
Himpunan baru ini adalah:
𝑅1 = 𝜏 (𝜌 𝑈^2) 𝑅4 = 𝜇 (𝜌 𝑈 𝑧𝑜) 𝑅5 = 𝐷 𝑧𝑜
Faktanya, tanpa memandang variabel mana yang dipilih kita selalu dapat tiba pada himpunan kelompok Pi ini. Anda bisa menanyakan himpunan kelompok Pi yang mana yang “benar”. Semua kesamaan tersebut valid, walaupun beberapa kelompok Pi menjadi lebih popular dalam literatur dibanding yang lain. Contohnya pipa seperti yang telah disebut di atas. Kita dapat mengenal R1 identik dengan definisi koefisien drag CD, sedangkan R2 adalah kebalikan dari bilangan Reynolds, Re = (ρ U D)/µ sedangkan kelompok R3 disebut kekasapan relatif.
4.4 Profil angin log
Satu penerapan penting dari teori similiaritas adalah profil angin rata - rata di lapisan permukaan, Karena orang menghabiskan banyak waktunya di lapisan permukaan maka variasi laju angin dengan ketinggian mempengaruhi kehidupan mereka sehari - hari. Profil
45 angin ini mendikte struktur …,….., pagar salju, wind breaker, dispersi polutan, turbulen angin, dan lain - lain.
Seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.4, laju angin biasanya bervariasi mendekati logaritmik terhadap ketinggian di lapisan permukaan. Fractional drag menyebabkan laju angin menjadi 0 di dekat permukaan, sedangkan gaya gradien tekanan menyebabkan angin meningkat terhadap ketinggian.
Ketika di plot pada grafik semi-log (gambar 9.5),….. logaritik semacam profil angin dalam kondisi netral statis menjauh sebagai (dari ??) garis …… Untuk situasi tidak netral, profil angin menyimpang sedikit dari pola logaritmik. Di lapisan batas yang stabil, profil angin berbentuk cekung ke bawah pada kertas semi-log, sedangkan lapisan batas tak stabil berbentuk cekung ke atas.(gambar 9.5)
4.4.1 Profil angin di kondisi netral statis
Untuk memahami laju angin rata - rata 𝑀̅ sebagai fungsi dari ketinggian z di atas permukaan, kita menaksir bahwa variabel ….. ini relevan yakni stress permukaan (dinyatakan oleh kecepatan geser u∗), dan kekasapan permukaan (dinyatakan oleh panjang kekasapan aerodinamik). Dengan memakai teori Buckingham Pi, kita temukan 2 kelompok tak berdimensi : 𝑀̅/u∗dan z/zo. Berdasarkan data yang di plot dalam gambar 9.4 dan 9.5, kita peroleh hubungan logaritmik antara 2 kelompok ini :
𝑀̅/u∗ = 1
𝑘ln(𝑧
𝑧𝑜)
dimana (1/k) adalah konstanta proporsionalitas, nilai konstanta von-Karmann (k) = 0.35 dan 0.4.
Sebagai upaya penyederhanaan, meteorologist sering menganggap bahwa sistem koordinat dari arah angin rata - rata di dekat permukaan, meninggalkan 𝑉 ̅ = 0 dan 𝑈̅ = 𝑀̅. Ini menghasilkan bentuk profil angin log :
𝑈̅ = u∗
𝑘 ln (𝑧
𝑧𝑜) (9.7.1.b)
Penurunan alternatif dapat dilakukan dengan menggunakan teori panjang percampuran. Ingat bahwa fluks momentum di lapisan permukaan adalah 𝑢̅̅̅̅̅̅ = −𝑘′𝑤′ 2𝑧2|𝜕𝑈̅
𝜕𝑧|𝜕𝑈̅
𝜕𝑧 tetapi karena fluks momentum mendekati konstan terhadap ketinggian di lapisan permukaan maka 𝑢′𝑤′
̅̅̅̅̅ (𝑧) = 𝑢′𝑤′̅̅̅̅̅ (𝑧 = 0) = u∗2 . Dengan menstabilkan ini ke dalam pernyataan panjang percampuran dan mengambil akar kuadrat dari seluruh persamaan menghasilkan :
𝜕𝑀̅
𝜕𝑧 = u∗
𝑘𝑧 (9.7.1.c)
Bila ini diintegrasikan terhadap ketinggian dari z = zo (dimana 𝑀̅ = 0) sampai ketinggian z maka kita akan tiba pada persamaan (9.7.1.b). Turunan ini lebih bisa menjelaskan daripada
46 yang dari Buckingham Pi karena ia memprediksi profil angin log secara teoritis tanpa memilih lagi argumen - argumen empirik.
Jika kita bagi kedua sisi (9.7.1.c) dengan u∗
𝑘𝑧 maka kita akan temukan geser angin tak berdimensi Φ𝑀= 1 di lapisan permukaan netral
Φ𝑀 = (𝑘𝑧
u∗) ∗ (𝛿𝑀
𝛿𝑧) = 1 (9.7.1.d)
4.4.2 Panjang kekasapan aerodinamik
Panjang kekasapan aerodinamik, zo, adalah ketinggian dimana laju angin menjadi 0. Kata aerodinamik berasal dari pemantauan yang benar tentang parameter ini yang hanya diperoleh dari pengukuran laju angin pada berbagai ketinggian. Dengan mengetahui pengamatan laju angin pada 2 ketinggian atau lebih maka panjang kekasapan aerodinamik (zo) dan kecepatan geser (u∗) akan dengan mudah dapat dipecahkan. Secara grafis, dapat dengan mudah mencari nilai zo dengan mengekstrapolasi garis lurus melalui titik-titik hasil pengukuran laju angin pada grafik semi-log (gambar 9.5) ke ketinggian dimana 𝑀̅ = 0 (i.e. ekstrapolasikan garis tersebut menuju absis koordinat).
Walaupun panjang kekasapan ini tidak sama dengan ketinggian elemen kekasapan individu di permukaan, namun terdapat hubungan korespondensi satu - satu antara elemen …. tersebut dan panjang kekasapan aerodinamik. Dengan kata lain, sekali panjang kekasapan aerodinamik ditentukan untuk permukaan tertentu maka ia tidak akan berubah terhadap laju angin, stabilitas atau stress. Dia dapat berubah jika elemen kekasapan pada permukaan berubah seperti disebabkan oleh perubahan ketinggian dan tutupan vegetasi, tegakan pagar, konstruksi rumah, deforestasi dan lain - lain.
Nilai - nilai panjang kekasapan seperti ditunjukkan dalam gambar 9.6. memperlihatkan bahwa makin tinggi elemen kekasapan makin besar pula panjang kekasapan aerodinamiknya. Di semua kasus, panjang kekasapan aerodinamik selalu lebih kecil daripada nilai koefisien elemen kekasapan.
Lettau (1969) menyarankan metode penaksiran zo berdasarkan perluasan vertikal rata - rata, elemen kekasapan ℎ∗ , silhoett rata - rata atau luas penampang vertikal yang dinyatakan oleh satu elemen Ss dan ukuran …… SL luas permukaan tanah total / jumlah elemen
𝑍𝑜 = 0.5 ℎ∗(𝑆𝑠 / 𝑆𝐿) (9.7.2.a)
Hubungan ini bisa diterima bila elemen kekasapan berjarak merata, tidak terlalu dekat dan mempunyai koefisien dalam bentuk serupa.
Kondo dan Yamizan (1986) mengajukan hubungan serupa, …. Variasi elemen kekasapan individu dihitung. Misal si adalah luas permukaan horizontal aktual yang dicakup oleh elemen i, dan hi adalah ketinggian elemen tersebut dan jika N elemen mencakup luas total st, maka panjang kekasapan didekati dengan
47 𝑍𝑜 =0.25
𝑆𝑡 ∑𝑛𝑖=1h𝑖𝑠𝑖 =0.25
𝐿𝑡 ∑𝑛𝑖=1h𝑖𝑤𝑖 (9.7.2.b)
Kekasapan aerodinamik juga dapat didekati nilainya dengan menjumlahkan seluruh elemen kekasapan individu yang dihitung ketika berjalan sepanjang garis lurus dengan panjang total Lt. Untuk kasus ini kita harus memperhatikan lebar longitudinal wi dari sebagian elemen dalam arah garis lurus tersebut. Pernyataan ini telah sukses diterapkan untuk elemen bangunan di perkotaan.
Menurut Chernock, panjang kekasapan di permukaan laut juga dapat ditentukan dengan menerapkan kondisi untuk pasir yang bertiup dan salju yang berhembus dengan tambahan parameter 𝛼𝑐 yang tepatnya :
𝑧𝑜 = (𝛼𝑐 u∗∗2)
𝑔 , 𝛼𝑐 = 0.016 (9.7.2.c)
Untuk banyak model ramalan cuaca berskala besar, grid point ….. (pada ketinggian zi di atas permukaan). ….. tinggi sehingga lapisan permukaan tidak terpecahkan. Oleh karena itu penting untuk menghitung variasi kekasapan oleh model peramalan. Andre F Blondine (1986) mengajukan bahwa panjang kekasapan efektif (zoeff) untuk digunakan oleh model …. Ketinggian grid point ……… khususnya, fasis zo eff / h* menurun dari 0.1 ke 0.01 saat z meningkat dari 0.1 km ke 1 km. Taylor mengajukan bahwa zo eff tidak bergantung zi
4.4.3 Jarak perpindahan (2)
Di atas daratan jika jarak antar elemen kekasapan sangat dekat maka puncak elemen - elemen tersebut mulai bertindak sebagai permukaan yang dipindahkan. Contohnya di beberapa kanopi hutan, jarak pohon - pohon cenderung dekat sehingga tampak dari atas seperti massa daun yang solid. Di beberapa kota, rumah berjarak sangat dekat sehingga memberikan efek serupa. Tentukanlah level puncak atap rata - rata mulai bertindak sebagai aliran menyerupai permukaan yang dipindahkan.
Di atas puncak kanopi, profil angin ….. secara logaritmik terhadap ketinggian seperti ditunjukkan pada gambar 7.7. Jadi … mendefinisikan jarak perpindahan d dan panjang kekasapan zo sebagai :
𝑀̅ = u∗
𝑘ln (𝑧−𝑑
𝑧𝑜 ) (9.7.3.a)
Untuk kondisi netral statis dimana 𝑀̅ = 0 pada 𝑧 = 𝑑 + 𝑧𝑜 bila diberikan nilai pengamatan angin dalam kondisi netral statis pada 3 ketinggian atau lebih maka dengan algoritma regresi non linear, metode ….. atau newton - gauss dapat dengan mudah memecahkan nilai u∗, zo dan d.
Jika kita tidak yakin apakah d tak nol tepat untuk situasi tertentu maka pendekatannya adalah dengan memplot 𝑀̅ vs (𝑧 − 𝑑) untuk kondisi netral pada kertas semi-log seperti tampak pada gambar 9.8 sebagai tebakan pertama cobalah d = 0. Jika anda memilih d terlalu kecil maka profil yang diplot akan berupa kurva cekung ke atas. Gunakan ….. kurva ini pada ordinat untuk memberikan tebakan d selanjutnya. Jika d terlalu besar maka kurva akan menjadi
48 cekung ke bawah. Ulangi sampai data yang di plot melengkung. Trik ini tak akan berhasil untuk kasus - kasus non netral untuk profilnya yang melintas melalui lapisan batas internal. Akhirnya jika diketahui laju angin pada 3 ketinggian maka persamaan aljabar berikut akan mudah digunakan untuk menurunkan jarak perpindahan :
𝑀2−𝑀1 𝑀3−𝑀4 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ln (𝑧3−𝑑 𝑧1−𝑑) = ln (𝑧2−𝑑 𝑧1−𝑑) (4.7.3.b)
Kerugian dari persamaan ini adalah bahwa d tidak dinyatakan secara eksplisit, namun persamaan ini dapat digunakan berulang - ulang untuk memecahkan nilai d.
4.4.4 Stress permukaan
Dalam gambar 9.5 u∗ sebanding dengan kemiringan garis, dalam kondisi netral statis. Faktanya, sekali panjang kekasapan dan jarak perpindahan telah ditentukan, maka dengan mudah kita akan temukan
u∗ = 𝑘𝑀̅
ln (𝑧/𝑧𝑜)
Dimana 𝑀̅ adalah laju angin pada ketinggian z. Magnitudo stress permukaan dalam bentuk kinematik adalah u∗2
9.7.5
Pernyataan semacam (9.7.1.b) atau (9.7.1.d) untuk aliran netral statis menghubungkan fluks momentum yang digambarkan dengan u∗2 dengan profil kecepatan 𝑈̅. Pernyataan tersebut dapat disebut sebagai hubungan fluks profil. Hubungan ini dapat diperluas untuk lapisan permukaan non - netral (adiabatik)
Hubungan Businger - Dyer
Dalam kondisi non-netral kita bisa mengharapkan bahwa parameter apung dan fluks panas permukaan merupakan variabel - variabel relevan tambahan. Bila variabel ini digunakan bersama variabel dari sub-bab 7.7 maka analisis Buckingham Pi memberikan 3 kelompok tak berdimensi (memperbaiki jarak perpindahan): 𝑀̅
𝑈∗> 𝑧/𝑧𝑜 dan z/L dimana L adalah panjang Obukhov. Secara alternatif jika kita memperhatikan bagian geser menggantikan bagian laju, maka kita mendapatkan 2 kelompok tak berdimensi ΦM dan z/L. Berdasarkan data eksperimen diperoleh bentuk fungsional sebagai berikut :
ΦM = 1 + (4.7𝑧/𝐿) untuk z/L > 0 (stabil) ΦM = 1 untuk z/L = 0 (netral)
ΦM = [1 − (15𝑧
𝐿 )] -0.25 untuk z/L < 0 (tak stabil)
49 Pernyataan serupa dapat dilakukan pada fluks panas vs profil temperatur potensial virtual : ΦH =𝐾𝑚 𝐾ℎ +4.7𝑧 𝐿 untuk z/l > 0 (stabil) ΦH =𝐾𝑚 𝐾ℎ untuk z/L = 0 (netral) ΦH =𝐾𝑚 𝐾ℎ[1 − (9𝑧
𝐿)] -0.25 untuk z/L < 0 (tak stabil)
Dimana 𝐾𝑚
𝐾ℎ adalah rasio difusivitas eddy panas dan momentum. Rasio ini sama dengan 0.74 dalam kondisi netral. Kurva yang terkait hal diatas di plot dalam gambar 9.9b. Sering dianggap bahwa untuk hubungan profil fluks untuk kebasahan dan ….. sama dengan yang untuk panas.
Profil angin diabatik
Hubungan Businger - Dyer dapat diintegrasikan terhadap ketinggian untuk menghasilkan profil laju angin :
𝑀̅ u∗ = 1 𝑘[ln (𝑧 𝑧𝑜) + 𝜓𝑀 (𝑧 𝐿)] Dimana fungsi 𝜓 (𝑧
𝐿) diberikan untuk kondisi (z/L) > 0 oleh 𝜓 (𝑧
𝐿) =4.7𝑧
𝐿
dan untuk kondisi tak stabil (z/L) < 0 oleh 𝜓 (𝑧
𝐿) = −2 ln {1+𝑥
2 } − ln{(1 + 𝑥2)/2} + 2 tan−1(𝑥)Π/2 dimana x = [1 - (15z/L)] 0.25 Dalam limit aliran netral statis (z/L) = 0, kedua hubungan ini berkurang menjadi profil angin log.
Bila 2 persamaan di atas dikombinasikan maka persamaannya menggambarkan profil log-linear karena 𝑀̅ bergantung pada (ln z) dan secara linear pada (z/L). Seperti terlihat pada gambar 9.5, suku linear menyebabkan angin di lapisan permukaan meningkat terhadap ketinggian lebih cepat daripada dalam profil netral. Bentuk ini diharapkan “ underside” jet pada malam hari. Jelasnya persamaan ini gagal untuk mendekati ketinggian puncak lapisan batas pada malam hari dimana laju angin mencapai maksimum dan kemudian sering menurun terhadap ketinggian. Jadi kita harus menerapkan profil log-linear hanya untuk lapisan permukaan yang stabil.
Fluks panas dan parameter penskalaan
Jika stabilitas dan fluks atau stress diketahui maka hubungan Businger-Dyer dapat dipecahkan secara langsung untuk laju angin atau temperatur potensial pada sembarang ketinggian.
50 Seringkali persamaan ini digunakan terbalik, untuk menaksir angin rata - rata dan profil temperatur. Ini jauh lebih sulit, sebagai contoh u∗ yang nampak pada sisi kanan persamaan (9.7.5 g s.d. 9.7.5 i). Sekali secara eksplisit dan berkali - kali tersembunyi dalam L. Sehingga L merupakan fungsi fluks panas yang harus secara simultan ditaksir dari profil T.
Hasil persamaannya sangat sulit untuk dipecahkan dan sering melibatkan pendekatan iteratif. Satu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menyederhanakan profil fluks. Untuk kondisi tak stabil statis Businger et.al (1971) menemukan 𝑧
𝐿= 𝑅𝑖 , dimana Ri adalah bilangan Richardson gradient. Karena Ri didasarkan pada gradient temperatur potensial dan angin rata - rata, maka dengan mudah dapat dihitung secara langsung dari pengukuran variabel rata - rata tersebut. Jadi perhitungan u∗ atau 𝜃∗𝑆𝐿 dalam (9.7.5i) jauh lebih mudah. Untuk kondisi stabil statis, Arya (1981) menyarankan menerapkan similaritas bentuk profil temperatur dan angin untuk menghasilkan u∗/𝜃∗𝑆𝐿 = ΔM̅ /Δ𝜃̅, dimana selisih Δ diambil vertikal dalam lapisan permukaan. Penyederhanaan ini menyebutkan :
𝐿 =(𝑢∗ 𝜃̅Δ𝑀)̅̅̅̅ (𝑘𝑔Δ𝜃̅) dimana u∗ =[𝑘𝑀̅− {4.7𝑘∗𝑔∗ Δ𝜃̅𝑧 𝜃̅ΔM̅̅̅}] ln (𝑧/𝑧𝑜)