Metode gravitasi - Aplikasi dalam Sains - Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

Aplikasi dalam Sains

4.1 Metode gravitasi

Gaya gravitasi diperkenalkan pertama kali oleh Newton. Gaya yang muncul antara dua benda yang masing-masing bermassam1 danm2 berbanding lurus dengan perkalian massa dua benda dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat r2 yang memisahkan pusat massa kedua benda tersebut.

F = G^m¹^m²

r2 (4.1)

Dalam satuan Standar Internasional konstanta gravitasi G bernilai 6.672 × 10⁻¹¹ N m²/kg²; sementara dalam cgs,G = 6.672 × 10−8 Dyne cm²/g².

Gaya gravitasi menyebabkan benda keduam₂ merasakan percepatan gravitasi akibat penga-ruh benda pertamam₁, yaitu

g = G^m¹

r2 (4.2)

Jikam1 adalah massa bumiMe,g menjadi percepatan gravitasi bumi, yaitu g = G^M^e

R2 e

(4.3) dimanaR_eadalah jari-jari bumi. Percepatan gravitasi pertama kali diukur oleh Galileo di Mena-ra Miring Pisa. Nilai g dipermukaan bumi adalah 980 cm/dt². Sebagai penghargaan terhadap Galileo, 1 cm/dt² disebut 1 galileo atau 1 gal. Gravimeter adalah alat ukur percepatan gravitasi bumi di permukaan bumi. Sensitiﬁtas gravimeter memiliki orde 10−5 gal atau 0.01 mgal.

Gambar 4.1 memperlihatkan diagram vektor respon gravitasi bumi g dan respon gravitasi yang berasal dari suatu benda anomaliδg dengan komponen horizontal δgx dan komponen ver-tikal δg_z. Karena δg_z jauh lebih kecil dibanding g, maka sudut θ tidak signiﬁkan atau relatif sangat kecil sehingga bisa diasumsikan δg ≈ δgz. Artinya respon gravitasi komponen vertikal dari benda anomali dianggap sama persis atau mendekati respon gravitasi yang arah-nya me-nuju benda anomali tersebut. Sehingga, total percepatan gravitasi dalam arah vertikal adalah g + δg_z, terdiri atas percepatan gravitasi bumi dan percepatan gravitasi akibat benda anomali.

Gambar 4.1: Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat bumi

Pusat massa sebuah bola, berjari-jaria dengan densitas ρ, berada pada kedalaman z memiliki pengaruh gaya gravitasi pada benda yang ada disekitarnya. Alat gravimeter diletakkan di titik P sebagaimana tampak pada Gambar 4.2. Komponen vertikal percepatan gravitasiδg_zdirumuskan sebagai berikut δgz = G^m r2 cos θ = G^m r2 z r ^{= G} mz r3 (4.4)

karenam = ρV dan r =√

x2+ z2, sementaraV = ⁴₃πa³, maka δg_z = G⁴

3^πa

3ρ ^z

(x2+ z2)3/2 (4.5)

atau disederhanakan menjadi

δg_z = ka³ρ ^z

(x2+ z2)3/2 (4.6)

dimanak = ⁴₃Gπ

Gambar 4.2: Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi

Sebuah bola berjari-jari 50 m dengan densitas 2500 kg/m³ berada di kedalaman 3000 m. Besarnya percepatan gravitasi yang terukur oleh gravimeter di titik stasiun yang berjarak hori-zontalx = 200 m dihitung menggunakan script Matlab berikut

1 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi 2 k = (4*G*pi)/3;

3 a = 50; % jari-jari bola 4 rho = 2500; % densitas bola 5 z = 3000; % kedalaman pusat bola 6 x = 200; % jarak horizontal 7

8 dgz = (k*rho*a^3*z)/(x^2+z^2)^(3/2);

Pada bagian awal script, perlu ditambahkan clc dan clear all

1 clc 2 clear all 3

4 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi 5 k = (4*G*pi)/3;

6 a = 50; % jari-jari bola 7 rho = 2500; % densitas bola 8 z = 3000; % kedalaman pusat bola 9 x = 200; % jarak horizontal 10

Agar lebih informatif, perlu ditambahkan keterangan tujuan program serta mempertegas bagian inisialisasi dan perhitungandgz

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal 2 % Depok, 2 Maret 2013 3 4 clc 5 clear all 6 7 % ========== inisialisasi variabel ==================== 8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13 x = 200; % jarak horizontal 14

15 % ========== menghitung dgz =========================== 16 dgz = (k*rho*a^3*z)/(x^2+z^2)^(3/2);

Ketika terdapat 2 variasi jarak horizontal, makadgz dihitung 2 kali

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13

14 % --- Ada variasi x1 dan x2 ---15 x1 = 200; % jarak horizontal x1 16 x2 = 300; % jarak horizontal x2 17 18 % ======== dgz dihitung 2 kali ======================== 19 dgz1 = (k*rho*a^3*z)/(x1^2+z^2)^(3/2); 20 dgz2 = (k*rho*a^3*z)/(x2^2+z^2)^(3/2);

Variasi jarak horizontal disimpan dalam sebuah variabel, yaitu variabel x. Hasil perhitungan dgz juga disimpan dalam sebuah variabel, yaitu variabel dgz

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13

14 % -- Ada 2 variasi disimpan dalam variabel x ---15 x = [200 300]; % variasi jarak horizontal x

17 % ======== dgz dihitung 2 kali melibatkan indeks ====== 18 dgz(1) = (k*rho*a^3*z)/(x(1)^2+z^2)^(3/2);

19 dgz(2) = (k*rho*a^3*z)/(x(2)^2+z^2)^(3/2);

Jika terdapat 3 variasi jarak horizontal, maka variabelx diisi dengan 3 angka. Adapun perhi-tungandgz mengikuti jumlah angka pada variabel x

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13

14 % -- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x ---15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x 16

17 % ======== dgz dihitung 3 kali melibatkan indeks ====== 18 dgz(1) = (k*rho*a^3*z)/(x(1)^2+z^2)^(3/2);

19 dgz(2) = (k*rho*a^3*z)/(x(2)^2+z^2)^(3/2); 20 dgz(3) = (k*rho*a^3*z)/(x(3)^2+z^2)^(3/2);

Selanjutnya looping process diterapkan untuk perhitungandgz yang berulang 3 kali

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13

14 % -- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x ---15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x 16

17 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end =================== 18 % --- karena x menyimpan 3 angka, maka looping dilakukan 3 kali ---19 for j = 1:3

20 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 21 end

Banyaknya angka pada variabel x dapat dihitung secara otomatis menggunakan perintah

le-ngth()

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola 13

14 % -- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x ---15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x

16 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 17

18 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end =================== 19 % --- angka 3 diganti dengan n ---20 for j = 1:n

21 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 22 end

Selanjutnya, jarak horizontal dapat divariasikan dengan angka yang lebih banyak lagi, misalnya x dimulai dari -10000 hingga 10000 dengan interval 10 m.

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

14 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 15

16 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end =================== 17 for j = 1:n

18 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 19 end

Sebagai tahap akhir, tampilkan graﬁkx vs dgz dengan perintah plot()

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal 2 % Depok, 2 Maret 2013

3 4 clc 5 clear all 6

7 % ========== inisialisasi variabel ==================== 8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola 11 rho = 2500; % densitas bola 12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

14 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 15

16 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end =================== 17 for j = 1:n 18 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 19 end 20 21 % ======== visualisasi grafik x vs dgz =================================== 22 plot(x,dgz); 23 xlabel(’jarak horizontal’); 24 ylabel(’percepatan gravitasi’); 25 grid on;

Tambahkan perintah close all pada bagian awal script agar setiap kali script dijalankan ia akan menghapus semua graﬁk

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal 2 % Depok, 2 Maret 2013 3 4 clc 5 clear all 6 close all 7 8 % ========== inisialisasi variabel ==================== 9 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola 12 rho = 2500; % densitas bola 13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

15 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 16

17 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end =================== 18 for j = 1:n 19 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 20 end 21 22 % ======== visualisasi grafik x vs dgz =================================== 23 plot(x,dgz); 24 xlabel(’jarak horizontal’); 25 ylabel(’percepatan gravitasi’); 26 grid on;

Berikutnya adalah pembuatan fungsi eksternal untuk perhitungandgz. Mula-mula script per-hitungandgz diatur kembali agar memperjelas bagian mana yang akan di copy-paste menjadi fungsi eksternal

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola 12 rho = 2500; % densitas bola 13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x 15

16 % ========== perhitungan dgz ==========================

17 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 18 for j = 1:n 19 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 20 end 21 22 % ======== visualisasi grafik x vs dgz =================================== 23 plot(x,dgz); 24 xlabel(’jarak horizontal’); 25 ylabel(’percepatan gravitasi’); 26 grid on;

Sederatan baris perintah yang berisi perhitungandgz di-copy-paste kedalam ﬁle fungsi eksternal yang diberinama gravbola()

1 function dgz = gravbola(k,rho,a,z,x) 2

3 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x 4 for j = 1:n

5 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2); 6 end

Sekarang didapatkan script ﬁnal perhitungandgz dengan variasi jarak horizontal

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola 12 rho = 2500; % densitas bola 13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x 15

16 % ========== perhitungan dgz menggunakan fungsi gravbola ================= 17 dgz = gravbola(k,rho,a,z,x)

18 19 % ======== visualisasi grafik x vs dgz =================================== 20 plot(x,dgz); 21 xlabel(’jarak horizontal’); 22 ylabel(’percepatan gravitasi’); 23 grid on; −1 −0.5 0 0.5 1 x 10⁴ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1^{x 10} −8 jarak horizontal percepatan gravitasi

Dalam dokumen Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- (Halaman 73-83)