BAB III METODE KUASA
A. Metode Kuasa
perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang
digunakan pada mesin pencari internet.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n
persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk
, (2.1.1) dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di ,
dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali
sebagai , atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan
memfaktorkannya menjadi
– . (2.1.2)
Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang ter-bentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ se-hingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demi-kian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyele-saian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang ter-kait dengan λ.
Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– (2.1.3)
yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat
– adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-linomial karakteristik matriks A.
Definisi 2.1.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga . Jika λ adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga
disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.
Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis
kembali persamaan menjadi
– .
Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– .
Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.
Teorema 2.1.1
Jika matriks A adalah sebuah matriks n × ndan λ adalah skalar, maka pernyataan berikut adalah ekivalen :
(a) λ adalah nilai eigen dari A.
(b) λ adalah penyelesaian persamaan – .
Bukti :
Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga
, yang ekivalen dengan
– .
yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivi-al, yang terjadi jika dan hanya jika
– .
yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.
Contoh 2.1.1
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik
. Persamaan karakteristik dari A adalah
– , – , – , – , . (2.1.4)
Jadi nilai eigen dari A adalah dan .
Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut, harus diselesaikan sistem penyelesaian
. (2.1.5)
Untuk , persamaan (2.1.5) akan menjadi
,
.
Penyelesaian ini memberikan hasil
, , (2.1.6)
maka vektor eigen yang berkaitan dengan adalah vektor taknol
berbentuk
. (2.1.7) Periksa
.
Dengan cara yang sama untuk , penyelesaiannya memberikan hasil
, , (2.1.8)
dan vektor eigen yang berkaitan dengan adalah vektor taknol
berbentuk
Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka , sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu perka-lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan , ini berarti bahwa perka-lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak
pada garis yang sama dengan . Operator linear memperkecil
dengan suatu faktor λ jika atau memperbesar dengan suatu
fak-tor λ jika . Jika , maka membalik arah , dan
memper-kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika
| | atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu
faktor |λ| jika | | .
Contoh 2.1.2
Akan dicari nilai eigen dari matriks .
Dari determinan
det (2.1.10)
didapatkan persamaan karakteristik . (2.1.11)
Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan bulat
haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta . Sehingga, penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah
faktor-aktor pembagi dari bilangan , yaitu , , dan . Dengan
mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)
akan menghasilkan sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.
Sebagai konsekuensinya, haruslah merupakan salah satu faktor dari
ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kem-bali menjadi
– .
Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah
, √ , √ .
Definisi 2.1.2
Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen –
disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vek-tor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor taknol dalam ruang eigen.
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga
Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal
, , , , maka – adalah matriks segitiga dengan entri diagonal
, , , . Jadi polinomial karateristiknya adalah
yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah
, , ,
Teorema 2.2.1
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari matriks A.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks segitiga atas
.
Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka
det , ,
sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya
, dan nilai-nilai eigennya adalah
, , , ,
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah
entri-entri diagonal utamanya.
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat
Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah
ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka
,
yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen
kaitannya.
Teorema 2.3.1
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen λ. Maka , yaitu Teorema benar untuk k = 1.
Andaikan . Akan dibuktikan bahwa .
Sehingga . Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat
positf k.
D. Nilai Eigen Kompleks
Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks
(2.4.1)
adalah
, (2.4.2)
sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Akar-akar
persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan .
Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kom-pleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.
E. Kegandaan Aljabar
Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari
determinan – adalah polinomial berderajat n di mana koefisien
adalah 1, yaitu
– , (2.5.1)
bentuk polinomialnya adalah
, (2.5.2)
yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks A2 × 2 dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial
berderajat dua, – (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial
karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat
tiga, (lihat persamaan (2.1.11)).
Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor-faktor polinomial karakteristik
,
1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, sebagai contoh
– – .
2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh
3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai contoh
– – – .
Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan, maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi
– – … – (2.5.3)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut
pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktor-faktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktor-faktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi
– – … – (2.5.4)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karaktersitik.
Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4) harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai contoh, jika A matriks 6 × 6dengan polinomial karakteristiknya adalah
–
maka nilai eigen berbeda dari A adalah , , dan , dan
ke-gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya sampai dengan 6.
Teorema 2.5.1
Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A
dapat dinyatakan sebagai
– – – … –
di mana , , … adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan
.
Bukti :
Polinomial karakteristik dari A adalah : –
– – … –
– – … – ,
di mana , , … , adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian
sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat
ter-tinggi dari λ.
F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2 Definisi 2.6.1
Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang
dinyatakan sebagai , adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama
Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema be-rikut.
Teorema 2.6.1
Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka
persamaan karakteristik dari A adalah
– ,
dan
(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila – ;
(b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila
– ;
(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila – .
Bukti : Misalkan
dengan , , , .
Polinomial karakteristik dari A adalah det
.
Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari
– – (2.6.1) sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
– (2.6.2)
Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
, det
(a) Jika – , maka A mempunyai dua nilai eigen real
ber-beda, yaitu –
dan –
.
(b) Jika – , maka , √ , yaitu A
mem-punyai satu nilai eigen real yang berulang.
(c) Jika – , maka – merupakan
bi-langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu –
dan –
.
Contoh 2.6.1
Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan dicari nilai eigen dari
(a) , (b) , (c) .
Diketahui dan , maka persamaaan karakteristik dari
A adalah
hasil pemfaktorannya adalah – – , maka nilai eigennya
dan .
Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah , dan
ni-lai eigen pada soal (c) adalah .
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2 Teorema 2.7.1
Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real. Jika A berbentuk
, (2.7.1) maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni .
Bukti :
Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah , maka
– – – ,
sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.
Jika , maka
– ,
sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu .
Teorema 2.7.2
(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus yang melalui titik 0 pada .
Bukti :
(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah . Jika A mempunyai
nilai eigen berulang, maka – .
Ka-rena jika hanya jika dan , maka
ma-triks , sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ .
Menu-rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ ada-lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen
yaitu setiap titik dalam . Maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka –
–
dan
–
.
Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear ho-mogen
Untuk , maka
.
Misalkan dan , maka
. Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh
.
yang menghasilkan
dan .
Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan
Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh penyelesaian
dan .
yang merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan dengan . Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena
· ·
—
—
—
Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada .
Contoh 2.7.1
Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik .
Karena dan , maka persamaan karakteristik dari A
ada-lah
sehingga nilai eigen dari A adalah dan . Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
. (2.7.2)
Untuk , persamaan 2.7.2 menjadi
. Penyelesaian ini menghasilkan
, , (2.7.3)
yang merupakan persamaan parameter dari garis . Garis ini adalah
ruang eigen yang terkait dengan . Dengan cara yang sama, untuk
akan dihasilkan penyelesaian
, , (2.7.4)
yang merupakan persamaan parameter dari garis .
x y =− =1) (λ x y = =5) (λ y x 0 (-1, 1) (1,1) Gambar 2.1
Garis dan adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di ,
seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan 2.7.3 dan 2.7.4 dapat ditulis dengan bentuk
dan , dengan vektor perentangnya adalah
dan (2.7.5)
yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.
H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen Teorema 2.8.1
Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen , , , (mungkin ada yang berulang), maka
(a) b
Bukti :
(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:
– – – … – (2.8.1)
dan dengan memasukkan , dihasilkan
.
Karena , maka
. (2.8.2)
(b) Misalkan , maka
Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,
akan memuat paling banyak faktor yang melibatkan λ. Jadi
koefi-sien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam
perka-lian
Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh
(2.8.4)
Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh
sehingga didapatkan
Contoh 2.8.1
Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai karakteristik polinomial
. (2.8.5)
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
– ,
maka nilai eigennya adalah , , dan . Jadi,
I. Diagonalisasi Definisi 2.9.1
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga
adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan ma-triks A.
Definisi 2.9.2
Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks
P yang taksingular sedemikian sehingga
. (2.9.1)
Teorema 2.9.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti:
Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen
yang bebas linear, yaitu , , , . Vektor-vektor eigen tersebut dapat
di-susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n
| | |
Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang bebas linear. Maka
| | | | | | | | | A A | | | | | | λ λ | | | (2.9.2)
karena , dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor
eigen , , , .
Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai ei-gen . Maka | | | | | | λ λ λ (2.9.3) | | | λ λ | | | . Maka . Karena P taksingular, maka:
(2.9.4)
Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan
elemen-elemen diagonalnya , , , , dan adalah
matriks taksingular sedemikian sehingga . Maka .
Ka-rena (2.9.5) dan (2.9.6) maka
untuk , , … , . Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari
ma-triks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk , , … , .
Ka-rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor , , ,
be-bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebe-bas linear.
Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonali-kan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.
Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari ma-triks P.
Langkah 3 : Tentukan
Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan
Contoh 2.9.1
Diketahui matriks yang mempunyai nilai eigen dan
dan vektor eigen yang berkaitan adalah , dan
, . Dengan mengambil , maka ,
se-hingga
Definisi 2.9.3
Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika .
Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku .
Definisi 2.9.4
Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian
sehing-ga .
Teorema 2.9.2
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika dan hanya jika A matriks simetrik.
Bukti:
Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Ma-ka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
, sehingga
. (2.9.8)
Karena D adalah matriks diagonal, maka , sehingga
yaitu A adalah matriks simetrik.
Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks beru-kuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk
, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik dapat
di-diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran , maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan vektor eigen yang berkaitan dengan λ, dan
| |, sehingga | | . Selanjutnya dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor , ,
sehingga , , , adalah himpunan vektor-vektor othonormal.
dan
.
Karena , , , orthonomal, maka
dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi
Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, ba-ris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B
adalah
di mana C adalah matriks simetrik berukuran . Berdasarkan
asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal sedemikian
yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektvektor kolomnya or-thonormal. Selanjutnya
.
Jadi yang merupakan matriks diagonal. Misalkan , maka
merupakan matriks orthogonal karena dan matriks-matriks orthogonal, dan
Teorema 2.9.3
Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang ber-beda dari matriks simetrik adalah orthogonal
Bukti:
Misalkan A matriks simetrik, dan adalah nilai-nilai eigen berbeda dari matriks A, dan , vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan
bahwa · . Perhatikan bahwa
· · dan · · (2.9.7) Selanjutnya · ·
Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu
· ·
·
Contoh 2.9.2
Diketahui matriks simetrik yang mempunyai nilai eigen
, , dan dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah
, , , , , , dan , , , dengan
· · ·
BAB III METODE KUASA
A. Metode Kuasa
Dalam banyak aplikasi suatu vektor dalam seringkali dikalikan
secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga
mengha-silkan suatu barisan , , , , , . Bentuk seperti ini disebut
barisan kuasa yang dibangun oleh A.
Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut
dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 3.1.1
Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah
, , , , dan jika | | lebih besar dari | |, , | |, maka disebut
ni-lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen dominan disebut vektor eigen dominan dari A.
Contoh 3.1.1
Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah , , ,
dan . Nilai merupakan nilai eigen dominan karena | |
lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui
nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah , , , dan ,
mutlak-nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainmutlak-nya, sehingga tidak terdapat
nilai eigen dominan.
Teorema 3.1.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif . Jika adalah vektor satuan dalam yang tidak ortogonal
terha-dap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan kuasa ternormalkan
, , , , , (3.1.1) konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
· , · , · , , · , (3.1.2) konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A.
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk
basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
adalah vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen
yang terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari
vektor-vektor basis :
,
dan
.
karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n, . Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, bila ∞, sehingga
untuk ∞.
Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan
, , , , ,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena
, untuk ∞.
Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A.
Ka-rena konvergen ke , maka · akan konvergen ke · ·