viii ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
ix ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
METODE KUASA DAN APLIKASINYA
PADA MESIN PENCARI INTERNET
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Lina Meiliana NIM: 043114014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
POWER METHOD AND ITS APPLICATION
TO INTERNET SEARCH ENGINES
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By: Lina Meiliana
Student Number: 043114014
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
Sang Till Friheten
(Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)
Engkaulah yang terbaik yang aku kenal Engkaulah yang terkasih di dunia ini Engkau seperti bintang, seperti angin,
seperti gelombang, seperti burung, seperti bunga di ladang.
Engkaulah pembimbing dan sahabatku. Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku.
Engkaulah darahku, nafasku, mataku, bahuku, tanganku, dan hatiku.
Kebebasan adalah namamu yang indah. Persahabatan adalah ibumu yang bangga.
Perhatian adalah saudaramu lelaki. Perdamaian adalah saudaramu perempuan.
Keberanian adalah ayahmu. Masa depan adalah tanggung jawabmu.
Engkaulah yang terbaik di dunia ini.
Karya sederhana ini kupersembahkan untuk:
Papa dan Mama Tercinta
Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil”
Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar
viii ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
ix ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang
karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk
memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan,
bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi
penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis
secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.
2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan,
pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
3. Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang
pernah memberikan masukan untuk penulis.
4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing
sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.
5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku
secara tak langsung lewat canda tawa.
6. Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.
Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.
7. Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria
sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak
memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan
xi
8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan
fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.
9. Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan,
bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis
untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.
10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi
baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.
11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku
menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.
12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.
13. Teman-teman Universitas Kristen Maranatha, khususnya Reymon
Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu
dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.
14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy
yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.
15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan,
dinamika, pertemuan, dan dukungan.
16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih
untuk semua dukungan dan perhatiannya.
Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat
membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih
baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.
Penulis,
xii DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vii
xiii
F. Nilai Eigen Matriks 2×2 ... 20
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ... 23
H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen ... 28
I. Diagonalisasi ... 30
BAB III METODE KUASA ... 39
A. Metode Kuasa ... 39
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides ... 42
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ... 44
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh... 48
E. Prosedur Penghentian Iterasi ... 49
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet ... 51
BAB IV PENUTUP ... 60
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang
mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke
negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber
daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.
Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan
Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency
(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana
menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.
Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih
dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka
bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e-mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama,
lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan
"at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang
komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah
gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini
dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.
Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu
Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom
Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan
gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa
saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.
Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin
banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua
jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris,
Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan
newsgroup USENET.
Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka
pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal
komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000
lebih.
Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus
memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam
setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee
menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu.
Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.
Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan
sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah
surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000 alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail
muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo!
didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.
Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila
seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang
tersedia di internet :
1. Informasi untuk kehidupan pribadi: kesehatan, rekreasi, hobi,
2. Informasi untuk kehidupan profesional/pekerja: sains, teknologi,
perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi
bisnis, berbagai forum komunikasi.
Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal
batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat
menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang
sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap
anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi
atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.
Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau
dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs
sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk
mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi
atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara
seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini
bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya
dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah
publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).
Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang
membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan
publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya,
akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.
Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode
Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks
taknol sedemikian sehingga λ , dengan A adalah matriks n × n yang diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan
merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah
pemecahan sistem persamaan linear.
Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan
menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu
banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi.
Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk
mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.
Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul
secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam
bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang
sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan.
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks
yang memenui sifat | | | | untuk , , , , dengan merupakan nilai
Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus
bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem
pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan
dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan
berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu
perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih
nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.
Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan
PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?
C. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin
pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan
teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga
menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu
informasi.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah
dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru
dalam bidang matematika.
F. Manfaat Penulisan
Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi
latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan
penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika
penulisan.
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai
eigen dan vektor eigen, nilai eigen pada matriks segitiga, matriks
pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks
, nilai eigen matriks simetris , dan nilai eigen dalam
determinan dan teras suatu matriks.
BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET
Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan
perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang
digunakan pada mesin pencari internet.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n
persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk
, (2.1.1)
dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di , dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan
sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali
sebagai , atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan
memfaktorkannya menjadi
– . (2.1.2)
Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang
ter-bentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ
se-hingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang
demi-kian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyele-saian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang ter-kait dengan λ.
Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– (2.1.3)
yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat
– adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-linomial karakteristik matriks A.
Definisi 2.1.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga . Jika λ adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga
disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.
Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis
kembali persamaan menjadi
– .
Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– .
Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.
Teorema 2.1.1
Jika matriks A adalah sebuah matriks n × ndan λ adalah skalar, maka
pernyataan berikut adalah ekivalen :
(a) λ adalah nilai eigen dari A.
(b) λ adalah penyelesaian persamaan – .
Bukti :
Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat
vektor taknol x sedemikian sehingga
,
yang ekivalen dengan
– .
yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian
taktrivi-al, yang terjadi jika dan hanya jika
– .
yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.
Contoh 2.1.1
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks
Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik
.
Persamaan karakteristik dari A adalah
–
,
– ,
– ,
– ,
Jadi nilai eigen dari A adalah dan .
Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut,
harus diselesaikan sistem penyelesaian
. (2.1.5)
Untuk , persamaan (2.1.5) akan menjadi
,
.
Penyelesaian ini memberikan hasil
, , (2.1.6)
maka vektor eigen yang berkaitan dengan adalah vektor taknol
berbentuk
. (2.1.7)
Periksa
.
Dengan cara yang sama untuk , penyelesaiannya memberikan hasil
, , (2.1.8)
dan vektor eigen yang berkaitan dengan adalah vektor taknol
berbentuk
Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka , sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu
perka-lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan , ini berarti bahwa
perka-lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak
pada garis yang sama dengan . Operator linear memperkecil
dengan suatu faktor λ jika atau memperbesar dengan suatu
fak-tor λ jika . Jika , maka membalik arah , dan
memper-kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika
| | atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu
faktor |λ| jika | | .
Contoh 2.1.2
Akan dicari nilai eigen dari matriks .
Dari determinan
det (2.1.10)
didapatkan persamaan karakteristik . (2.1.11)
Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari
penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang
ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan
haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta . Sehingga,
penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah
faktor-aktor pembagi dari bilangan , yaitu , , dan . Dengan
mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)
akan menghasilkan sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.
Sebagai konsekuensinya, haruslah merupakan salah satu faktor dari
ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis
kem-bali menjadi
– .
Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah
, √ , √ .
Definisi 2.1.2
Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen –
disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vek-tor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor
taknol dalam ruang eigen.
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga
Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal
, , , , maka – adalah matriks segitiga dengan entri diagonal
, , , . Jadi polinomial karateristiknya adalah
yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah
, , ,
Teorema 2.2.1
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah,
atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari
matriks A.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks segitiga atas
.
Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil
kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka
det
sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya
,
dan nilai-nilai eigennya adalah
, , , ,
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah
dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah
entri-entri diagonal utamanya.
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat
Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah
ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ
merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka ,
yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen
kaitannya.
Teorema 2.3.1
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai
eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen λ. Maka , yaitu Teorema benar untuk k = 1.
Andaikan . Akan dibuktikan bahwa .
Sehingga . Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat
positf k.
D. Nilai Eigen Kompleks
Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah
matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan
kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks
(2.4.1)
adalah
, (2.4.2)
sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Akar-akar
persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan .
Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan
kom-pleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari
E. Kegandaan Aljabar
Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari
determinan – adalah polinomial berderajat n di mana koefisien
adalah 1, yaitu
– , (2.5.1)
bentuk polinomialnya adalah
, (2.5.2)
yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial
karakteristik dari matriks A2 × 2 dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial
berderajat dua, – (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial
karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat
tiga, (lihat persamaan (2.1.11)).
Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk
faktor-faktor polinomial karakteristik
,
1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
sebagai contoh
– – .
2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh
3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai
contoh
– – – .
Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan,
maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi
– – … – (2.5.3)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut
pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktor-faktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k
faktor-faktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi
– – … – (2.5.4)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat
disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari
polinomial karaktersitik.
Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4)
harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai
contoh, jika A matriks 6 × 6dengan polinomial karakteristiknya adalah
–
maka nilai eigen berbeda dari A adalah , , dan , dan
ke-gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya
Teorema 2.5.1
Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A
dapat dinyatakan sebagai
– – – … –
di mana , , … adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan
.
Bukti :
Polinomial karakteristik dari A adalah :
–
– – … –
– – … – ,
di mana , , … , adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian
sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat
ter-tinggi dari λ.
F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2 Definisi 2.6.1
Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang
dinyatakan sebagai , adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama
Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema
be-rikut.
Teorema 2.6.1
Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka
persamaan karakteristik dari A adalah
– ,
dan
(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila – ;
(b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila
– ;
(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila – .
Bukti :
Misalkan
dengan , , , .
Polinomial karakteristik dari A adalah
det
.
Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari
– – (2.6.1)
sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
– (2.6.2)
Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
, det
(a) Jika – , maka A mempunyai dua nilai eigen real
ber-beda, yaitu – dan – .
(b) Jika – , maka , √ , yaitu A
mem-punyai satu nilai eigen real yang berulang.
(c) Jika – , maka – merupakan
bi-langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu
–
dan – .
Contoh 2.6.1
Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan
dicari nilai eigen dari
(a) , (b) , (c) .
Diketahui dan , maka persamaaan karakteristik dari
A adalah
hasil pemfaktorannya adalah – – , maka nilai eigennya
dan .
Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah , dan
ni-lai eigen pada soal (c) adalah .
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2 Teorema 2.7.1
Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.
Jika A berbentuk
, (2.7.1)
maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni .
Bukti :
Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
,
maka
– – – ,
sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.
Jika , maka
– ,
sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu .
Teorema 2.7.2
(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai
eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai
eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada .
Bukti :
(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah . Jika A mempunyai
nilai eigen berulang, maka – .
Ka-rena jika hanya jika dan , maka
ma-triks , sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ .
Menu-rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ
ada-lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen
yaitu setiap titik dalam . Maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka –
–
dan
–
.
Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear
ho-mogen
Untuk , maka
.
Misalkan dan , maka
.
Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh
.
yang menghasilkan
dan .
Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan
Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh
penyelesaian
dan .
yang merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan dengan .
Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena
· ·
—
—
—
Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada .
Contoh 2.7.1
Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik
.
Karena dan , maka persamaan karakteristik dari A
ada-lah
sehingga nilai eigen dari A adalah dan . Ruang eigennya adalah
ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
. (2.7.2)
Untuk , persamaan 2.7.2 menjadi
.
Penyelesaian ini menghasilkan
, , (2.7.3)
yang merupakan persamaan parameter dari garis . Garis ini adalah
ruang eigen yang terkait dengan . Dengan cara yang sama, untuk
akan dihasilkan penyelesaian
, , (2.7.4)
yang merupakan persamaan parameter dari garis .
x
seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan
dan ,
dengan vektor perentangnya adalah
dan (2.7.5)
yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.
H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen Teorema 2.8.1
Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen , , , (mungkin
ada yang berulang), maka
(a)
b
Bukti :
(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:
– – – … – (2.8.1)
dan dengan memasukkan , dihasilkan
.
Karena , maka
. (2.8.2)
(b) Misalkan , maka
Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan
dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat
entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,
akan memuat paling banyak faktor yang melibatkan λ. Jadi
koefi-sien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam
perka-lian
Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh
(2.8.4)
Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh
sehingga didapatkan
Contoh 2.8.1
Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai
karakteristik polinomial
. (2.8.5)
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
– ,
maka nilai eigennya adalah , , dan . Jadi,
I. Diagonalisasi Definisi 2.9.1
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga
adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan ma-triks A.
Definisi 2.9.2
Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks
P yang taksingular sedemikian sehingga
. (2.9.1)
Teorema 2.9.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika
hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti:
Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen
yang bebas linear, yaitu , , , . Vektor-vektor eigen tersebut dapat
di-susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n
| | |
Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang
karena , dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor
eigen , , , .
Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai
ei-gen . Maka
Karena P taksingular, maka:
(2.9.4)
Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang
elemen-elemen diagonalnya , , , , dan adalah
matriks taksingular sedemikian sehingga . Maka .
Ka-rena
(2.9.5)
dan
(2.9.6)
maka
untuk , , … , . Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari
ma-triks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk , , … , .
Ka-rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor , , ,
be-bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebe-bas linear.
Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk
mendiagonali-kan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.
Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari
ma-triks P.
Langkah 3 : Tentukan
Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan
Contoh 2.9.1
Diketahui matriks yang mempunyai nilai eigen dan
dan vektor eigen yang berkaitan adalah , dan
, . Dengan mengambil , maka ,
se-hingga
Definisi 2.9.3
Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika .
Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku .
Definisi 2.9.4
Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian
sehing-ga .
Teorema 2.9.2
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika
Bukti:
Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal.
Ma-ka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
, sehingga
. (2.9.8)
Karena D adalah matriks diagonal, maka , sehingga
yaitu A adalah matriks simetrik.
Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks
simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks
beru-kuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk
, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik dapat
di-diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran ,
maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan vektor eigen yang
berkaitan dengan λ, dan
| |, sehingga | | . Selanjutnya dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor , ,
sehingga , , , adalah himpunan vektor-vektor othonormal.
dan
.
Karena , , , orthonomal, maka
dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi
Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu,
ba-ris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B
adalah
di mana C adalah matriks simetrik berukuran . Berdasarkan
asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal sedemikian
yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektvektor kolomnya
or-thonormal. Selanjutnya
.
Jadi yang merupakan matriks diagonal. Misalkan , maka
merupakan matriks orthogonal karena dan matriks-matriks orthogonal,
dan
Teorema 2.9.3
Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang
ber-beda dari matriks simetrik adalah orthogonal
Bukti:
Misalkan A matriks simetrik, dan adalah nilai-nilai eigen berbeda dari
matriks A, dan , vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan
bahwa · . Perhatikan bahwa
· · dan · · (2.9.7)
Selanjutnya
·
·
Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu
· ·
·
Contoh 2.9.2
Diketahui matriks simetrik yang mempunyai nilai eigen
, , dan dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah
, , , , , , dan , , , dengan
· · ·
BAB III METODE KUASA
A. Metode Kuasa
Dalam banyak aplikasi suatu vektor dalam seringkali dikalikan
secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga
mengha-silkan suatu barisan , , , , , . Bentuk seperti ini disebut
barisan kuasa yang dibangun oleh A.
Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut
dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 3.1.1
Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah
, , , , dan jika | | lebih besar dari | |, , | |, maka disebut
ni-lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen dominan disebut vektor eigen dominan dari A.
Contoh 3.1.1
Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah , , ,
dan . Nilai merupakan nilai eigen dominan karena | |
lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui
nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah , , , dan ,
mutlak-nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainmutlak-nya, sehingga tidak terdapat
nilai eigen dominan.
Teorema 3.1.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif . Jika adalah vektor satuan dalam yang tidak ortogonal
terha-dap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan kuasa ternormalkan
, , , , , (3.1.1)
konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
· , · , · , , · , (3.1.2)
konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A.
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk
basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
adalah vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen
yang terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari
vektor-vektor basis :
,
dan
.
karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, bila ∞, sehingga
untuk ∞.
Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan
, , , , ,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena
, untuk ∞.
Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A.
Ka-rena konvergen ke , maka · akan konvergen ke
· ·
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides
Teorema 3.1.1 memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai
ei-gen dominan dan vektor eiei-gen dominan satuan yang terkait dari sebuah
ma-triks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut
metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah seba-gai berikut:
1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan .
2. Langkah 2 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
pertama terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan.
3. Langkah 3 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
kedua terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan kedua ke nilai eigen dominan.
4. Langkah 4 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
ketiga terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan ketiga ke nilai eigen dominan.
Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan
yang cukup untuk menghasilkan pendekatan yang terbaik untuk nilai eigen
Contoh 3.2.1
Akan digunakan metode kuasa dengan perskalaan Euclides pada matriks
dengan dan akan dibandingkan hasil penghitungan pada
x5 dengan nilai eigen dan vektor eigen dominan yang eksak.
Pada Contoh 2.8.1, telah diketahui bahwa nilai eigen dari matriks A adalah
dan , maka nilai eigen dominan matriks A adalah . Ruang
eigen yang terkait dengan juga telah ditunjukkan pada Contoh 2.8.1,
yang merupakan sebuah garis yang dsajikan oleh persamaan parameter x
dan x , yang dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai
(3.2.1)
Jadi dengan mengambil
√ dan √ akan diperoleh dua vektor eigen
satuan dominan, yaitu
√
√
dan √
√
(3.2.2)
Sekarang akan digunakan metode kuasa untuk memperoleh pendekatan
terhadap nilai eigen dan vektor eigen dominan.
· . . .. .
· . . .. .
· . . .. .
· . . .. .
· . . .. .
Jadi adalah pendekatan nilai eigen dominan dengan ketepatan lima angka
desimal dan x5 adalah pendekatan terhadap vektor eigen dominan
√
√
. …
. …
dengan ketepatan tiga angka desimal.
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum
Variasi dari metode kuasa adalah metode di mana setiap iterasinya
diskalakan dengan entri maksimum. Akan digunakan notasi max untuk
menyatakan nilai mutlak terbesar dari entri-entri dalam vektor .
Teorema 3.3.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif . Jika adalah vektor taknol dalam yang tidak ortogonal
terhadap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan
konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan , dan barisan
·
·
,
·
·
,
·
·
,
,
·
·
,
(3.3.2)konvergen ke .
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk
basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen yang
terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor
basis:
,
sehingga
dan
karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, bila ∞, sehingga
untuk ∞.
Barisan 3.3.1 dapat dinyatakan dengan
, max , max , , max ,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan nilai
eigen dominan , yaitu , karena
untuk ∞.
Terbukti barisan 3.3.1 konvergen ke vektor eigen dominan dari A. Karena
konvergen ke , maka ·
· akan konvergen ke
·
·
· ·
· ·
yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .
Definisi 3.3.1
Hasil bagi Rayleigh dari vektor terhadap matriks A didefinisikan sebagai
Langkah-langkah Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum :
1. Langkah 1 : Pilihlah sebuah vektor taknol .
2. Langkah 2 : Tentukan dan kalikan dengan untuk
menghasilkan pendekatan pertama terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
pertama terhadap nilai eigen dominan.
3. Langkah 3 : Tentukan dan kalikan dengan untuk
menghasilkan pendekatan kedua terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
kedua terhadap nilai eigen dominan.
4. Langkah 4 : Tentukan dan kalikan dengan untuk
menghasilkan pendekatan ketiga terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
ketiga terhadap nilai eigen dominan.
Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan
yang cukup untuk pendekatan yang terbaik terhadap nilai eigen dominan dan
vektor eigen yang berkaitan.
Contoh 3.3.1
Akan dihitung ulang Contoh 3.2.1 dengan metode ini.
. . .
.
Jadi adalah pendekatan terhadap nilai eigen dominan dengan ketelitian
lima angka desimal, dan adalah pendekatan terhadap vektor eigen
domi-nan
dengan mengambil dalam persamaan 3.2.1.
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh
Jika A adalah matriks simetrik yang nilai-nilai eigennya yang berbeda
dapat disusun sebagai berikut :
maka laju hasil bagi Rayleigh konvergen ke nilai eigen dominan
bergan-tung pada nilai perbandingan | |
| |, yaitu konvergensi tersebut lambat bila
per-bandingan itu mendekati 1 dan cepat bila perper-bandingan itu bernilai besar.
Dengan kata lain, makin besar nilai perbandingan tersebut, makin cepat
kon-vergensinya.
Contoh 3.4.1
Akan dibandingkan laju konvergensi Hasil Bagi Rayleigh pada matriks
dengan nilai eigen dan dan matriks
dengan nilai eigen dan .
Perbandingan | |
| | pada matriks A adalah , dan perbandingan | | | | pada
matriks B adalah . Maka laju konvergensi pada matriks B berjalan lebih
cepat dibandingkan laju konvergensi pada matriks A.
E. Prosedur Penghentian Iterasi
Jika λ adalah nilai eksak dari nilai eigen dominan, dan adalah
hasil pendekatan metode kuasa pada iterasi ke-k, maka
(3.5.1)
dominan, dan tujuannya adalah untuk menghentikan langkah-langkah iterasi
setelah galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari E.
Namun, terdapat masalah dalam menghitung galat relatif dengan
menggunakan persamaan 3.5.1, karena nilai eigen λ tidak diketahui. Untuk
menghindari masalah ini, biasanya λ diestimasi dengan λk dan menghentikan
iterasi ketika
(3.5.2)
di mana . Ruas kiri ketaksamaan 3.5.2 disebut galat relatif estimasi
dalam , dan bentuk prosentasenya disebut galat prosentase estimasi
dalam .
Contoh 3.5.1
Akan ditentukan nilai terkecil dari k pada Contoh 3.3.1 sedemikian sehingga
galat prosentase estimasi dalam kurang dari 0.1%
Pendekatan Galat Relatif Galat Prosentase
: . . . . . %
: . . . . . %
: . . . . . %
: . . . . %
Jadi . adalah pendekaan pertama yang galat prosentase
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet
Metode kuasa baru-baru ini telah digunakan untuk mengembangkan
sebuah algoritma pencarian jenis baru yang didasarkan tidak pada isi halaman
tetapi pada hipertaut (hyperlink) antara halaman-halaman. Algoritma itu,
yang disebut algoritma PageRank, digunakan dalam mesin pencari Google
dan dikembangkan pada tahun 1996 oleh Larry Page dan Sergey Brin di
Universitas Stanford. Ide dasar di belakang metode tersebut adalah
mengonstruksikan matriks-matriks yang sesuai yang menggambarkan struktur
perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian
menggunakan vektor eigen dominan matriks-matriks itu untuk menyusun
daftar halaman-halaman tersebut dengan urutan menurun sesuai dengan
kriteria terntentu.
Cara kerja mesin pencari Google adalah sebagai berikut :
1. Bila pengguna meminta Google untuk mencari suatu kata atau frasa,
langkah pertama adalah menggunakan mesin pencari standar berbasis teks
untuk menemukan himpunan awal S0 dari situs-situs yang relevan,
biasanya beberapa ratus atau lebih.
2. Karena kata-kata dapat memiliki beberapa makna, himpunan S0 biasanya
juga memuat situs-situs yang tidak relevan, dan karena kata-kata dapat
memiliki sinonim, himpunan S0 mungkin tidak memuat situs-situs penting
yang menggunakan terminologi yang berbeda untuk kata-kata yang dicari.
Oleh karena itu, Google kemudian mencari situs-situs yang merujuk ke
1 2 3 4
yang lebih besar yang berisi situs-situs itu. Pengandaian yang
melandasinya adalah bahwa himpunan S akan memuat situs-situs yang
paling penting yang terkait dengan kata-kata yang dicari. Himpunan ini
disebut himpunanpencarian.
3. Karena himpunan pencarian dapat memuat ribuan situs, tugas utama mesin
pencari adalah mengurutkan situs-situs tersebut berdasarkan relevansinya
dengan kata-kata yang dicari. Dalam bagian ini dari pencarian tersebut
metode kuasa dan algoritma PageRank memainkan peranan.
Untuk menjelaskan algoritma PageRank, misalnya himpunan
pencarian S memuat n situs. Didefinisikan matriks damping dari S, yaitu matriks di mana jika situs i merujuk situs j dan
jika situs i tidak merujuk situs j. Dengan pengandaian bahwa tidak ada situs
yang merujuk dirinya sendiri, maka entri diagonal dari A adalah nol.
Contoh 3.6.1
Matriks A di bawah ini adalah matriks damping dari himpunan pencarian S
yang memuat empat situs internet :
(3.6.1)
Entri berarti situs 1 merujuk situs 3 dan situs 4. Entri
berarti situs 2 merujuk situs 1, dan seterusnya. Secara umum, entri Situs yang dirujuk
1 2 3 4
berarti situs i merujuk situs j, dan entri berarti situs i tidak merujuk
situs j.
Ada dua peran dasar yang dapat dimainkan oleh suatu situs dalam
proses pencarian, yaitu :
1. Situs tersebut memainkan peranan sebagai hub, artinya situs tersebut
merujuk banyak situs lainnya.
2. Situs tersebut memainkan peranan sebagai otoritas, artinya situs tersebut
dirujuk oleh banyak situs lainnya.
Suatu situs biasanya berperan sebagai hub maupun sebagai otoritas, yang
berarti bahwa situs tersebut merujuk maupun dirujuk.
Pada umumnya, jika A adalah matriks damping dari himpunan n buah
situs internet, maka jumlahan elemen-elemen pada kolom dari A merupakan
ukuran aspek otoritas dari situs-situs itu dan jumlahan elemen-elemen pada
baris dari A merupakan ukuran aspek hub dari situs-situs itu. Sebagai contoh,
jumlahan elemen-elemen pada kolom dari matriks A pada Contoh 3.6.1
adalah 3, 1, 2, dan 2, yang berarti bahwa situs 1 dirujuk oleh tiga situs
lainnya, situs 2 dirujuk oleh 1 situs lain, dan seterusnya. Begitu juga jumlahan
elemen-elemen pada baris dari A adalah 2, 1, 2, dan 3, yang berarti bahwa
situs 1 merujuk dua situs lain, situs 2 merujuk satu situs lain, dan seterusnya.
Jika A adalah suatu matriks damping, maka vektor h0, yaitu vektor
jumlahan elemen-elemen baris dari matriks A, disebut vektor hub awal dari
matriks A, dan vektor a0, yaitu vektor jumlahan elemen-elemen kolom dari
Situs 1
dapat juga dipandang sebagai vektor jumlahan elemen-elemen baris dari
matriks AT, yang ternyata dapat mempermudah dalam melakukan
penghitungan. Entri-entri dalam vektor hub disebut bobot hub, dan entri-entri
dalam vektor otoritas disebut bobot otoritas.
Contoh 3.6.2
Pada Contoh 3.6.1, vektor hub awal dari matriks damping A adalah jumlahan
elemen-elemen baris dari A, yaitu
dan vektor otoritas awal dari matriks damping A adalah jumlahan
elemen-elemen baris dari AT (atau elemen-elemen kolom dari A), yaitu
Contoh 3.6.2 menunjukkan bahwa situs 4 adalah hub terbesar, dan
situs 1 adalah otoritas terbesar. Namun, penghitungan tersebut tidak
menjelaskan semuanya. Misalnya, tampaknya masuk akal bahwa jika situs 1
adalah otoritas terbesar, maka bobot lebih harus diberikan pada hub-hub yang
merujuk situs tersebut, dan jika situs 4 adalah hub terbesar, maka bobot lebih
harus diberikan pada situs-situs yang dirujuk oleh situs tersebut. Jadi, ada
interaksi antara hub dan otoritas yang perlu diperhitungkan dalam proses
Situs yang dirujuk
awal a0, informasi dalam vektor tersebut digunakannya untuk menyusun
vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan rumus
dan (3.6.4)
Pembilang dalam rumus tersebut melakukan pembobotan, dan
normalisasi berfungsi untuk mengontrol ukuran entri-entri. Untuk memahami
bagaimana pembilang itu melakukan pembobotan, perkalian Aa0 dipandang
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor kolom A dengan
koefisien-koefisien dari a0. Misalnya, dengan matriks damping dalam Contoh 3.6.1, dan
vektor otoritas yang dihitung dalam Contoh 3.6.2 didapatkan
A
Dengan demikian masing-masing situs yang dirujuk terbobot oleh entri-entri
dalam vektor a0. Untuk mengontrol ukuran entri-entri, Google menormalisir
Aa0 untuk menghasilkan vektor hub yang baru:
√
. . . .
Vektor hub h1 yang baru sekarang dapat digunakan untuk
memperbarui vektor otoritas dengan menggunakan rumus 3.6.4. Perkalian
Situs yang dirujuk
Setelah vektor-vektor hub h1 dan otoritas a1 yang baru diperoleh, mesin
Google mengulangi proses itu dan menghitung barisan vektor-vektor hub dan
otoritas yang saling terkait:
, , , , , (3.6.5)
, , , , , , (3.6.6)
Masing-masing barisan sebenarnya adalah barisan kuasa. Misalnya, ekspresi
Situs yang dirujuk
yang berarti bahwa barisan 3.6.6 dapat ditulis sebagai:
, , , , , , (3.6.7)
Demikian pula, barisan 3.6.5 dapat ditulis sebagai:
, , , , , (3.6.8)
Teorema 3.1.1 dapat diaplikasikan untuk matriks-matriks simetrik
dan , sehingga barisan kuasa 3.6.7 dan 3.6.8 konvergen ke vektor
eigen dominan satuan dari dan berturut-turut. Entri-entri dalam
vek-tor-vektor eigen tersebut adalah bobot otoritas dan bobot hub yang digunakan
Google untuk menentukan peringkat situs-situs yang dicari dalam urutan
ke-pentingannya sebagai otoritas dan hub.
Contoh 3.6.3
Misalnya mesin pencari Google menghasilkan himpunan pencarian yang
memuat 10 situs internet dan matriks damping dari himpunan tersebut adalah
Algoritma PageRank akan digunakan untuk menentukan peringkat situs-situs
tersebut sebagai otoritas dalam urutan turun. Sebagai a0 diambil vektor
otoritas awal yang telah ternormalisasi:
√
Dilanjutkan dengan cara ini akan menghasilkan barisan vektor otoritas sebagai
Situs 1
Perbedaan kecil antara a9 dan a10 memperlihatkan bahwa iterasi vektor
otori-tas itu telah stabil di dekat vektor eigen dominan dari matriks ATA. Dari
entri-entri dalam vektor otoritas a10 dapat disimpulkan bahwa situs 1, 6, 7, dan 9
mungkin tidak relevan sebagai situs otoritas dalam pencarian itu dan
situs-situs lainnya sebagai otoritas harus dicari dengan urutan sebagai berikut: situs-situs
BAB IV PENUTUP
Internet banyak digunakan sekarang ini karena dapat memberi informasi
penting dalam waktu singkat dan tanpa mengenal jarak dengan menggunakan
mesin pencari yang memberikan informasi situs-situs yang dibutuhkan para
pengguna. Mesin pencari Google menggunakan algoritma PageRank dengan mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan
halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen
dominan matriks itu untuk menyusun daftar halaman-halaman tersebut dengan
urutan kepentingannya sesuai dengan kriteria tertentu. Teori yang melandasi cara
kerja mesin pencari internet itu adalah Metode Kuasa.
Pada mesin pencari internet, metode kuasa tersebut dilaksanakan dengan
iterasi numerik untuk menghasilkan barisan vektor yang konvergen ke vektor
ei-gen dominan dengan menggunakan metode perskalaan Euclides atau metode
per-skalaan entri maksimum. Dengan metode perper-skalaan Euclides, barisan
vektor-vektor tersebut adalah
, , , , ,
yang konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
· , · , · , , · ,
yang konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A. Iterasi tersebut dihentikan ketika galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari galat relatif
Pada aplikasinya, dengan Metode Kuasa dikembangkan suatu algoritma
pencarian yang disebut algoritma PageRank yang digunakan dalam mesin pencari
Google. Ide dasar di belakang algoritma tersebut adalah mengonstruksikan ma-triks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai
de-ngan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen dominan dari matriks
itu untuk menyusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan berdasarkan
krite-ria tertentu. Karena ada interaksi antara situs hub (merujuk) dan situs otoritas
(dirujuk), Google menentukan vektor otoritas awal a0 dan vektor hub awal h0
un-tuk menyusun vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan
rumus
dan
Kemudian Google mengulangi proses itu dan menghitung vektor-vektor hub dan otoritas yang saling terkait :
, , , , ,
, , , , , ,
Masing-masing barisan tersebut adalah barisan kuasa yang konvergen ke vektor
eigen dominan matriks simetrik dan .
Urutan situs-situs hasil pencarian tersebut tercermin dalam entri-entri
vek-tor-vektor eigen. Entri-entri dalam vekvek-tor-vektor eigen tersebut adalah bobot
situs-situs ini ditentukan dengan urutan turun, yaitu dari entri yang bernilai paling
DAFTAR PUSTAKA
Ackleh, Azmy, et al. (2010). Classical and Modern Numerical Analysis: Theory, Methods and Practice. Boca Raton: CRC.
Anton, Howard and R. C. Busby. (2003). Contemporary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons. Inc.
Anton, Howard dan Chris Rorres. (2005). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.
Bradie, Brian. (2006). A Friendly to Numerical Analysis. Upper Saddle River: Pearson Education.
Budhi, Wono Setya. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Conte, S. D., dan Carl de Boor. (1980). Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu Pendekatan Algoritma. Jakarta: Erlangga.
Cullen, Charles G. (1993). Aljabar Linear dan Penerapannya. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Hoffman, Joe D. (1993). Numerical Methods for Engineers and Scientist. New York: McGraw-Hill, Inc.
