Metode Outer-Approximation

BAB 3 PROGRAM LINIER DAN TAKLINIER

3.4 Program Taklinier Integer

3.4.7 Metode Outer-Approximation

Dari pandangan konsepsi algoritma yang didasarkan pada metode Outer-Approximation (Geoffrion, 1972) menggambarkan himpunan penyelesaian dari suatu program sebagai interseksi kumpulan tak terbatas dari himpunan. Dalam

penelitian ini, outer-approximation yang didasari pada karakteristik hiperplane penopang akan dipakai untuk mendekati problema MINLP dengan suatu pro-blema program integer linier campuran dan softwarenya telah tersedia.

Asumsi

Dalam penelitian ini, diandaikan bahwa fungsi taklinier f (x), h(x) dan g(x) dalam (P ) adalah fungsi konveks kontinu differensiabel. Karena f (x) mempunyai fungsi objektif yang konveks, maka [f (x), u] juga konveks, dengan u merupakan variabel scalar. Maka (P ) dapat ditulis dalam program berikut dengan fungsi objektif linier.

minZ = c^Ty − µ kendala f (x) − µ ≤ 0

H(x) ≤ 0

G(x) + B(y) ≤ 0 x ∈ X, y ∈ U µ ∈ [fL, fU]

(P0)

Dengan fL= min{f (x) : x ∈ X} dan fU = max{f (x) : x ∈ X}

Juga diandaikan bahwa (P ) memenuhi bentuk kualifikasi kendala slatter, yaitu terdapat suatu titik x ∈ X sehingga h(x) < 0, g(x) + B(y) < 0∀y ∈ U ∩ V

V = {y : y ∈ Y, integer , h(x) ≤ 0, g(x) + B(y) ≤ 0}

untuk beberapa x ∈ X

(3.33)

45

Andaikan F (y) mendefinisikan himpunan yang layak dalam ruang kontinu problema P0 untuk setiap y ∈ U ∩ V .

F (y) = {x, µ : x ∈ X, µ ∈ [fL, fU] h(x) ≤ 0, f (x) − µ ≤ 0, g(x) + B(y) ≤ 0}

(3.34)

Jadi F (y) dikandung dalam himpunan konveks polyhedral kompak. Dan F (y) adalah himpunan konveks tertutup untuk setiap y ∈ U ∩V . Karena itu, dise-babkan keterpisahan variabel diskrit dalam problema (apa yang perlu dilakukan ialah memindahkan daerah F (y) secara linier dalam ruang), dapat didefinisikan daerah layak kontinu dari problema P0 dengan himpunan tak hingga ruang sete-ngah penopang berikut:

Disini, ∇f (xⁱ) adalah n-vektor gradient ∇h(xⁱ) dan ∇g(xⁱ) masing-masing matrix Jacobi n × p dan n × q. Catat bahwa pertidaksamaan dalam (4.3) berlaku untuk setiap x ∈ F (y). Juga jika x^I 6∈ F (y) maka untuk setiap fungsi dalam (3.35), ψ(xⁱ) > 0, jadi F (y) dan xⁱ terletak pada sisi berlawanan dari hiperplane ψ(xⁱ) + ∇ψ(xⁱ)^T(x − xⁱ) = 0. Himpunan ruang setengah dalam (3.35) berkaitan dengan pendekatan fungsi konveks dalam f, h, g oleh maksimum titik per titik dari kumpulan penopang liniernya.

Outer-approximation dari ruang layak kontinu program P0, oleh irisan se-mua ruang setengah konvergen yang mengandungnya, membawa kepada formulasi program bilangan integer linier campuran semi-infinit :

min Z = c^Ty − µ

kendala

f (xⁱ) + ∇f (xⁱ)^T(x − xⁱ) − µ ≤ 0 h(xⁱ) + ∇h(xⁱ)^T(x − xⁱ) ≤ 0 g(xⁱ) + ∇g(xⁱ)^T(x − xⁱ) + B(y) ≤ 0

x ∈ X, µ ∈ [fL, fU], y ∈ U













∀xⁱ ∈ X (P1)

Lemma 1

Jika asumsi terhadap fungsi dan himpunan dalam problema P0 berlaku, maka problema P1 dan P0 ekivalen.

3.4.7.1 Master Program.

Walaupun problema P1 adalah program bilangan integer linier campuran, merupakan program semi-infinit karena kendala pertidaksamaan harus berlaku untuk sejumlah infinit titik dalam himpunan X. Walaupun ini, secara umum sulit diselesaikan tapi dari sifat diskrit problema dalam hal penyelesaian terhadap program P1. Jika terdapat satu, harus dikaitkan (oleh fisibilitas) dengan titik integer y ∈ U ∩ V , dengan V memiliki representasi ekivalen.

47

Lemma 2

Andaikan [U = {y : y ∈ Y, cacah , A2y ≤ a2}] ∩ V ⊂ Rⁿ₊ merupakan him-punan layak diskrit program P1; A2 diandaikan matrix bilangan integer. Bagian integer dari penyelesaian terhadap program P1harus suatu elemen dari himpunan diskrit U ∩ V dan terjadi pada vertex polyhedral yang mencakup himpunan.

Catatan

Setiap himpunan polyhedral tidak kosong dari bentuk P^∗ harus memiliki sekurang-sekurang satu titik ekstrem dan jumlah titik ekstrem terbatas.

Pentingnya lemma dan catatan diatas ialah bahwa untuk menyelesaikan pro-gram P dengan master propro-gram outer-approximation, ia cukup memformulasikan problema master ini dengan hanya sejumlah titik terbatas, yaitu terhadap yang berkaitan dengan titik ekstrem dari polyhedron yang berhubungan dengan convex hull penyelesaian layak integer C0{U ∩ V }.

Untuk menentukan titik (xⁱ), yang berkaitan dengan titik potong y ∈ C0{U ∩ V } pada outer-approximation daerah layak kontinu dari program P harus diper-lihatkan, dapat dipakai konsep projeksi (Geoffrion, 1972). Projeksi problema P ke y diberikan oleh

miny [ inf

x∈X{C^T(y) + f (x) dengan h(x)  0, g(x) + B(y) ≤ 0}]

Kendala y ∈ U ∩ V

(3.36)

Telah diperlihatkan (Geoffrion, 1972) bahwa problema pers (3.36) ekivalen dengan program P . Nilai fungsi infimum dari problema ”dalam” merupakan harga optimum dari P untuk yⁱ ∈ U ∩ V tetap akan berkaitan dengan harga optimum

z(yⁱ) dari optimisasi subproblema (program nonlinier konvex).

Jelas bahwa program P tidak suatu program konvex dalam x dan y, ke-cuali dengan menetapkan y. Subproblema ini akan didefinisikan untuk semua yⁱ ∈ U ∩ V , karena untuk yⁱ sebagai calon penyelesaian optimum terhadap pro-blema P , yⁱ harus sedemikian sehingga subproblema (S(yⁱ)) layak, yaitu yⁱ ∈ V . Karena itu, seperti diberikan oleh subproblema ini dan hubungannya dengan P , himpunan titik kontinu xⁱ untuk outer-epproximation dalam P1, diberikan oleh titik-titik yang mendefinisikan penyelesaian optimum subproblema S(y) untuk se-jumlah titik ekstrem terbatas yⁱ ∈ U ∩ V . Jadi, master program dalam bentuk akhir diberikan oleh program bilangan linier integer campuran berikut :

min Z = C^Ty + µ

49

Jelas problema P mempunyai penyelesaian optimum terbatas karena daerah layaknya diandaikan tidak kosong dan kompak. Dalam hal bahwa syarat ini tidak berlaku mudah untuk diperlihatkan bahwa problema P tidak layak atau mem-punyai penyelesaian tak terbatas jika dan hanya jika keadaan yang sama benar untuk M . Untuk tak terbatas adalah mungkin untuk mengandalkan problema terhadap daerah yang diketahui mengandung penyelesaian terbatas.

Teorema 1

(x^∗, y^∗) optimum dalam P jika dan hanya jika (x^∗, y^∗) optimum dalam M dengan µ^∗ = f (x^∗).

Bukti

Andaikan (x^∗, y^∗) optimum dalam P . Dari Lemma 2, y^∗ ∈ C0{U ∩ V } dan dari konsep projeksi x^∗ ∈ X mencapai infimum dalam pers (3.36), yaitu:

z^∗ = C^Ty^∗+ f (x^∗) ≤ C^Ty + f (x) untuk semua x, y

Dari outer-approximation pers (3.35) dan dari definisi M jelas bahwa (x^∗, y^∗) layak dalam program M dengan (x, y) = (x^∗, y^∗). Terutama karena x = x^∗ ∈ F (y^∗), 0 ≥ f (x^∗) − µ ≥ sup{f (xⁱ) + ∇f (xⁱ)^T(x − xⁱ) − µ : i ∈ T }. Maksimum per titik harus dicapai pada suatu titik batas (xⁱ, f (xⁱ))), kalau tidak hasil diperoleh untuk minimum tanpa kendala. y^∗ ∈ C0{U ∩ V }, xⁱ = x^∗ optimum dalam S(y^∗), akibatnya bahwa min z = C^Ty^∗+ µ^∗, µ^∗ = f (x^∗). Bukti bahwa arah lainnya sama.

Walaupun master program M mencakup outer-approximation hanya pada jumlah titik terbatas xⁱ , karena sifat kombinatorial problema, bilangan demikian dapat sangat besar. Jadi untuk menyelesaikan master program dapat dipakai re-laksasi (Geoffrion, 1972). Andaikan G dan Γ^k menyatakan daerah layak problema

P0 dan versi relaksasi M^k (pada tahap k) dari master program M .

G = {x, y : x ∈ X, y ∈ U, f (x) − µ ≤ 0, h(x) ≤ 0, g(x) + B(y) ≤ 0} (3.38) Γ^k = (X × U ) ∩ Ω^k (3.39)

Dengan

Ω^k = {x, y :f (xⁱ) + ∇f (xⁱ)^T(x − xⁱ) − µ ≤ 0 h(xⁱ) + ∇h(xⁱ)^T(x − xⁱ) ≤ 0

g(xⁱ) + ∇g(xⁱ)^T(x − xⁱ) + B(y) ≤ 0, semua i ∈ Γ^k} Γ^k ∈ Γ, µ ∈ [fL, fU]

(3.40)

Perhatikan bahwa Γ^k adalah pendekatan untuk himpunan layak G. Dengan demikian relaksasi sebagai strategi untuk menyelesaikan master program M , me-ngakibatkan :

i. Pada iterasi k selesaikan versi relaks M^k yang mengabaikan beberapa kendala (yaitu i ∈ {Γ\Γ^k}).

ii. Jika penyelesaian hasil (x, y^k+1) tidak memenuhi kriteria penghentian ter-tentu, maka selesaikan subproblema S(y^k+1) untuk menentukan titik kontinu x^k+1 pada outer-approximation.

iii. Bentuk versi relaks baru M^k+1 oleh irisan Γ^k dan ruang setengah tertutup yang dikaitkan dengan x^k+1, selesaikan lagi dan teruskan dalam cara ini.

51

Karena itu, versi relaks master program M yang harus diselesaikan pada iterasi k diberikan oleh

min z

¯

k = C^Ty + µ kendala (x, y) ∈ Ω^k x ∈ X, y ∈ U,µ ∈ [fL, fU]

(M^k)

3.4.7.2 Sifat Pembatasan.

Sifat berikut memperlihatkan bahwa setiap pendekatan mengandung him-punan layak G.

Lemma 3

G ⊆ Γ^k untuk semua k.

Karena pada penyelesaian optimum dari tiap versi relaks master program, kesamaan u = f (x) berlaku, akibatnya dari bukti lemma 3 bahwa prosedur outer-approximation menyelesaikan suatu problema dari bentuk P : min{C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ G} dengan mensubstitusikan untuk P barisan problema pendekatan

M^k : min{C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ Γ^k, k = 0, 1, 2, . . .} (3.41)

dengan G ⊆ Γ^k ⊆ Γ^k−1 ⊆ · · · ⊆ Γ⁰

Karena itu, dari konsep relaksasi problema (berkendala lebih sedikit) me-ngakibatkan

min{C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ G} ≥ min{C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ Γ^L}

≥ · · · ≥ min{C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ Γ⁰}

(3.42)

yaitu, barisan harga optimum fungsi objektif z^k = C^Ty + f (x) yang diperoleh pada penyelesaian berurutan dari master problema relaks M^k, harus merupakan barisan tidak turun monoton dari batas bawah pada harga optimum problema awal P . Karena subproblema S(y) diperoleh dari program P untuk y ∈ U ∩ V tetap. S(y) merupakan pembatasan terhadap P dan hal berikut berlaku

min{z = C^Ty + f (x) : (x, y) ∈ G}

≤ min{z(yⁱ) = C^Tyⁱ+ f (x) : x ∈ X, h(x) ≤ 0, g(x) + B(yⁱ) ≤ 0}

(3.43)

Untuk semua yⁱ ∈ U ∩ V tetap, yaitu harga optimum fungsi objektif sub-problema S(yⁱ) untuk setiap yⁱ ∈ U ∩ V memberikan batas atas sah pada harga optimum problema P . Jelas, barisan harga z(yⁱ) tidak perlu monoton tidak naik, tapi selalu dapat dipertahankan harga terbaik saat ini z^∗, sebagai batas atas sah. Karena oleh pengandaian daerah layak subproblema S(y) himpunan konvex kompak, fungsi objektif adalah konvex dan kualifikasi kendala slater berlaku, ini memastikan syarat perlu dan cukup untuk adanya penyelesaian optimum tunggal dalam subproblema S(y) untuk semua y ∈ U ∩ V .

Guna memperhitungkan secara eksplisit sifat pembatasan dalam prosedur untuk implementasi efisien, dan untuk memberikan syarat penghentian dalam algoritma kendala µ ∈ [fL, fU] yang mengajukan rentang terhadap harga fungsi objektif dalam master program, dapat digantikan tanpa adanya perubahan oleh batas lebih kuat z

dan z^∗batas atas terbaik saat ini. Walaupun kendala z

¯

k−1 ≤ z

¯

k berlebihan, karena ia dipenuhi oleh algoritma outer-approximation, ia diajukan untuk mempertinggi efisiensi prosedur.

53

3.4.7.3 Algoritma.

Algoritma outer-approximation dapat dinyatakan berdasarkan seni yang telah dikemukakan pada bagian terdahulu. Semua hipotesis yang diakibatkan dalam perkembangan diandaikan berlaku, terutama hipotesis yang memastikan bahwa P mempunyai penyelesaian optimum terbatas. Algoritmanya adalah seba-gai berikut:

Definisikan

C(xⁱ) = {x, y :f (xⁱ) + ∇f (xⁱ)^T(x − xⁱ) − µ ≤ 0, h(xⁱ) + ∇h(xⁱ)^T(x − xⁱ) ≤ 0

g(xⁱ) + ∇g(xⁱ)^T(x − xⁱ) + B(y) ≤ 0}, x^I, x ∈ X, y ∈ U, µ ∈ R¹

Langkah 1

Buat Ω⁰ = Rⁿ× R^m, batas bawah z⁰ = −∞, batas atas z^∗ = +∞, i = 1 pilih kombinasi cacah y¹ ∈ U atau y¹∈ U ∩ V jika diketahui.

Langkah 2

Selesaikan subproblema S(yⁱ)) untuk problema yⁱ minz(yⁱ) = C^Ty^I + f (x) Kendala h(x) ≤ 0

g(x) + B(yⁱ) ≤ 0 x ∈ X

Salah satu dari hal berikut harus terjadi:

(a) Problema S(yⁱ) mempunyai penyelesaian optimum terbatas (xⁱ, z(yⁱ)) de-ngan z(yⁱ) adalah batas atas sah terhadap program P . Perbaiki perki-raan batas atas saat ini : z^∗ = min{z^∗, z(yⁱ)}. Jika z^∗ = z(yⁱ) buat y^∗ = yⁱ, x^∗ = xⁱ. Buat Ω = Ωⁱ⁻¹∩ C(xⁱ), dan GO TO langkah 3.

(b) Problema S(yⁱ) tidak layak (yaitu yⁱ 6∈ V ) dengan hasil berkaitan xⁱ. Pe-roleh irisan integer untuk menghilangkan yⁱ dari penyelesaian. Buat Ω = Ωⁱ⁻¹∩ C(xⁱ) dan GO TO langkah 3.

Langkah 3

Buat dan selesaikan master program relaks saat ini Mⁱ. min zⁱ = C^Ty + µ

(x, y) ∈ Ωⁱ

Kendala zⁱ⁻¹≤ zⁱ < z^∗ (irisan integer)ⁱ x ∈ X, y ∈ U

(Mⁱ)

Salah satu harus berlaku :

(a) Problema Mⁱtidak memiliki penyelesaian layak integer campuran → STOP.

Penyelesaian optimum terhadap program P diberikan oleh batas atas saat ini z^∗ dan vektor variabel (x^∗, y^∗) dikaitkan dengan sunproblema yang ber-hubungan dalam langkah 2a.

(b) Problema Mⁱ mempunyai penyelesaian optimum terbatas (z^I, yⁱ) dengan zⁱ adalah batas bawah pada harga optimum program P , dan y kombinasi

55

integer baru yang akan diuji algoritma. Buat yⁱ⁺¹ = y, i = i + 1 untuk memperlihatkan iterasi baru. KEMBALI ke langkah 2.

Terlihat dari langkah-langkah ini, algoritma terdiri dari penyelesaian barisan subproblema program nonlinier S(y) dan master problema program integer linier campuran Mⁱ, yang pada umumnya konvergen dalam sejumlah langkah terbatas terhadap penyelesaian problema P .

PENGEMBANGAN ALGORITMA PENCARIAN PADA PROBLEMA PROGRAM TAKLINIER INTEGER CAMPURAN

Pada bab berikut, diberikan gambaran tentang kerangka dasar metode penye-lesaian, ide dasar, dan algoritma dari metode serta contoh kasus masalah problema sintesa dalam design proses kimia yang terdiri dari tiga contoh kasus yaitu pro-blema perencanaan kecil, propro-blema proses sintesa sistem dan propro-blema sintesa flowsheet.

4.1 Kerangka Dasar Metode Penyelesaian

Model rancangan dasar dapat ditulis dalam berikut : minF (x

Algoritma berlangsung dengan mengerjakan barisan iterasi utama, dalam mana kendala di linierisasi pada beberapa titik basis x

¯^k dan nonlinieritas di gabungkan dengan fungsi objektif beserta estimasi pengali Lagrange.

Jadi dapat ditulis

57

Sehingga subproblema berkendala linier diselesaikan pada iterasi utama ke-k yaitu minx

Fungsi objektifnya merupakan perluasan Lagrange yang dimodifikasi, pa-rameter pinalti ρ mempercepat konvergensi dari titik estimasi awal yang berada jauh dari titik optimum. Pengali Lagrange λk diambil sebagai nilai optimal di penyelesaian subproblema sebelumnya.

Apabila barisan iterasi utama mendekati titik optimum (diukur oleh pe-rubahan relative dalam estimasi λk dan derajat terhadap non kendala tak linier dipenuhi x

¯^k) parameter penalti ρ dikurangi menjadi 0.

Metode yang diajukan menggunakan strategi kendala aktif, yang dapat di-sajikan dalam bentuk :

¯^N berada pada batasannya dan tetap disana untuk langkah

∆x¯ berikutnya. Jadi dapat dituliskan

¯^N adalah kombinasi batas atas dan batas bawah. Peubah su-perbasis x

¯^S bebas bergerak kesembarang asal dan memberikan dorongan untuk meminimumkan fungsi objektif.

¯dapat ditulis dalam perubahan pada peubah super basis sehingga

∆x¯= Z∆x

Disini terlihat bahwa matriks Z bekerja sebagai matriks reduksi dan men-galikan dari kiri gradien untuk membentuk gradien tereduksi h

¯ = Z^Tg

¯ dengan g¯= ^∂L_∂x

¯ .

Ia juga mengalikan dari kiri dan kanan matriks Hessi dari turunan parsial kedua untuk menghasilkan langkah seperti Newton dalam ruang tereduksi peubah superbasis. Implementasi dari metode memakai aproksimasi quasi-Newton R^TR terhadap matriks Hessi tereduksi, dimana R matriks segitiga atas ”sparsity”

dalam kendala dipertahankan dengan menyimpan dan memutakhirkan faktorisasi LU dari matriks basis B.

59

Faktorisasi ini memberi arti bahwa Z atau B⁻¹ tidak di komputasikan secara eksplisit. Langkah quasi-Newton ∆x

¯ dihitung dengan langkah berikut :

i. Selesaikan U^TL^Tπ = g

¯^B untuk π dimana vector gradient g

¯dipartisi menjadi (g

¯^B, g

¯^S, g

¯^N) berkaitan dengan partisi A dan ∆x

¯. ii. Bentuk h

¯= g

¯^S− S^Tπ iii. Selesaikan R^TR∆x

¯^S = −h

¯ iv. Selesaikan LU ∆x

¯^B = −S∆x

¯

Ukuran himpunan superbasis bervariasi ketika algoritma penvairan berlang-sung. Jika batas peubah dijumpai, peubah tersebut dibuat menjadi nonbasis dan dipindahkan dari himpunan superbasis (atau basis).

Sedangkan jika konvergensi dicapai dalam suatu subruang, satu atau lebih peubah nonbasis dijadikan superbasis apabila elemen vector reduce cost terkait g¯^N − N^Tπ tak nol dan bertanda sesuai.

Metode penyelesaian program stokastik integer campuran bagian terdahulu adalah metode/algoritma untuk menyelesaikan program stokastik linier dan takli-nier. Dan kerangka kerja metode tersebut dikembangkan untuk program stokastik integer campuran.

Ide dasar

Pandang problema program integer campuran linier (Mixed Integer Linear Programming (MILP)).

xj integer untuk beberapa j ∈ J

Komponen vector layak basis (x

¯^B)k terhadap MILP yang diselesaikan seba-gai problema kontinu dapat ditulis sebaseba-gai

(x¯^B)k = βk − αk₁(x

¯^N)1− · · · − αk_j∗(x

¯^N)j^∗ − · · · − αk,n−m(x

¯^N)n−m

Andaikan (x

¯^B)k peubah bernilai integer dan βk tidak bernilai integer, βk

dipartisi menjadi komponen bulat dan pecahan

βk = [βk] + fk

Jika ingin dinaikkan (x

¯^B)k ke integer terdekat ([β] + 1), dapat dinaikkan peubah takbasis, misalnya (x

¯^N)j^∗ diatas batasannya, asalkan αkj^∗ yaitu salah satu elemen vektor αj^∗ negatif.

Ambil ∆j^∗ yang merupakan sejumlah pergerakan ke peubah nonbasis (x

¯^N)j^∗

sehingga nilai numeric dan skalar (x

¯^B)k integer. Maka ∆j^∗ dapat dinyatakan sebagai peubah nonbasis lainnya tetap di nol.

∆j^∗ = 1 − fk

−αkj^∗

61

Jadi setelah diselesaikan ∆j^∗ untuk (x

¯^N)j^∗diperoleh (x

¯^B)k = [β]+1. Sekarang (x¯^B)k suatu bilangan integer.

Terlihat jelas peubah tak basis sangat berpengaruh dalam membulatkan nilai peubah basis terkait. Ide dasar demikian ini dipergunakan untuk menyele-saikan program stokastik integer campuran.

4.2 Algoritma dari Metode

Setelah menyelesaikan problem relaksasi dengan metode yang diajukan ter-dahulu untuk program stokastik linier, prosedur perencanaan penyelesaian layak integer dapat di deskripsikan sebagai berikut.

Andaikan

x = [x] + f, 0 ≤ f < 1 penyelesaian kontinu dari problem relaksasi

Langkah 1. Pilih baris i^∗ infisibilitas integer terkecil, sehingga

δi^∗ = min{fi, 1 − fi}

Langkah 2.. Lakukan operasi ’pricing’, yaitu hitung v_i^T∗ = e^T_i^∗B⁻¹. Langkah 3. Hitung σij = v_i^T∗aj dengan j berkaitan pada minj{|^di

σ_ij|}

I. Untuk nonbasis j di batas bawah

Jika σij < 0 dan σi^∗= fi hitung ∆ = ^(1−δ_−σ^i∗)

ij

Jika σij > 0 dan σi^∗= 1 − fi hitung ∆ = ^(1−δ_−σ^i∗)

ij

Jika σij < 0 dan σi^∗= 1 − fi hitung ∆ = _−σ^δi∗

ij

Jika σij > 0 dan σi^∗= fi hitung ∆ = _σ^δi∗

ij

II. Untuk nonbasis j di batas atas

Jika σij < 0 dan σi^∗= 1 − fi hitung ∆ = ^(1−δ_−σ^i∗)

Jika tidak pergi ke nonbasis atau superbasis j berikutnya (jika ada). Jadi nilai j^∗ dinaikan dari batas bawahnya atau diturunkan dari batas atasnya. Jika tidak ada pergi ke i^∗ berikutnya.

Langkah 4. Hitung αj^∗ = B⁻¹aj^∗ yaitu selesaikan Bαj^∗ = aj^∗ untuk αj^∗

Langkah 5. Uji kelayakan, terdapat 3 kemungkinan untuk peubah basis tetap layak karena pelepasan peubah nonbasis j^∗ dari batasnya.

Jika j^∗ dibatas bawah Ambil

63

Jika j^∗ di batas atas.

A⁰= min

i⁰6=i^∗|α_ij∗>0

xB_i0 − li⁰

−αij^∗



B⁰= min

i⁰6=i^∗|α_ij∗>0

ui⁰− xB_i0

αij^∗



C⁰= ∆

Gerak maksimum dari j^∗ tergantung pada θ^∗ = min(A⁰, B⁰, C⁰)

Langkah 6. Pertahankan basis untuk ke 3 kemungkinan

1. Jika A atau A⁰

(a) xB_i0 menjadi nonbasis di batas bawah li⁰

(b) xj^∗ menjadi basis (menggantikan xB_i0) (c) xi^∗ tetap basis (tak integer)

2. Jika B atau B⁰

(a) xB_i0 menjadi nonbasis di batas atas ui⁰

(b) xj^∗ menjadi basis (menggantikan xB_i0) (c) xi^∗ tetap basis (integer)

3. Jika C atau C⁰

(a) xj^∗ menjadi basis (menggantikan xi^∗) (b) xi^∗ menjadi superbasis bernilai integer.

Ulangi dari langkah 1.

4.3 Contoh Kasus Masalah Problema Sintesa dalam Design Proses Kimia

Pada bagian ini akan diselesaikan tiga contoh yang berhubungan dengan optimisasi pada masalah sistem proses sistesa. Proses sintesa dapat didefinisikan sebagai seleksi, pembentukan dan operasi dari proses unit untuk mencapai hasil optimal. Dari diberikan struktur super dari design proses kimia akan dihitung kon-figurasi dari hasil optimal yang diinginkan. Lihat Duran dan Grossman (1986a), untuk deskripsi dari masalah. Penulis telah membuat formulasi dari kelas masalah MINLP dengan variabel integer (y) berdasarkan bilangan biner.

4.3.1 Contoh 1. Problema Perencanaan Kecil

A. KALIMAT MATEMATIKA UNTUK PROBLEMA

Problema berdasarkan Kocis dan Grossman (1986), adalah untuk memilih konfigurasi terbaik dari struktur super yang diberikan dari skema proses kimia.(lihat gambar) adalah untuk memproduksi produk C dari material A dan B. Fungsi objektifnya adalah untuk memaksimumkan keuntungan yang diberikan bahwa terdapat batas atas dari produksi C. Berdasarkan Kocis dan Grossman (1986), formulasi program matematika dari masalah diturunkan dari struktur super yang dapat ditulis dalam model MINLP.

65

Gambar 4.1 : Struktur Super pada Contoh 1

Minimize F = 3.5y1+ y2+ 1.5y3+ 7b1+ b2+ 1.2b3+ 1.8a − 11c Subject to b2− ln(1 + a2) = 0

b3− 1.2ln(1 + a3) = 0 c − 0.9b = 0

− b + b1+ b2+ b3 = 0

a − a2− a3 = 0 b − 5y1 ≤ 0 a2− 5y2 ≤ 0 a3− 5y3 ≤ 0 c ≤ 1

b2 ≤ 5

0 ≤ yj ≤ 1 dan integer, untuk j = 1, 2, 3 a, a2, a3, b, b1, b2, b3, c ≥ 0

Fungsi objektif dari formulasi diatas adalah untuk meminimumkan keuntu-ngan negatif. Terdapat 3 variabel biner dari formulasi, 8 variabel kontinu, 2 persamaan nonlinier, 3 persamaan linier, 3 ketaksamaan dan 2 batas atas.

B. DISKUSI HASIL

Karena problema mengandung hanya tiga variabel biner, maka hal ini tidak cukup untuk menggunakan strategi integer untuk menyelesaikan problema.

Dengan demikian dapat digunakan pencarian integer. Berdasarkan pro-blema struktur super, maka tidak diperlukan untuk menyelesaikan propro-blema relaksasi. Kita melompat ke langkah 4 untuk mencari fungsi objektif. Hal ini digunakan untuk menghasilkan produk C. Variabel biner y1 tidak harus bernilai nol (lihat struktur super). Bagaimanapun perubahan diskrit dapat berakibat hanya untuk y2 dan y3. Hasil diberikan pada tabel 4.1. Nilai ob-jektif telah sesuai dengan hasil dari metode Kocis dan Grossmann (1986).

Tabel 4.1 : Hasil Contoh 1

Variabel Aktivitas Setelah Pencarian

67

4.3.2 Contoh 2. Problema Proses Sintesa Sistem

A. MODEL MATEMATIKA DARI PROBLEMA

Contoh ini berdasarkan pada Duran and Grossmann (1983,1986b), adalah satu simultan perhitungan dari struktur optimal dan operasi parameter un-tuk proses berdasarkan spesifikasi design yang diberikan. Variabel keputu-san telah didefinisikan terlebih dahulu.

y adalah variabel biner yang berarti berhubungan dengan setiap unit proses (bagian dari alat-alat) sebagai eksistensi potensial dalam konfigurasi optimal akhir. x adalah variabel kontinu yang merepresentasikan parameter seperti aliran dari material.

Secara umum, fungsi objektif adalah untuk meminimumkan biaya, termasuk investasi dan biaya operasi. Struktur super dari problema sintesa dapat dilihat pada gambar. Formulasi MINLP berdasarkan Duran dan Grossmann (1983,1986b)

Gambar 4.2 : Struktur Super pada Contoh 2

Minimum F = 5y1+ 8y2+ 6y3+ 10y4 + 6y5+ 7y6+ 4y7+ 5y8

− 10x3− 15x5+ 15x10+ 80x17+ 25x19+ 35x21− 40x9

+ 15x14− 35x25+ exp(x3) + exp(x5/1.2)

− 65 ln(x10+ x17+ 1) − 90 ln(x19+ 1) − 80 ln(x21+ 1) + 120 kendala − 1.5 ln(x19+ 1) − ln(x21+ 1) − x14 ≤ 0

− ln(x10+ x17+ 1) ≤ 0

− x3− x5+ x10+ 2x17+ 0.8x19+ 0.8x21− 0.5x9− x14− 2x25 ≤ 0

− x3− x5+ 2x17+ 0.8x19+ 0.8x21− 2x9− x14− 2x25 ≤ 0

− 2x17− 0.8x19− 0.8x21+ 2x9+ x14+ 2x25≤ 0

− 0.8x19− 0.8x21+ x14 ≤ 0

− x17+ x9+ x25≤ 0

− 0.4x19− 0.4x21+ 1.5x14 ≤ 0 0.16x19+ 0.16x21− 1.2x14 ≤ 0 x10− 0.8x17≤ 0

− x10+ 0.4x17 ≤ 0 exp(x3) − 10y1 ≤ 1 x9− 10y3 ≤ 0

0.8x19+ 0.8x21− 10y4 ≤ 0 2x17− 2x9− 2x25− 10y5 ≤ 0 x19− 10y6 ≤ 0

x21− 10y7 ≤ 0

69

x10+ x17− 10y8 ≤ 0 y1 + y2 = 1 , y4 + y5 ≤ 1

− y4+ y6 + y7 = 0 y3 − y8 ≤ 0

0 ≤ yj ≤ 1 , j = 1, ..., 8

l ≤ x ≤ u , x = (xj : j = 3, 5, 10, 17, 19, 21, 9, 14, 25) ∈ R⁹ l^T = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), u^T = (2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3)

Formulasi di atas terdiri dari 8 variabel biner, 9 variabel kontinu terbatas, 23 kendala ketaksamaan. ketaklinieran ada pada fungsi objektif dan dalam 4 ketaksamaan.

B. DISKUSI HASIL

Solusi optimal kontinu diperoleh menggunakan software MINOS. Hanya satu variabel biner adalah integer (pada batas bawah) dari solusi kontinu.Variabel biner Y7 adalah himpunan super basis dengan nilai tak integer. Kemu-dian kita pindahkan variabel ke integer terdekat menggunakan strategi pe-motongan dan mempertahankan super basis. Kita harus memeriksa ke-layakan berdasarkan variabel basis dalam pemindahan ini. Kita integrasikan sisa variabel biner non-integer menggunakan strategi integrasi yang telah diperkenalkan. Hasil kontinu dan integer dapat dilihat pada tabel 4.2 di bawah ini

Hasil kita telah sesuai dengan hasil dari Duran dan Grossmann (1986b).

Total waktu komputasi dengan menggunakan metode ini adalah 16.78 de-tik. Komputasi ini lebih baik dari Duran dan Grossmann (1983,1986b) yang membutuhkan waktu 26 detik dari waktu CPU (DEC-20) untuk

menyele-saikan masalah.

Tabel 4.2 : Hasil Contoh 2

Variabel Aktifitas pada Aktifitas Setelah Solusi Kontinu Proses Integer

Nilai Objektif (F) 15,08219 68,00974

4.3.3 Contoh 3. Problema Sintesa Flowsheet

A. MODEL MATEMATIKA PROBLEMA

Pada contoh 1, problema untuk memilih konfigurasi terbaik berdasarkan beberapa alternatif untuk memproduksi produk C dari bahan A dan B.

Struktur super dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Problema ini, dapat dibentuk dalam MINLP yang mengandung 4 varia-bel biner, 128 variavaria-bel kontinu (81 nonlinier dan 47 linier), 111 kendala kesamaan (56 nonlinier dan 55 linier) dan 14 kendala ketaksamaan linier.

Karena problema sangat besar, model matematika dari problema ini tidak

71

dapat dijelaskan secara eksplisit pd bagian ini. Subroutines CALCFG dan CALCON dari paket MINOS digunakan untuk menyelesaikan problema.

Gambar 4.3 : Struktur Super pada Contoh 3

B. DISKUSI HASIL

Terdapat tiga variabel biner bernilai integer (y1, y2, y3) pada solusi optimal kontinu. Lihat tabel sebagai hasil.(Kita hanya menampilkan variabel biner dalam tabel).

Tabel 4.3 : Hasil Contoh 3

Variabel Biner Aktifitas pada Aktifitas Setelah Solusi Kontinu Proses Integer

y1 0.16364 1.0

y2 0.0 0.0

y3 1.0 1.0

y4 0.0 0.0

Nilai Objektif (F) -2174.20801 -2174.20999

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Strategi pembebasan variabel nonbasic dari batasannya, dikombinasikan de-ngan metode ”kendala aktif” dan gagasan superbasis telah dibangun untuk me-mecahkan problema program nonlinier integer campuran yang efisien. Setelah pemecahan problema dengan tidak memperhatikan syarat kesatuan. Strategi ini digunakan untuk menguatkan variabel basis integer yang tepat terhadap titik-titik integer disekitarnya. Perhitungan pengujian prosedur dikenalkan dalam penelitian ini telah didemonstrasikan dan merupakan pendekatan yang aktif pada problema dalam skala luas.

Jumlah langkah integer akan terbatas jika jumlah variabel integer diletakkan pada problema yang terbatas. Bagaimanapun, akan dicatat perhitungan waktu dari proses integer tidak penting tetapi tergantung pada jumlah variabel integer.

Strategi ini berdasarkan metode Simplex dari program linier. Variabel nonbasis diambil dari batasannya. Solusi integer yang layak merupakan suboptimal karena diturunkan dari solusi optimal kontinu.

Pada pemecahan problema linier, solusi suboptimal yang terdiri variabel interger adalah nilai integer, dapat diperoleh langsung setelah proses integer.

Bagaimanapun, situasi nonlinier sangat berbeda. Karena properties nonlinier dari fungsi Langrang, yang nilai variabel kontinunya diperoleh setelah proses integer tidak dapat diharapkan sebagai nilai proper yang disetujui kendala problema.

73

5.2 Saran

Dari hasil yang diperoleh disarankan untuk mengajukan prosedur integer sebagai strategi efisien untuk memecahkan problema MINLP. Meskipun, akan sulit jika muncul pada problema yang mempunyai jumlah kendala kesamaan dan ketaksamaan yang banyak dan atau jumlah variabel integer lebih banyak daripada kendala atau jumlah variabel nonbasis nonintegernya sedikit.

Aust, R. J. A Dynamic Programming Branch and Bound Algorithm for Pure In-teger Programming. Comp. and Operations Research 5: 27-38, 1976.

Balas, E. and Mazzola, J. B. Nonlinear 0-1 Programming : Linearization Tech-niques, and II Dominance Relations and Algorithm, Math.Progr. 30:1-21, 1984a.

Balas, E. and Mazzola, J. B. Nonlinear 0-1 Programming : Linearization Tech-niques, and II Dominance Relations and Algorithm, Math.Progr. 30:22-45, 1984b.

Bazaraa, M. S. and Sherali, H. D. Benders’ Partitioning Scheme Applied to a New Formulation of the Quadratic Assignment Problem. Nav. Res. Log. Quart.

27:29-41, 1980.

Bellman, R. Dynamic Programming, Princeton University Press, New Jersey, 1957.

Benichou, M., Gauthier, J. M., Girodet, P., Hentges, G., Ribiere, G. and Vin-cent, O. Experiments in Mixed-Integer Linear Programming. Mathematical Programming. 1:76-94, 1971.

Berrada, M. and Stecke, K. E. A Branch and Bound Approach for Machine Load Balancing in Flexible Manufacturing Systems. Management Sci. 32: 1316-1335, 1986.

Bonami, P. et all. An Algorithmic Framework for Convex Mixed Iinteger Nonlinear Programs. Journal of Optimization Theory and Applications, 2005.

Borchers, B. and Mitchel, J. E. An Improved Branch and Bound Algorithm for Mixed Integer Nonlinear Programming.Computer and Operations Research, 21(4):359-367, 1994.

Bussieck, M. R. and Pruessner, A. Mixed Integer Nonlinear Programming. 2003.

Cooper, L. and Cooper, M. W. Nonlinear Integer Programming. Comp. and Math.

with Appls.. 1:215-222, 1975.

Cooper, L. and Cooper, M. W. Introduction to Dynamic Programming. Pergamos Press, Oxford, 1981.

Cooper, M. W. A Survey of Methods for Pure Nonlinear Integer Programming . Management Science, 27:353, 1981.

Cooper, M. W. The Use of Dynamic Programming Methodology for the Solution

Cooper, M. W. The Use of Dynamic Programming Methodology for the Solution