MENYELESAIKAN PROBLEMA PROGRAM TAKLINIER INTEGER CAMPURAN
TESIS
Oleh
JUANDI SIDABUTAR 067021019/MT
SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
PENGEMBANGAN ALGORITMA PENCARIAN UNTUK MENYELESAIKAN PROBLEMA PROGRAM
TAKLINIER INTEGER CAMPURAN
T E S I S
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains Dalam
Program Studi Magister Matematika Pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh
JUANDI SIDABUTAR 067021019/MT
SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
MENYELESAIKAN PROBLEMA PROGRAM TAKLINIER INTEGER CAMPURAN
Nama Mahasiswa : Juandi Sidabutar Nomor Pokok : 067021019
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Saib Suwilo, MSc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Direktur
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2008
Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2008
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : Dr. Saib Suwilo, MSc
Dr. Iryanto, MSi Dr. Sutarman, MSc
Problema matematika khususnya program nonlinier pada tesis ini mempunyai struktur yang mengkarakteristikkan pada subhimpunan variabel yang dibatasi dan diasumsikan pada nilai diskrit yang linier dan dapat dipisahkan dari variabel kontinu. Strategi pengeluaran variabel nonbasis dari batasnya, dikombinasikan dengan metode ”kendala aktif” dan gagasan dari superbasis, yang dibangun un- tuk memecahkan efesien problema dengan tidak memperhatikan kesatuan syarat.
Strategi ini digunakan untuk membuat variabel basis noninteger yang tepat se- hingga bergerak pada titik integer sekitarnya. Studi criteria untuk memilih varia- bel nonbasis yang bekerja dengan strategi integer juga telah dilakukan. Implemen- tasi yang sukses dari algoritma ini dicapai pada bermacam pengujian problem.
Hasilnya menunjukkan bahwa pengajuan strategi integer sedang dipromosikan dalam mencegah klas tertentu dari problema Program Integer Campuran.
Kata Kunci : Algoritma, Program Taklinier Integer, Program Taklinier Integer Campuran
ABSTRACT
The special nonlinear mathematical programming problem which is addressed in this paper has a structure characterized by a subset of variables restricted to as- sume discrete values, which are linear and separable from the continuous variables.
The strategy of releasing nonbasic variables from their bounds, combined with the
”active constraint” method and the notion of superbasics, has been developed for efficiently tackling such a problem by ignoring the integrality requirements, this strategy is used to force the appropriate non-integer basic variables to move to their neighbourhood integer points. A study of criteria for choosing a nonbasic variables to work with in the integerizing strategy has also been made. Successful implementation of these algorithms was achieved on various test problems. The result show that the proposed integerizing strategy is promosing in tackling cer- tain classes of mixed integer programming problems.
Keyword : Algorithm, Integer Nonlinear Programming, Mixed Integer Nonlinear Programming
Penulis mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan karuniaNya sehingga penulisan tesis yang berjudul ”Pengembangan Al- goritma Pencarian untuk Menyelesaikan Problema Program Taklinier Integer Campuran” dapat dirampungkan. Tesis ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Universitas Su- matera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Gubernur Sumatera Utara dan Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis dan Kepala Di- nas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Mate- matika, Universitas Sumatera Utara.
Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp. Ak selaku Rektor Universitas Sumatera Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesem- patan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada Sekolah Pascasarjana pada Program Magister Matematika Universitas Sumatera Utara, Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Matematika SPs USU dan juga sebagai pembimbing-I yang dengan penuh kesabaran memo- tivasi dan membimbing penulis serta memberikan buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penelitian yang penulis lakukan sehingga tesis ini dapat selesai.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU dan juga sebagai pembimbing-II yang dengan penuh kesabaran memberikan dukungan moril, kritik dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Dr. Sutarman, M.Sc dan Drs. Iryanto, M.Si selaku pembanding yang telah banyak memberikan saran, masukan dan arahan yang membangun terhadap kesempurnaan penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada SPs USU yang dengan sungguh-sungguh telah berusaha memberikan ilmunya kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh Staf Administrasi SPs USU, teristimewa Sdri. Misiani, S.Si dan Sdri. Sri Rayani Tanjung, SSi yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis.
Rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan kedua, atas kerja sama, kebersamaan dan bantuannya dalam mengatasi berbagai masalah selama perku- liahan berlangsung.
Secara khusus penulis ingin menyampaikan terima kasih dan sayang yang mendalam kepada orang tua Gr. St. Mayang Redikson Sidabutar (Alm) dan Panamotan Br Samosir gelar Op. Sahdo; mertua Gr. Mula Hamzah Naibaho, BA dan Vtrn. Pinta Omas Bunga br. Siburian gelar Op. Ma- ngasi; Istri tercinta Junita Naibaho, S.Pd dan Ananda tersayang Eko Sahdo Immanuel Yohan Clinton Sidabutar yang senantiasa mendoakan, mendorong dan melayani dengan penuh kasih, sabar serta memberikan pengorbanan yang tidak terbatas kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Keluarga Besar Perguruan Kristen Immanuel Medan yang terus men- doakan dan memotivasi serta membantu penulis selama mengikuti pendidikan di SPs Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara, Medan.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memer- lukannya.
Medan, 20 Juni 2008 Penulis,
Juandi Sidabutar
RIWAYAT HIDUP
Juandi Sidabutar, dilahirkan di Kabupaten Simalungun pada tanggal 11 September 1958, merupakan anak kedua dari tujuh orang bersaudara anak dari Alm. Gr. St. Mayang Redikson Sidabutar dan Panamotan Br Samosir gelar Op.
Sahdo. Menamatkan pendidikan SD Negeri Jorlang Hataran pada tahun 1971, SMP Negeri Tiga Balata pada tahun 1974 dan SMA Negeri 3 Pematang Siantar pada tahun 1977. Tahun 1978 bebas testing di Institut Keguruan dan Ilmu Pen- didikan (IKIP) Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Muda Pendidikan Matematika pada tahun 1981, selama perkuliahan mendapat beasiswa Pelita dan pada tahun 1980 diterima menjadi Mahasiswa Beasiswa Ikatan Dinas pada Pen- didikan Guru Sekolah Lanjutan Atas (PGSLA / D3-A3) dan lulus pada tahun 1981. Pada tahun 1982 penulis menjadi tenaga pengajar sukarela di SMA Negeri Sumbul Kabupaten Dairi. Pada tahun 1983 menjadi Calon Pegawai Negeri Sipil (CPNS) di SMA Negeri Aek Kanopan Labuhan Batu. Menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) tahun 1984. Mengikuti Pendidikan S-1 Transfer di Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Negeri Medan tahun 1985. Tahun 1986 Wakil Kepala SMA Swasta Pelita Aek Kanopan Labuhan Batu dan mengikuti Pelatihan Profesi Guru Matematika di BPG Sunggal Medan 6 (enam) bulan tahap pertama. Tahun 1987 mengikuti Pelatihan Profesi Guru Matematika di BPG Sunggal Medan 6 (enam) bulan tahap kedua. Tahun 1988 menjadi Kepala SMA Swasta Abdi Karya Nusantara Aek Kanopan Labuhan Batu. Tahun 1989 memasuki Universitas Ter- buka cabang Medan. Tahun 1990 diangkat menjadi Guru Diperbantukan (Dpk) di SMA Swasta Kristen Immanuel Medan. Tahun 1989/1990 diangkat menjadi penatar (guru inti) Guru Matematika Provinsi Sumatera Utara dan Daerah Is- timewa Banda Aceh. Menyelesaikan Pendidikan Sarjana di STKIP Pelita Bangsa
di SMA Swasta Kristen Immanuel Medan.
Penulis menikah dengan Junita Naibaho, S.Pd pada tahun 1986 dan telah dikaruniai Tuhan satu orang anak Eko Sahdo Immanuel Yohan Clinton Sidabutar yang saat ini telah tamat dari Sekolah Menengah Pertama (SMP) Immanuel.
Pengalaman berorganisasi : Ketua OSIS SMA Negeri 3 Pematang Siantar tahun 1976. Anggota Senat Mahasiswa IKIP Negeri Medan tahun 1978/1979.
Ketua Badan Perwakilan Mahasiswa IKIP Negeri Medan tahun 1980/1981. Ke- tua Panitia Olimpiade Matematika antar Pelajar SMA Se-Sumatera Utara Im- manuel ke-I tahun 2000, Immanuel ke-2 tahun 2001 dan Immanuel ke-3 tahun 2002. Sekretaris Umum Assosiasi Guru Matematika SMA/MA Sumatera Utara tahun 2007/2010, Ketua 3 Himpunan Matematika Indonesia Wilayah Nangro Aceh Darussalam dan Sumatera Utara (IndoMS NAD-SUMUT) tahun 2008/2010.
Pada tahun 2006 diperkenankan mengikuti pendidikan Program Studi Ma- gister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dengan program beasiswa dari Bappeda Propinsi Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . vi
DAFTAR ISI . . . viii
DAFTAR TABEL . . . x
DAFTAR GAMBAR . . . xi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 5
1.3 Tujuan Penelitian . . . 5
1.4 Kontribusi Penelitian . . . 6
1.5 Metodologi Penelitian . . . 6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 8
BAB 3 PROGRAM LINIER DAN TAKLINIER . . . 11
3.1 Program Linier . . . 11
3.1.1 Dualitas . . . 13
3.1.2 Metode Simplex . . . 14
3.2 Program Integer Linier . . . 16
3.3 Program Taklinier . . . 20
3.4 Program Taklinier Integer . . . 21
3.4.2 Pendekatan Branch and Bound . . . 29
3.4.3 Teknik Enumerasi Implisit . . . 34
3.4.4 Pendekatan Program Dinamik . . . 37
3.4.5 Metode Dekomposisi Benders . . . 39
3.4.6 Metode-metode Lainnya . . . 42
3.4.7 Metode Outer-Approximation . . . 43
BAB 4 PENGEMBANGAN ALGORITMA PENCARIAN PADA PRO- BLEMA PROGRAM TAKLINIER INTEGER CAMPURAN . . 56
4.1 Kerangka Dasar Metode Penyelesaian . . . 56
4.2 Algoritma dari Metode . . . 61
4.3 Contoh Kasus Masalah Problema Sintesa dalam Design Proses Kimia . . . 64
4.3.1 Contoh 1. Problema Perencanaan Kecil . . . 64
4.3.2 Contoh 2. Problema Proses Sintesa Sistem . . . 67
4.3.3 Contoh 3. Problema Sintesa Flowsheet . . . 70
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 72
5.1 Kesimpulan . . . 72
5.2 Saran . . . 73
DAFTAR PUSTAKA . . . 74
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Hasil Contoh 1 . . . 66 4.2 Hasil Contoh 2 . . . 70 4.3 Hasil Contoh 3 . . . 71
Nomor Judul Halaman 4.1 Struktur Super pada Contoh 1 . . . 65 4.2 Struktur Super pada Contoh 2 . . . 67 4.3 Struktur Super pada Contoh 3 . . . 71
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Solusi algoritma untuk Program Taklinier Integer Campuran (Mixed Inte- ger Non Linear Programmings (MINLP)) telah menjadi penelitian yang sering dilakukan. Penelitian ini diharapkan memiliki kemajuan yang terus menerus dalam pengembangan dan implementasi yang baik dari algoritma Program Linier Integer Campuran (Mixed Integer Linear Programmings (MILP)) dan Program Taklinier (Non Linear Programmings (NLP)), baik dengan cara mengkombinasi keahlian dari field dan hasil yang signifikan. Penelitian ini memperkenalkan se- buah kerangka algoritma pencarian untuk MINLP dari kolaborasi ini. Untuk MINLP dengan relaksasi konvex, kerangka ini adalah algoritma yang tepat, akan tetapi dapat juga diaplikasikan pada MINLP yang tidak konvex sebagai heuristik.
Program Taklinier Integer Campuran (MINLP) dapat dinyatakan sebagai berikut:
P
min f (x, y) s.t.
g(x, y) ≤ 0
x ∈ X ∩ Zn, y ∈ Y
(1.1)
dimana X dan Y adalah polyhedral subset dari Rn dan Rp berturut-turut, dan X adalah terbatas (bounded). Fungsi f : X × Y → R dan g : X × Y → Rm adalah kontinu dengan differentiable dua kali. Ketika f dan g adalah fungsi
konvex, P dikatakan konvex.
Problema program taklinier integer muncul dalam beragam pemakaian. Pe- makaian dalam bidang kimia teknik mencakup proses sintesis, penjadwalan siklik, dan rancangan kolom destilasi. Problema program taklinier integer juga muncul sebagai problema Cutting Stock taklinier dalam industri kertas dan dalam opti- masi konfigurasi pompa. Pemodelan struktur model simultan dan spektroskopi infra merah membentuk problema program taklinier integer campuran kuadratik berskala besar.
Baru baru ini, perhatian dalam model program taklinier integer telah juga dimotivasi oleh aplikasi dari industri nuklir. Problemanya adalah memaksimumkan efisiensi atau kinerja reaksi nuklir setelah operasi pemuatan. Suatu bidang pe- makaian yang baru dan menarik adalah optimasi topologi dimana peubah biner memodelkan ada atau tidaknya material dalam setiap elemen hingga.
Aplikasi lainnya muncul dalam rancangan jaringan air, dimana arah ali- ran melalui suatu pipa dimodelkan oleh disjunksi. Aplikasi berikutnya adalah dalam financial seperti perencanaan strategis dalam rancangan jaringan teleko- munikasi, dimana aspek integer menyajikan jumlah serat optik yang akan ditem- patkan dalam pipa, nonlinieritas muncul dari elastisitas yang berkenaan dengan strategi pemberian harga di masa akan datang. Pemakaian model financial juga baru-baru ini dikemukakan dalam problema alokasi asset pada manajemen data, yang objektifnya meminimumkan resiko.
Problema (P ) demikian ini banyak menarik perhatian para peneliti disam- ping karena pemakaiannya yang banyak serta dalam berbagai bidang kehidupan nyata, tetapi juga karena ia termasuk dalam problema sulit non polynomial (NP
3
Hard Problema).
Dua ide utama yang diajukan untuk menyelesaikan MINLP konvex, yang pertama adalah pendekatan Branch and Bound (BB), dimana batas bawah untuk sub problema P adalah :
P
min f (x, y) s.t.
g(x, y) ≤ 0
x ∈ ¯X ∩ Zn, y ∈ Y
(1.2)
dengan polyhedral subset ¯X dari X, dihitung dengan menyelesaikan re- laksasi kontinu dari ˜PX¯, dan yang lain ˜P ditulis relaksasi kontinu dari asosiasi problema P yaitu :
P˜X¯
min f (x, y) s.t.
g(x, y) ≤ 0 x ∈ ¯X , y ∈ Y
(1.3)
dengan catatan bahwa batas bawah dari pendekatan BB dapat diperkuat de- ngan cutting planes seperti penelitian yang terdahulu ( R. Stubbs and S. Mehrotra, 1999).
Branch and Bound merupakan algoritma umum yang telah dipakai pada berbagai problema dalam optimisasi kombinatorial dan program integer. Land and Doig (1960) mula-mula menerapkan algoritma Branch and Bound untuk pro- blema perjalanan penjaja. Namun perlu dicatat bahwa pemakaian algoritma ini
dalam menyelesaikan program integer akan memberikan pengertian bahwa dise- tiap buhul percabangan harus diselesaikan problema program kuadratik. Dengan demikian algoritma demikian ini secara komputasi tentunya tidak efisien.
Alternatif kedua adalah dengan pendekatan antara penyelesaian MILP dan NLP yang konvex. Dua algoritma yang berbeda ini dapat diikuti oleh pen- dekatan berikut: Generalisasi Dekomposisi Benders dan Outer Approximation (OA). MILP diselesaikan dengan dua pendekatan ini diperoleh dari P dengan menukar fungsi nonlinier oleh polyhedral outer approximation. Dikatakan (¯x, ¯y) adalah solusi optimal dari MILP, NLP yang konvex adalah P dengan x tetap ke
¯
x(PX¯). Catatan bahwa pendekatan yang berhubungan adalah algoritma cutting- plane secara luas yang mengandalkan solusi yang berturut-turut dari problema MILP.
Kerangka perhitungan dalam penelitian ini menggunakan outer approkxi- mation dan relaksasi sub problema ˜PX¯ ke perhitungan batas bawah, dan PX¯
menghitung batas atas dalam pola branch and cut yang fleksibel. Ketika hanya relaksasi problema ˜PX¯ digunakan untuk menghitung batas bawah, maka kita akan mempunyai algoritma BB klasik. Ketika Outer Approximation dan PX¯ digunakan bergantian pada akar buhul (node), maka kita akan mendapatkan algoritma OA klasik.
Oleh Karena cukup banyaknya problema dunia nyata yang dapat difor- mulasikan dalam model (P ) ditambah lagi dengan sulitnya mengatasi problema tersebut secara analitis, maka perlu dikembangkan suatu prosedur atau algoritma sedemikian hingga problema (P ) dapat diselesaikan secara efisien.
5
1.2 Perumusan Masalah
Branch and Bound sebagai suatu algoritma yang biasa dipakai untuk menye- lesaikan problema program integer linier sulit diterapkan pada problema program taklinier integer terhadap kondisi yang tidak konveks. Namun perlu dicatat bahwa pemakaian algoritma ini dalam menyelesaikan program integer akan memberikan pengertian bahwa disetiap buhul percabangan harus diselesaikan problema pro- gram kuadratik. Dengan demikian algoritma demikian ini secara komputasi ten- tunya tidak efisien. Oleh karena itu perlu dikembangkan suatu algoritma untuk menyelesaikan problema tersebut.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah mengembangkan suatu algoritma untuk menyelesaikan secara efisien problema program taklinier integer campu- ran serta penerapannya dalam situasi komersial dimana kebutuhan kemampuan integer merupakan syarat penting dari model. Dengan adanya algoritma dan terciptanya perangkat lunak diharapkan dapat banyak membantu dunia indus- tri dan perguruan tinggi yang bergumul dengan model seperti pada problema (P ). Pengembangan algoritma yang akan dihasilkan dari penelitian ini juga mem- berikan kontribusi penting dalam bidang program integer dan program taklinier integer.
1.4 Kontribusi Penelitian
Model problema banyak terdapat pada berbagai problema dunia nyata seperti problema sintesa dalam rancangan proses kimia, investasi, sistem manajemen pe- ngawasan, mutu air, pemasaran produk baru. Dengan adanya algoritma yang efisien untuk menanggulangi model problema demikian, sehingga akan banyak membantu para peneliti ataupun para pengambil keputusan yang bergumul de- ngan model seperti pada program. Sehingga terdapat suatu algoritma untuk menyelesaikan problema dalam skala yang luas. Melalui algoritma ini akan da- pat digali keuntungan sifat linearitas dari variabel diskrit dan konveksitas fungsi berharga kontinu.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini membahas tentang pengembangan algoritma pencarian untuk menyelesaikan problema program taklinier integer campuran. Sebagai langkah awal dibicarakan konsep dasar program linier, integer linier, taklinier dan takli- nier integer. Selanjutnya dibahas beberapa teknik dan pendekatan menyelesaikan program taklinier integer. Pada bagian akhir dibahas mengenai pengembangan al- goritma pencarian untuk menyelesaikan problema program taklinier integer cam- puran yang terdiri dari kerangka dasar penyelesaian, algoritma dari metode, dan tiga contoh kasus masalah problema sintesa dalam design proses kimia.
Problema program matematika nonlinier pada penelitian ini mempunyai karakteristik struktur dengan subhimpunan variabelnya yang diasumsikan berni- lai diskrit yang linier dan dapat dipisahkan dari variabel kontinu. Strategi dari pembebasan variabel nonbasis dari batasannya, dikombinasikan dengan metode
7
”kendala aktif” dan gagasan dari superbasis yang telah dibangun untuk meme- cahkan efisiensi problema dengan tidak memperhatikan syarat kesatuan. Strategi ini digunakan untuk menguatkan variabel basis non-integer yang tepat terhadap titik-titik integer disekitarnya.
Penelitian dari criteria untuk memilih variabel nonbasic pada strategi kesa- tuan juga telah dibuat. Implementasi yang sukses dari algoritma ini dicapai pada bermacam-macam tes problema. Hasilnya menunjukkan bahwa tujuan strategi kesatuan diajukan untuk memecahkan klas tertentu dari problema program inte- ger campuran.
TINJAUAN PUSTAKA
Beberapa algoritma telah diajukan untuk menyelesaikan program taklinier integer campuran (MINLP). Di bawah ini disampaikan beberapa algoritma terse- but sebagai suatu kajian literatur.
Bonami et al. (2005), mengajukan sebuah kerangka algoritma yang konvex pada program taklinier integer campuran. Penelitiannya dimotivasi pada kenya- taan bahwa MINLP adalah sebuah daerah yang penting dan sulit, yang mem- butuhkan pengembangan metode dan software baru untuk menyelesaikan pro- blema dalam skala yang luas. Penelitian ini merepresentasikan langkah pertama dalam projek yang terus menerus dilakukan pada lingkungan, dan mengajukan COIN-OR sebagai software optimisasi. Algoritma yang diajukan untuk diim- plementasikan adalah algoritma klas dari hybrid, yang Branch and Bound dan polyhedral outer approximation.
Pedroso (2004), mengajukan beberapa algoritma yang mengkombinasi enu- mirasi parsial dengan meta-heuristik untuk solusi umum MILP. Enumirasi ini didasarkan pada nilai primal yang dapat menentukan variabel integer dari pro- blema. Penelitian ini juga membangun beberapa algoritma untuk integrasi dan mengujinya menggunakan himpunan dari tanda-tanda problema yang dikenal.
Borchers and Mitchell (1994), menggambarkan code Branch and Bound un- tuk 0-1 pada MINLP dengan fungsi objektif dan kendala yang konvex. Code terse- but menggunakan heuristik untuk mendeteksi subproblema, dan menciptakan dua
9
subproblema baru untuk menyelesaikan problema yang penting menjadi optimal.
Hasil perhitungan dari contoh problema menunjukkan bahwa heuristik ini dapat menurunkan waktu solusi untuk beberapa problem secara signifikan.
Exler and Schittkowski (2006), mengajukan sebuah modifikasi metode dari rangkaian program kuadratik untuk menyelesaikan problem MINLP. Penelitian ini mengasumsikan bahwa variabel integer mempunyai pengaruh yang halus pada model fungsi. Algoritma ini distabilisasikan dengan metode daerah terpercaya de- ngan koreksi Yuan dua kali. Hessian dari fungsi Lagrange diapproksimasi dengan rumus kuasi Newton kepada variabel integer dan kontinu. Hasil yang mengejutkan bahwa jumlah dari fungsi yang dievaluasi, banyak criteria kinerja yang penting kurang dari jumlah fungsi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan problema tanpa variabel integer.
Mawengkang and Murtagh (1985), mengajukan penyelesaian program tak- linier integer dengan software optimisasi yang skala luas menggunakan MINOS.
Teknik ini dipresentasikan untuk memperluas pencarian kendala untuk menye- lidiki solusi integer yang layak sehingga solusi optimal kontinu diperoleh. Perhi- tungan menggunakan pendekatan ini digambarkan untuk dua klas problema yaitu problema kuadratik dan desain jaringan problema.
Balas dan Mazzola (1984), mengajukan suatu teknik linearisasi yang cukup efisien untuk menyelesaikan program taklinier integer dengan semua peubahnya bernilai 0 atau 1. Begitupun, teknik linearisasi akan mengakibatkan terjadinya penambahan jumlah peubah dan kendala. Dari pengalaman komputasi, metode demikian ini hanya berlaku untuk problema berskala kecil. Teknik linearisasi yang juga mentransformasi problema (P) menjadi polynomial konveks 0-1 diajukan
oleh Stubbs dan Mehrotta (1999), Mawengkang (1996) juga mengajukan suatu teknik linearisasi untuk menyelesaikan masalah (P) untuk rute kenderaan (vehicle Routing).
Mawengkang (1991), mengajukan algoritma outer approximation untuk me- nyelesaikan klas MINLP. Dalam model variabel diskrit adalah linier dan terpisah dari variabel kontinu yang muncul sebagai fungsi konvex linier dan nonlinear.
Algoritma ini menggali secara efektif struktur tertentu dari problema dan terdiri dari menyelesaikan barisan terbatas subproblema program nonlinier tereduksi dan program relaks linier integer campuran.
BAB 3
PROGRAM LINIER DAN TAKLINIER
3.1 Program Linier
Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, de- ngan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan.
Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala (contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain), menggunakan model matematika linier.
Contoh lainnya ada pada polytope (contoh : polygon dan polyhedral) dan nilai riil fungsi affine
f (x1, x2, · · · , xn) = a1x1+ a2x2+ a3x3+ b
didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan titik pada polytope dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Titik mungkin tidak ada, tapi jika dicari sepanjang vertex polytope maka digaransi menemukan paling sedikit satu darinya.
Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik :
maximize cTx subject to Ax ≤ b
where x ≥ 0
x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cTx). Persamaan Ax ≤ b adalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.
Program linier dapat diaplikasikan untuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi da- pat juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri meng- gunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jad- wal, tugas dan desain.
Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah elimi- nasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang dibangun selama Perang Dunia ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pen- dapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. Setelah perang berakhir banyak industri menemukan dan menggunakannya dalam perencanaan mereka.
Penemu dari program linier adalah George B. Dantzig yang memperkenalkan metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel tahun 1975 dalam bidang ekonomi.
Contoh Dantzig dalam menemukan tugas terbaik dari 70 orang pada 70 pekerjaan menunjukkan kegunaan dari program linier. Kekuatan perhitung meng- haruskan pengujian semua permutasi untuk memilih tugas yang terbaik; jumlah
13
konfigurasi yang mungkin melebihi jumlah partikel diseluruh bidang; kemudian menemukan solusi optimum dengan mengajukan problem ini dan pengaplikasian algoritma simplex.
Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti aliran jaringan (network flow) dan aliran multicomodity dianggap cukup pen- ting untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Ter- dapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian pro- gram linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, convexity dan generalisa- sinya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam microekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau meminimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen perse- diaan, portfolio, manajemen keuangan, sumberdaya manusia, dan merencanakan iklan perusahaan.
3.1.1 Dualitas
Setiap program linier disukai sebagai problema primal, dapat dikonversi ke dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut:
maximize cTx
subject to Ax ≤ b, x ≥ 0
problema dual yang tepat adalah : maximize bTx
subject to ATy ≥ c, y ≥ 0 dimana y digunakan sebagai pengganti variabel vektor.
Terdapat dua ide mendasar untuk teori dualitas. Salah satunya adalah dual dari program linier dual semula adalah program linier primal. Penambahannya adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat pada saat primal mempunyai solusi optimal x∗ maka dual juga mempunyai solusi optimal y∗ sehingga cTx∗ = bTy∗.
Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga untuk keduanya dual dan primal tidak layak.
3.1.2 Metode Simplex
Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak maka penyele- saian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Al- goritma Simplex yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program
15
linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dua variabel.
Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simplex ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah langkah perhitungan yang sama di- ulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.
Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode sim- plex didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal).
2. Bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (me- ningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi).
Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simplex dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik.
3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simplex kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.
Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simplex adalah :
1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal, dengan menetapkan (n − m) variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan
m banyaknya kendala.
2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non- basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan.
Jika tak ada, berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak dilanjutkan ke langkah 1.
3. Pilih sebuah leaving variabel diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variabel menjadi variabel basis.
4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variabel dan leaving variabel menjadi nonbasis. Kembali ke langkah 2 .
3.2 Program Integer Linier
Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat diselesaikan lebih efesien pada kasus yang buruk. Problema pro- gram integer banyak terjadi pada situasi praktis (dengan variabel terbatas) NP hard. Program integer 0-1 adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1. Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial.
Jika hanya beberapa variabel tak diketahui diharuskan integer maka pro- blema ini disebut program integer campuran. Hal ini juga merupakan masalah sulit non polynomial. Bagaimanapun terdapat beberapa subklas dari program in- teger dan program integer campuran bahwa dapat diselesaikan dengan efesien,
17
khususnya masalah di mana matriks kendalanya unimodular dan sisi sebelah kanan dari kendala adalah integer.
Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi divisi- bilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.
Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputu- sannya yang harus integer disebut sebagai persoalan Mixed Integer Programming.
Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Pure Integer Programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang sama sekali.
Contoh
Maksimumkan z = 8x1+ 5x2
Kendala x1+ x2 ≤ 6 9x1+ 5x2 ≤ 45 x1, x2 ≥ 0, x2 integer
Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi integer dari masalah program linier dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan nilai-nilai pecahan solusi optimum. Hal ini bukan tugas mudah untuk membu- latkan nilai-nilai pecahan variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua
kendala dan tidak menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Karena itu perlu prosedur yang sistematis untuk mendapatkan solusi bulat optimum ter- hadap masalah itu. Ada beberapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane.
Dalam program linier, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa pe- mecahan optimum terjadi di titik ekstrim dari ruang solusi. Hasil yang penting ini pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan optimum dari sejum- lah pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya Program Linier Integer memulai dengan sejumlah titik pemecahan yang terbatas.
Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersulit perancangan se- buah algoritma yang efektif untuk mencari secara langsung di antara titik integer yang layak dari ruang penyelesaian.
Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang dilong- garkan untuk bergerak ke arah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode Bidang Pemotong (Gomory Cutting Plane) dan metode Branch and Bound.
Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah :
a. Metode Cutting Plane b. Metode Branch and Bound
c. Metode Branch and Cut d. Metode Branch and Price
Dalam penelitian ini hanya dibahas tentang metode cutting plane.
19
Metode Gomory (Cutting Plane Algorithm)
Suatu prosedur sistematik untuk memperoleh solusi integer optimum terhadap program integer murni pertama kali dikemukakan oleh R. E. Gomory pada tahun 1958. kemudian prosedur ini diperluas untuk menangani kasus yang lebih sulit yaitu, mixed integer programming.
Langkah-langkah prosedur Gomory yang dilakukan sebagai berikut :
1. Selesaikan masalah program integer dengan menggunakan metode simpleks.
Jika masalahnya sederhana, dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan kurang efisien.
2. Periksa solusi optimum yang telah diperoleh. Jika variabel keputusan yang diharapkan telah memenuhi persyaratan integer, penyelesaian optimum mixed integer telah diperoleh dan proses penyelesaian berhenti. Jika tidak demikian maka diteruskan ke tahap 3.
3. Buatlah suatu kendala Gomory (suatu bidang pemotong atau cutting plane) dan cari solusi optimum melalui metode dual simpleks. Selanjutnya kembali ke tahap 2.
Pembentukan kendala Gomory adalah begitu penting sehingga memerlukan perhatian khusus. Misalkan tabel optimum masalah program linier yang disaji- kan berikut merupakan solusi optimum kontinu. Secara historis, metode bidang pemotong adalah metode pertama kali yang diperkenalkan dalam literature OR.
Oleh karena itu, maka yang disajikan dalam tulisan ini adalah bagaimana mene-
mukan penyelesaian optimal yang integer dengan menggunakan algoritma bidang pemotong.
Gagasan dari algoritma bidang pemotong adalah mengubah himpunan cem- bung dari bidang pemecahan sehingga titik ekstrem yang sesuai menjadi semuanya integer. Perubahan seperti ini dalam batas ruang pemecahan masih tetap meng- hasilkan sebuah himpunan cembung. Juga perubahan ini harus dilakukan tanpa mengiris setiap pemecahan integer yang layak dari masalah semula.
3.3 Program Taklinier
Program Taklinier adalah proses dari penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan yang memiliki kendala. Himpunan dari variabel real yang tidak diketahui sepanjang fungsi objektifnya memaksimumkan atau meminimumkan de- ngan beberapa kendala atau fungsi objektif disebut nonlinier. Problema ini dapat disederhanakan sebagai berikut ;
max / min f (x) untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif di- mana f : Rm → R dan X ⊆ Rm
Jika fungsi objektif f adalah linier dan ruang kendala adalah polytope, pro- blema ini adalah problema program linier yang dapat diselesaikan dengan meng- gunakan solusi program linier. Jika fungsi objektif adalah konkaf/konveks dan himpunan kendala adalah konveks maka metode yang umum dari optimisasi kon- veks dapat digunakan.
Beberapa metode dalam penyelesaian problema non-konveks. Salah satu pendekatannya menggunakan formula yang khusus dari problema program linier.
21
Metode lain meliputi penggunaan teknik Branch and Bound dimana program ini dibagi dalam subklas untuk diselesaikan dengan aproksimasi linier dari batas bawah pada keseluruhan biaya sampai subdivisi. Dengan divisi berikut, bebe- rapa titik solusi aktual akan diperoleh jika biaya sama atau lebih rendah dari batas bawah terbaik. Untuk solusi aproksimasi, solusi ini optimal meskipun tidak mungkin tunggal. Algoritma dapat berhenti cepat dengan jaminan bahwa solusi terbaik tidak lebih dari persentase tertentu yang lebih baik dari solusi yang dite- mukan. Hal ini khususnya berguna bagi problema yang sulit dan luas. Dengan biaya atau nilai yang tak pasti dimana ketidakpastian tersebut dapat diestimasi dengan estimasi kelayakan yang tepat.
3.4 Program Taklinier Integer
Program taklinier integer pada hakekatnya adalah masalah yang sulit. Metode yang biasa untuk menyelesaikan program taklinier integer berdasarkan bermacam rangkaian linierisasi dari problema dan beberapa variasi pada strategi Branch and Bound. Bagaimanapun dibeberapa kasus kegunaan khusus dapat diambil dari struktur pada problema. Problema umum dari program taklinier integer khususnya skala luas dikenal luas sebagai persoalan yang sangat sulit dan da- pat diselesaikan dengan membangun rangkaian solusi untuk program linier yang beberapa pengertian aproksimasi pada program taklinier.
Duran and Grossmann (1986) mengemukakan secara detail dari algoritma outer aproksimasi untuk menyelesaikan MINLP. Pendekatan meliputi konstruksi dan solusi dari rangkaian bolak balik pada master problem program linier dan sub problema pada program taklinier. Subproblema sekarang diselesaikan dengan
variabel integer yang tetap dan master problema yang dibentuk dengan linierisasi fungsi pada solusi dari subproblema.
Metode Duran dan Grossmann menggunakan prinsip dekomposisi untuk mengeksploitasi struktur problema yang diasumsikan pada bentuk berikut : li- nier pada variabel integer dan konveks pada porsi taklinier dari fungsi objektif dan kendala. Bentuk umum dari klas problema berikut ditulis :
minimize cTy + f (x) subject to g(x) = By ≤ 0
x ∈ X ⊆ Rn y ∈ U ⊆ Rm+
fungsi taklinier f : Rn → R dan fungsi vektor g : Rn → Rp diharuskan differensial kontinu dan konvex pada domain yang kompak. Seperti biasanya, do- main U dari variabel integer diasumsikan pada himpunan diskrit yang berhingga.
Linieriti dari variabel diskrit membolehkan karakteristik bebas dari ruang pencarian yang layak diskrit dan kontinu dari problema. Ruang kontinu dieks- presikan sebagai irisan daerah konvex kompak dan berhingga, tiap-tiapnya di- parametrik dengan nilai dari variabel diskrit. Outer Approksimasi dari himpunan konveks dengan irisan dari ruang bagian yang mendukung yang digunakan untuk mendefinisikan master program linier integer-campuran. Penulis membandingkan metode mereka dengan metode dekomposisi Benders yang tergeneralisasi dan se- bagai catatan kedua teknik ini cenderung menghasilkan batas bawah lebih baik pada nilai optimal fungsi objektif.
23
Sebelumnya hasil yang diperoleh Duran and Grossmann memperlihatkan janji pada metodenya, dimana penulis mengindikasikan akan cocok pada masalah dalam subproblema program taklinier yang sulit untuk diselesaikan.
Beberapa hasil dari Mawengkang and Murtagh (1985/6) telah memberikan hasil untuk membuat bentuk umum dan sering digunakan pada kelas program tak linier dimana proporsi dari variabel integer dan variabel taklinier keduanya kecil.
Mawengkang and Murtagh (1985), mengajukan penyelesaian program taklinier integer dengan software optimisasi yang skala luas menggunakan MINOS. Teknik ini dipresentasikan untuk memperluas pencarian kendala untuk menyelidiki solusi integer yang layak sehingga solusi optimal kontinu diperoleh. Perhitungan meng- gunakan pendekatan ini digambarkan untuk dua klas problema yaitu problema kuadratik dan desain jaringan problema.
Secara umum, kebanyakan tujuan dari penelitian pemograman matematika adalah untuk membentuk teori yang mengacu pembuatan algoritma untuk digu- nakan secara modern, komputasi digital kecepatan tinggi. Metode survei yang baik digunakan untuk menyelesaikan masalah Program taklinier dapat ditemukan dan digolongkan kedalam katagori-katagori berikut:
1. Teknik Linierisasi
2. Pendekatan Branch and Bound 3. Teknik Enumerasi Implisit 4. Pendekatan Program Dinamik 5. Metode-Metode Lainnya
3.4.1 Teknik Linieritas
Pertimbangan problema NLIP dimana J0= J dan anggap fungsi objektif F dan fungsi kendala f adalah polinomial. Teknik linierisasi secara luas digunakan untuk problema-problema seperti ini. Semua dasar untuk masalah non biner, teknik seperti ini terdiri dari dua langkah transformasi. Langkah pertama adalah dengan mengubah formulasi non biner menjadi formulasi biner atau formula 0-1.
Dengan kata lain, variabel integer x digantikan oleh biner y. Asumsikan bahwa masing-masing xj memiliki batas atas terhingga yaitu uj, persamaan untuk x dapat ditulis sebagai :
xj =
tj
X
i=0
2iyij
yij = 0, 1 i = 0, . . . , tj
(3.1)
Dimana tj adalah integer positif terkecil, u ≤ 2tj+1− 1.
Langkah kedua adalah mereduksi program polinomial 0-1 ke program li- nier 0-1 dengan memperkenalkan variabel 0-1 yang baru untuk menggantikan bagian-bagian cross product. Dimana bentuk yn (dimana y = 0 atau 1) dapat disederhanakan menjadi y.
Ambil Q sebagai variabel himpunan 0-1, kemudian setiap perbedaan hasil Πj∈Qyj dari variabel 0-1 akan digantikan dengan variabel 0-1 yang baru yaitu yQ.
Untuk membuktikan yQ = 1 jika dan hanya jika Πj∈Qyj = 1, kita mengambil dua bentuk kendala baru
−X
j∈Q
yj+ yq + q − 1 ≥ 0 (3.2)
25
dan
−X
j∈Q
yj − qyQ ≥ 0 (3.3)
yQ = 0 atau 1 (3.4)
dimana q jumlah elemen pada Q.
Masalah kelinieran dapat disederhanakan dengan menggunakan beberapa anggota standart, seperti algoritma Balas.
Bagaimanapun, program linier 0-1 yang baru di formulasikan pada harga yang signifikan. Untuk setiap bagian cross product, sebuah variabel biner harus ditambahkan dua pembuktian. Dimana harga variabel dan bukti akan naik secara merata untuk program nonlinier 0-1 yang kecil.
Hasil Linierisasi Alternatif yang linier 0-1, program polynomial telah diusulkan oleh Glover dan Woolsey (1973,1974), di dalam suatu usaha untuk memperluas cakupan permasalahan nonlinier di mana pendekatan linier yang diubah terbukti efektif. Karena kesukaran memprogram permasalahan bilangan bulat (dan mixed- integer) sering dipertahankan pada banyaknya bilangan bulat variabel, mereka menggantikan polynomial terminologi perkalian oleh kontinu variabel yQ ∈ [0, 1]
sebagai ganti 0-1 variabel. Batasannya
Yj ≥ yq, ∀j ∈ Q (3.5)
ditambahkan untuk membuktikan (3.3)
Bentuk (3.5) menentukan harga 0 sampai yQ dimana yj = 0 untuk semua j ∈ Q, dan dari (3.2), yQ = 1 untuk semua j ∈ Q.
Bagaimanapun, dalam kaitan dengan (3.5), banyaknya batasan akan me- ningkat secara drastis, walaupun variabel yang biner akan tinggal yang sama dalam jumlah. Dalam rangka mengalahkan situasi ini, mereka mempunyai petun- juk lebih lanjut bahwa mungkin untuk memberi masing-masing yQ status suatu variabel kontinu di dalam suatu pertunjukan economical lebih jauh.
Misalkan Kjmenandakan satuan himpunan berisi yj, dan misalkan nj menan- dakan banyaknya unsur-unsur di Kj, kemudian batasan format
Njyj ≥ X
Q∈Kj
yQ (3.6)
mungkin mengganti persamaan (3.3). Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa persamaan (3.6) akan memberi lebih sedikit batasan dibanding persamaan (3.3).
Glover (1975) mempunyai prosedur diberi lebih lanjut untuk mengurangi banyaknya batasan dan variabel baru yang diperkenalkan untuk mengakomodasi cross product. Ia telah menunjukkan variabel kontinu tunggal wj boleh meng- gantikan satu himpunan kwadrat xi
Pn j=1
cijxj di mana xi = 0 atau 1, untuk semua i ∈ N = {1, . . . , n}. Oleh karena itu, batasan
D¯ixi ≥ wi ≥ D
¯ixi (3.7)
dan
X
j
dijxj − D
¯i(1 − xj) ≥ wi ≥X
j
dijxj − ¯Di(1 − xj) (3.8)
dimana
D¯i Xn
j=1
min(dij, 0) dan
D¯i
Xn j=1
max(dij, 0)
27
ditentukan bahwa
wi jika xi = 0 dan
wi =X
dijxj jika xi= 1
Ini adalah suatu peningkatan luas bandingkan dengan Teknik Watters, ketika kita dapat mengamati bahwa hanya n variabel kontinu baru dan 4n batasan tam- bahan akan ditambahkan jika teknik ini telah diberlakukan bagi suatu standard program bilangan bulat kwadrat. Bagaimanapun, lebih kecil, seperti perumusan secara khas menyediakan relaksasi berlanjut agak lemah dan pemusatan adalah lambat (Mcbride Dan Yormark, 1980a,b).
Fungsi multilinier hanya menyatakan ulang nilai dari fungsi g(x) dalam variabel 0 dan 1. Secara aljabar, fungsi multilinier f (x) dapat ditulis dalam bentuk :
G(x) =X
t∈N
atΠj∈Ntxj, xj = 0 atau 1, j ∈ N (3.9) dimana at, t ∈ N adalah bilangan real dan Π adalah symbol perkalian. Oleh karena itu program nonlinier 0 dan 1 melibatkan fungsi dengan bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk multilinier yaitu :
min{F (x)|fi(x) ≤ 0, i ∈ K, x biner } (3.10)
dimana F dan f adalah fungsi multilinier.
Linearisasi program multilinier tidak membutuhkan variabel baru (Granot dan Hammer, 1971). Pada awalnya disebut generalized covering problem yang
dapat ditulis dalam bentuk berikut:
Minimize cTx¯ (3.11)
Subject to A¯xα ≥ 1 (3.12)
0 ≤ ¯x ≤ 1, dan integer (3.13)
dimana A adalah matriks 0-1, ¯x = (1 − x) adalah vektor 0-1 dan ¯xα ≡ (¯xαjj ) sehingga:
¯ xj =
¯
xαjj if αj = 1 xj if αj = 0
Sebagai alternatif, Granot dan Granot (1980) menggunakan teknik liniearisasi yang sama, tetapi pada setiap tahap algoritma menyelesaikan problema covering linier sehingga relaksasi dari problema tersebut kendala yang memiliki subset yang kecil dari kendala pada problema covering yang sama. Tujuan utama algoritma ini adalah dapat diatur untuk mencegah produksi kendala covering yang berlebihan.
Yang baru-baru ini, Balas dan Mazzola (1984a,b) sudah memperkenalkan su- atu linierisasi MLP baru bagi suatu padanan yang dihimpun mencakup masalah, gunakanlah hanya variabel yang asli, terutama sekali untuk suatu multilinier un- tuk format
G(x) =X
i∈N
at
Y
j∈Nt
xj ≤ b, xj = 0 atau j ∈ Nt (3.14)
Mereka menggambarkan suatu famili dari ketidaksamaan linier setara de- ngan persamaan (3.9) itu berisi linierisasi yang lebih ringkas (atau lebih kecil jumlah mencakup batasan) tentang yang MLP dibanding yang didasarkan pada disamaratakan mencakup ketidaksamaan. Perhitungan mengalami regenerasi se- cara acak menghasilkan multilinier 0-1 program dengan 20 batasan dan 50 variabel
29
diperkenalkan. Aplikasi ini mendekati ke permasalahan lebih besar memerlukan penyelidikan lebih lanjut.
3.4.2 Pendekatan Branch and Bound
Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman liniar bilangan bulat (ILP) telah dikembangkan melalui Land dan Doing (1960). Metode, yang secara langsung dihubungkan dengan simpleks metode untuk pemograman linier (LP), kemudian dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan ILP.
Prinsip metode itu sendiri sungguh sederhana, tetapi meskipun demikian alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan permasalahan terpisah. Ketika dipertimbangkan dalam konteks lebih luas, secara teoritis, Branch and Bound mungkin digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi manapun. Efisiensi algoritma jenis ini sebagian besar tergantung pada detil itu, terutama pada kalku- lasi Bound bagian atas dan yang lebih rendah, pada separasi menetapkan dan, akhirnya, pada aturan pilihan yang berbeda menggunakan untuk menentukan solusi yang berikutnya mulai dipertimbangkan dan variabel yang berikutnya ke Branch terpasang. Gagasan yang umum digunakan untuk metode untuk ILP dapat diuraikan sebagai berikut. Pertimbangkan suatu masalah ILP.
max F (x) = cTx (3.15)
berlaku hanya jika :
Ax = b (3.16)
l ≤ x ≤ u (3.17)
xj integer j ∈ J0⊂ J
Dimana A adalah matrik m×n, cT adalah transpos dari c dan c adalah vektor n×1, dan J = (1, 2, . . . , n). Proses dari metode awal dengan menyelesaikan (3.15) (3.17) program linier secara kontinu, abaikan syarat-syarat integral. Andaikan solusi xj, j ∈ J , tidak semua integer.
xj = [xj] + fj, 0 ≤ fj ≤ 1 untuk beberapa j ∈ J
(3.18)
dimana [xj] adalah komponen integer dari xj, solusi kontinu untuk program linier, dan fj adalah komponen bagian yang kecil.
Gagasan untuk menghasilkan dua subproblem masing-masing dengan pe- nambahan pembuktian
Lj ≤ xj ≤ [xj] (3.19)
dan
[xj] + 1 ≤ xj ≤ uj (3.20)
Karena variabel tertentu j ∈ J . Proses menyelesaikan masalah disebut Branching. Masing-masing ini subproblema dipecahkan lagi sebagai LP kontinu.
Proses dari Branching dan pemecahan suatu sequance dari permasalahan kon- tinu untuk variabel yang berbeda j ∈ J0 dan bilangan bulat yang berbeda bxjc.
Secepatnya, kita menyediakan daftar alternatif subproblema untuk diselidiki, de- ngan LP yang kontinu yang pertama dimasukkan.
31
Struktur metode yang logis sering diwakili sebagai pohon. Masing-masing tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblema manapun, atau tangkai pohon, diselidiki subproblema manapun yang dihasilkan dihubungkan kepada tangkai pohon dengan Branch.
Jika salah satu dari tiga ukuran-ukuran di bawah ini dicukupi, Branch dari tiap tangkai pohon akan berakhir.
1. Subproblema tidak mempunyai solusi fisibel
2. Solusi subproblema tidak ada lebih baik daripada integer-fisibel solusi ter- baik yang dikenal sekarang.
3. Solusi adalah integer-fisibel, i.e.,xj, j ∈ J0 mempunyai nilai-nilai bilangan bulat (menyediakan suatu integer-fisibel, solusi ada). Itu adalah jelas, bahwa efektivitas dari prosedur seperti itu adalah sangat dependen.
4. Variabel yang mana harus bercabang, dan
5. Subproblema yang mana harus diselidiki berikutnya.
Sebab perhatian kita sebagian besar pada atas permasalahan NLIP, itu bermanfaat untuk melihat bagaimana di atas pendekatan mungkin sesuai dik- erjakan seperti permasalahan itu.
Secara teoritis, pendekatan Branch dan Bound tidak mempunyai berbagai kesulitan untuk memecahkan permasalahan NLIP. Khususnya, akan mudah untuk mengamati bahwa batas (3.19) dan (3.20) menjauhi linieritas.
Pendekatan yang umum ditujukan di atas untuk ILP dapat secara langsung diperluas kepada kasus nonlinier, kecuali prosedur untuk memecahkan subprolem dan masing-masing tangkai pohon. Itu dipahami bahwa permasalahan yang kon- tinu pada tangkai pohon masing-masing adalah nonlinier yang memprogram per- masalahan (NLP), yang dihasilkan dengan kebutuhan integralisasi suatu masalah NLIP. Berbagai kesulitan boleh muncul dalam posisi ini, ketika kita sadar yang memecahkan suatu masalah NLP tidaklah sangat mudah untuk memecahkan LP, terutama sekali, dalam menemukan solusi optimal yang global. Oleh karena itu menghitung kelayakan dari pendekatan ini akan tergantung pada bagaimana kita memecahkan masalah NLP itu, dengan batasan Bound tambahan (3.19) atau (3.20) pada tangkai pohon masing-masing.
Bagaimanapun, metode Branch dan Bound mempunyai fleksibilitas untuk berhubungan dengan suatu variasi yang besar masalah nonlinier, metode yang ada disediakan untuk memecahkan kontinu nonlinier subproblem yang efesien.
Oleh karena itu tidaklah mengejutkan bahwa banyak peneliti sudah menggunakan pendekatan ini untuk memecahkan beberapa permasalahan NLIP.
Seperti ditunjukkan di atas suatu pemilihan yang baik variabel Branch, seperti halnya, subproblem untuk diselidiki berikutnya, akan mempunyai efek penting pada keseluruhan capaian suatu strategi Branch dan Bound. Gupta dan Ravindran (1985) sudah menyelidiki strategi yang berikut untuk pemilihan varia- bel Branch.
1. Variabel bilangan bulat dengan index paling rendah.
2. Kebanyakan variabel bilangan bulat pecahan
33
3. Penggunaan Pseudo-Cost Konsep Benichou et al. ( 1971). Konsep ini adalah untuk mengukur rata-rata dari yang diamati ternyata berubah di (dalam) nilai fungsi objektif dalam kaitannya dengan memaksa suatu non-integer bagi suatu nilai bilangan bulat. Pilih pseudo-cost yang paling besar.
Mereka sudah menggunakan yang berikut ini untuk pemilihan dari Branch tangkai pohon:
1. Branch dari tangkai pohon dengan yang terikat paling rendah.
2. Branch dari tangkai pohon yang paling baru.
3. Menggunakan estimasi - estimasi.
Dalam kaitan dengan waktu perhitungan, mereka menyimpulkan bahwa strategi menggunakan variabel bilangan bulat yang paling kecil adalah yang ter- baik diantara tiga pilihan untuk memilih variabel yang ber Branch itu. Dan Branch dari tangkai pohon yang paling baru adalah yang strategi terburuk untuk memilih tangkai pohon untuk diselidiki berikutnya. Korner (1983) telah mengu- sulkan aturan Branch lain untuk bilangan bulat yang tidak dibatasi masalah opti- misasi kuadrat, yaitu ke variabel Branch xj yang pertama jika (Q−1)jj ∈ (Q−1)ii untuk semua i. Di mana Q adalah matriks simetrik yang positif dan fungsi ob- jektif yang terbatas. Berrada dan Stecke (1986) menggunakan Branch dan Bound untuk memecahkan mesin yang memuat masalah dalam fleksibel sistem produksi.
3.4.3 Teknik Enumerasi Implisit
Walaupun ruang solusi programming masalah bilangan bulat mungkin besar, itu adalah terbatas. Suatu metode secara langsung untuk memecahkan seperti masalah itu untuk menyebut satu persatu semua poin-poin dengan tegas. Oleh karena itu, solusi yang optimal ditentukan oleh point(s) itu menghasilkan nilai fungsi sasaran yang terbaik.
Bagaimanapun, dengan penggunaan teknik di atas, banyaknya solusi poin- poin boleh menjadi tidak praktis, sebagai konsekuensi jumlah waktu penghitu- ngan akan menjadi penghalang. Gagasan untuk implisit penyebutan satu per satu meminta pertimbangan hanya sebagian dari semua menunjuk kemungkinan pemecahan, secara otomatis sisanya yang bukan peluang dibuang.
Dengan jelas, ide untuk teknik penyebutan satu per satu yang terkandung adalah serupa pada gambaran metode Branch dan Bound yang bagian sebelum- nya. Pada pokoknya, penyebutan satu per satu mengandung suatu metode Branch dan Bound yang dirancang terutama untuk kasus di mana x diperlukan untuk menjadi garis vektor biner.
Pertimbangkan permasalahan program nonlinear 0-1 kendala batasan akan bersifat jelas bahwa nilai dari suatu bilangan bulat [xj] selalu nol, untuk semua j ∈ J . Sebagai konsekuensi, tambahan kendala (3.19) dan (3.20) akan digantikan oleh penentuan batas.
xj = 0 (3.21)
dan
xj = 1 (3.22)
35
masing-masing untuk j ∈ J0
Itu telah jelas bahwa separasi suatu tangkai pohon dilaksanakan dengan perbaikan tertentu (bebas atau belum dipilih) variabel j ∈ J nol atau kemu- dian pemecahan masalah yang kontinu. Ukuran-ukuran untuk mengakhiri proses Branch sama seperti di metode Branch dan Bound.
Penting untuk mempunyai strategi Branch agar supaya menyebut satu per- satu secara efesien. Ada beberapa aturan Branch yang telah diusulkan. Karena polynomial tidak dibatasi program 0-1, Hammer (1971) dan Hammer dan Peled (1972) sudah memilih suatu istilah ct
Q
j∈Nt
xjdengan suatu koefisien hal negatif dan Branch menurut semua xj = 1 untuk j ∈ N atau sedikitnya satu seperti xj = 0.
Proposal lain datang dari Jeroslow (1973), siapa yang memilih sepasang variabel cuma-cuma xj dan xk dan merobek masalah menurut xj = xk atau xj = 1 − xk, atau menurut Branch xj ≤ xk atau xj = 1 dan xk = 0. Mcbride dan Yorkmark (1980a, 1980b) sudah menggunakan konsepsi pseudo-cost pada Benichou et al (1971) untuk mengevaluasi aturan Branch itu. Variabel yang kecil dengan nilai pseudo-cost yang besar terpilih untuk Branch. Jika pseudo-cost yang paling besar dihubungkan dengan pengaturan beberapa variabel ke satu (nol) di dalam proses Branch mereka akan menetapkan variabel ini ke nol (satu).
Aturan yang paling umum adalah untuk memilih beberapa variabel cuma- cuma xj, setelah mempertimbangkan derajat tingkat infeasibilitas dan untuk menyekat menurut xj = 1 atau xj = 0.
Di samping aturan Branch, ada beberapa test untuk dipertimbangkan dalam rangka mengurangi penyebutan satu per satu. Test ini sering digunakan untuk memeriksa apakah solusi suatu subproblem telah mencukupi masing-masing dari
akhir ukuran-ukuran, itu harus dipisahkan. Test ini mempunyai banyak versi, telah dikembangkan oleh beberapa pengarang, seperti, Garfinkel dan Nemhauser (1972), Laughhunn (1970), Hansen (1972,1979), Taha (1975) dan Salkin (1975).
Suatu penalti Pj0 dan Pj1 adalah suatu kenaikan yang mungkin ditambahkan untuk suatu Bound ketika suatu variabel xj harus mengambil nilai 0 atau 1.
Penalty sering digunakan di dalam test yang bersyarat digunakan dalam algoritma untuk memperoleh batas lebih ketat atau untuk menunjukkan beberapa varia- bel harus ditetapkan, diperbaiki. Hansen (1972), dalam memecahkan kwadrat 0-1 memprogram permasalahan, telah mengembangkan apa yang ia terminologi
”penalty aditip”, jika penalty Pj0 dan Pj1, berhubungan dengan perasaan men- dalam beberapa variabel pada 0 dan beberapa variabel pada 1, mungkin bila di- jumlahkan, hasil suatu penalty baru sah. Penalty ini adalah terikat ketika koefisien objektif dan batasan berfungsi. While Mcbride Dan Yorkmark (1980a,1980b) su- dah menggunakan Tomlin-Style penalty yang digunakan dalam masalah ILP.
Kendati usaha dari banyak peneliti, sejauh ini, untuk memperoleh strategi mengurangi penyebutan satu per satu (atau proses Branch), satu rangkaian non- linear berlanjut ke permasalahan dan masih tetap dijadikan pemecahan pada tangkai pohon masing-masing. Sungguhpun suatu metode mungkin hadir untuk memecahkan permasalahan yang berlanjut, dari segi pandangan keseluruhan ca- paian, pendekatan seperti itu masih menjadi penghalang dalam kaitan dengan menghitung waktu, karena nyaris mempermasalahkan ukuran sederhana.
37
3.4.4 Pendekatan Program Dinamik
Pendekatan program yang dinamik telah digunakan oleh banyak peneliti terutama sekali dalam memecahkan permasalahan QIP dengan fungsi objektif yang dapat dipisah-pisah dan menghambat, seperti, Weinstein dan Yu (1973), Mitten (1964), Morrin (1978), Morin Dan Marsten (1976), Cooper (1980,1981) Cooper dan Cooper (1975,1981), Cooper dan Farhagian (1982). Ini tidaklah mengejutkan sebab keuntungan menggunakan pendekatan seperti itu menghasilkan suatu jumlah maksimum global dibandingkan dengan optima lokal.
Teori program dinamik dikenalkan oleh Bellman (1957), dirancang untuk menguraikan langkah-langkah dan masalah keputusan besar ke dalam suatu uru- tan langkah tunggal yang permasalahan secara berulang dioptimalkan. Pen- dekatan seperti itu ditemukan untuk dapat secara efektif memecahkan suatu kelas QIP tertentu jika masalah membuat prinsip optimal oleh Bellman (1957) seperti halnya separabiliti sasaran berfungsi. Mitten (1984) telah menambahkan pro- perti monotonik kepada fungsi objektif sebagai syarat cukup suatu kondisi, contoh fungsi objektif harus monoton yang tidak menurun untuk masalah diperkecil.
Mempertimbangkan masalah QIP dengan suatu fungsi objektif yang tidak terpisah dan tidak menurun dapat ditulis seperti:
maximize F (x) = Pn j=1
Fj(xj) (3.23)
subject to fi(x) ≤ 0, i ∈ K (3.24)
l ≤ x ≤ u (3.25)
xj integer j ∈ J
Asumsi bahwa fungsi Fj mencukupi kondisi-kondisi tersebut seperti di atas dan daerah yang mungkin terikat dan berisi sedikitnya satu bilangan bulat.
Prosedur untuk memecahkan masalah (3.23)-(3.25) oleh Cooper dan Cooper (1975), dan Cooper (1980) akan diuraikan sebagai berikut.
1. Hitung batas atas ¯F = Pn
j = 1Fj(uj)
2. Ditemukan semua kombinasi xj, j ∈ J , dengan pemecahan
maximize F (x) =
Pn j=1
Fj(xj) (3.26)
subject to Pn j=1
Fj(xj) = ¯F − k = Fk, k = 0, 1, . . . (3.27)
l ≤ x ≤ u (3.28)
xj integer j ∈ J
3. Apakah uji kelayakan titik bilangan bulat menemukan dua langkah (bila ada) dengan batasan (3.24) dan (3.25). Jika sedikitnya satu titik bilangan bulat mungkin ditemukan dapat menjadi suatu solusi optimal dan. Jika tidak lanjut ke langkah 4.
4. k meningkat oleh 1, yaitu Fk berkurang oleh 1 dan kembali ke langkah 2.
Dari langkah 3, adalah jelas nyata bahwa batasan (3.24) digunakan hanya untuk uji kelayakan calon suatu solusi. Ini akan menjadi suatu keuntungan poten- sial diatas metode lain dimana sifat alami batasan menjadi beberapa arti penting.
Teknik Programming yang dinamis digunakan untuk memecahkan persamaan (3.26)-(3.28) untuk xj pada langkah 2, sebagai F (x), Bellman membuat prinsip optimal. Oleh karena itu, bergantung efisiensi pada langkah 2.
39
Bagaimanapun, itu sangat mudah dimengerti, berbagai kesulitan mengenai pemograman dinamis adalah bahwa mengalikan masalah batasan untuk menga- likan tabel dimensi untuk program fungsi yang dinamis. Sebagai penyimpanan komputer konsekwensi dan beban perhitungan solusi menjadi berlebihan bahkan untuk permasalahan dengan ukuran moderat.
Dalam rangka mengurangi berbagai kesulitan perhitungan dan permasala- han penyimpanan berlebihan, Aust (1976) telah mengkombinasikan pendekatan diatas pendekatan dengan metode Branch dan Bound untuk memecahkan per- masalahan QIP yang terpisah. Suatu batasan masalah disekat ke dalam banyak subproblem dengan variabel yang sama. Subproblem dibagi menjadi relaksasi lebih lanjut. Proses Branch dan Bound dikerjakan untuk meningkatkan kondisi kelayakan secara sekuen. Denardo dan Fox (1979) juga telah menyelidiki ke- layakan kombinasi teknik Branch dan Bound dengan program dinamis.
3.4.5 Metode Dekomposisi Benders
Metode partisi Benders yang dibangun oleh Geoffrion (1972) menawarkan strategi pengaturan yang luas untuk problema program integer campuran. Vector y dianggap vector yang rumit, dalam pengertian jika y sementara merupakan problema yang tetap dan mudah untuk diselesaikan.
Secara singkat, pendekatan Dekomposisi Benders untuk MINLP dapat digam- barkan sebagai berikut:
Langkah pertama adalah menetapkan y = ¯y ∈ Y pada problema (P ), subprob-
