2.5.1 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Tunggal
Kasus yang paling sederhana dari pemulusan (smoothing) eksponensial tunggal (SES) dapat dikembangkan dari persamaan (2-20), atau secara lebih khusus dari suatu variasi persamaan tersebut, yakni sebagai berikut.
Misalkan observasi lama Xt-N tidak tersedia sehingga harus digantikan dengan suatu nilai pendekatan (aproksimasi). Salah satu pengganti yang mungkin adalah nilai peramlan periode yang sebelumnya Ft. dengan melakukan subsitusi ini persamaan (2-20) maka dapat
Jika data bersifat stasioner maka subsitusi di atas merupakan pendekatan yang cukup baik, namun bila terdapat trend metode SES yang dijelaskan ini tidak cukup baik.
Dari persamaan (2-22) dapat dilihat bahwa ramalan (Ft+1) didasarkan atas pembobotan observasi yang terakhir dengan suatu nilai bobot (1/N) dan pembobotan ram;an terakhir sebelumnya (Ft) dengan suatu bobot (1-(1/N). Karena N merupakan bilangan positif, 1/N akan menjadi suatu konstanta antara nol ( jika N tak terhingga) dan 1 ( jika N=1). Dengan mengganti 1/N dengan α, persamaan (2-22) menjadi :
Ft+1 = α Xt+ (1-α) Ft (2-23)
Dimana:
Ft+1 = Ramalan satu periode ke depan Xt = Data Actual pada periode t Ft = Ramalan pada periode t
α = Parameter pemulusan (0<α<1)
Metode ini banyak mengurangi masalah penyimpanan data karena tidak perlu lagi menyimpan semua data historis atau sebagian daripadanya (seperti dalam kasus rata – rata bergerak). Agaknya hanya observasi terakhir, ramalan terakhir, dan suatu nilai α yang harus disimpan.
Implikasi pemulusan eksponensial dapat dilihat dengan lebih baik bila persamaan (2-23) diperluas dengan menganti F dengan komponennya sebagai berikut:
Ft+1 = α Xt+ (1-α) [α Xt-1 + (1-α) Ft-1]
= α Xt+ (1-α) Xt-1 + (1-α)2 Ft-1
Jika proses subsitusi ini diulangi dengan mengganti Ft-1 dengan komponennya, Ft-2
dengan komponennya dan seterusnya hasilnya adalah persamaan berikut.
Ft+1 = α Xt+ α (1-α) Xt-1 + α (1-α)2 Xt-2 + α (1-α)3Xt-3 + α (1-α)4 Xt-4+ α (1-α)5Xt-5+...
+ α (1-α)N-1Xt-(N-1) + α (1-α)N Xt-(N-1) (2-24) Misalkan α = 0,2 ; 0,4; 0,6 ; atau 0,8 maka bobot yang diberikan pada nilai observasi masa lalu akan menjadi sebagai berikut
Bobot yang
diberikan pada α=0,2 α=0,4 α=0,6 α=0,8
Xt 0,2 0,4 0,6 0,8
Xt-1 0,16 0,24 0,24 0,16
Xt-2 0,128 0,144 0,096 0,032
Xt-3 0,1078 0,08864 0,0384 0,0064
Xt-4 (0,2)(0,8)4 (0,4)(0,6)4 (0,6)(0,4)4 (0,8)(0,2)4
Jika bobot ini diplot, dapat dilihat bahwa bobot tersebut menurun secara eksponensial, dari sana nama pemulusan (Smoothing) eksponensial muncul.
Cara lain untuk menuliskan persamaan (2-24) adalah sebagai berikut.
Ft+1 = Ft + α (Xt- Ft) (2-25)
Secara sederhana
Ft+1 = Ft + α (et) (2-26)
Dimana et adalah kesalahan ramalan ( nilai sebenarnya dikurangi ramalan) untuk periode t.
Dari dua bentuk Ft+1 ini dapat dilihat bahwa ramalan yang dihasilkan SES secara sederhana merupakan yang lalu ditambah suatu penyesuaian untuk kesalahan yang terjadi pada ramalan terakhir.
2.5.2 Pemulusan Eksponensial Tunggal : Pendekatan Adaptif
Dalam pemulusan ini terdapat dua parameter yang bergerak dari nol sampai satu. Persamaan dasar peramalan dengan metode pendekatan adaptif adalah serupa dengan Eksponesial tunggal (SES) kecuali nilai α diganti dengan αt. Berikut persamaan pemulusan eksponensial tunggal dengan pendekatan Adaptif:
Ft+1 = αt Xt+ (1-αt) Ft, (2-27) dimana:
t t
t M
E
1 (2-28)
Et et (1)Et1 (2-29) M et (1)Mt1 (2-30)
et XtFt (2-31)
Keterangan:
Ft+1 = Ramalan satu periode kedepan Et&Mt = Unsur kesalahan yang dihaluskan α & ᵦ = Parameter antara 0 dan 1
Metode pemulusan ini cocok digunakan untuk peramalan yang jenis datanya stasioner dan non musiman.
2.5.3 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda : Metode Linear Satu Parameter dari Brown
Dasar pemikiran dari pemulutsan eksponensial linear dari Brown adalah serupa dengan rata – rata bergerak linier karena nilai pemulusan tunggal dan ganda ketinggalan dari data yang sebenarnya bilamana terdapat unsur trend, perbedaan antara nilai pemulusan tunggal dan ganda dapat ditambahkan kepada pemulusan tunggal dan disesuikan dengan trend. Metode ini lebih disukai untuk data non – stasioner karena menggunakan satu parameter (dibandingkan holt dua parameter). Berdasarkan pengalaman disarankan bahwa nilai optimal terletak dalam kisaran 0,1 dan 0,2 karena adanya himpunan pilihan α yang dipersempit ini, maka metode ini biasanya dipandang lebih mudah diterapkan.
Persamaan umum untuk metode pemulusan ini sebagai berikut.
m b a
Ftm t t (2-32)
Dimana:
t t
t S S
b ' "
1
(2-33)
' "
2 ' "'t t t t t
t S S S S S
a (2-34)
1
' 1't Xt St
S (2-35)
1
" 1"t Xt S t
S (2-36)
Dengan :
S’t = Nilai pemulusan eksponensial tunggal S” t = Nilai pemulusan ganda
α = Parameter pemulusan eksponensial (0 < α<1) at, bt = Konstanta pemulusan
Ft+m = Hasil pemulusa m periode ke depan
2.5.4 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda : Metode Dua Parameter dari Holt Metode pemulusan eskponensial linear dari holt dalam prinsipnya serupa dengan brown kecuali holt tidak menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung. Sebagai gantinya, Holt memuluskan nilai trend dengan parameter yang berbeda dari parameter yanng digunakan pada deret yanng asli. Ramalan dari pemulusan eskponensial linear Holt didapat dengan menggunakan dua konstansta pemulusan (nilai antara 0 dan 1) dan tiga persamaan:
(2-37)
1
1
1 t t t
t S S b
b (2-38)
m b S
Ftm t t (2-39)
Dengan:
St = Nilai pemulusan awal bt = Konstanta pemulusan
Ft+m = Ramalan untuk m periode kedepan t
α,γ = Parameter pemulusan yanng bernilai antara 0 dan 1
Persamaan (2.37) menyesuaikan St secara langsung untuk trend periode sebelumnya yaitu b t-1 dengan menambahkan nilai pemulusan yang terakhir, yaitu St-1 . Hal ini membantu untuk menghilangkan kelambatan dan menempatkan St ke dasar perkiraan nilai data saat ini.
Kemudian persamaan (2.38) meremajakan trend, yang ditunjukan sebagai perbedaan anta dua nilai pemulusan yang terakhir. Hal ini tepat karena jika terdapat kecenderungan didalam data, nilai yang baru akan lebih tinggi atau lebih rendah daripada nilai yang sebelumnya. Karena mungkin masih terdapat sedikit kerandoman maka hal ini dihilangkan oleh pemulusan γ (gamma) trend pada periode terakhir ( St- St-1), dan menambahkan dengan taksiran trend sebelumnya dikalikan dengan (1- γ). Jadi, persamaan (3.38) serupa dengan bentuk dasra pemulusan tunggal pada persamaan (3-23) tetapi dipakai untuk meremajakan trend.
Akhirnya persamaan (2-39) digunakan untuk ramalan ke muka. Trend, bt dikalikan dengan jumlah periode ke muka yang diremalkan,m, dan ditambahkan pada nilai dasar st.
1
1 1
t t t
t X S b
S
2.5.5 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Tripel: Metode Kuadratik Satu Parameter dari Brown
Sebagaimana halnya dengan pemuludan eksponensial linear yang dapat digunakan untuk meramalkan data dengan suatu pola trend dasar, bentuk pemulusan lebih tinggi dapat digunakan bila dasar pola datanya adalah kuadratis, kubik atau orde yang lebih tinggi. Untuk berangkat dari pemulusan kuadratis, pendekatan dasarnya adalah memasukkan tingkat pemulusan tambahan (smoothing tripel) dan memberlakukan persamaan peramlan kuadratis.
Persamaan untuk pemulusan kuadratis adalah:
S’t = Nilai pemulusan eksponensial tunggal S” t = Nilai pemulusan ganda
S”’t = Nilai pemulusan tripel
α = Parameter pemulusan eksponensial (0 < α<1) at, bt, ct = Konstanta pemulusan
Ft+m = Hasil pemulusa m periode ke depan
Persamaan yang dibutuhkan untuk pemulusan kuadratis lebih rumit daripada persamaan untuk pemulusan tunggal dan linier. Walaupun demikian pendekatannya dalam
mencoba menyesuaikan nilai ramalan sehingga ramalan tersebut data mengikuti perubahan trend yang kuadartis adalah sama.
2.5.6 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Tripel : Metode Kecenderungan dan Musiman Tiga Parameter dari Winter
Jika datanya stasioner maka metode rata-rata bergerak atau pemulusan eksponensial tunggal adalah tepat. Jika datanya menunjukkan suatu trend linear maka baik model liner dari Brown maupun Holt adalah tepat. Tetapi jika data bersifat musiman maka metode yang dapat digunakan adalah pendekatan dengan metode pemulusan eksponensial tripel Winter. Metode winter didasarkan atas tiga persamaan pemulusan, yaitu satu unsur stasioner, satu unsur trend, dan satu unsur musiman. Hal ini serupa dengan metode Holt, dengan satu persamaan tambahan untuk mengatasi musiman. Persamaan dasar untuk Metode Winter adalah sebagai berikut.
Pemulusan Keseluruhan
1
1 1
t t
L t
t
t S b
I
S X (2-41)
Pemulusan Trend
11) 1
(
t t t
t S S b
b (2-42)
Pemulusan Musiman
L t t
t
t I
S
I X (1) (2-43)
Ramalan
t t
t L m mt S bmI
F (2-44)
Dimana:
L = Panjang musiman (jumlah bulan atau kuartal dalam suatu tahun) b = Komponen trend
I = Faktor penyesuaian musiman Ft+m = Ramalan untuk m periode ke depan
α,β,γ = Parameter pemulusan dengan nilai antara 0 sampai 1
persamaan (2.43) dapat dibandingkan dengan indeks musiman yang merupakan rasio antara nilai sekarang dari deret data Xt, dibagi dengan nilai pemulusan tunggal yang sekarang untuk deret data tersebut St. Jika Xt lebih besar daripada St maka rasio tersebut akan lebih besar daripada 1, sedangkan jika Xt lebih kecil daripada St maka rasio itu akan lebih kecil daripada 1. Untuk memahami metode ini kita perlu menyadari bahwa St merupakan nilai pemulusan dari deret data yang tidak termasuk unsur musiman. Juga perlu diingatkan bahwa Xt mencakup adanya kerandoman dalam deret data. Untuk menghaluskan kerandoman ini, persamaan (2-43) membobot faktor musiman yang dihitung paling akhir dengan β dan angka musiman paling akhir pada musim yang sama dengan (1- β).
Persamaan (2-42) tepat sama dengan persamaan (2-38) dari holt untuk pemulusan trend. Persamaan (2-41) berbeda sedikit dari persamaan (2-37) dari holt dimana unsur pertamanya dibagi dengan angka musiman It-L. Hal ini dilakukan untuk menghilangkan musiman (mengeliminasi fluktuasi musiman dari ) Xt. Penyesuaian ini dapat digambarkan dengan memperhatikan kasus dimana It-L lebih besar daripada 1, yang terjadi pada saat nilai periode t lebih besat daripada rata- rata dalam musimannya. Membagi Xt dengan bilangan yang lebih besar 1 ini mennghasilkan suatu nilai yang lebih kecil daripada nilai semula.
Persentase penurunan ini sama dengan banyaknya unsur musiman pada periode t-L yang lebih besar daripada nilai rata- rata. Penyesuaian ini sebaliknya terjadi bilamana angka musiman lebih kecil daripada 1. Nilai It-L digunakan dalam perhitungan ini karena It tidak dapat dihitung sebelum St diketahui.
Untuk menginisialisasi metode peramalan winter yang diterangkan di atas perlu menggunakan paling sedikit satu data musiman lengkap ( yaitu L periode) untuk menentukan estimasi awal dari indeks musiman, It-l , dan kita perlu menaksir faktor trend dari suatu periode ke periode yang selanjutnya. Untuk melakukan yang terakhir tersebut bisanya dipakai 2 musim lengkap sebagai berikut.
L X X
L X X
L X X
b L L L ( L L L)
) ...
( ) (
1 1 1 2 2