TINJAUAN PUSTAKA DAN KERANGKA PEMIKIRAN
2.2. Pemodelan Volatilitas Time Series Univariate
2.2.4. Metode Peramalan Box-Jenkins (Model ARIMA)
Metodologi Box-Jenkins mengacu pada himpunan prosedur untuk mengidentifikasikan, mencocokan dan memeriksa model ARIMA dengan data deret waktu. Metode ini sangatlah berbeda dengan kebanyakan metode peramalan lainnya karena model ini tidak mengasumsikan pola tertentu pada data historis deret yang diramalkan. Model ini menggunakan pendekatan iteratif pada identifikasi suatu model yang mungkin dari model umum.
Model autoregresif (AR) pertama kali dikembangkan oleh Yule (1926) dan kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average dikembangkan oleh Slutzky (1937), dan pada tahun 1938 Wold menggabungkan kedua proses tersebut. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga hal. Pertama, identifikasi efisien dan prosedur penaksiran untuk proses AR, MA, dan ARMA campuran. Kedua, perluasan dari hasil tersebut untuk cakup deret berkala musiman. Ketiga, pengembangan hal-hal sederhana yang mencakup proses-proses non-stasioner. (Makridakis, et al. 1999 dalam Iskandar, 2006). Bentuk umum model AR :
Yt = Φ0 + Φ1Yt-1 + Φ2Yt-2 + … + Φp Yt-p + εt Bentuk umum model MA :
Yt = µ + εt - ω1εt-1 - ω1εt-2 - … - ω1εt-q
Bentuk umum model ARMA :
Yt = Φ0 + Φ1Yt-1 + Φ2Yt-2 + … + Φp Yt-p + εt - ω1εt-1 - ω1εt-2 - … - ω1εt-q
Dimana :
Yt = Variabel respon (terikat) pada waktu t
Yt-1, Yt-2, … , Yt-p = Variabel respon pada masing – masing selang waktu Φ0, Φ1, Φ2, … , Φp = Koefisien yang diestimasi
µ = Mean konstanta proses
ω1, ω2, … , ωq = Koefisien yang diestimasi
εt =Bentuk galat yang mewakili efek variabel yang tak
terjelaskan oleh model
εt-1, εt-2, … , εt-4 = Galat pada periode waktu sebelumnya yang pada saat t
nilainya menyatu dengan nilai respon Yt
Kemudian Box dan Jenkins (1976) berhasil mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami dan menggunakan model-model
ARIMA untuk data time series univariat. Dasar pendekatan yang dikembangkan secara umum dapat dibedakan menjadi tiga tahap, yaitu tahap identifikasi, tahap estimasi dan evaluasi, dan tahap aplikasi.
2.2.4.1. Tahap Identifikasi
Pada tahap ini dilakukan identifikasi terhadap tiga hal, yaitu identifikasi terhadap kestasioneran data, identifikasi terhadap unsur musiman, dan identifikasi terhadap pola atau perilaku fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk menentukan model tentative.
Kestasioneran dapat dianalisis dengan alat analisis dalam bentuk sebaran grafik (plot) dari data awal atau dari sebaran nilai autokorelasi (Autocorrelation Functional/ACF). Suatu data deret waktu dikatakan sudah stasioner apabila tidak menunjukkan adanya perubahan nilai tengah (tidak ada trend). Dengan melihat sebaran nilai autokorelasi (ACF), suatu data deret waktu dikatakan non-stasioner apabila plot sebaran nilai autokorelasi bergerak menuju nol secara eksponensial dengan perubahan yang sangat lambat. Selain itu dapat pula dilakukan dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller, dimana data sudah stasioner (tidak mengandung unit root) apabila nilai mutlak ADF Test Statistic lebih besar daripada
Critical Value.
Kebanyakan data deret berkala memiliki unsur kecendrungan (trend) yang menjadikan kondisi data berkala tersebut menjadi non-stasioner. Sementara itu penerapan model ARIMA hanya dapat untuk data yang bersifat stasioner. Oleh karena itu diperlukan notasi yang dapat membedakan data awal yang bersifat non-stasioner dan data baru setelah distasionerkan, yaitu dengan melakukan proses pembedaan (differencing).
Ketelitian dan tingkat akurasi model ARIMA dapat ditingkatkan dengan memasukkan unsur musiman yang terkandung dalam data. Pendeteksian komponen trend (stasioneritas)
dan musiman yang terkandung dalam data digunakan bantuan (i) plot data, (ii) plot ACF, (iii) plot PACF.
Pada tahap berikutnya adalah identifikasi nilai banyaknya parameter AR non-musiman (p) dan banyaknya parameter MA non-non-musiman (q). untuk menentukannya dibantu oleh alat dalam plot Gambar ACF dan PACF yang secara ringkas disajikan pada Tabel 2. Tabel 2. Penentuan Model ARIMA (p,d,q)
Model ACF PACF
Moving Average orde q Cut off setelah lag q (q=1 atau 2)
Eksponensial Dies down dan atau sinusoidal Autoregressive orde p Eksponensial dies down
dan atau sinusoidal
Cut off setelah lag p (p=1 atau 2)
Mixed (autoregressive-moving average) orde p,q
Eksponensial Dies down dan atau sinusoidal
Eksponensial Dies down dan atau sinusoidal
Sumber : Gaynor dan Kirpartrik (1994)
Dalam data deret waktu yang mengandung unsur musiman dan tidak stasioner maka langkah untuk proses stasioneritas dilakukan dua tahap, yaitu (i) mendeteksi pola-pola (stasioner, AR dan MA) pada unsur musiman dan (ii) mendeteksi pola-pola (stasioner, AR dan MA) pada unsur non-musiman. Untuk menentukannya dibantu oleh alat dalam plot Gambar ACF dan PACF yang secara ringkas disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Penentuan Model ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)
Model ACF PACF
Non seasonal-moving average (q=1 atau q=2)
Cut off setelah lag q (q=1 atau 2); koefisien korelasi tidak signifikan pada lag-lag musiman
Dies down
seasonal-moving average (q=1)
Cut off setelah lag L, koefisien korelasi tidak signifikan pada lag-lag non-musiman
Dies down
Non seasonal-moving average (q=1 atau q=2; Q=1)
Cut off setelah lag L, terdapat koefisien korelasi yang signifikan pada lag non-musiman ke-1 atau 2
Dies down
Non
seasonal-autoregressive (p=1 atau 2)
Dies down Cut off setelah lag q (q=1
atau 2); koefisien korelasi tidak signifikan pada lag-lag musiman
seasonal-autoregressive (p=1)
Dies down Cut off setelah lag L,
koefisien korelasi tidak signifikan pada lag-lag non-musiman
Non
seasonal-autoregressive (p=1 atau 2; P=1)
Dies down Cut off setelah lag L,
terdapat koefisien korelasi yang signifikan pada lag non-musiman ke-1 atau 2
Mixed (autoregressive-moving average) non-seasonal; seasonal)
Dies down
Sumber : Gaynor dan Kirpartrik (1994)
Eliminasi unsur musiman dilakukan dengan melakukan pembedaan terhadap data awal. Jika panjang musiman adalah S, maka pembedaan ke-S dirumuskan dengan :
(1-Bs) Xt
Sedangkan eliminasi unsur trend dilakukan dengan pembedaan ordo ke-d terhadap data hasil eliminasi unsur musiman.
Setelah berhasil menetapkan atau mengidentifikasi model sementara, tahap berikutnya adalah pendugaan parameter model sementara tersebut. Terdapat dua cara yang mendasar yang dapat digunakan untuk pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut, yaitu :
1. Dengan cara mencoba-coba (trial and error) yaitu dengan menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih diantaranya dengan syarat yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai galat (sum square of residual).
2. Perbaikan secara iteratif yaitu dengan memilih nilai taksiran awal dan kemudian membiarkan program komputer untuk memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.
Dengan semakin majunya program komputer untuk proses statistik maka nilai parameter dapat langsung dihasilkan oleh komputer tersebut.
2.2.4.3. Tahap Evaluasi
Setelah diperoleh persamaan untuk model tentative, dilakukan uji diagnostik untuk menguji kedekatan model dengan data. Terdapat 6 kriteria dalam evaluasi model Box-Jenkins (Gaynor, 1994 dalam Iskandar, 2006), yaitu :
1. Proses iterasi harus convergence. Bila ini terpenuhi maka pada session terdapat pernyataan relative change in each estimate less than 0,0010.
2. Residual (forecast error) random. Untuk memastikan apakah model sudah memenuhi syarat ini, dapat digunakan indikator modified Box-Pierce Statistic. Dari session diketahui bahwa nilai P-value yang lebih besar dari 0.05 menunjukkan bahwa residual sudah random atau sudah mempunyai adequate model
3. Kondisi stasioneritas harus terpenuhi, ditunjukkan oleh koefien MA atau AR yang kurang dari satu.
4. Parameter yang diestimasi berbeda nyata dengan nol, ditunjukkan oleh nilai P-value yang harus kurang dari 0.05.
5. Model harus memiliki mean square error (MSE) yang kecil. Selain itu untuk aplikasinya dapat pula dilihat dari nilai AIC dan SC terkecil.
Apabila dalam metode ARIMA masih terdapat unsur heteroskedastisitas, maka nilai kuadrat galat dari metode ini digunakan lebih lanjut ke dalam metode ARCH/GARCH.