Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal

BAB II DASAR TEORI

B. Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal

BAB III METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TI-TIK LINEAR

A. Pengertian Metode Tembakan Linear B. Masalah Nilai Batas Linear

C. Tembakan Linear

D. Mengurangi Kesalahan Pembulatan

BAB IV METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TI-TIK NONLINEAR

A. Iterasi Newton

5 C. Diskusi Hasil BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

6 BAB II DASAR TEORI

Bab ini menjelaskan tentang teori-teori yang akan digunakan dalam metode tem-bakan untuk masalah nilai batas dua titik, antara lain persamaan diferensial dengan pengertian dan contoh untuk masalah nilai awal dan masalah nilai batas, metode Runge-Kutta untuk menyelesaikan masalah nilai awal, dan metode Newton untuk pen-carian akar persamaan.

A. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial biasanya digunakan untuk memodelkan suatu masalah dalam bidang sains dan teknik yang melibatkan perubahan beberapa variabel terhadap yang lain. Seringkali tidak ada solusi analitik yang diketahui dan perkiraan numerik diper-lukan. Suatu nilai atau persamaan yang memenuhi diketahui adalah pengertian dari so-lusi. Sebagai ilustrasi, andaikan dinamika populasi dan sistem nonlinear yang merupa-kan modifikasi dari persamaan Lotka-Volterra:

𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 −_{10 𝑥𝑥}¹ 2 dan 𝑦𝑦^′ = 𝑔𝑔(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 −_{20 𝑦𝑦}¹ 2, dengan kondisi awal 𝑥𝑥(0) = 2 dan 𝑦𝑦(0) = 1 untuk 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 30. Walaupun solusi nu-merik adalah daftar angka, akan membantu untuk memplot jalur poligon yang bergabung dengan titik perkiraan (𝑥𝑥_𝑘𝑘, 𝑦𝑦_𝑘𝑘) dan plot lintasan yang ditunjukkan pada Gambar 2.1 yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999).

Gambar12.1 Plot Lintasan sistem nonlinear dari persamaan diferensial 𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan 𝑦𝑦′= 𝑔𝑔(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦).

Pembahasan pada subbab ini berdasarkan referensi dari Mathews & Fink (1999) dan Chapra (2012).

Diketahui persamaan

𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1 − 𝑒𝑒^−𝑡𝑡^. (2.1) Persamaan ini disebut persamaan diferensial karena mengandung turunan 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡⁄ dari fungsi yang tidak diketahui 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Hanya variabel bebas 𝑡𝑡 yang muncul di ruas kanan persamaan (2.1); maka solusinya adalah antiderivatif dari 1 − 𝑒𝑒−𝑡𝑡_{. Aturan} inte-grasi dapat diterapkan untuk mencari 𝑦𝑦(𝑡𝑡):

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒−𝑡𝑡+ 𝐶𝐶, (2.2) dimana 𝐶𝐶 adalah konstanta dari integrasi. Seluruh fungsi pada (2.2) merupakan solusi dari persamaan (2.1) karena memenuhi 𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒−𝑡𝑡_{. Mereka membentuk suatu} keluarga kurva pada Gambar 2.2 yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999).

Ketika suatu persamaan diferensial hanya memuat satu variabel bebas, persa-maan ini disebut Persapersa-maan Diferensial Biasa (PDB). Hal lain adalah Persapersa-maan Diferensial Parsial (PDP) yang mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial juga diklasifikasikan terhadap orde atau urutan. Contohnya, persamaan (2.1) merupakan persamaan orde satu karena orde (tingkat) turunan tertingginya ada-lah turunan pertama. Untuk memudahkan dalam memahami bentuk persamaan diferen-sial biasa maupun pardiferen-sial, diberikan beberapa contoh persamaannya, yaitu:

a. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑− 3^𝑑𝑑_𝑑𝑑= 𝑦𝑦2 _, _{PDB Orde satu;} b. 𝑥𝑥2𝑦𝑦′′− 2𝑥𝑥𝑦𝑦′+ (𝑥𝑥2− 3)𝑦𝑦 = 0 , PDB Orde dua; c. 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑−^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝑑𝑑}= 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 , PDP Orde satu; d. 𝜕𝜕²𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 2^𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝑑𝑑}²^𝑣𝑣₂ = 3 , PDP Orde dua.

Integrasi adalah teknik yang digunakan untuk menemukan rumus eksplisit sep-erti fungsi pada (2.2) dan Gambar (2.2) menekankan bahwa ada satu derajat bebas yang terlibat dalam solusi, yaitu konstanta integrasi 𝐶𝐶. Dengan memvariasikan nilai 𝐶𝐶, kita “memindahkan kurva solusi” ke atas atau bawah, dan kurva tertentu dapat ditemukan yang akan melewati titik mana pun yang diinginkan. Ketika suatu permasa-lahan dimodelkan ke pemodelan matematika, hasilnya merupakan persamaan yang melibatkan laju perubahan fungsi yang tidak diketahui dan variabel bebas dan / atau terikat.

Misalkan diketahui suatu persamaan yang menggambarkan posisi 𝑥𝑥 dari sistem pegas-massa dengan redaman merupakan persamaan orde kedua:

𝑚𝑚^𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑡𝑡}²^𝑥𝑥₂ + 𝑐𝑐^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0} (2.3) dimana 𝑚𝑚 massa, 𝑐𝑐 koefisien redaman, dan 𝑘𝑘 konstanta pegas. Demikian pula, persa-maan orde ke-𝑛𝑛 akan mencakup turunan ke 𝑛𝑛. Suatu persamaan diferensial orde tinggi dapat direduksi menjadi sistem persamaan orde pertama. Hal ini dicapai dengan

mendefinisikan turunan pertama dari variabel terikat sebagai variabel baru. Untuk per-samaan (2.3), diselesaikan dengan membuat variabel 𝑣𝑣 baru sebagai turunan pertama dari perpindahan

𝑣𝑣 =^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑡𝑡,} (2.4)

dimana 𝑣𝑣 adalah kecepatan. Persamaan ini sendiri dapat diturunkan menjadi 𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑2𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑡𝑡2 . (2.5)

Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat disubstitusikan ke persamaan (2.3) untuk mengu-bahnya menjadi persamaan orde pertama:

𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑣𝑣}_{𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑣𝑣 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 .} (2.6) Sebagai langkah akhir, kita dapat menuliskan persamaan (2.4) dan (2.6) sebagai per-samaan: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 , (2.7) 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑡𝑡 = − 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑥𝑥. (2.8)

Jadi, persamaan (2.7) dan (2.8) adalah sepasang persamaan orde satu yang ekivalen dengan persamaan aslinya orde dua (2.3). Hal ini akan berlaku juga jika diterapkan ke persamaan diferensial orde ke-𝑛𝑛.

Ketika berhadapan dengan persamaan diferensial orde-𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 kondisi diperlukan untuk memperoleh solusi unik. Jika semua kondisi ditentukan pada nilai yang sama dari variabel bebas (misal, pada 𝑡𝑡 = 0), maka masalah itu disebut masalah nilai awal. Ini berbeda dengan masalah nilai batas dimana spesifikasi kondisi terjadi pada nilai yang berbeda dari variabel bebas.

Sebagian besar dari masalah yang sudah disebutkan sebelumnya membutuhkan solusi dari masalah nilai awal, yaitu solusi untuk persamaan diferensial yang memenuhi kon-disi awal yang diberikan (Burden and Faires, 2011). Pernyataan ini dapat dituliskan ulang kedalam sebuah definisi yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999). Definisi 2.1

Solusi dari masalah nilai awal

𝑦𝑦′= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dengan 𝑦𝑦(𝑥𝑥₀) = 𝑦𝑦₀, (2.9) pada interval [𝑥𝑥0, 𝑏𝑏] adalah fungsi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) sedemikian sehingga

𝑦𝑦(𝑥𝑥₀) = 𝑦𝑦₀ dan 𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥)� untuk semua 𝑥𝑥𝑥𝑥[𝑥𝑥₀, 𝑏𝑏]. (2.10) Perhatikan bahwa kurva solusi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) harus melewati titik awal (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0). ∎ Untuk pemahaman yang lebih mudah, diberikan contoh nyata dari masalah nilai awal. Contoh 2.1

𝑦𝑦′= 𝑦𝑦 tan(𝑥𝑥 + 3) dengan 𝑦𝑦(−3) = 1. (2.11) Kita akan menentukan 𝑦𝑦 pada interval yang mengandung titik awal 𝑥𝑥₀. Solusi analitik dari masalah nilai awal ini adalah 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = sec(𝑥𝑥 + 3), yang dapat kita verifikasi dengan mudah. Karena sec 𝑥𝑥 menjadi tak berhingga pada 𝑥𝑥 = ± 𝜋𝜋 2⁄ , solusi kita hanya benar untuk −𝜋𝜋 2⁄ < 𝑥𝑥 + 3 < 𝜋𝜋 2⁄ . Contoh 2.1 memiliki solusi analitik sederhana yang nilai numeriknya mudah dihitung. Biasanya, untuk masalah nilai awal (2.9), so-lusi analitiknya tidak tersedia dan metode numerik harus digunakan.

Contoh 2.2

Diberikan masalah nilai awal

𝑦𝑦′ = 1 + 𝑦𝑦2 dengan 𝑦𝑦(0) = 0. (2.12) Kurva solusi dimulai dari 𝑥𝑥 = 0 dengan kemiringan (slope) satu; yaitu, 𝑦𝑦′(0) = 1. Ka-rena kemiringannya positif, 𝑦𝑦(𝑥𝑥) akan meningkat dekat 𝑥𝑥 = 0. Oleh karena itu, pern-yataan 1 + 𝑥𝑥2_{juga akan meningkat. Karenanya,}𝑦𝑦′ meningkat. Karena 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦′ sama-sama meningkat dan terkait dengan persama-samaan 𝑦𝑦′= 1 + 𝑦𝑦2_{, kita dapat berharap bahwa}

pada beberapa nilai 𝑥𝑥 hingga tidak akan ada solusinya; yaitu, 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = +∞. Faktanya, ini terjadi pada 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2⁄ karena solusi analitik dari (2.12) adalah 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = tan 𝑥𝑥.

Sebelum membahas lebih lanjut, kita memerlukan beberapa definisi dan hasil dari teori persamaan diferensial biasa sebelum mempertimbangkan metode untuk men-dekati solusi suatu masalah nilai awal. Referensi untuk bagian ini diambil dari buku karangan Burden dan Faires (2011).

Definisi 2.2

Suatu fungsi 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) dikatakan memenuhi kondisi Lipschitz dalam variabel 𝑦𝑦 pada him-punan 𝐷𝐷 ⊂ ℝ2_{jika ada konstanta}𝐿𝐿 > 0 dengan

|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2)| ≤ 𝐿𝐿|𝑦𝑦1− 𝑦𝑦2|,

kapanpun (𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) dan (𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) didalam 𝐷𝐷. Konstanta 𝐿𝐿 disebut konstanta Lipschitz untuk

𝑓𝑓. ∎

Contoh 2.3

Tunjukkan bahwa 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 𝑡𝑡|𝑦𝑦| memenuhi kondisi Lipschitz pada interval 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 dan − 3 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 4}.

Solusi:

Untuk setiap pasangan titik (𝑡𝑡, 𝑦𝑦₁) dan (𝑡𝑡, 𝑦𝑦₂) dalam 𝐷𝐷 diperoleh

|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦₁) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦₂)| = �𝑡𝑡|𝑦𝑦₁| − 𝑡𝑡|𝑦𝑦₂|� = |𝑡𝑡|�|𝑦𝑦₁| − |𝑦𝑦₂|� ≤ 2|𝑦𝑦₁− 𝑦𝑦₂|. Dengan demikian 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz pada 𝐷𝐷 dalam variabel 𝑦𝑦 dengan kon-stanta Lipschitz 2. Nilai terkecil yang mungkin untuk konkon-stanta Lipschitz untuk masa-lah ini adamasa-lah 𝐿𝐿 = 2, karena, untuk contoh,

|𝑓𝑓(2,1) − 𝑓𝑓(2,0)| = |2 − 1| = 2|1 − 0|. ∎ Teorema 2.1 dibawah merupakan teorema keunikan untuk persamaan diferensial biasa orde satu. Pembuktian dari teorema ini dapat dilihat pada buku karangan Birkhoff dan Rota (1989) berjudul Ordinary Differential Equations (Fourth edition).

Misalkan 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏 dan − ∞ < 𝑦𝑦 < ∞} dan bahwa 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kontinu pada 𝐷𝐷. Jika 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz pada 𝐷𝐷 dalam variabel 𝑦𝑦, maka masalah nilai awal

𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼,

memiliki solusi unik 𝑦𝑦(𝑡𝑡) untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏. ∎ Diberikan contoh penerapan Teorema 2.1 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).

Contoh 2.4

Gunakan Teorema 2.1 untuk menunjukkan bahwa ada solusi unik untuk masalah nilai awal

𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 1 + 𝑡𝑡 sin(𝑡𝑡𝑦𝑦) , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑦𝑦(0) = 0. Solusi:

𝑡𝑡 konstan dan menerapkan Teorema Nilai Rata-Rata pada fungsi 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 1 + 𝑡𝑡 sin(𝑡𝑡𝑦𝑦),

kita menemukan bahwa ketika 𝑦𝑦1 < 𝑦𝑦2^{, angka}𝜉𝜉 dalam (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2) ada dengan 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) 𝑦𝑦₂− 𝑦𝑦₁ ⁼ 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝜉𝜉) = 𝑡𝑡2cos(𝜉𝜉𝑡𝑡). Jadi |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1)| = |𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1||𝑡𝑡2cos(𝜉𝜉𝑡𝑡)| ≤ 4|𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1|,

dan 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz konstanta 𝐿𝐿 = 4. Selain itu, 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kontinu ketika 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 dan −∞ < 𝑦𝑦 < ∞, jadi Teorema 2.1 menyiratkan bahwa ada solusi unik untuk masalah nilai awal ini.

Terdapat beberapa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, seperti metode Euler, metode Taylor tingkat tinggi, metode Runge-Kutta, dan sebagainya. Namun, pada penulisan ini akan menerapkan metode Runge-Kutta orde empat untuk menyelesaikan masalah nilai awal.

Untuk pembahasan materi ini, berdasarkan referensi buku karangan Kincaid dan Chen-ney (1991). Diberikan suatu masalah nilai awal

𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) , dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) = 𝛽𝛽 (2.13) untuk 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], dapat dituliskan kedalam sistem persamaan orde pertama untuk 𝑦𝑦₁ = 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦₂ = 𝑦𝑦′:

�𝑦𝑦1^′ = 𝑦𝑦2 , 𝑦𝑦1(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼

𝑦𝑦₂′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2) , 𝑦𝑦2(𝑎𝑎) = 𝛽𝛽 ^(2.14) Sistem (2.14) dapat diselesaikan dengan salah satu metode langkah-demi-langkah.

Situasinya akan sangat berubah, jika masalah (2.13) diubah menjadi,

𝑦𝑦′′= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) , dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽. (2.15) Perbedaannya ada pada spesifikasi dari kondisi pada dua titik yang berbeda, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 dan 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏. Prosedur langkah-demi-langkah untuk masalah nilai awal tidak diadaptasi ke solusi dari (2.15) karena solusi numerik tidak dapat dimulai tanpa melengkapi nilai awal. Pada (2.15), kita punya contoh yang khas untuk masalah nilai batas dua titik. Masalah seperti itu biasa menghadirkan kesulitan yang lebih besar daripada masalah nilai awal.

Berikut diberikan contoh masalah nilai batas dua titik yang dapat diselesaikan tanpa pengerjaan secara numerik:

𝑦𝑦′′ = −𝑦𝑦 , dengan 𝑦𝑦(0) = 3 dan 𝑦𝑦 �^𝜋𝜋_{2� = 7.} (2.16) Kita dapat menemukan terlebih dahulu solusi umum dari persamaan diferensial, yaitu

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 cos 𝑥𝑥.

Maka konstanta 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dapat ditentukan sehingga kondisi batas terpenuhi. Jadi �_{7 = 𝑦𝑦 �}^{3 = 𝑦𝑦(0) = 𝐴𝐴 sin 0 + 𝐵𝐵 cos 0 = 𝐵𝐵}𝜋𝜋 2� = 𝐴𝐴 sin 𝜋𝜋 2 + 𝐵𝐵 cos 𝜋𝜋 2 = 𝐴𝐴^. Jadi solusi dari (2.16) adalah

Teknik yang baru saja digambarkan tidak efektif jika solusi umum persamaan diferensial pada (2.15) tidak diketahui. Pada penulisan di sini lebih membahas masalah nilai batas dua titik secara numerik.

Berikut diberikan Teorema keberadaan untuk solusi dari masalah nilai batas dua titik (2.15) dan untuk pembuktiannya dapat dilihat pada buku Keller (1968) berjudul Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems.

Teorema 2.2 Masalah nilai batas

𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dengan 𝑦𝑦(0) = 0 dan 𝑦𝑦(1) = 0,

Memiliki solusi yang unik jika 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦⁄ kontinu, nonnegatif, dan dibatasi pada interval

0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 1, −∞ < 𝑦𝑦 < ∞. ∎

Selanjutnya diberikan Contoh 2.5 yang diambil dari buku Kincaid dan Cheney (1991) untuk penerapan Teorema 2.2.

Contoh 2.5

Tunjukkan bahwa masalah nilai batas dua titik ini memiliki solusi unik: 𝑦𝑦′′= (5𝑦𝑦 + sin 3𝑦𝑦)𝑒𝑒𝑑𝑑 dengan 𝑦𝑦(0) = 𝑦𝑦(1) = 0. Solusi:

Gunakan Teorema 2.2, diperoleh 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑦𝑦 =(5 + 3 cos 3𝑦𝑦)𝑒𝑒𝑑𝑑,

kontinu pada interval 0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 1, −∞ < 𝑦𝑦 < ∞. Lebih jauh lagi, ia dibatasi atas oleh 8𝑒𝑒 dan tidak negatif, karena 3 cos 3𝑦𝑦 ≧ −3. Hipotesis dari Teorema 2.2 terpenuhi. ∎

B. Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal

Pada subbab ini, dijelaskan pengertian metode Runge-Kutta untuk menyelesaikan ma-salah nilai awal berdasarkan referensi karangan Burden & Faires (2011).

Metode Runge-Kutta memiliki galat pemotongan lokal tingkat tinggi dari metode Taylor tetapi menghilangkan kebutuhan untuk menghitung dan mengevaluasi

turunan dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦). Sebelum ditunjukkan ide-ide di balik penurunannya, kita perlu mempertimbangkan Teorema Taylor dalam dua variabel. Bukti dari hasil ini dapat ditemukan pada buku karangan Fulks (1978) berjudul Advanced Calculus, (Third edi-tion).

Teorema 2.3

Misalkan 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) dan semua turunan parsial dari orde kurang dari atau sama dengan 𝑛𝑛 + 1 adalah kontinu pada 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑}, dan (𝑡𝑡₀, 𝑦𝑦₀) ∈ 𝐷𝐷. Un-tuk setiap (𝑡𝑡, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷, terdapat 𝜉𝜉 antara 𝑡𝑡 dan 𝑡𝑡₀ dan 𝜇𝜇 antara 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦₀ dengan

𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) + 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), dimana 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) _{= 𝑓𝑓(𝑡𝑡} 0, 𝑦𝑦₀) + �(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡₀)^{𝜕𝜕𝑓𝑓} 𝜕𝜕𝑡𝑡(𝑡𝑡₀, 𝑦𝑦₀) + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦₀)^{𝜕𝜕𝑓𝑓} 𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑡𝑡₀, 𝑦𝑦₀)� + �(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)2 2 𝜕𝜕2𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡2(𝑡𝑡₀, 𝑦𝑦₀) + (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0) ^𝜕𝜕²^𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) +(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦₀)2 2 𝜕𝜕2𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦2(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0)� + ⋯ + �_𝑛𝑛!¹ � �^𝑛𝑛_𝑗𝑗� (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗=0 (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑛𝑛𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑛𝑛−𝑗𝑗𝜕𝜕𝑦𝑦𝑗𝑗(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0)� dan 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) =_{(𝑛𝑛 + 1)! � �}¹ ^{𝑛𝑛 + 1}_𝑗𝑗 � (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 𝑗𝑗=0 (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑛𝑛𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑛𝑛+1−𝑗𝑗𝜕𝜕𝑦𝑦𝑗𝑗(𝜉𝜉, 𝜇𝜇). Fungsi 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) disebut polinomial Taylor orde 𝑛𝑛 dalam dua variabel untuk fungsi 𝑓𝑓 tentang (𝑡𝑡₀, 𝑦𝑦₀), dan 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) adalah syarat sisa yang terkait dengan 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦).

∎ Berikut contoh penerapan Teorema 2.3 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).

16 Contoh 2.6

Gunakan Maple untuk menentukan 𝑃𝑃2(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), polinomial Taylor orde dua di sekitar titik (2,3) untuk fungsi 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = exp �−(𝑡𝑡 − 2)2 4 ⁻ (𝑦𝑦 − 3)2 4 � cos(2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 − 7) Solusi:

Untuk menentukan 𝑃𝑃₂(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kita perlu nilai dari 𝑓𝑓 dan turunan parsial pertama dan kedua dari 𝑓𝑓 pada (2,3). Diperoleh

𝑓𝑓(2,3) = 𝑒𝑒�−02⁄ −04 2⁄ �4 cos(4 + 3 − 7) = 1.

Untuk menghindari perhitungan dengan turunan parsial yang banyak, pengerjaan menggunakan Maple. Gunakan fungsi command yang tersedia pada Maple. Pilihan pertama dari command TaylorApproximation adalah fungsinya, yang kedua menen-tukan titik (𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) dimana polinomial berpusat, dan yang ketiga menentukan tingkat polinomial. Jadi, dikeluarkan perintah (command)

𝑇𝑇𝑎𝑎𝑦𝑦𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑇𝑇𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛 �𝑒𝑒^{−(𝑡𝑡−2)}4 −² (𝑑𝑑−3)2

4 cos(2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 − 7) , [𝑡𝑡, 𝑦𝑦] = [2,3], 2� Keluaran dari perintah Maple tersebut adalah polinomial

1 −⁹₄(𝑡𝑡 − 2)2− 2(𝑡𝑡 − 2)(𝑦𝑦 − 3) −³₄(𝑦𝑦 − 3)2.

Gambar 2.3 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011) adalah plot dari po-linomial diatas.

Gambar32.3 Gambar ilustrasi dari polinomial pada Contoh (2.6)

Parameter terakhir dalam perintah tersebut menunjukkan bahwa kita menginginkan polinomial multivarian Taylor kedua, yaitu, polinomial kuadratik. Jika parameter ini adalah 2, diperoleh polinomial kuadratik, dan jika 0 atau 1, kita mendapatkan polinomial berorde 1. Ketika parameter ini dihilangkan, standarnya ada-lah 6 dan memberikan polinomial Taylor keenam. ∎ Pada penulisan ini, menggunakan metode Runge-Kutta dengan orde empat untuk me-nyelesaikan masalah nilai awal. Referensi untuk dasar teori ini diambil dari buku Bur-den dan Faires (2011).

Metode Runge-Kutta Orde Empat

Metode Runge-Kutta orde empat merupakan metode yang popular dalam penyelesaian persamaan diferensial. Metode ini dapat memperoleh akurasi deret Taylor tanpa me-merlukan diferensiasi orde yang lebih tinggi.

𝑤𝑤0 = 𝛼𝛼,

𝑘𝑘1 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡_𝑖𝑖, 𝑤𝑤_𝑖𝑖),

𝑘𝑘2 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡_𝑖𝑖+^ℎ₂, 𝑤𝑤_𝑖𝑖+¹₂𝑘𝑘₁�, 𝑘𝑘3 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡𝑖𝑖+^ℎ₂, 𝑤𝑤𝑖𝑖+¹₂𝑘𝑘2�,

18 𝑘𝑘₄ = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖+1, 𝑤𝑤𝑖𝑖+ 𝑘𝑘3),

𝑤𝑤𝑖𝑖+1 = 𝑤𝑤𝑖𝑖+¹₆(𝑘𝑘1+ 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3+ 𝑘𝑘4),

Untuk setiap 𝑇𝑇 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1. Metode ini mempunyai galat pemotongan lokal 𝑂𝑂(ℎ4), asalkan solusi 𝑦𝑦(𝑡𝑡) memiliki lima turunan kontinu. Kita perkenalkan notasi 𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2, 𝑘𝑘3, 𝑘𝑘4^{ke dalam metode untuk menghilangkan kebutuhan untuk kurungan} ber-turut-turut dalam variabel kedua dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦). Algoritma 2.1 mengimplementasikan metode Runge-Kutta orde empat.

Algoritma 2.1

Untuk memperkirakan solusi dari masalah nilai awal

𝑦𝑦′= 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼,

saat interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] didiskritkan menjadi sebanyak (𝑁𝑁 + 1) titik jarak yang berjarak se-ragam:

MASUKAN titik akhir 𝑎𝑎, 𝑏𝑏; bilangan bulat 𝑁𝑁; kondisi awal 𝛼𝛼. KELUARAN perkiraan 𝑤𝑤 ke 𝑦𝑦 saat (𝑁𝑁 + 1) nilai dari 𝑡𝑡. Langkah 1 Tetapkan ℎ = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 𝑁𝑁⁄ ;

𝑡𝑡 = 𝑎𝑎; 𝑤𝑤 = 𝛼𝛼; KELUARAN (𝑡𝑡, 𝑤𝑤).

Langkah 2 Untuk 𝑇𝑇 = 1,2, … , 𝑁𝑁 lakukan Langkah 3-5. Langkah 3 Tetapkan 𝐾𝐾₁ = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑤𝑤);

𝐾𝐾2 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ 2⁄ , 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾1⁄ ); 2 𝐾𝐾3 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ 2⁄ , 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾2⁄ ); 2 𝐾𝐾4 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ, 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾3).

Langkah 4 Tetapkan 𝑤𝑤 = 𝑤𝑤 + (𝐾𝐾1+ 2𝐾𝐾2+ 2𝐾𝐾3+ 𝐾𝐾4) 6⁄ ; (Hitung 𝑤𝑤𝑖𝑖^.) 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 + 𝑇𝑇ℎ. (Hitung 𝑡𝑡_𝑖𝑖.)

Langkah 5 KELUARAN (𝑡𝑡, 𝑤𝑤).

Berikutnya, akan ditunjukkan contoh soal dari Burden dan Faires (2011), yang diselesaikan berdasarkan Algoritma 2.1.

Contoh 2.7

Gunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan ℎ = 0.2, 𝑁𝑁 = 10, dan 𝑡𝑡𝑖𝑖= 0.2𝑇𝑇 un-tuk memperoleh perkiraan solusi dari masalah nilai awal

𝑦𝑦′= 𝑦𝑦 − 𝑡𝑡2+ 1, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑦𝑦(0) = 0.5. Solusi:

Perkiraan ke 𝑦𝑦(0.2) diperoleh dengan 𝑤𝑤0 = 0.5 𝑘𝑘₁ = 0.2𝑓𝑓(0,0.5) = 0.2(1.5) = 0.3 𝑘𝑘2 = 0.2𝑓𝑓(0.1, 0.65) = 0.328 𝑘𝑘₃ = 0.2𝑓𝑓(0.1, 0.664) = 0.3308 𝑘𝑘₄ = 0.2𝑓𝑓(0.2, 0.8308) = 0.35816 𝑤𝑤1 = 0.5 +¹₆(0.3 + 2(0.328) + 2(0.3308) + 0.35816) = 0.8292933. Hasil lainnya beserta galatnya disajikan pada Tabel 2.1 ∎

Tabel12.1. Daftar galat penyelesaian Runge-Kutta orde empat

𝑡𝑡_𝑖𝑖 Eksak 𝑦𝑦_𝑖𝑖= 𝑦𝑦(𝑡𝑡_𝑖𝑖) Runge-Kutta orde empat 𝑤𝑤_𝑖𝑖 Galat |𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑤𝑤_𝑖𝑖| 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.2 0.8292986 0.8292933 0.0000053 0.4 1.2140877 1.2140762 0.0000114 0.6 1.6489406 1.6489220 0.0000186 0.8 2.1272295 2.1272027 0.0000269 1.0 2.6408591 2.6408227 0.0000364 1.2 3.1799415 3.1798942 0.0000474

1.4 3.7324000 3.7323401 0.0000599 1.6 4.2834838 4.2834095 0.0000743 1.8 4.8151763 4.1850857 0.0000906 2.0 5.3054720 5.3053630 0.0001089

Dalam dokumen METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK (Halaman 21-37)