METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Gabriella Putri Retno Dewanti NIM: 163114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
SHOOTING METHOD FOR
TWO-POINT BOUNDARY-VALUE PROBLEMS
Final Project
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written By:
Gabriella Putri Retno Dewanti Student ID: 163114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
iii
LEMBAR PERSETUJUAN
METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK
Disusun oleh:
Gabriella Putri Retno Dewanti NIM: 163114002
Telah disetujui oleh:
Dosen Pembimbing Tugas Akhir
iv
LEMBAR PENGESAHAN
METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK
Dipersiapkan dan Ditulis oleh Gabriella Putri Retno Dewanti
NIM: 163114002
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji Pada tanggal 29 Juli 2020
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan Ketua : Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si.
Sekretaris : Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.
Anggota : Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.
Yogyakarta, 16 Agustus 2021 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Dekan,
v MOTTO
Semoga semua makhluk semakin membuka hati kepada Tuhan … .
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk:
Kedua orang tua, kakak, almamater yang saya banggakan, serta semua orang yang senantiasa menemani, mendukung, dan mendoakan saya.
vii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 29 Juli 2020
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Gabriella Putri Retno Dewanti
NIM : 163114002
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Uni-versitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistri-busikan secara terbatas dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta, pada tanggal 29 Juli 2020 Yang menyatakan,
ix ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari, khususnya dalam bidang sains dan teknik, sering-kali dijumpai permasalahan fisik yang dapat dimodelkan secara matematis untuk mem-peroleh solusinya. Pada umumnya, permasalahan tersebut dapat dimodelkan kedalam persamaan diferensial, dengan dua masalah yaitu, masalah nilai awal dan masalah nilai batas. Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan salah satu metode untuk me-nyelesaikan masalah nilai batas yaitu metode tembakan (shooting). Ide dari metode tembakan ini adalah dengan mengubah masalah nilai batas menjadi masalah nilai awal, agar lebih mudah dalam menemukan solusinya dengan pendekatan secara numeris.
Metode Runge-Kutta orde empat, menjadi pilihan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut. Dasar dari pemilihan metode ini karena dapat diperoleh akurasi deret Taylor tanpa memerlukan diferensiasi orde yang lebih tinggi dengan aproksimasi yang bagus. Untuk membantu dalam pengerjaan metode tembakan ini, selain metode Runge-Kutta orde empat, diperlukan metode tambahan lain untuk pencarian akar per-samaan khususnya perper-samaan nonlinear. Metode yang digunakan adalah metode New-ton, karena metode ini memiliki laju konvergensi yang cepat.
Dengan demikian, hasil yang diperoleh dalam tugas akhir ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai batas dua titik menggunakan metode tembakan.
Kata kunci: Persamaan diferensial, metode tembakan, masalah nilai batas, metode Newton, metode Runge-Kutta orde empat.
x ABSTRACT
In everyday life, especially in the field of science and engineering, we often en-counter physical problems that can be mathematically modeled to obtain a solution. In general, these problems can be modeled into differential equations, with two problems namely, initial-value problems and boundary-value problems. In this project, author uses one method to solve boundary-value problems namely the shooting method. The idea of this shooting method is to change boundary-value problems into initial-value problems, so that it is easier to find the solution with numerical approximation.
The fourth-order Runge-Kutta method is chosen to resolve the initial-value prob-lems. The basis for choosing this method is because it can obtain Taylor series accuracy without requiring higher order differentiation with good approximations. To assist in the operation of this shooting method, in addition to the fourth-order Runge-Kutta method, another method is needed to find the roots of an equation, especially nonlinear equations. The Newton’s method will be used, because this method has a fast conver-gence rate.
Thus, the results obtained in this project can be used to solve two-point bound-ary-value problems using the shooting method.
Keywords: Differential equations, shooting method, boundary-value problems, New-ton’s method, fourth-order Runge-Kutta method.
xi
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kepada Tuhan yang Tersayang, di tengah pandemi virus COVID-19 yang melanda sebagian besar negara di dunia, termasuk Indonesia, penulis dapat me-nyelesaikan tugas akhir ini yang berjudul “Metode Tembakan untuk Masalah Nilai Ba-tas Dua Titik”, sebagai salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh penulis untuk mem-peroleh gelar Sarjana Matematika (S.Mat.) di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Sesuai dengan syarat protokol kesehatan ditengah pandemi ini, diharapkan semua pihak untuk melakukan social-distancing yang diharapkan dapat memutus rantai penyebaran virus COVID-19. Dalam penyusunannya, walaupun tidak bisa bertemu langsung dengan dosen pembimbing, dosen-dosen bidang studi lain yang terkait, te-man-teman penulis untuk bertukar pendapat, penulis dapat menggunakan fasilitas teknologi yang terkini (Zoom, moodle, WhatsApp, dan sebagainya). Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing tugas akhir yang meluangkan waktu, pikiran, dan tenaganya dalam membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang
selalu bersedia menampung curhatan-curhatan penulis dan teman-temannya. 3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Bapak
Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ricky Aditya, M.Sc., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Ibu Dr. Lusia Krismiyati Budiasih, selaku dosen Program Studi Matematika Sanata Dharma yang telah memberikan banyak ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan.
4. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam proses administrasi dan akademik.
xii
5. Bapak Irmansyah Effendi, yang selalu membimbing dan mengingatkan penulis untuk mengandalkan Kasih Sayang Tuhan dalam segala hal, termasuk dalam penu-lisan tugas akhir ini.
6. Kedua orang tua, kakak, keluarga besar, ci Emanuella, ci Yuli yang selalu men-dukung penulis dalam segala hal.
7. Teman dekat selama di bangku perkuliahan Bebeth, Octa, Kak Sani yang selalu mendukung, belajar bersama dan membantu penulis dalam banyak hal.
8. Potato Squat (Santi, Odi, Mbak Funny, Mas Wintang, Mas Kecir) yang selalu men-dukung, berpetualang, dan menemani sejak masa SMA sampai mengerjakan tugas akhir bersama-bersama dengan penulis.
9. Komunitas Driyarkara Orchestra, Sanata Dharma.
10. Teman-teman yang membantu dalam melengkapi dokumen yang penulis perlukan, Padai, Clara, Shinta, Abels.
11. Morgan yang selalu mendukung, menemani, mengingatkan, dan membantu penu-lis.
12. Teman-teman Program Studi Matematika angkatan 2016 yang telah berdinamika bersama, saling membantu dan mengisi keseharian penulis penuh dengan canda tawa selama empat tahun ini.
13. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu atas semua dukungan yang diberikan selama penulisan tugas akhir ini dan selama penulis berdomisili di Yog-yakarta.
Terima kasih banyak.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak keku-rangan. Oleh karena itu, penulis berterima kasih untuk semua saran dan kritikan yang membangun. Semoga karya ini bisa bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar.
xiii
Yogyakarta, 29 Juli 2020 Penulis,
xiv DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
TITLE PAGE ... ii
LEMBAR PERSETUJUAN... iii
LEMBAR PENGESAHAN ... iv
MOTTO... v
HALAMAN PERSEMBAHAN... vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... viii
ABSTRAK ... ix
ABSTRACT ... x
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiv
DAFTAR TABEL ... xvi
DAFTAR GAMBAR ... xvii
BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah ... 3 C. Batasan Masalah ... 3 D. Tujuan Penulisan ... 3 E. Manfaat Penulisan ... 3 F. Metode Penulisan ... 3
xv
G. Sistematika Penulisan ... 4
BAB II DASAR TEORI... 6
A. Persamaan Diferensial ... 6
1. Masalah Nilai Awal ... 9
2. Masalah Nilai Batas ... 12
B. Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal ... 14
C. Metode Newton untuk Pencarian Akar Persamaan ... 20
BAB III METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK LINEAR ... 26
A. Pengertian Metode Tembakan Linear ... 27
B. Masalah Nilai Batas Linear ... 28
C. Tembakan Linear ... 30
D. Mengurangi Kesalahan Pembulatan ... 41
BAB IV METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK NONLINEAR ... 43
A. Iterasi Newton ... 45
B. Simulasi Metode Tembakan Nonlinear Dengan Metode Newton ... 47
C. Diskusi Hasil ... 56 BAB V PENUTUP ... 58 A. Kesimpulan ... 58 B. Saran ... 59 DAFTAR PUSTAKA ... 60 LAMPIRAN ... 61
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1. Daftar galat penyelesaian Runge-Kutta orde empat ... 19
Tabel 2.2. Daftar nilai pn metode titik tetap ... 23
Tabel 2.3. Daftar nilai pn metode Newton ... 24
Tabel 3.1. Daftar penyelesaian numeris dan galatnya untuk Contoh 3.2. ... 34
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Plot Lintasan sistem nonlinear dari persamaan diferensial... 7
Gambar 2.2 Grafik solusi dari persamaan diferensial (2.1) ... 7
Gambar 2.3 Gambar ilustrasi dari polinomial pada Contoh (2.6) ... 17
Gambar 2.4 Grafik ilustrasi perkiraan menggunakan tangen ... 21
Gambar 2.5 Grafik solusi dengan metode titik tetap ... 23
Gambar 3.1 Defleksi balok persegi panjang dengan beban seragam ... 26
Gambar 3.2 Grafik ilustrasi metode tembakan untuk persamaan linear... 31
Gambar 4.1 Grafik ilustrasi menembak objek pada suatu titik ... 44
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kalkulus adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takhingga. Selain itu, kalkulus dibagi menjadi dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Dalam kehidupan sehari-hari, atau khususnya dalam bidang sains dan teknik, persamaan diferensial mempunyai peranan yang sangat penting. Dengan memodelkan suatu masalah fisik ke dalam pemodelan matematika lalu diformulasikan ke dalam bentuk persamaan diferensial dapat membantu menemukan solusi dari masalah tersebut. Akan tetapi, beberapa per-samaan diferensial yang rumit terkadang sulit untuk diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu, penggunaan metode numerik merupakan pilihan yang cukup tepat. Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode tem-bakan.
Metode tembakan (shooting method) adalah metode yang biasa digunakan atau diterapkan untuk menyelesaikan masalah nilai batas nonlinear maupun linear dari per-samaan diferensial biasa orde kedua. Gagasan dasar dari metode ini adalah mengganti masalah nilai batas dari persamaan diferensial biasa orde dua menjadi masalah nilai awal persamaan diferensial biasa orde satu dengan parameter awal yang ditetapkan (Burden and Faires, 2011). Menurut Kincaid dan Cheney (1991), masalah nilai batas dua titik yang akan diselesaikan adalah
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽. Keterangan:
𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 adalah konstanta-konstanta,
𝑦𝑦 adalah fungsi yang tidak diketahui dengan variabel 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], 𝑥𝑥 adalah variabel bebas,
2 𝑓𝑓 adalah fungsi yang diberikan.
Langkah-langkah untuk menyelesaikannya adalah sebagai berikut: Pertama, kita akan membuat suatu tebakan nilai awal yang sesuai 𝑦𝑦′(𝑎𝑎). Setelah itu, integrasi persa-maannya untuk memperoleh solusi masalah nilai awal yang mendekati 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽 menggunakan metode Runge-Kutta orde empat (Fulks, 1978). Jika masih belum men-dekati, lakukan penembakan nilai dugaan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) yang baru dan mengulangi proses in-tegrasi (iterasi) sampai memenuhi kondisi batas kedua (Chapra, 2012).
Menurut Mathews dan Fink (1999), misalkan nilai dugaan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) sama dengan 𝑡𝑡, sehingga masalah nilai awal yang sesuai adalah
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) = 𝑡𝑡. Pilih parameter 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑘𝑘 untuk memastikan bahwa
lim
𝑘𝑘→∞𝑦𝑦(𝑏𝑏, 𝑡𝑡𝑘𝑘) = 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽,
dimana 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑘𝑘) menotasikan solusi masalah nilai awal dengan 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑘𝑘 dan 𝑦𝑦(𝑥𝑥) solusi dari masalah nilai batas. Tujuan kita adalah untuk memilih suatu 𝑡𝑡 sedemikian sehingga 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝛽𝛽. Selanjutnya, perlu menentukan 𝑡𝑡 dengan
𝑦𝑦(𝑏𝑏, 𝑡𝑡) − 𝛽𝛽 = 0.
Pernyataan di atas adalah persamaan nonlinear untuk variabel 𝑡𝑡. Untuk me-nyelesaikannya, perlu mencari akar persamaan nonlinearnya. Pada penulisan ini, akan menggunakan metode Newton. Metode Newton adalah metode pencarian akar suatu fungsi dengan pendekatan satu titik. Formula Newton yang digunakan, yaitu
𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑛𝑛−1−𝑓𝑓′(𝑝𝑝𝑓𝑓(𝑝𝑝𝑛𝑛−1)
𝑛𝑛−1) , untuk 𝑛𝑛 ≥ 1.
Jadi, pada tugas akhir ini penulis akan membahas metode tembakan untuk me-nyelesaikan masalah nilai batas dua titik. Selama proses pengerjaannya, metode tem-bakan memerlukan fungsi bantu metode Newton untuk mencari akar persamaan non-linear.
3 B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang dituliskan sebelumnya, rumusan masalah dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Bagaimana merumuskan metode tembakan secara matematis?
2. Bagaimana penerapan metode tembakan untuk menyelesaikan masalah nilai batas dua titik?
C. Batasan Masalah
Dalam penulisan tugas akhir ini hanya membahas tentang persamaan diferensial biasa nonlinear orde dua dengan masalah nilai batas dua titik.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Mengetahui tentang metode tembakan.
2. Menerapkan metode tembakan untuk menyelesaikan masalah nilai batas dua titik.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Penulis dan pembaca dapat mengetahui tentang metode tembakan dan pen-erapannya dalam menyelesaikan masalah nilai batas dua titik.
2. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah studi pustaka dengan membaca serta mempelajari jurnal-jurnal, dan buku-buku yang berkai-tan dengan metode tembakan dan masalah nilai batas dua titik.
4 G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II DASAR TEORI
A. Persamaan Diferensial 1. Masalah Nilai Awal 2. Masalah Nilai Batas
B. Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal C. Metode Newton untuk Pencarian Akar Persamaan
BAB III METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TI-TIK LINEAR
A. Pengertian Metode Tembakan Linear B. Masalah Nilai Batas Linear
C. Tembakan Linear
D. Mengurangi Kesalahan Pembulatan
BAB IV METODE TEMBAKAN UNTUK MASALAH NILAI BATAS DUA TI-TIK NONLINEAR
A. Iterasi Newton
5 C. Diskusi Hasil BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
6 BAB II DASAR TEORI
Bab ini menjelaskan tentang teori-teori yang akan digunakan dalam metode tem-bakan untuk masalah nilai batas dua titik, antara lain persamaan diferensial dengan pengertian dan contoh untuk masalah nilai awal dan masalah nilai batas, metode Runge-Kutta untuk menyelesaikan masalah nilai awal, dan metode Newton untuk pen-carian akar persamaan.
A. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial biasanya digunakan untuk memodelkan suatu masalah dalam bidang sains dan teknik yang melibatkan perubahan beberapa variabel terhadap yang lain. Seringkali tidak ada solusi analitik yang diketahui dan perkiraan numerik diper-lukan. Suatu nilai atau persamaan yang memenuhi diketahui adalah pengertian dari so-lusi. Sebagai ilustrasi, andaikan dinamika populasi dan sistem nonlinear yang merupa-kan modifikasi dari persamaan Lotka-Volterra:
𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 1
10 𝑥𝑥2 dan 𝑦𝑦′ = 𝑔𝑔(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 − 1 20 𝑦𝑦2, dengan kondisi awal 𝑥𝑥(0) = 2 dan 𝑦𝑦(0) = 1 untuk 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 30. Walaupun solusi nu-merik adalah daftar angka, akan membantu untuk memplot jalur poligon yang bergabung dengan titik perkiraan (𝑥𝑥𝑘𝑘, 𝑦𝑦𝑘𝑘) dan plot lintasan yang ditunjukkan pada Gambar 2.1 yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999).
7
Gambar12.1 Plot Lintasan sistem nonlinear dari persamaan diferensial 𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan 𝑦𝑦′= 𝑔𝑔(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦).
Pembahasan pada subbab ini berdasarkan referensi dari Mathews & Fink (1999) dan Chapra (2012).
Diketahui persamaan
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1 − 𝑒𝑒−𝑡𝑡. (2.1) Persamaan ini disebut persamaan diferensial karena mengandung turunan 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡⁄ dari fungsi yang tidak diketahui 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Hanya variabel bebas 𝑡𝑡 yang muncul di ruas kanan persamaan (2.1); maka solusinya adalah antiderivatif dari 1 − 𝑒𝑒−𝑡𝑡. Aturan inte-grasi dapat diterapkan untuk mencari 𝑦𝑦(𝑡𝑡):
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒−𝑡𝑡+ 𝐶𝐶, (2.2) dimana 𝐶𝐶 adalah konstanta dari integrasi. Seluruh fungsi pada (2.2) merupakan solusi dari persamaan (2.1) karena memenuhi 𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒−𝑡𝑡. Mereka membentuk suatu keluarga kurva pada Gambar 2.2 yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999).
8
Ketika suatu persamaan diferensial hanya memuat satu variabel bebas, persa-maan ini disebut Persapersa-maan Diferensial Biasa (PDB). Hal lain adalah Persapersa-maan Diferensial Parsial (PDP) yang mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial juga diklasifikasikan terhadap orde atau urutan. Contohnya, persamaan (2.1) merupakan persamaan orde satu karena orde (tingkat) turunan tertingginya ada-lah turunan pertama. Untuk memudahkan dalam memahami bentuk persamaan diferen-sial biasa maupun pardiferen-sial, diberikan beberapa contoh persamaannya, yaitu:
a. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑− 3 𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑦𝑦2 , PDB Orde satu; b. 𝑥𝑥2𝑦𝑦′′− 2𝑥𝑥𝑦𝑦′+ (𝑥𝑥2− 3)𝑦𝑦 = 0 , PDB Orde dua; c. 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑− 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑= 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 , PDP Orde satu; d. 𝜕𝜕2𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 2 𝜕𝜕2𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑑𝑑2 = 3 , PDP Orde dua.
Integrasi adalah teknik yang digunakan untuk menemukan rumus eksplisit sep-erti fungsi pada (2.2) dan Gambar (2.2) menekankan bahwa ada satu derajat bebas yang terlibat dalam solusi, yaitu konstanta integrasi 𝐶𝐶. Dengan memvariasikan nilai 𝐶𝐶, kita “memindahkan kurva solusi” ke atas atau bawah, dan kurva tertentu dapat ditemukan yang akan melewati titik mana pun yang diinginkan. Ketika suatu permasa-lahan dimodelkan ke pemodelan matematika, hasilnya merupakan persamaan yang melibatkan laju perubahan fungsi yang tidak diketahui dan variabel bebas dan / atau terikat.
Misalkan diketahui suatu persamaan yang menggambarkan posisi 𝑥𝑥 dari sistem pegas-massa dengan redaman merupakan persamaan orde kedua:
𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡2𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 (2.3) dimana 𝑚𝑚 massa, 𝑐𝑐 koefisien redaman, dan 𝑘𝑘 konstanta pegas. Demikian pula, persa-maan orde ke-𝑛𝑛 akan mencakup turunan ke 𝑛𝑛. Suatu persamaan diferensial orde tinggi dapat direduksi menjadi sistem persamaan orde pertama. Hal ini dicapai dengan
9
mendefinisikan turunan pertama dari variabel terikat sebagai variabel baru. Untuk per-samaan (2.3), diselesaikan dengan membuat variabel 𝑣𝑣 baru sebagai turunan pertama dari perpindahan
𝑣𝑣 =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡, (2.4)
dimana 𝑣𝑣 adalah kecepatan. Persamaan ini sendiri dapat diturunkan menjadi 𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2 . (2.5)
Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat disubstitusikan ke persamaan (2.3) untuk mengu-bahnya menjadi persamaan orde pertama:
𝑚𝑚𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑣𝑣 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 . (2.6) Sebagai langkah akhir, kita dapat menuliskan persamaan (2.4) dan (2.6) sebagai per-samaan: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 , (2.7) 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑡𝑡 = − 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑥𝑥. (2.8)
Jadi, persamaan (2.7) dan (2.8) adalah sepasang persamaan orde satu yang ekivalen dengan persamaan aslinya orde dua (2.3). Hal ini akan berlaku juga jika diterapkan ke persamaan diferensial orde ke-𝑛𝑛.
Ketika berhadapan dengan persamaan diferensial orde-𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 kondisi diperlukan untuk memperoleh solusi unik. Jika semua kondisi ditentukan pada nilai yang sama dari variabel bebas (misal, pada 𝑡𝑡 = 0), maka masalah itu disebut masalah nilai awal. Ini berbeda dengan masalah nilai batas dimana spesifikasi kondisi terjadi pada nilai yang berbeda dari variabel bebas.
10
Sebagian besar dari masalah yang sudah disebutkan sebelumnya membutuhkan solusi dari masalah nilai awal, yaitu solusi untuk persamaan diferensial yang memenuhi kon-disi awal yang diberikan (Burden and Faires, 2011). Pernyataan ini dapat dituliskan ulang kedalam sebuah definisi yang diambil dari buku Mathews dan Fink (1999). Definisi 2.1
Solusi dari masalah nilai awal
𝑦𝑦′= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dengan 𝑦𝑦(𝑥𝑥
0) = 𝑦𝑦0, (2.9) pada interval [𝑥𝑥0, 𝑏𝑏] adalah fungsi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) sedemikian sehingga
𝑦𝑦(𝑥𝑥0) = 𝑦𝑦0 dan 𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥)� untuk semua 𝑥𝑥𝑥𝑥[𝑥𝑥0, 𝑏𝑏]. (2.10) Perhatikan bahwa kurva solusi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) harus melewati titik awal (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0). ∎ Untuk pemahaman yang lebih mudah, diberikan contoh nyata dari masalah nilai awal. Contoh 2.1
𝑦𝑦′= 𝑦𝑦 tan(𝑥𝑥 + 3) dengan 𝑦𝑦(−3) = 1. (2.11) Kita akan menentukan 𝑦𝑦 pada interval yang mengandung titik awal 𝑥𝑥0. Solusi analitik dari masalah nilai awal ini adalah 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = sec(𝑥𝑥 + 3), yang dapat kita verifikasi dengan mudah. Karena sec 𝑥𝑥 menjadi tak berhingga pada 𝑥𝑥 = ± 𝜋𝜋 2⁄ , solusi kita hanya benar untuk −𝜋𝜋 2⁄ < 𝑥𝑥 + 3 < 𝜋𝜋 2⁄ . Contoh 2.1 memiliki solusi analitik sederhana yang nilai numeriknya mudah dihitung. Biasanya, untuk masalah nilai awal (2.9), so-lusi analitiknya tidak tersedia dan metode numerik harus digunakan.
Contoh 2.2
Diberikan masalah nilai awal
𝑦𝑦′ = 1 + 𝑦𝑦2 dengan 𝑦𝑦(0) = 0. (2.12) Kurva solusi dimulai dari 𝑥𝑥 = 0 dengan kemiringan (slope) satu; yaitu, 𝑦𝑦′(0) = 1. Ka-rena kemiringannya positif, 𝑦𝑦(𝑥𝑥) akan meningkat dekat 𝑥𝑥 = 0. Oleh karena itu, pern-yataan 1 + 𝑥𝑥2 juga akan meningkat. Karenanya, 𝑦𝑦′ meningkat. Karena 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦′ sama-sama meningkat dan terkait dengan persama-samaan 𝑦𝑦′= 1 + 𝑦𝑦2, kita dapat berharap bahwa
11
pada beberapa nilai 𝑥𝑥 hingga tidak akan ada solusinya; yaitu, 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = +∞. Faktanya, ini terjadi pada 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2⁄ karena solusi analitik dari (2.12) adalah 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = tan 𝑥𝑥.
Sebelum membahas lebih lanjut, kita memerlukan beberapa definisi dan hasil dari teori persamaan diferensial biasa sebelum mempertimbangkan metode untuk men-dekati solusi suatu masalah nilai awal. Referensi untuk bagian ini diambil dari buku karangan Burden dan Faires (2011).
Definisi 2.2
Suatu fungsi 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) dikatakan memenuhi kondisi Lipschitz dalam variabel 𝑦𝑦 pada him-punan 𝐷𝐷 ⊂ ℝ2 jika ada konstanta 𝐿𝐿 > 0 dengan
|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2)| ≤ 𝐿𝐿|𝑦𝑦1− 𝑦𝑦2|,
kapanpun (𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) dan (𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) didalam 𝐷𝐷. Konstanta 𝐿𝐿 disebut konstanta Lipschitz untuk
𝑓𝑓. ∎
Contoh 2.3
Tunjukkan bahwa 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 𝑡𝑡|𝑦𝑦| memenuhi kondisi Lipschitz pada interval 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 dan − 3 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 4}.
Solusi:
Untuk setiap pasangan titik (𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) dan (𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) dalam 𝐷𝐷 diperoleh
|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2)| = �𝑡𝑡|𝑦𝑦1| − 𝑡𝑡|𝑦𝑦2|� = |𝑡𝑡|�|𝑦𝑦1| − |𝑦𝑦2|� ≤ 2|𝑦𝑦1− 𝑦𝑦2|. Dengan demikian 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz pada 𝐷𝐷 dalam variabel 𝑦𝑦 dengan kon-stanta Lipschitz 2. Nilai terkecil yang mungkin untuk konkon-stanta Lipschitz untuk masa-lah ini adamasa-lah 𝐿𝐿 = 2, karena, untuk contoh,
|𝑓𝑓(2,1) − 𝑓𝑓(2,0)| = |2 − 1| = 2|1 − 0|. ∎ Teorema 2.1 dibawah merupakan teorema keunikan untuk persamaan diferensial biasa orde satu. Pembuktian dari teorema ini dapat dilihat pada buku karangan Birkhoff dan Rota (1989) berjudul Ordinary Differential Equations (Fourth edition).
12
Misalkan 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏 dan − ∞ < 𝑦𝑦 < ∞} dan bahwa 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kontinu pada 𝐷𝐷. Jika 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz pada 𝐷𝐷 dalam variabel 𝑦𝑦, maka masalah nilai awal
𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼,
memiliki solusi unik 𝑦𝑦(𝑡𝑡) untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏. ∎ Diberikan contoh penerapan Teorema 2.1 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).
Contoh 2.4
Gunakan Teorema 2.1 untuk menunjukkan bahwa ada solusi unik untuk masalah nilai awal
𝑦𝑦′(𝑡𝑡) = 1 + 𝑡𝑡 sin(𝑡𝑡𝑦𝑦) , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑦𝑦(0) = 0. Solusi:
𝑡𝑡 konstan dan menerapkan Teorema Nilai Rata-Rata pada fungsi 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 1 + 𝑡𝑡 sin(𝑡𝑡𝑦𝑦),
kita menemukan bahwa ketika 𝑦𝑦1 < 𝑦𝑦2, angka 𝜉𝜉 dalam (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2) ada dengan 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1) 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝜉𝜉) = 𝑡𝑡2cos(𝜉𝜉𝑡𝑡). Jadi |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦2) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦1)| = |𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1||𝑡𝑡2cos(𝜉𝜉𝑡𝑡)| ≤ 4|𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1|,
dan 𝑓𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz konstanta 𝐿𝐿 = 4. Selain itu, 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kontinu ketika 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 dan −∞ < 𝑦𝑦 < ∞, jadi Teorema 2.1 menyiratkan bahwa ada solusi unik untuk masalah nilai awal ini.
Terdapat beberapa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, seperti metode Euler, metode Taylor tingkat tinggi, metode Runge-Kutta, dan sebagainya. Namun, pada penulisan ini akan menerapkan metode Runge-Kutta orde empat untuk menyelesaikan masalah nilai awal.
13
Untuk pembahasan materi ini, berdasarkan referensi buku karangan Kincaid dan Chen-ney (1991). Diberikan suatu masalah nilai awal
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) , dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) = 𝛽𝛽 (2.13) untuk 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], dapat dituliskan kedalam sistem persamaan orde pertama untuk 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦′:
�𝑦𝑦1′ = 𝑦𝑦2 , 𝑦𝑦1(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 𝑦𝑦2′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2) , 𝑦𝑦2(𝑎𝑎) = 𝛽𝛽
(2.14) Sistem (2.14) dapat diselesaikan dengan salah satu metode langkah-demi-langkah.
Situasinya akan sangat berubah, jika masalah (2.13) diubah menjadi,
𝑦𝑦′′= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) , dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽. (2.15) Perbedaannya ada pada spesifikasi dari kondisi pada dua titik yang berbeda, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 dan 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏. Prosedur langkah-demi-langkah untuk masalah nilai awal tidak diadaptasi ke solusi dari (2.15) karena solusi numerik tidak dapat dimulai tanpa melengkapi nilai awal. Pada (2.15), kita punya contoh yang khas untuk masalah nilai batas dua titik. Masalah seperti itu biasa menghadirkan kesulitan yang lebih besar daripada masalah nilai awal.
Berikut diberikan contoh masalah nilai batas dua titik yang dapat diselesaikan tanpa pengerjaan secara numerik:
𝑦𝑦′′ = −𝑦𝑦 , dengan 𝑦𝑦(0) = 3 dan 𝑦𝑦 �𝜋𝜋
2� = 7. (2.16) Kita dapat menemukan terlebih dahulu solusi umum dari persamaan diferensial, yaitu
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 cos 𝑥𝑥.
Maka konstanta 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dapat ditentukan sehingga kondisi batas terpenuhi. Jadi �7 = 𝑦𝑦 �3 = 𝑦𝑦(0) = 𝐴𝐴 sin 0 + 𝐵𝐵 cos 0 = 𝐵𝐵𝜋𝜋 2� = 𝐴𝐴 sin 𝜋𝜋 2 + 𝐵𝐵 cos 𝜋𝜋 2 = 𝐴𝐴 . Jadi solusi dari (2.16) adalah
14
Teknik yang baru saja digambarkan tidak efektif jika solusi umum persamaan diferensial pada (2.15) tidak diketahui. Pada penulisan di sini lebih membahas masalah nilai batas dua titik secara numerik.
Berikut diberikan Teorema keberadaan untuk solusi dari masalah nilai batas dua titik (2.15) dan untuk pembuktiannya dapat dilihat pada buku Keller (1968) berjudul Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems.
Teorema 2.2 Masalah nilai batas
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dengan 𝑦𝑦(0) = 0 dan 𝑦𝑦(1) = 0,
Memiliki solusi yang unik jika 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦⁄ kontinu, nonnegatif, dan dibatasi pada interval
0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 1, −∞ < 𝑦𝑦 < ∞. ∎
Selanjutnya diberikan Contoh 2.5 yang diambil dari buku Kincaid dan Cheney (1991) untuk penerapan Teorema 2.2.
Contoh 2.5
Tunjukkan bahwa masalah nilai batas dua titik ini memiliki solusi unik: 𝑦𝑦′′= (5𝑦𝑦 + sin 3𝑦𝑦)𝑒𝑒𝑑𝑑 dengan 𝑦𝑦(0) = 𝑦𝑦(1) = 0. Solusi:
Gunakan Teorema 2.2, diperoleh 𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑦𝑦 =(5 + 3 cos 3𝑦𝑦)𝑒𝑒𝑑𝑑,
kontinu pada interval 0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 1, −∞ < 𝑦𝑦 < ∞. Lebih jauh lagi, ia dibatasi atas oleh 8𝑒𝑒 dan tidak negatif, karena 3 cos 3𝑦𝑦 ≧ −3. Hipotesis dari Teorema 2.2 terpenuhi. ∎
B. Metode Runge-Kutta untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal
Pada subbab ini, dijelaskan pengertian metode Runge-Kutta untuk menyelesaikan ma-salah nilai awal berdasarkan referensi karangan Burden & Faires (2011).
Metode Runge-Kutta memiliki galat pemotongan lokal tingkat tinggi dari metode Taylor tetapi menghilangkan kebutuhan untuk menghitung dan mengevaluasi
15
turunan dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦). Sebelum ditunjukkan ide-ide di balik penurunannya, kita perlu mempertimbangkan Teorema Taylor dalam dua variabel. Bukti dari hasil ini dapat ditemukan pada buku karangan Fulks (1978) berjudul Advanced Calculus, (Third edi-tion).
Teorema 2.3
Misalkan 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) dan semua turunan parsial dari orde kurang dari atau sama dengan 𝑛𝑛 + 1 adalah kontinu pada 𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)|𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑}, dan (𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) ∈ 𝐷𝐷. Un-tuk setiap (𝑡𝑡, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷, terdapat 𝜉𝜉 antara 𝑡𝑡 dan 𝑡𝑡0 dan 𝜇𝜇 antara 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦0 dengan
𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) + 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), dimana 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡 0, 𝑦𝑦0) + �(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑡𝑡(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0)� + �(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡20)2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡2𝑓𝑓2(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) + (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0) 𝜕𝜕 2𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) +(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2 0)2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2𝑓𝑓2(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0)� + ⋯ + �𝑛𝑛!1 � �𝑛𝑛𝑗𝑗� (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗=0 (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)𝑗𝑗 𝜕𝜕 𝑛𝑛𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑛𝑛−𝑗𝑗𝜕𝜕𝑦𝑦𝑗𝑗(𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0)� dan 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) =(𝑛𝑛 + 1)! � �1 𝑛𝑛 + 1𝑗𝑗 � (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 𝑗𝑗=0 (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)𝑗𝑗 𝜕𝜕 𝑛𝑛𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑛𝑛+1−𝑗𝑗𝜕𝜕𝑦𝑦𝑗𝑗(𝜉𝜉, 𝜇𝜇). Fungsi 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) disebut polinomial Taylor orde 𝑛𝑛 dalam dua variabel untuk fungsi 𝑓𝑓 tentang (𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0), dan 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) adalah syarat sisa yang terkait dengan 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑡𝑡, 𝑦𝑦).
∎ Berikut contoh penerapan Teorema 2.3 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).
16 Contoh 2.6
Gunakan Maple untuk menentukan 𝑃𝑃2(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), polinomial Taylor orde dua di sekitar titik (2,3) untuk fungsi
𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) = exp �−(𝑡𝑡 − 2)4 2−(𝑦𝑦 − 3)4 2� cos(2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 − 7) Solusi:
Untuk menentukan 𝑃𝑃2(𝑡𝑡, 𝑦𝑦) kita perlu nilai dari 𝑓𝑓 dan turunan parsial pertama dan kedua dari 𝑓𝑓 pada (2,3). Diperoleh
𝑓𝑓(2,3) = 𝑒𝑒�−02⁄ −04 2⁄ �4
cos(4 + 3 − 7) = 1.
Untuk menghindari perhitungan dengan turunan parsial yang banyak, pengerjaan menggunakan Maple. Gunakan fungsi command yang tersedia pada Maple. Pilihan pertama dari command TaylorApproximation adalah fungsinya, yang kedua menen-tukan titik (𝑡𝑡0, 𝑦𝑦0) dimana polinomial berpusat, dan yang ketiga menentukan tingkat polinomial. Jadi, dikeluarkan perintah (command)
𝑇𝑇𝑎𝑎𝑦𝑦𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑇𝑇𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛 �𝑒𝑒−(𝑡𝑡−2)4 −2 (𝑑𝑑−3) 2
4 cos(2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 − 7) , [𝑡𝑡, 𝑦𝑦] = [2,3], 2� Keluaran dari perintah Maple tersebut adalah polinomial
1 −94(𝑡𝑡 − 2)2− 2(𝑡𝑡 − 2)(𝑦𝑦 − 3) −3
4(𝑦𝑦 − 3)2.
Gambar 2.3 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011) adalah plot dari po-linomial diatas.
17
Gambar32.3 Gambar ilustrasi dari polinomial pada Contoh (2.6)
Parameter terakhir dalam perintah tersebut menunjukkan bahwa kita menginginkan polinomial multivarian Taylor kedua, yaitu, polinomial kuadratik. Jika parameter ini adalah 2, diperoleh polinomial kuadratik, dan jika 0 atau 1, kita mendapatkan polinomial berorde 1. Ketika parameter ini dihilangkan, standarnya ada-lah 6 dan memberikan polinomial Taylor keenam. ∎ Pada penulisan ini, menggunakan metode Runge-Kutta dengan orde empat untuk me-nyelesaikan masalah nilai awal. Referensi untuk dasar teori ini diambil dari buku Bur-den dan Faires (2011).
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode Runge-Kutta orde empat merupakan metode yang popular dalam penyelesaian persamaan diferensial. Metode ini dapat memperoleh akurasi deret Taylor tanpa me-merlukan diferensiasi orde yang lebih tinggi.
𝑤𝑤0 = 𝛼𝛼, 𝑘𝑘1 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖, 𝑤𝑤𝑖𝑖), 𝑘𝑘2 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡𝑖𝑖+ℎ 2, 𝑤𝑤𝑖𝑖+ 1 2𝑘𝑘1�, 𝑘𝑘3 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡𝑖𝑖+ℎ 2, 𝑤𝑤𝑖𝑖+ 1 2𝑘𝑘2�,
18 𝑘𝑘4 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖+1, 𝑤𝑤𝑖𝑖+ 𝑘𝑘3), 𝑤𝑤𝑖𝑖+1 = 𝑤𝑤𝑖𝑖+1
6(𝑘𝑘1+ 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3+ 𝑘𝑘4),
Untuk setiap 𝑇𝑇 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1. Metode ini mempunyai galat pemotongan lokal 𝑂𝑂(ℎ4), asalkan solusi 𝑦𝑦(𝑡𝑡) memiliki lima turunan kontinu. Kita perkenalkan notasi 𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2, 𝑘𝑘3, 𝑘𝑘4 ke dalam metode untuk menghilangkan kebutuhan untuk kurungan ber-turut-turut dalam variabel kedua dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦). Algoritma 2.1 mengimplementasikan metode Runge-Kutta orde empat.
Algoritma 2.1
Untuk memperkirakan solusi dari masalah nilai awal
𝑦𝑦′= 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦), 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼,
saat interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] didiskritkan menjadi sebanyak (𝑁𝑁 + 1) titik jarak yang berjarak se-ragam:
MASUKAN titik akhir 𝑎𝑎, 𝑏𝑏; bilangan bulat 𝑁𝑁; kondisi awal 𝛼𝛼. KELUARAN perkiraan 𝑤𝑤 ke 𝑦𝑦 saat (𝑁𝑁 + 1) nilai dari 𝑡𝑡. Langkah 1 Tetapkan ℎ = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 𝑁𝑁⁄ ;
𝑡𝑡 = 𝑎𝑎; 𝑤𝑤 = 𝛼𝛼; KELUARAN (𝑡𝑡, 𝑤𝑤).
Langkah 2 Untuk 𝑇𝑇 = 1,2, … , 𝑁𝑁 lakukan Langkah 3-5. Langkah 3 Tetapkan 𝐾𝐾1 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑤𝑤);
𝐾𝐾2 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ 2⁄ , 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾1⁄ ); 2 𝐾𝐾3 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ 2⁄ , 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾2⁄ ); 2 𝐾𝐾4 = ℎ𝑓𝑓(𝑡𝑡 + ℎ, 𝑤𝑤 + 𝐾𝐾3).
Langkah 4 Tetapkan 𝑤𝑤 = 𝑤𝑤 + (𝐾𝐾1+ 2𝐾𝐾2+ 2𝐾𝐾3+ 𝐾𝐾4) 6⁄ ; (Hitung 𝑤𝑤𝑖𝑖.) 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 + 𝑇𝑇ℎ. (Hitung 𝑡𝑡𝑖𝑖.)
Langkah 5 KELUARAN (𝑡𝑡, 𝑤𝑤).
19
Berikutnya, akan ditunjukkan contoh soal dari Burden dan Faires (2011), yang diselesaikan berdasarkan Algoritma 2.1.
Contoh 2.7
Gunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan ℎ = 0.2, 𝑁𝑁 = 10, dan 𝑡𝑡𝑖𝑖= 0.2𝑇𝑇 un-tuk memperoleh perkiraan solusi dari masalah nilai awal
𝑦𝑦′= 𝑦𝑦 − 𝑡𝑡2+ 1, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑦𝑦(0) = 0.5. Solusi:
Perkiraan ke 𝑦𝑦(0.2) diperoleh dengan 𝑤𝑤0 = 0.5 𝑘𝑘1 = 0.2𝑓𝑓(0,0.5) = 0.2(1.5) = 0.3 𝑘𝑘2 = 0.2𝑓𝑓(0.1, 0.65) = 0.328 𝑘𝑘3 = 0.2𝑓𝑓(0.1, 0.664) = 0.3308 𝑘𝑘4 = 0.2𝑓𝑓(0.2, 0.8308) = 0.35816 𝑤𝑤1 = 0.5 +16(0.3 + 2(0.328) + 2(0.3308) + 0.35816) = 0.8292933. Hasil lainnya beserta galatnya disajikan pada Tabel 2.1 ∎
Tabel12.1. Daftar galat penyelesaian Runge-Kutta orde empat
𝑡𝑡𝑖𝑖 Eksak 𝑦𝑦𝑖𝑖= 𝑦𝑦(𝑡𝑡𝑖𝑖) Runge-Kutta orde empat 𝑤𝑤𝑖𝑖 Galat |𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑤𝑤𝑖𝑖| 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.2 0.8292986 0.8292933 0.0000053 0.4 1.2140877 1.2140762 0.0000114 0.6 1.6489406 1.6489220 0.0000186 0.8 2.1272295 2.1272027 0.0000269 1.0 2.6408591 2.6408227 0.0000364 1.2 3.1799415 3.1798942 0.0000474
20
1.4 3.7324000 3.7323401 0.0000599 1.6 4.2834838 4.2834095 0.0000743 1.8 4.8151763 4.1850857 0.0000906 2.0 5.3054720 5.3053630 0.0001089
C. Metode Newton untuk Pencarian Akar Persamaan
Pada subbab ini, dijelaskan salah satu metode numerik untuk pencarian akar persamaan yaitu metode Newton berdasarkan buku karangan Burden dan Faires (2011).
Metode Newton (atau Newton-Raphson) adalah salah satu metode numerik yang paling kuat dan terkenal untuk memecahkan masalah pencarian akar suatu persamaan. Ada banyak cara untuk memperkenalkan metode Newton. Jika kita hanya menginginkan algoritma, kita dapat menerapkan tekniknya secara grafis, seperti yang sering dilakukan dalam kalkulus. Kemungkinan lainnya adalah untuk mendapatkan metode Newton sebagai teknik untuk memperoleh konvergensi yang lebih cepat da-ripada yang ditawarkan oleh jenis iterasi fungsional lainnya. Cara ketiga metode New-ton yang didasarkan pada polinomial Taylor. Akan kita lihat bahwa derivasi khusus ini menghasilkan tidak hanya metode, namun juga batas untuk galat dari perkiraan. Misalkan 𝑓𝑓𝑥𝑥𝐶𝐶2[𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Andaikan 𝑝𝑝0 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] perkiraan ke 𝑝𝑝 sedemikian sehingga 𝑓𝑓′(𝑝𝑝0) ≠ 0 dan |𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0| “kecil”. Pertimbangkan polinomial Taylor pertama untuk 𝑓𝑓(𝑥𝑥) diperluas sekitar 𝑝𝑝0 dan evaluasi di 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝.
𝑓𝑓(𝑝𝑝) = 𝑓𝑓(𝑝𝑝0) + (𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0)𝑓𝑓′(𝑝𝑝0) +(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0) 2
2 𝑓𝑓′′�𝜉𝜉(𝑝𝑝)�, dimana 𝜉𝜉(𝑝𝑝) diantara 𝑝𝑝 dan 𝑝𝑝0. Karena 𝑓𝑓(𝑝𝑝) = 0, persamaannya menjadi
0 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝0) + (𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0)𝑓𝑓′(𝑝𝑝0) +(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0) 2
2 𝑓𝑓′′�𝜉𝜉(𝑝𝑝)�.
Metode Newton berasal dari mengasumsikan bahwa |𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0| kecil, dengan kata lain (𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0)2 jauh lebih kecil, jadi
21 Dengan memecah 𝑝𝑝 diperoleh
𝑝𝑝 ≈ 𝑝𝑝0−𝑓𝑓′(𝑝𝑝𝑓𝑓(𝑝𝑝0)
0) ≡ 𝑝𝑝1.
Pernyataan ini disebut metode Newton, yang dimulai dengan perkiraan awal 𝑝𝑝0 dan menghasilkan barisan {𝑝𝑝𝑛𝑛}𝑛𝑛=0∞ , oleh
𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑛𝑛−1−𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑝𝑝′(𝑝𝑝𝑛𝑛−1)
𝑛𝑛−1) , untuk 𝑛𝑛 ≥ 1. (2.17) Gambar 2.4 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011) mengilustrasikan bagaimana perkiraan diperoleh menggunakan barisan tangen (garis singgung). Dimulai dengan perkiraan awal 𝑝𝑝0, perkiraan 𝑝𝑝1 adalah memotong sumbu 𝑥𝑥 dari garis tangen ke grafik dari 𝑓𝑓 pada �𝑝𝑝0, 𝑓𝑓(𝑝𝑝0)�. Pendekatan 𝑝𝑝2 memotong sumbu 𝑥𝑥 dari garis tangen ke grafik 𝑓𝑓 pada �𝑝𝑝1, 𝑓𝑓(𝑝𝑝1)� dan seterusnya. Prosedur ini ditulis dalam Algoritma 2.2.
Gambar42.4 Grafik ilustrasi perkiraan menggunakan tangen Algoritma 2.2
Untuk mencari solusi dari 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 diberikan perkiraan awal 𝑝𝑝0:
MASUKAN perkiraan awal 𝑝𝑝0; toleransi 𝑇𝑇𝑂𝑂𝐿𝐿; jumlah maksimum dari iterasi 𝑁𝑁0. KELUARAN solusi perkiraan 𝑝𝑝 atau pesan kegagalan.
Langkah 1 Tetapkan 𝑇𝑇 = 1.
Langkah 2 Ketka 𝑇𝑇 ≤ 𝑁𝑁0 lakukan Langkah 3-6.
22 Langkah 4 Jika |𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0| < 𝑇𝑇𝑂𝑂𝐿𝐿 maka
KELUARAN (𝑝𝑝); (Proses berhasil.) BERHENTI.
Langkah 5 Tetapkan 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 + 1.
Langkah 6 Tetapkan 𝑝𝑝0 = 𝑝𝑝. (Perbarui 𝑝𝑝0.)
Langkah 7 KELUARAN (‘metode gagal setelah iterasi 𝑁𝑁0, 𝑁𝑁0 =’, 𝑁𝑁0); (Prosedur tidak berhasil.)
BERHENTI. ∎
Pertidaksamaan teknik berhenti yang diberikan dengan metode biseksi berlaku untuk metode Newton. Yaitu, dengan memilih toleransi 𝜀𝜀 > 0, dan membangun 𝑝𝑝1, … , 𝑝𝑝𝑁𝑁 hingga |𝑝𝑝𝑁𝑁− 𝑝𝑝𝑁𝑁−1| < 𝜀𝜀, (2.18) |𝑝𝑝𝑁𝑁− 𝑝𝑝𝑁𝑁−1| |𝑃𝑃𝑁𝑁| < 𝜀𝜀, 𝑝𝑝𝑁𝑁 ≠ 0, (2.19) atau |𝑓𝑓(𝑝𝑝𝑁𝑁)| < 𝜀𝜀. (2.20) Bentuk dari pertidaksamaan (2.18) digunakan pada Langkah 4 pada Algoritma 2.2. Perhatikan bahwa tidak ada pertidaksamaan (2.18), (2.19), atau (2.20) memberikan informasi yang tepat tentang galat sebenarnya |𝑝𝑝𝑁𝑁− 𝑝𝑝|.
Metode Newton merupakan teknik iterasi fungsional dengan 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑔𝑔(𝑝𝑝𝑛𝑛−1), un-tuk itu
𝑔𝑔(𝑝𝑝𝑛𝑛−1) = 𝑝𝑝𝑛𝑛−1−𝑓𝑓′(𝑝𝑝𝑓𝑓(𝑝𝑝𝑛𝑛−1)
𝑛𝑛−1) , untuk 𝑛𝑛 ≥ 1. (2.21) Jelas dari persamaan (2.17) bahwa metode Newton tidak dapat dilanjutkan jika 𝑓𝑓′(𝑝𝑝𝑛𝑛−1) = 0 untuk suatu 𝑛𝑛. Faktanya, kita akan melihat bahwa metode ini paling efek-tif ketika 𝑓𝑓′ dibatasi dari nol mendekati 𝑝𝑝. Agar lebih mudah dalam memahami metode Newton ini, akan diberikan contoh beserta grafiknya yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).
23
Diberikan fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0. Perkirakan akar dari 𝑓𝑓 menggunakan (a) metode titik tetap, dan (b) metode Newton.
Solusi:
(a) Solusi untuk masalah pencarian akar juga merupakan solusi dari masalah titik tetap 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥, dan grafik pada Gambar 2.5 menunjukkan bahwa titik tetap tunggal 𝑝𝑝 ada di [0, 𝜋𝜋 2⁄ ].
Gambar52.5 Grafik solusi dengan metode titik tetap
Tabel 2.2 memberikan hasil dari iterasi titik tetap dengan 𝑝𝑝0 = 𝜋𝜋 4⁄ . Kesimpulan terbaik dari hasil tersebut yaitu 𝑝𝑝 ≈ 0.74.
Tabel 2.2. Daftar nilai 𝑝𝑝𝑛𝑛 metode titik tetap 𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛 0 0.7853981635 1 0.7071067810 2 0.7602445972 3 0.7246674808 4 0.7487198858 5 0.7325608446 6 0.7434642113
24
7 0.7361282565
(b) Untuk mengaplikasikan metode Newton ke soal kita memerlukan 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − sin 𝑥𝑥 − 1. Diawali lagi dengan 𝑝𝑝0 = 𝜋𝜋 4⁄ , untuk 𝑛𝑛 ≥ 1, diperoleh
𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑛𝑛−1−𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑝𝑝′(𝑝𝑝𝑛𝑛−1)
𝑛𝑛−1) = 𝑝𝑝𝑛𝑛−1−
cos 𝑝𝑝𝑛𝑛−1− 𝑝𝑝𝑛𝑛−1 − sin 𝑝𝑝𝑛𝑛−1 − 1 . Hasil dari perkiraan ini disajikan dalam Tabel 2.3.
Tabel32.3. Daftar nilai 𝑝𝑝𝑛𝑛 metode Newton 𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛 0 0.7853981635 1 0.7395361337 2 0.7390851781 3 0.7390851332 4 0.7390851332
Perkiraan yang sangat baik diperoleh dengan 𝑛𝑛 = 3. Karena kesepakatan 𝑝𝑝3 dan 𝑝𝑝4 kita dapat berharap hasil ini cukup akurat untuk tempat-tempat yang tercantum. ∎ Contoh 2.8 menunjukkan bahwa metode Newton dapat memberikan perkiraan yang sangat akurat dengan iterasi yang sangat sedikit. Sekarang saatnya untuk memeriksa metode Newton lebih hati-hati untuk mengetahui mengapa metode ini sangat efektif. Dibawah ini, akan ditunjukkan teorema konvergensi untuk metode Newton yang menggambarkan secara teoritis pentingnya pemilihan 𝑝𝑝0.
25
Andaikan 𝑓𝑓𝑥𝑥𝐶𝐶2[𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Jika 𝑝𝑝 ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) sedemikian sehingga 𝑓𝑓(𝑝𝑝) = 0 dan 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) ≠ 0, maka ada 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehingga metode Newton menghasilkan barisan {𝑝𝑝𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ konvergen ke 𝑝𝑝 untuk setiap pendekatan awal 𝑝𝑝0 ∈ [𝑝𝑝 − 𝛿𝛿 , 𝑝𝑝 + 𝛿𝛿]. ∎ Bukti dari Teorema 2.4 dapat dilihat pada buku karangan Burden dan Faires (2011). Teorema 2.4 menyatakan bahwa, berdasarkan asumsi yang masuk akal, konver-gensi metode Newton memberikan perkiraan awal yang cukup akurat. Hal ini juga me-nyiratkan bahwa konstanta 𝑘𝑘 yang membatasi turunan 𝑔𝑔, dan, akibatnya, menunjukkan kecepatan konvergensi metode, berkurang menuju 0 ketika prosedur berlanjut. Hasil ini penting untuk teori dari metode Newton, tetapi jarang digunakan dalam prakteknya karena tidak memberi tahu kita bagaimana cara menentukan 𝛿𝛿.
Pada aplikasi praktis, perkiraan awal dipilih dan perkiraan berturut-turut dihasilkan oleh metode Newton. Umumnya hal ini akan dengan cepat konvergen ke akar, atau akan menjadi jelas bahwa konvergensinya tidak mungkin.
26 BAB III
METODE TEMBAKAN UNTUK
MASALAH NILAI BATAS DUA TITIK LINEAR
Masalah umum dalam teknik sipil menyangkut defleksi balok penampang persegi pan-jang yang dikenakan muatan seragam sedangkan ujung balok didukung sehingga mereka tidak mengalami defleksi.
Gambar63.1 Defleksi balok persegi panjang dengan beban seragam
Misalkan 𝑇𝑇, 𝑞𝑞, 𝐸𝐸, 𝑆𝑆 dan 𝐼𝐼 mewakili, secara berurutan, panjang balok, intensitas beban seragam, modulus elastisitas, tegangan pada titik akhir, dan momen inersia pusat. Persamaan diferensial yang mendekati situasi fisik tersebut berbentuk
𝑑𝑑2𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑥𝑥2 (𝑥𝑥) = 𝑆𝑆 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑤𝑤(𝑥𝑥) + 𝑞𝑞𝑥𝑥 2𝐸𝐸𝐼𝐼(𝑥𝑥 − 𝑇𝑇),
dimana 𝑤𝑤(𝑥𝑥) merupakan defleksi jarak 𝑥𝑥 dari ujung kiri balok. Karena tidak ada defleksi di ujung balok, terdapat dua kondisi batas
𝑤𝑤(0) = 0 dan 𝑤𝑤(𝑇𝑇) = 0.
Ketika balok memiliki ketebalan yang seragam, maka produk 𝐸𝐸𝐼𝐼 konstan. Pada kasus ini solusi yang tepat mudah diperoleh. Ketika ketebalannya tidak seragam, maka momen inersia 𝐼𝐼 merupakan fungsi dari 𝑥𝑥, dan teknik aproksimasi atau pendekatan diperlukan.
Persamaan diferensial pada pembahasan sebelumnya merupakan orde pertama dan memiliki satu syarat awal yang perlu dipenuhi. Pada bab ini kita melihat bahwa teknik dapat diperluas ke sistem persamaan dan kemudian ke persamaan orde tingkat tinggi, tetapi semua kondisi atau syarat yang ditentukan berada pada titik ujung yang
27
sama. Hal ini merupakan masalah nilai awal. Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana cara memperkirakan solusi untuk masalah nilai batas, persamaan diferensial dengan kondisi yang diberlakukan pada titik yang berbeda. Pada persamaan diferensial biasa orde pertama, hanya satu syarat yang ditentukan, jadi tidak ada perbedaan antara ma-salah nilai awal dan mama-salah nilai batas. Akan dipertimbangkan persamaan orde kedua dengan dua nilai batas.
Masalah fisik yang bergantung pada posisi daripada tergantung pada waktu ser-ing dijelaskan dalam persamaan diferensial dengan kondisi yang diberlakukan pada lebih dari satu titik. Masalah nilai batas pada bab ini melibatkan persamaan diferensial orde kedua dari formula
𝑦𝑦′′= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′), untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, (3.1) bersama dengan kondisi batas
𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽. (3.2) Pada bab ini akan dijelaskan Metode Tembakan Linear untuk menyelesaikan masalah nilai batas dengan persamaan diferensial biasa, berdasarkan buku Burden dan Faires (2011).
A. Pengertian Metode Tembakan Linear
Teorema berikut memberikan kondisi umum yang memastikan solusi untuk masalah nilai batas orde kedua ada dan unik. Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada buku karangan Keller, H (1968) berjudul Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems.
Teorema 3.1
Misalkan fungsi 𝑓𝑓 pada masalah nilai batas
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′), untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽, adalah kontinu pada himpunan
𝐷𝐷 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) | untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, dengan − ∞ < 𝑦𝑦 < ∞ dan − ∞ < 𝑦𝑦′< ∞}, dan bahwa turunan parsial 𝑓𝑓𝑑𝑑 dan 𝑓𝑓𝑑𝑑′ juga kontinu pada 𝐷𝐷. Jika
28
i. 𝑓𝑓𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) > 0, untuk semua (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) ∈ 𝐷𝐷, dan ii. konstanta 𝑀𝑀 ada, dengan
�𝑓𝑓𝑑𝑑′(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′)� ≤ 𝑀𝑀, untuk semua (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) ∈ 𝐷𝐷,
maka masalah nilai batas memiliki solusi yang unik. ∎ Contoh 3.1
Gunakan Teorema 3.1 untuk menunjukkan bahwa masalah nilai batas
𝑦𝑦′′+ 𝑒𝑒−𝑑𝑑𝑑𝑑+ sin 𝑦𝑦′= 0 , untuk 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, dengan 𝑦𝑦(1) = 𝑦𝑦(2) = 0, Memiliki solusi yang unik.
Penyelesaian: Diketahui
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) = −𝑒𝑒−𝑑𝑑𝑑𝑑− sin 𝑦𝑦′. Dan untuk semua 𝑥𝑥 di [1,2],
𝑓𝑓𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) = 𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0 dan �𝑓𝑓𝑑𝑑′(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′)� = |− cos 𝑦𝑦′| ≤ 1.
Jadi, masalah tersebut memiliki solusi yang unik. ∎
B. Masalah Nilai Batas Linear
Bab ini menjelaskan tentang masalah nilai batas untuk persamaan linear dari buku Bur-den dan Faires (2011). Suatu persamaan diferensial
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′)
merupakan linear ketika fungsi 𝑝𝑝(𝑥𝑥), 𝑞𝑞(𝑥𝑥), dan 𝑇𝑇(𝑥𝑥) ada, dengan 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑦𝑦′) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦 + 𝑇𝑇(𝑥𝑥).
Masalah jenis ini sering terjadi, dan pada situasi ini, Teorema 3.1 dapat disederhanakan. Akibat 3.2
Misalkan masalah nilai batas linear
𝑦𝑦′′ = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦 + 𝑇𝑇(𝑥𝑥), untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽, memenuhi
29 ii. 𝑞𝑞(𝑥𝑥) > 0 pada [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].
Maka masalah nilai batas memiliki solusi yang unik. ∎ Untuk memperkirakan solusi unik dari masalah linear ini, pertama kita pertim-bangkan masalah nilai awal
𝑦𝑦′′ = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦 + 𝑇𝑇(𝑥𝑥), dengan 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽 (3.3) dan
𝑦𝑦′′ = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦, dengan 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 0 dan 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) = 1 (3.4) Teorema 3.3
Misalkan
𝐷𝐷 = {(𝑡𝑡, 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, … , 𝑢𝑢𝑚𝑚)|𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏 dan − ∞ < 𝑢𝑢𝑖𝑖< ∞, untuk setiap 𝑇𝑇 = 1,2, … , 𝑚𝑚}, dan 𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑢𝑢1, … , 𝑢𝑢𝑚𝑚), untuk setiap 𝑇𝑇 = 1,2, … , 𝑚𝑚, kontinu dan memenuhi kondisi Lip-schitz pada 𝐷𝐷. Sistem orde-𝑚𝑚 dari masalah nilai awal untuk persamaan diferensial orde pertama mempunyai bentuk
𝑑𝑑𝑢𝑢𝑚𝑚
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑚𝑚(𝑡𝑡, 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, … , 𝑢𝑢𝑚𝑚), (3.5) Untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏, dengan kondisi atau syarat awal
𝑢𝑢1(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼1, 𝑢𝑢2(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼2, … , 𝑢𝑢𝑚𝑚(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼𝑚𝑚. (3.6) Mempunyai solusi unik 𝑢𝑢1(𝑡𝑡), … , 𝑢𝑢𝑚𝑚(𝑡𝑡), untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏. ∎ Bukti dari Teorema 3.3 dapat dilihat pada buku karangan Birkhoff dan Rota (1989) berjudul Ordinary Differential Equations.
Teorema 3.3 diatas memastikan bahwa berdasarkan hipotesis dari Akibat 3.2, kedua masalah (3.3) dan (3.4) memiliki solusi yang unik.
Andaikan 𝑦𝑦1(𝑥𝑥) menotasikan solusi dari (3.3), dan 𝑦𝑦2(𝑥𝑥) menotasikan solusi (3.4). Asumsikan bahwa 𝑦𝑦2(𝑏𝑏) ≠ 0. (bahwa 𝑦𝑦2(𝑏𝑏) = 0 bertentangan dengan hipotesis dari Akibat 3.2.) Didefinisikan
𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦1(𝑥𝑥) +𝛽𝛽 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1(𝑏𝑏)
30
Maka 𝑦𝑦(𝑥𝑥) merupakan solusi dari masalah nilai batas linear (3.3). Untuk melihatnya, pertama perhatikan bahwa
𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦′1(𝑥𝑥) +𝛽𝛽 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1(𝑏𝑏) 2(𝑏𝑏) 𝑦𝑦′2(𝑥𝑥) dan 𝑦𝑦′′(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦 1′′(𝑥𝑥) +𝛽𝛽 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1(𝑏𝑏) 2(𝑏𝑏) 𝑦𝑦2 ′′(𝑥𝑥).
Selanjutnya, menggantikan 𝑦𝑦1′′(𝑥𝑥) dan 𝑦𝑦2′′(𝑥𝑥) dalam persamaan ini dan diperoleh 𝑦𝑦′′ = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦1′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦1+ 𝑇𝑇(𝑥𝑥) +𝛽𝛽−𝑑𝑑𝑑𝑑2(𝑏𝑏)1(𝑏𝑏)(𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦2′ + 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦2) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) �𝑦𝑦′1+𝛽𝛽−𝑑𝑑𝑑𝑑2(𝑏𝑏)1(𝑏𝑏)𝑦𝑦′2� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥) �𝑦𝑦1+𝛽𝛽−𝑑𝑑𝑑𝑑2(𝑏𝑏)1(𝑏𝑏)𝑦𝑦2� + 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′(𝑥𝑥) + 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥). Bahkan, 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝑦𝑦1(𝑎𝑎) +𝛽𝛽 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1(𝑏𝑏) 2(𝑏𝑏) 𝑦𝑦2(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 − 𝑦𝑦1(𝑏𝑏) 𝑦𝑦2(𝑏𝑏) ⋅ 0 = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝑦𝑦1(𝑏𝑏) +𝛽𝛽 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 1(𝑏𝑏) 2(𝑏𝑏) 𝑦𝑦2(𝑏𝑏) = 𝑦𝑦1(𝑏𝑏) + 𝛽𝛽 − 𝑦𝑦1(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽. C. Tembakan Linear
Metode tembakan untuk persamaan linear didasarkan pada penggantian masalah nilai batas linear dengan dua masalah nilai awal (3.3) dan (3.4). Banyak metode lain yang bisa diterapkan dalam menyelesaikan masalah nilai awal untuk persamaan biasa untuk mendekati solusi 𝑦𝑦1(𝑥𝑥) dan 𝑦𝑦2(𝑥𝑥), dan begitu perkiraan ini tersedia, solusi untuk ma-salah nilai batas didekati menggunakan persamaan (3.7). Secara grafis, ilustrasi
31
metode ini ditunjukkan pada Gambar 3.2 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).
Gambar73.2 Grafik ilustrasi metode tembakan untuk persamaan linear
Algoritma 3.1 menggunakan teknik Runge-Kutta orde empat untuk menemukan perkiraan ke 𝑦𝑦1(𝑥𝑥) dan 𝑦𝑦2(𝑥𝑥), tetapi teknik lain untuk mendekati solusi dari masalah nilai awal dapat disubstitusi ke Langkah 4.
Algoritma memiliki fitur tambahan untuk memperoleh perkiraan untuk turunan dari solusi masalah nilai batas serta untuk solusi dari masalah itu sendiri. Penggunaan dari algoritma tidak terbatas untuk memverifikasi masalah pada hipotesis Akibat 3.2; algoritma ini dapat bekerja untuk banyak masalah yang tidak memenuhi hipotesis. Algoritma 3.1
Untuk mendekati solusi pada masalah nilai batas
−𝑦𝑦′′+ 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑦𝑦′+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑦𝑦 + 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 0, untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, dengan 𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦(𝑏𝑏) = 𝛽𝛽
(Catatan: Persamaan (3.3) 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 (3.4) dituliskan menjadi sistem orde pertama dan diselesaikan.)
MASUKAN titik akhir 𝑎𝑎, 𝑏𝑏; kondisi batas 𝛼𝛼, 𝛽𝛽; jumlah subinterval 𝑁𝑁.
KELUARAN perkiraan 𝑤𝑤1,𝑖𝑖 ke 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖); 𝑤𝑤2,𝑖𝑖 ke 𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑖𝑖) untuk setiap 𝑇𝑇 = 0,1, … , 𝑁𝑁. Langkah 1 Tetapkan ℎ = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 𝑁𝑁⁄ ;
32 𝑢𝑢2,0= 0;
𝑣𝑣1,0 = 0; 𝑣𝑣2,0= 1.
Langkah 2 Untuk 𝑇𝑇 = 0, … , 𝑁𝑁 − 1 lakukan Langkah 3 dan 4.
(Metode Runge-Kutta untuk sistem digunakan pada Langkah 3 dan 4.) Langkah 3 Tetapkan 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑇𝑇ℎ. Langkah 4 Tetapkan 𝑘𝑘1,1= ℎ𝑢𝑢2,𝑖𝑖; 𝑘𝑘1,2 = ℎ�𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑢𝑢2,𝑖𝑖+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑢𝑢1,𝑖𝑖+ 𝑇𝑇(𝑥𝑥)�; 𝑘𝑘2,1 = ℎ �𝑢𝑢2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘1,2�; 𝑘𝑘2,2 = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘1,2� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢1,𝑖𝑖+12𝑘𝑘1,1� + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ )�; 𝑘𝑘3,1 = ℎ �𝑢𝑢2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘2,2�; 𝑘𝑘3,2 = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘2,2� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢1,𝑖𝑖+12𝑘𝑘2,1� + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ )�; 𝑘𝑘4,1 = ℎ�𝑢𝑢2,𝑖𝑖+ 𝑘𝑘3,2�; 𝑘𝑘4,2 = ℎ�𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ)�𝑢𝑢2,𝑖𝑖+ 𝑘𝑘3,2� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ)�𝑢𝑢1,𝑖𝑖+ 𝑘𝑘3,1� + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ℎ)�; 𝑢𝑢1,𝑖𝑖+1 = 𝑢𝑢1,𝑖𝑖+16�𝑘𝑘1,1+ 2𝑘𝑘2,1+ 2𝑘𝑘3,1+ 𝑘𝑘4,1�; 𝑢𝑢2,𝑖𝑖+1 = 𝑢𝑢2,𝑖𝑖+16�𝑘𝑘1,2+ 2𝑘𝑘2,2+ 2𝑘𝑘3,2+ 𝑘𝑘4,2�; 𝑘𝑘1,1′ = ℎ𝑣𝑣2,𝑖𝑖; 𝑘𝑘1,2′ = ℎ�𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑣𝑣2,𝑖𝑖+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑣𝑣1,𝑖𝑖�; 𝑘𝑘2,1′ = ℎ �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘1,2′ �;
33 𝑘𝑘2,2′ = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘1,2′ � + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑣𝑣1,𝑖𝑖+12𝑘𝑘1,1′ ��; 𝑘𝑘3,1′ = ℎ �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘2,2′ �; 𝑘𝑘3,2′ = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘2,2′ � + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑣𝑣1,𝑖𝑖+12𝑘𝑘2,1′ ��; 𝑘𝑘4,1′ = ℎ �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘3,2′ �; 𝑘𝑘4,2′ = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ) �𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 2𝑘𝑘3,2′ � + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ) �𝑣𝑣1,𝑖𝑖+12𝑘𝑘3,1′ ��; 𝑣𝑣1,𝑖𝑖+1 = 𝑣𝑣1,𝑖𝑖+16�𝑘𝑘1,1′ + 2𝑘𝑘2,1′ + 2𝑘𝑘3,1′ + 𝑘𝑘4,1′ �; 𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 = 𝑣𝑣2,𝑖𝑖+1 6�𝑘𝑘1,2′ + 2𝑘𝑘2,2′ + 2𝑘𝑘3,2′ + 𝑘𝑘4,2′ �. Langkah 5 Tetapkan 𝑤𝑤1,0= 𝛼𝛼; 𝑤𝑤2,0=𝛽𝛽−𝑢𝑢𝑣𝑣 1,𝑁𝑁 1,𝑁𝑁 ; KELUARAN �𝑎𝑎, 𝑤𝑤1,0, 𝑤𝑤2,0�. Langkah 6 Untuk 𝑇𝑇 = 1, … , 𝑁𝑁 Tetapkan 𝑊𝑊1 = 𝑢𝑢1,𝑖𝑖+ 𝑤𝑤2,0𝑣𝑣1,𝑖𝑖; 𝑊𝑊2 = 𝑢𝑢2,𝑖𝑖+ 𝑤𝑤2,0𝑣𝑣2,𝑖𝑖; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑇𝑇ℎ; KELUARAN (𝑥𝑥, 𝑊𝑊1, 𝑊𝑊2). (Keluarannya 𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑤𝑤1,𝑖𝑖, 𝑤𝑤2,𝑖𝑖.) Langkah 7 BERHENTI. (Prosesnya selesai.) ∎ Agar lebih mudah dalam memahami algoritma di atas, akan diberikan Contoh 3.2 yang diambil dari buku Burden dan Faires (2011).
Contoh 3.2
34 𝑦𝑦′′ = −2 𝑥𝑥 𝑦𝑦′+ 2 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + sin(ln 𝑥𝑥)
𝑥𝑥2 , untuk 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, dengan 𝑦𝑦(1) = 1 dan 𝑦𝑦(2) = 2, dan bandingkan hasilnya dengan solusi eksak
𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1𝑥𝑥 +𝑥𝑥𝑐𝑐22−10 sin3 (ln 𝑥𝑥) −10 cos1 (ln 𝑥𝑥) , dimana 𝑐𝑐2 =701 [8 − 12 sin(ln 2) − 4 cos(ln 2)] ≈ −0.03920701320 , dan 𝑐𝑐1= 1110 − 𝑐𝑐2≈ 1.13920701320. Solusi:
Sebelum menerapkan Algoritma 3.1 untuk masalah nilai batas tersebut, kita perlu mereduksi persamaan masalah nilai batas tersebut menjadi dua persamaan masalah nilai awal. Misalkan,
𝑦𝑦1′′ = −2𝑥𝑥 𝑦𝑦1′+𝑥𝑥22𝑦𝑦1+sin(ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥2 , untuk 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, dengan 𝑦𝑦1(1) = 1 dan 𝑦𝑦1′(1) = 0,
dan
𝑦𝑦2′′ = −2𝑥𝑥 𝑦𝑦2′+𝑥𝑥22𝑦𝑦2, untuk 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, dengan 𝑦𝑦2(1) = 0 dan 𝑦𝑦2′(1) = 1. Dalam proses penyelesaian ini, ada beberapa penulisan simbol yang diubah, seperti
𝑦𝑦1(1) = 𝑢𝑢1,0= 1; 𝑦𝑦1′(1) = 𝑢𝑢2,0= 0; 𝑦𝑦2(1) = 𝑣𝑣1,0= 0; 𝑦𝑦2′(1) = 𝑣𝑣2,0= 1.
Selanjutnya, akan diterapkan Algoritma 3.1 dengan menetapkan nilai ℎ sebagai beri-kut,
ℎ =(𝑏𝑏−𝑎𝑎) 𝑁𝑁
35
=(2−1)10 =101 .
Dalam menyelesaikan masalah nilai batas ini kita akan menggunakan metode Runge-Kutta. Sebelumnya, perlu ditetapkan terlebih dahulu nilai 𝑥𝑥 sebagai berikut,
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑇𝑇ℎ = 1 + 0 ⋅101 = 1.
Nilai 𝑥𝑥 yang sudah ditetapkan sebelumnya akan disubtitusikan dalam proses pengerjaan sebagai berikut,
𝑘𝑘1,1 = ℎ𝑢𝑢2,0 =101 ⋅ 0 = 0 ; 𝑘𝑘1,2 = ℎ�𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑢𝑢2,0+ 𝑞𝑞(𝑥𝑥)𝑢𝑢1,0+ 𝑇𝑇(𝑥𝑥)� =101 �−21⋅ 0 +122⋅ 1 + sin(ln 1) 12 � =101 [0 + 2 + 0] =101 [2] =15 ; 𝑘𝑘2,1 = ℎ �𝑢𝑢2,0+1 2𝑘𝑘1,2� =101 �0 +12⋅15� =1001 ; 𝑘𝑘2,2 = ℎ �𝑝𝑝(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢2,0+1 2𝑘𝑘1,2� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ ) �𝑢𝑢1,0+ 1 2𝑘𝑘1,1� + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ℎ 2⁄ )�
