2.5 Definisi Penelitian Operasional
2.5.6 Metode Simpleks
. .
am1X1 + am2X2 + am3X3 + ... amnXn ≤ bm dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ... Xn ≥ 0
(Subagyo, 1988,p9-12)
2.5.6 Metode Simpleks
Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak, maka penyelesaian masalah LP yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama algoritma Simpleks yang dirancang untuk menyelesaiakn seluruh masalah LP, baik yang melibatkan dua variabel atau lebih dari dua variabel.
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrim pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrim yang optimum.
Perhatikan model linear berikut:
Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ... CnXn Fungsi pembatas: a11X1 + a12X2 + a13X3 + ... a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + ... a2nXn ≤ b2 .
. .
am1X1 + am2X2 + am3X3 + ... amnXn ≤ bm dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ... Xn ≥ 0
Langkah-langkah dari metode ini adalah sebagai berikut (whitehouse,1996,p.86):
Langkah 1: bentuk permasalahan menajdi bentuk standar Langkah 2: tentukan solusi inisial basis/dasar yang fisibel.
Langkah 3: tentukan, apakah masih ada solusi fisibel yang lebih baik. Jika tidak, solusi optimal telah ditemukan. Jika masih ada solusi fisibel yang lebih baik, lanjutkan ke langkah 4.
Langkah 4: identifikasi variabel yang memberikan kontribusi peningkatan yang terbesar untuk fungsi objektif.
Langkah 5: identifikasi variabel yang harus dipindahkan dari solusi basis ketika variabel yang diidentifikasikan pada langkah 4 diperoleh. Langkah 6: lakukan perhitungan yang diperlukan untuk menentukan entering
variabel (yang diidentifikasikan pada langkah 4) dan pindahkan variabel masuk (yang diidentifikasikan pada langkah 5).
Langkah 7: kembali ke langkah 3.
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh: Maksimasi Z = 3X1 + 3X2 (laba)
Pembatas : 3X1 + 6X2 ≤ 24 (pekerja)
2X1 + X2 ≤ 10 (bahan mentah) X1, X2 ≥ 0
Langkah 1: bentuk permasalahn menjadi bentuk standar
Dapat dilihat bahwa pembatas 1 dan 2 tidak dalam bentuk standar karena persamaan tidak dalam bentuk sama dengan (=) melainkan lebih kecil (≤ ). Tanda ini dapat diubah menjadi tanda sama dengan , tetapi harus dibuat variabel baru yang mewakili pekerja yang tidak terpakai apabila menggunakan tanda lebih kecil dari. Variabel baru itu kita namai S1 (Slack 1); pembatas menjadi:
3X1 + 6X2 + S1 = 24 2X1 + 1X2 + S2 = 10
Bentuk permasalahan menjadi:
Pembatas: 3X1 + 6X2 + S1 + 0S2 = 24 2X1 + 1X2 + 0S1 + S2 = 10
Langkah 2. Tentukan solusi inisial basis/dasar yang fisibel
Digunakan tabel simpleks sebagai alat untuk mempermudah perhitungan. Data-data yang digunakan untuk mengisi tabel ini diambil dari bentuk standar yang ada.
Tabel 2.3 Membentuk tabel inisial
Variabel pada solusi untuk tabel inisial, S1dan S2, diperoleh dari keadan dimana nilai X1 dan X2 = 0, sehingga pembatas pertama dipakai untuk mencari nilai S1 dan pembatas kedua dipakai untuk mencari nilai S2. Nilai var Cj adalah nilai Cj dari variabel solusi, dalam hal ini adalah S1 dan S2. Lima kolom selanjutnya berisi koefisien dari pembatas dan batasannya. Jika X1 = X2 = 0 seperti yang telah dilakukan, maka nilai S1 dan S2 adalah 24 dan 10. Nilai variabel dari solusi dasar yang fisibel akan selalu ditampilkan pada kolom b. Sedangkan variabel yang tidak ditampilkan akan bernilai 0.
Dengan demikian tabel 2.3 dapat diartikan bahwa jumlah produk yang dihasilkan perusahan (X1 dan X2) adalah 0, maka tenaga kerja yang tidak terpakai, S1 dan bahan baku yang tidak terpakai S2 adalah 24 dan 10 unit. Langkah 3. tentukan apakah masih ada solusi fisibel yang lebih baik. Pada bagian ini, baris Zj dan baris terakhir akan diisi. Nilai baris Zj: Zj (X1) = (var Cj baris 1) (a12) + (var Cj baris 2)(a21)
= 0 (3) + 0 (2) = 0
Dan seterusnya dicari nilai Zj sampai X4. Nilai Zj adalah nilai fungsi tujuan. Sedangkan baris terakhir dapat dicari dengan mengurangkan nilai pada baris teratas (Cj) dengan Zj.
Cj – Zj (X1) = Cj (Xi) – Zj (X1) = 2 – 0 = 2 Sehingga tabel menjadi:
Tabel 2.4 Lanjutan Perhitungan Zj dan Cj-Zj untuk Tabel Inisial
Nilai pada baris terakhir ini menunjukkan perubahan fungsi tujuan (Zj) yang terjadi apabila nilai variabel pada kolom yang bersangkutan dinaikkan.
Karena fungsi tujuan adalah maksimasi, maka apabila nilai pada baris terakhir >0, maka masih ada solusi fisibel yang lebih baik jadi tabel tersebut belumlah optimal sehingga langsung pada langkah berikutnya sampai nilai pada baris terakhir semuanya ≤ 0.
Langkah 4. Identifikasi variabel yang memberikan kontribusi peningkatan yang terbesar (entering variable) untuk fungsi objektif.
Cari nilai terbesar pada baris terakhir. Untuk tabel diatas, variabel X2 nilai terbesar (nilai terbesar untuk kasus maksimasi dan terkecil untuk kasus minimasi) dari Cj-Zj = 3. Nilai ini kita sebut sebagai entering variable (EV). Nilai EV ditunjukkan oleh panah kecil pada tabel 2.4 Yang merupakan EV adalah X2.
Langkah 5. Identifikasi variabel yang harus dipindahkan dari solusi basis Pada langkah ini, akan dihitung nilai dari kolom terakhir dengan cara membagi nilai b dengan nilai aij pada kolom dimana terletak EV. Nilai kolom terakhir untuk tabel di atas adalah 4 (diperoleh dari 24/6) dan 10 (diperoleh dari 10/1). Leaving variable (LV) ditentukan dengan cara mencari nilai positif terkecil (baik untuk tujuan maksimasi atau minimasi) pada kolom terakhir. Bila ada terdapat dua atau lebih nilai positif terkecil yang sama, maka ambil salah satu saja secara acak sebagai Lvnya. Yang merupakan LV adalah S1. Selanjutnya dicari perpotongan dari entering kolom dengan leaving baris. Nilai perpotongan tersebut disebut pivot elemen (6) yang akan digunakan untuk perhitungan selanjutnya.
Tabel 2.5 Menentukan entering dan leaving variabel
Sebelum melanjutkan ke langkah selanjutnya, yang penting diingat adalah X2 adalah EV karena memberikan kontribusi terbesar untuk fungsi tujuan, dan kemudian dapat dihitung nilai X2 tanpa melewati pembatas. Pada tabel 2.5 terlihat bahwa jumlah X2 yang dapat dibuat adalah 4 unit dan S1 (jumlah tenaga kerja yang tidak dibutuhkan) harus dipindahkan dari variabel solusi. Langkah 6.Lakukan perhitungan yang diperlukan untuk menentukan entering variabel (yang diidentifikasikan pada langkah 4) dan pindahkan variabel masuk.
Perhitungan untuk matriks yang baru dimulai pada baris yang merupakan
entering variabel yaitu baris pivot. Nilai pada baris pivot dicari dengan
membagi nilai aij pada tabel 2.5 dengan pivot elemen.
Tabel 2.7 Pengembangan dari solusi yang telah diperbaiki
Untuk mengisi baris selanjutnya, dibutuhkan 2 tahap perhitungan. Nilai aij pada kolom EV yang menjadi 0. Hal ini dilakukan dengan cara mengalikan baris pivot dengan angka yang dapat menyebabkan nilai aij pada kolom EV menjadi 0. Untuk tabel diatas, baris pivot harus dikali -1. Dapat dilihat bahwa perhitungan-perhitungan pada langkah ini dilakukan dengan cara aljabar linier. Perhitungannya adalah sebagai berikut:
Nilai ini akan dimasukkan pada baris kedua yang masih kosong yang dapat dilihat pada tabel 2.7. Contoh diatas hanya memiliki 2 baris, maka perhitungan kita telah selesai. Apabila pada tabel terdapat lebih dari 2 baris, maka akan terus diadakan perhitungan sampai semua baris terisi.
Langkah 7. kembali ke langkah 3. Nilai pada baris Zj adalah:
Kolom X1 = 3 (3/6) + 0 (9/6) = 9/6 dst
Setelah itu akan dicari nilai Cj-Zj. Hasil perhitungan akan dilihat pada tabel 2.8.
Tabel 2.8 Menentukan nilai Zj dan Cj-Zj
Nilai Cj-Zj terbesar adalah 3/6 sehingga dapat ditentukan EV yaitu X1. Tabel 2.9 Menentukan entering dan leaving variabel.
Yang merupakan LV adalah S2 dengan elemen pivot 9/6. Pada baris pivot menunjukkan bahwa 4 unit X1 akan diperkenalkan pada perhitungan selanjutnya dan peningkatan fungsi tujuan adalah 3/6 untuk satu nilai X1. Kemudian perhitungan dilanjutkan sehingga memperoleh tabel 2.10
Tabel 2.10 Hasil optimum
Dari tabel 2.10 terlihat bahwa perhitungan telah optimal karena tidak ada nilai Cj-Zj > 0. Solusi dari contoh soal yang terlihat pada kolom b tabel 2.10 adalah 2 unit X2 dan 4 unit X1 serta keuntungan sebesar 14.