BAB III : ANALISA BEBAN RUNTUH
III.3 Metode Statis
Metode yang sering disebut juga dengan cara grafostatis ini berdasarkan teorema batas bawah, dimana distribusi momen disetiap penampangnya tidak ada
yang melampaui kapasitas momen plastisnya. Besarnya faktor beban, kita
tentukan dari diagram momen yang sesuai.
III.3.1. Balok sederhana
Sesuai dengan persamaan (2.17), struktur ini hanya memerlukan sebuah
sendi plastis untuk mencapai mekanisme runtuhnya. Mekanisme dan diagram
momen yang bersesuaian dapat dilihat pada gambar (3.6)
Sedangkan kurva beban-lendutannya kita gambarkan pada gambar (3.7).
Daerah elastis dibatasi sampai titik leleh saja, yaitu hingga titik yang mempunyai
nilai momen maksimum sama dengan momen leleh (yield moment) yang dalam
gambar tersebut dinyatakan oleh titik a. Beban pada kondisi ini disebut sebagai beban leleh ;
Dimana : My = mommen leleh Mp = momen plastis Wc = beban keruntuhan
f = factor bentuk penampang (shape factor).
Gambar 3.6. Mekanisme dan diagram momen yang bersesuaian untuk balok sederhana
Dari persamaan (3.9), ternyata bahwa perbandingan antara Wc dengan Wy
akan sama dengan faktor bentuk f. Daerah dalam garis c - b merupakan daerah (c)Bidang momen wL/4 (c) Struktur pembebanan L/2 L/2 w (b) Mekanisme runtuh
plastis, dimana rotasi maupun lendutan struktur bertambah terus tanpa adanya
penambahan beban lagi.
Gambar (3.7). Hubungan beban lendutan
III.3.2. Balok bertumpuan sendi dan jepit
Umumnya, diagram momen dari struktur statis tak tentu dapat dipisahkan
dalam dua bagian, yaitu momen yang ditimbulkan oleh beban luar dengan
menganggap struktur sebagai konstruksi statis tertentu; dan yang diakibatkan oleh
momen dalam atau reaksi perletakan. Diagram yang pertama disebut momen
bebas (free moment), dan yang kedua sebagai momen reaktan (reactant moment), yang berturut-turut diperlihatkan pada gambar (3.8) c dan d, sebagai berikut :
4Mp/L 4Mp/fL o oc : elastis cb : keruntuhan plastis w a c b L0/2
Gambar 3.8. Diagram momen yang bersesuaian untuk balok bertumpuan sendi dan jepit dengan beban terpusat
Dari syarat keseimbangan, dapat kita turunkan persamaan momen dibawah
titik beban sebagai :
Mp + (b/L) Mp = (W.a.b)/L
Mp = (W.a.b)/(L+b)
Atau kita peroleh beban runtuh :
Wc = (L + b) Mp/(a.b)………...….. (3.10)
(a) Struktur pembebanan
P
a b
L
Wab/L (c) Momen bebas
Mp (d) Momen reaktan
(b) Momen resultan
Mp
Dengan demikian, dari penyelesaian diatas dapat ditarik kesimpulan
bahwa secara umum sendi plastis akan terbentuk pada tumpuan jepit dan dibawah
beban titik.
Sedangkan, bila struktur ini menahan beban terbagi rata, perlu dianalisa
lagi letak momen maksimum yang terjadi padanya, karena secara otomatis letak
sendi plastis dibentangan akan terjadi tepat dibawah momen maksimum,dan
permasalahan ini tak dapat diselesaikan hanya dengan persamaan matematik
sederhana. Tetapi telah kita ketahui, bahwa momen maksimum terjadi, bila
dMx/dx = 0 telah terpenuhi pada suatu penampang berjarak x dari tumpuan yang
kita tinjau, karena gaya lintang pada titik ini bernilai nol. Sekarang kita
perhatikan terlebih dahulu gambar berikut :
Gambar 3.9. Letak momen maksimum pada balok bertumpuan sendi dan jepit dengan pembebanan terbagi rata
A L (a)struktur B w/satuan panjang Mp x (b)bidang momen Mp Mp Mp x w/satuan panjang L - x
Dengan menetapkan keseimbangan terhadap titik A, kita peroleh :
(1/2) W (l – x)2 – Mp – Mp = 0
(1/2) W (l – x)2 = 2Mp
Dari keseimbangan terhadap titik B, dihasilkan :
(1/2) W x2 – Mp = 0
(1/2) W x2 = Mp
Dengan menyamakan kedua persamaan ini, kita peroleh :
(1/2) W (l – x)2 = Wx2 + 2Lx – L2 = 0
dan bila persamaan ini diselesaikan, akan kita peroleh letak momen maksimum yang diukur dari tumpuan B, yaitu :
x = ( 2 – 1) L = 0,4142 L
Selanjutnya beban runtuh dapat ditentukan dengan memasukkan harga x = 0,4142L ini kedalam persamaan sebelumnya, sehingga :
0,5W (0,4142L)2 = Mp
Atau :
Wc = 11,66 Mp/L2……….……. (3.11)
III.3.3. Balok yang kedua tumpuannya jepit
Untuk kondisi beban terpusat seperti yang ditunjukkan pada gambar
(3.10), terdapat persamaan momen elastis yang ditunjukkan oleh gambar (3.10.b),
Gambar (3.10) Diagram momen yang bersesuaian untuk balok bertumpuan jepit dengan pembebanan terpusat
Sehingga besar momen dititik beban dapat dirumuskan sebagai berikut :
Mp + Mp = (Wab)/ L
2Mp = (Wab)/L
Sehingga, beban runtuhnya adalah :
Wc = 2 MpL/(ab)………..…(3.12)
Sedangkan bila struktur tersebut memikul beban merata, bidang momen
ketika terjadi keruntuhan dapat kita tetapkan seperti gambar (3.11.c). letak momen
- Mp
(e) Momen reaktan
Wab/L +
(e) Momen bebas (c) Mekanisme runtuh
(b) Diagram momen elastis
Wab2/L2 Wa2b2/L2 Wa2b/L2 - + - (d) Momen resultan Mp Mp Mp (b) Struktur pembebanan w a b L
maksimum ataupun sendi plastisnya tentunya ditengah bentangan. Dengan
demikian, persamaan momen pada titik ini adalah :
Mp + Mp = WL2/8
Dan
Wc = 16Mp/L2………..…(3.13)
Gambar (3.11). Mekanisme runtuh dan diagram momen pada balok dengan perletakan jepit-jepit
III.3.4.Balok menerus
Balok menerus dapat pula dianalisis dengan menggunakan prinsip
sebelumnya. Akan tetapi terdapat beberapa hal penting yang perlu kita perhatikan,
antara lain : A B C w/satuan L (d) Struktur pembebanan (b) Mekanisme runtuh Mp wL2/8 wL2/12 Mp (c) Momen resultan
• Setiap bentangan dapat memiliki bentuk atau ukuran penampang yang
berbeda, sehingga mungkin momenplastis penampangnya juga berlainan.
Keadaan ini dapat menyebabkan kapasitas momen plastis dititik sebelah
kiri dan kanan dari suatu tumpuan tidak sama.
• Setiap bentangan tergantung kondisi bebannya, mungkin tidak akan runtuh
secara bersamaan, sehingga bentangan tersebut harus kita periksa
tersendiri. Dalam keadaan tertentu, dimana kita inginkan suatu struktur
dengan pemakaian bahan yang relatuf hemat tergantung pada biaya
penyambungan dan sebagainya, kita perlu menetapkan ukuran penampang
dari bentangan tersebut sedemikian rupa sehigga akan terjadi mekanisme
runtuh yang bersamaan.
Perhatikanlah suatu balok menerus pada gambar (3.12), dimana kapasitas
momen plastis bentangan tengah dan tepi berbeda. Mula-mula, akan kita tinjau
mekanisme pada bentang A – B dan C – D. Bidang momen untuk kedua
mekanisme ini diperlihatkan pada gambar (3.12) b dan c, dimana persoalannya
0,5Mp 0,75M 1,5Mp + + + - -
(b)Mekanisme runtuh pada bentang pinggir
(f)Mekanisme runtuh saat bentangan tengah runtuh (a)Struktur dan pembebanan
(c – e)Bidang momen A L L 1.5L 1.5L L L w 2w Mp 1.5w B 1.5Mp C Mp D c d e + - - - + - + Mp Mp Mp Mp
(g)Bidang momen saat bentangan tengah runtuh
Gambar (3.12). Mekanisme runtuh dan bidang momen yang bersesuaian pada balok menerus untuk beban terpusat
Persamaan keseimbangan dititik beban pada bentang A – B, adalah :
Mp + 0,5 Mp = 0,5 wL
Mp = 0,33 wL
Atau :
Wc = 3Mp/L
Sedangkan untuk bentang C – D adalah :
Mp + 0,5 Mp = 0,75 wL
Mp = 0,50 wL
Maka :
Wc = 2 Mp/L
Seandainya mekanisme runtuh terjadi pada bentang B – C, momen dalam
tumpuan B tidak akan lebih besar dari Mp. Bidang momen untuk mekanisme ini
diperlihatkan pada gambar (3.12) c, dan kita ketahui bahwa problemanya akan
menyerupai problema suatu balok yang kedua tumpuannya jepit. Persamaan
keseimbangannya adalah : Mp + 1,5 Mp = 3/2 wL Maka : Mp = 0,6 wL Atau : Wc = 5 Mp/3L………...(3.14)
Dengan membandingkan ketiga beban runtuh tersebut, dapat kita tentukan
bahwa mekanisme runtuh yang pertama kali terjadi akan terletak pada bentang
B – C dengan nilai beban runtuhnya ditunjukkan pada persamaan (3.14). Dengan
demikian, bentang ini merupakan bentang kritis. Ternyata bila kita
membandingkan momen plastisnya, bentang B – C merupakan bentang yang
memiliki nilai Mp terbesar.
Kesimpulannya, bila pada suatu tumpuan terdapat kapasitas momen plastis
yang tidak sama besar, sendi plastis akan terjadi pada titik yang terletak pada
bentangan yang lebih lemah (yang mempunyai kapasitas momen plastis
penampang yang lebih kecil).
Untuk balok menerus yang memikul beban merata dapat kita lihat gambar
(3.13). Berdasarkan kesimpulan tersebut, sendi plastis ditumpuan B dan C
berturut-turut akan terletak pada bentang B – A dan C – D. Persamaan untuk
bentang A – B :
2 Mp + 0,5 Mp = 1,5 wL2
Sehingga kita peroleh beban runtuh :
Wc = 1,67 Mp/L2
Untuk bentang B – C, lihat gambar (3.13) c.
Mp + Mp = (1/8) 3 wL2
Maka :
Wc = 1,77 Mp/L2
Selanjutnya, untuk bentang C – D (gambar 3.13.d) :
2 Mp + (4/3) Mp = 4 wL2
Mp = 1,2 wL2
Sehingga :
Wc = 0,833 Mp/L2………(3.15)
Perhatikan bahwa beban runtuh wc pada bentang C – D merupakan nilai yang
terkecil. Jadi, sekali lagi dapat kita katakan bahwa bentang C – D merupakan
2L 3L 2Mp Mp 2Mp 3wL 6wL B C D A w/satuan panjang L L L
(a)Struktur dan pembebanan
(b – d)Bidang momen (f)Mekanisme keruntuhan + Mp 2Mp Mp + - - - + 2Mp 2Mp Mp b c d
Gambar (3.13). Mekanisme runtuh dan bidang momen yang bersesuaian pada balok menerus untuk beban kombinasi