2.4 Asas Kesetaraan
2.4.2 Metrik Schwarzschild
Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein secara eksak pada tahun 1916, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik � dari kuadrat metriknya ��2 ruang waktu lengkung
yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein. Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Schwarzschild juga mempunyai hubungan yang sangat erat dengan teori lubang hitam. Lubang hitam adalah sebuah pemusat gaya
Gaya melalui perila tetapi tidak dapat keluar atau melewatinya, dari sini diperoleh kata “hitam”. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun ia tidak menunjuk ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa dimana semua tidak dapat kembali. Secara
teoritis, lubang hitam dapat memliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati.
Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 ole bernama umum dari Pada saat ini banyak astronom seperti charis yang percaya bahwa hampir semua galaksi dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaks pada tahun 1967 yang memberikan nama Lubang Hitam sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam, akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertarik/tersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh jutaan lubang hitam.
Lubang Hitam tercipta ketika suatu objek tidak dapat bertahan dari kekuatan tekana pernah menjadi lubang hitam. Tekanan gravitasi pada matahari dan bumi tidak mencukupi untuk melampaui kekuatan atom da melawan tekanan gravitasi. Tetapi sebaliknya untuk objek yang bermassa sangat besar, tekanan gravitasilah yang menang.
Massa dari lubang hitam terus bertambah dengan cara menangkap semua materi didekatnya. Semua materi tidak bisa lari dari jeratan lubang hitam jika melintas terlalu dekat. Jadi objek yang tidak bisa menjaga jarak yang aman dari lubang hitam akan terhisap. Berlainan dengan reputasi yang disandangnya saat ini yang menyatakan bahwa lubang hitam dapat menghisap apa saja disekitarnya, lubang hitam tidak dapat menghisap material yang jaraknya sangat jauh dari dirinya. Dia hanya bisa menarik materi yang lewat sangat dekat dengannya.
Kita dapat mengambil salah satu contoh bayangka hitam dengan massa yang sama. Kegelapan akan menyelimuti ada pancaran cahaya dari lubang hitam, tetapi bumi akan tetap mengelilingi lubang hitam itu dengan jarak dan kecepatan yang sama dengan saat ini dan tidak terhisap masuk kedalamnya. Bahaya akan mengancam hanya jika bumi kita berjarak 10 mil dari lubang hitam, hal ini masih jauh dari kenyataan bahwa bumi berjarak 93 juta mil dari matahari. Lubang hitam juga dapat bertambah massanya dengan cara bertubrukan dengan lubang hitam yang lain sehingga menjadi satu lubang hitam yang lebih besar.
2.4.2.1 Teori Relativitas Umum dalam Metrik Schwarzschild
Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :
�µ�−1
2�µ�� =− �8���4 � �µ� (2.24)
Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala alam. Pertama kali akan diturunkan solusi persaam gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi berupa tiga dimensi koordinat ruang polar ( r ,� ,� ) dan satu dimensi koordinat waktu (t), yang dikenal sebagai solusi Schwarzschild.
Berikut ini akan diturunkan metrik yang mendiskripsikan medan gravitasi isotropik statik. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang waktu 4 dimensi ( 3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu ) akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Dalam koordinat bola, 3 koordinatnya adalah
�� = (�1 ,�2 ,�3) = ( r ,� ,� ) (2.25)
Metrik ruang waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh
Dalam mengikuti penulisan Weinberg, nilai c sementara diisikan sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi
��2 = −��2+��2+�2��2+�2���2���2 (2.27)
Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini untuk komponen ��� dan ��� hanya merupakan fungsi radial �. Bentuk metriknya menjadi
��2 =−�(�)��2+�(�)��2+�2(��2+���2���2) (2.28)
Dimana metrik diatas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi dilenyapkan. Dari metrik diatas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah
��� = −�(�), ���= �(�), ��� ,��� = �2, ��� =�2���2� (2.29)
Mengingat �µ� bersifat diagonal, komponen tensor metrik kontravarian bernilai ��� = −�1
(�) ,��� = 1
�(�) ,��� = 1
�2 ,��� = 1
�2���2� (2.30)
Selanjutnya determinan matriks yang menyajikan komponen tensor metrik adalah g yang bernilai
�=−�(�)�(�) �4���2� (2.31)
2.4.2.2 Medan gravitasi dalam ruang waktu Schwarzschild like
Medan gravitasi adalah manifestasi dari kelengkungan ruang waktu. Ruang waktu datar artinya tidak ada medan gravitasi. Medan gravitasi dalam ruang waktu Schwarzschild-like seperti medan gravitasi statik non-rotasi yang meliputi metrik Schwarzschild-De Sitter, metrik Reissner-Nordstrom-De Sitter (Nailul Hasan, 2005). Secara umum penulisan elemen garis keempat metri tersebut sering ditulis dalam koordinat (t , r ,� ,� ) atau dalam bentuk persamaanya seperti persamaan berikut :
��2 = �(�)�2��2− �(�)−1��2− �2��2− �2���2���2 (2.32)
Dimana kita tau
�(�) =�1−��
�� (2.33) Untuk metrik Schwarzschild, menggambarkan ruang waktu disekitar sebuah sumber massa yang statik, yang tak berotasi dan tak bermuatan. Misalkan sebuah bintang masif yang tak berotasi dan tak bermuatan, sebagai salah satu contoh matahari. Maka untuk persaamaan metrik Reissner-Nordstrom adalah
�(�) =�1−��
� + �2
�2� (2.34)
Persaaman metrik diatas menggambarkan ruang waktu disekitar sebuah sumber massa bermuatan yang statik, tak berotasi. Maka untuk persamaan metrik De-Sitter adalah
�(�) =�1−Ʌ3�2� (2.35)
Dan untuk persamaan metrik Schwarzschild-De Sitter adalah
�(�) =�1−��
� −Ʌ3�2� (2.36)
Sedangkan persamaan sebuah metrik untuk Reissner-Nordstrom-De Sitter adalah
�(�) =�1−��
� + �2
�2−Ʌ3�2� (2.37)
Sedangkan ruang waktu yang menggambarkan disekitar sebuah sumber massa bermuatan yang statik, dan tak berotasi adalah
�� = 2���2 dan �2 = ��2
4��0�4 (2.38)
Dengan G adalah konstanta gravitasi Newton, sedangkan M adalah massa sumber medan gravitasi, q adalah muatan sumber medan gravitasi, �0 adalah permitivitas ruang hampa.
BAB III