KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
DALAM SISTEM DUA KOORDINAT
SKRIPSI
SABAM PARSIHOLAN SIMBOLON
090801004
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
DALAM SISTEM DUA KOORDINAT
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SABAM PARSIHOLAN SIMBOLON 090801004
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN
KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
DALAM SISTEM DUA KOORDINAT
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 25 Juni 2013
PENGHARGAAN
Terpuji dan termulialah Yesus Kristus yang sampai saat ini, Dia masih tetap memberikan yang terbaik dalam kehidupan saya,terutama dalam penulisan skiripsi ini. Saya sangat menyadari dan percaya tanpa campur tanganNYA perjalanan perkuliahan saya dan penulisan skiripsi ini tidak akan pernah selesai. Semua hanya karena ANUGRAH semata, sesungguhnya saya tidak pernah sanggup dan tidak pernah layak. Saya hanya sedang belajar dan punya kerinduan untuk berjuang hidup benar. Sering saya gagal dan banyak mengalami kejatuhan, Namun saya belajar untuk tetap setia dalam menjalaninya dengan ikhlas hati dan penuh senyuman dalam menghadapinya serta berpengharapan pada-NYA selalu. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung saya bahkan sampai pada penyelesaian skiripsi ini.
1. Kepada Bapak Drs. Tenang Ginting, M.S dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku pembimbing saya dalam menyelesaikan skiripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini dan kepada Bapak/Ibu penguji Bapak Drs. Kurnia Sembiring, M.S, Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc, dan Ibu Dr. Susilawati, S.Si, M.Si
2. Kepada Bapak ibu dosen Departemen FISIKA USU, mulai dari Bapak Dr.Marhaposan Situmorang sebagai ketua departemen FISIKA USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta staff pegawai di kantor Departemen FISIKA USU yang senantiasa membantu penulis dalam melengkapi administrasi.
4. Kepada kakak saya R. br Simbolon, L. br Simbolon dan lae L. Hutabalian dan R .P. Sibarani serta bere saya Grace Sibarani, Intan Hutabalian, Gesika Yolanda Sibarani dan Welfrido Hutabalian saya mengucapkan banyak terima kasih untuk setiap dukungan doa dan motivasinya.
5. Kepada Tulang P. Siringo-ringo, M. Siringo-ringo dan Nantulang T. br Simbolon, P. br Sinaga dan Op.Parpunguan Sinaga, Op.Restu br. Simbolon, Bapak Tua Ranto Simbolon, Bapak Tua Basa Ria Simbolon (ALM), Inanguda Binton br. Sinaga (Alm), B’Hotmian Simbolon, B’Ranto Simbolon, B’Binton Simbolon, saya banyak mengucapkan terima kasih untuk setiap motivasi dan dukungan doanya.
6. Kepada Bapak Dr. Mester Sitepu, M.Sc selaku dosen wali penulis, terima kasih untuk arahan dan bimbinganya.
7. Kepada kelompok kecil saya ‘HARVEST”, ada B’Donal Siregar, S.T dan Riris Hasibuan, terimakasih untuk setiap dukungan doa, kebersamaanya dan bimbingan Rohaninya yang telah saya dapat.
8. Kepada sahabat-sahabat saya di FISIKA stambuk Breaving : Kalam, Sony, Poltak, Enra, Nurjanah, Sukira, Tanu, Helen, Jeni, Suhartina, Rieni, Esra, Agusningsih,Fitri, Agus, Monora, Septiana, Andiko, Istas, Zai, Eldo, Ferdi, Timbul, Josua, Andrian, Arpila, Herdiana, Natanael, Emi, Silvi, Ade, Valentina, Wenni, Stevani, Resdina, saya banyak mengucapkan terimakasih atas kebersamaanya dan setiap motivasinya. Dan kepada seluruh kawan-kawan yang ada di FISIKA USU.
9. Dan kepada teman-teman sepelayanan yang saya cintai di Koordinasi KMKS periode XXIII dan XXIV : Irza, Santy, Budi, Dosma, Inel, Polmer, Selfi, Reynal, Rouli, Plani, Berto, Agustina, Maria, Rianto, Eko, Ruth, Marta, Hanna, Edi, Riris, Myke, Grace, Randy, Linggom, Lenggem, Everson, Franky, Vera, Ervina, Frans, Dinadio, Asni, Simson dan Riswanta terima kasih atas dukungan doa, motivasi dan kebersamaanya yang tak terlupakan.
praktek kepada Ibu Dra. Sudiati, M.Si. Dan kepada teman-teman asisten (K’Fitri, B’Iwan, Fitri, Nurjanah, Arpila, Silvi, Andrian).
11.Kepada B’Hendri Diapari Siregar S.Si dan K’Meli, S.Si, B’Indra Tarigan dan Lae Jeri Harianja, S.T atas dukungan dan motivasinya.
12.Kepada Angkasa Pura II yang memberikan bantuan/beasiswa kepada penulis saya banyak mengucapkan terima kasih.
13.Dan kepada mereka yang tidak saya sebutkan namanya yang telah mendukung penulis , saya ucapkan terima kasih.
Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya.
Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Terima kasih….. Syalom Tuhan Yesus memberkati……..
Medan, 25 Juni 2013
KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
DALAM SISTEM DUA KOORDINAT
ABSTRAK
Telah dilakukan kajian teoritis mengenai transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat, pengkajian transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat ini, yaitu koordinat kartesian dan ruang- waktu dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu medan gravitasi pada ruang lengkung. Medan gravitasi pada ruang lengkung ini dipilih medan Schwarzschild yang biasanya dinyatakan dalam ruang spatial bola. Melalui transformasi tersebut, metriknya mengandung dua suku : (1) suku yang berhubungan dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat seragam, dan (2) suku yang berhubungan dengan kelengkungan serta berkaitan dengan penyimpangan geodesik yang merupakan efek dari kelengkungan ruang waktu. Sehingga dari hasil yang diperoleh memperlihatkan adanya kesamaan antara massa gravitasi dan massa inersial yang kaitannya dengan Teori Relativitas Umum dapat menjelaskan efek lokal dalam suatu medan gravitasi.
THEORETICAL STUDY OF THE TRANSFORMATION OF THE
SCHWARZSCHILD METRIC IN THE SYSTEM OF TWO
COORDINATES
ABSTRACT
Teoritical studies have been made regarding the transformation of the Schwarzschild metric in two coordinates, the Schwarzschild metric transformation study in two coordinates: coordinates Cartesian and accelerated time-space uniform in no time flat spaces as well as local effects of a gravitational field in curved space. Gravitational field in curved space is chosen the Schwarzschild field is usually expressed in spatial space balls. Through these transformations, their metrics contain two people: (1) the rates associated with elements within the framework of the accelerated line uniform, and (2) the tribe associated with the curvature and geodesic deviation with regard to the effect of the curvature of space time. So that the results obtained from the existence of similarities between inertial mass and gravitational mass are relation with the theory of general relativity can explain local effect in the gravitational field .
DAFTAR ISI
Bab 2 Tinjauan Pustaka
2.1 Teori Gravitasi Newton 5 2.3.2.1 Koordinat Kuvalinier Ortogonal 19 2.3.2.2 Vektor Satuan dalam sistem koordinat Kurvalinier 19 2.3.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum 20
2.3.3 Prinsip Ekuivalensi 22
2.3.4 Prinsip Kovariansi umum 23 2.3.5 Kelengkungan Ruang Waktu 23
2.4 Asas Kesetaraan 25
2.4.2.1 Teori Relativitas Umum dalam Metrik Schwarzschild 29 2.4.2.2 Medan Gravitasi dalam Ruang Waktu Schwarzschild Like 30
Bab 3 Metodologi penelitian
3.1 Diagram Alir Penelitian 32
Bab 4 Hasil dan Pembahasan
4.1 Konsekuensi Prinsip Kesetaraan 33 4.2 Transformasi Metrik Schwarzschild 35 4.3 Kerangka Dipercepat Seragam 38
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 43
4.2 Saran 44
DAFTAR PUSTAKA 45
LAMPIRAN A : Beberapa Besaran Fisika dan Alfabet Yunani 47 LAMPIRAN B : Komponen-Komponen Koneksi Affine dan Tensor Ricci
DAFTAR SIMBOL
Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini dan fungsinya:
� = Gaya
� = Konstanta gravitasi (6,67 × 10−11��2/��2)
� = Jarak radial
� = Massa objek
� = Massa bintang (matahari)
� = Rapat massa
� = Energi potensial gravitasi = Nabla
� = Potensial gravitasi
� = Jari-jari matahari
�� = Koordinat (�0,�1,�2,�3 =��,�1,�2,�3) �� = Massa inersial
�� = Massa gravitasi � = Kecepatan cahaya u = Kecepatan partikel g = Percepatan gravitasi a = Percepatan objek K = Tetapan Integrasi
h =konstanta momentum sudut
��� = Tensor metric � = Differensial parsial
��� = Delta kronecker [+1(�= �), 0(� ≠ �)] �� = Waktu pribadi
��� = Tensor Ricci
DAFTAR ISTILAH
Istilah-istilah yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah:
Kovariansi = Memiliki bentuk yang sama dalam setiap kerangka acuan Ekuivalensi = Kesetaraan
Invariant = Besaran yang tidak berubah walaupun mengalami transformasi
Homogen = Memiliki besar yang sama (seragam)
Geodesik = Lintasan teerpendek partikel dalam ruang-waktu lengkung Kerangka inersial = Kerangka yang diam atau bergerak dengan kecepatan tetap Ruang Euklidean = Ruang datar atau ruang dengan koordinat kartesius
Ruang Non-Euklidean= Ruang lengkung
KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
DALAM SISTEM DUA KOORDINAT
ABSTRAK
Telah dilakukan kajian teoritis mengenai transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat, pengkajian transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat ini, yaitu koordinat kartesian dan ruang- waktu dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu medan gravitasi pada ruang lengkung. Medan gravitasi pada ruang lengkung ini dipilih medan Schwarzschild yang biasanya dinyatakan dalam ruang spatial bola. Melalui transformasi tersebut, metriknya mengandung dua suku : (1) suku yang berhubungan dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat seragam, dan (2) suku yang berhubungan dengan kelengkungan serta berkaitan dengan penyimpangan geodesik yang merupakan efek dari kelengkungan ruang waktu. Sehingga dari hasil yang diperoleh memperlihatkan adanya kesamaan antara massa gravitasi dan massa inersial yang kaitannya dengan Teori Relativitas Umum dapat menjelaskan efek lokal dalam suatu medan gravitasi.
THEORETICAL STUDY OF THE TRANSFORMATION OF THE
SCHWARZSCHILD METRIC IN THE SYSTEM OF TWO
COORDINATES
ABSTRACT
Teoritical studies have been made regarding the transformation of the Schwarzschild metric in two coordinates, the Schwarzschild metric transformation study in two coordinates: coordinates Cartesian and accelerated time-space uniform in no time flat spaces as well as local effects of a gravitational field in curved space. Gravitational field in curved space is chosen the Schwarzschild field is usually expressed in spatial space balls. Through these transformations, their metrics contain two people: (1) the rates associated with elements within the framework of the accelerated line uniform, and (2) the tribe associated with the curvature and geodesic deviation with regard to the effect of the curvature of space time. So that the results obtained from the existence of similarities between inertial mass and gravitational mass are relation with the theory of general relativity can explain local effect in the gravitational field .
BAB I
PENDAHULUAN
Salah satu fondasi teori relativitas umum adalah prinsip kesetaraan (principle of equivalence). Ohanian (1977) menyatakan bahwa ada dua jenis prinsip kesetaraan. Jenis pertama adalah prinsip kesetaraan lemah (weak principle of equivalence) yang menyatakan bahwa dalam suatu medan gravitasi, seluruh partikel uji dengan kecepatan awal yang sama akan jatuh dengan percepatan yang sama. Jenis yang kedua adalah prinsip kesetaraan kuat (strong principle of equivalence) yang berbunyi, dalam seluruh laboratorium yang jatuh bebas serta tak berotasi, hasil- hasil dari sembarang percobaan lokal adalah sama, tidak tergantung dari medan gravitasi yang berada di sekitar laboratorium tersebut.
1.1Latar Belakang Masalah
Asas kesetaraan berbunyi, “Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan dalam daerah kecil (Lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem dipercepat yang setara”. Salah satu impliksai asas kesetaraan adalah kesamaan massa gravitasi dan massa inersia. Sifat ini memungkinkan untuk menghilangkan efek gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan yang sesuai. Hal ini merupakan konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua benda yang berada di dalamnya akan merasakan percepatan yang sama serta tidak bergantung pada ukuran maupun massanya.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana hubungan antara kerangka dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu medan gravitasi dengan menggunakan transformasi metrik Schwarzschild.
1.3Batasan Masalah
a. Penjelasan Teori Relativitas Umum (TRU) tentang transformasi metrik Schwarzschild dalam dua koordinat.
b. Prinsip kesetaraan konsekuensi pada kesamaan antara Massa Gravitasi (MG) dan Massa Inersial (MI).
c. Hubungan antara kerangka dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu medan gravitasi pada ruang lengkung.
1.4Tujuan penelitian
2. Untuk mengkaji prinsip kesetaraan pada kesamaan antara Massa Gravitasi dan Massa Inersial.
3. Untuk mengkaji hubungan antara kerangka dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu Medan gravitasi pada ruang lengkung.
1.5Manfaat penelitian
1. Sebagai sumber pustaka mengenai transfomasi metrik Schwarzschild
2. Sebagai penambahan wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai transfomasi metrik Schwarzschild.
3. Sebagai sumber informasi mengenai prinsip kesetaraan yang membawa konsekuensi pada kesamaan antara massa gravitasi dan massa inersial.
1.6Metode penulisan
Metode kajian pustaka dipilih dalam penelitian ini dengan menggunakan beberapa literatur dari berbagai sumber pustaka terkait. Kegiatan studi penelitian ini diuraikan secara lebih rinci dibawah ini.
1. Studi Literatur
Merupakan tahap pengumpulan literatur mengenai : Teori Relativitas Umum, Kelengkungan Ruang waktu, Analisis Tensor, Massa Gravitasi Einstein, dan Schwarzschild.
2. Pengkajian Literatur
Merupakan tahap penyelesaian dengan permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian sehingga didapat informasi yang diinginkan.
Merupakan tahap untuk menganalisa informasi sehingga didapat informasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian. 4. Merangkum Kesimpulan
Merupakan jawaban dari setiap permasalahan yang akhirnya suatu fakta ilmiah mengenai fenomena yang ditinjau.
5. Penulisan Laporan
Merupakan tahap penulisan laporan penelitian yang telah dilakukan dalam bentuk skripsi.
1.7Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut : BAB I Pedahuluan
Bab ini merupakan Latar Belakang, Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penulisan, dan Sistematika Penulisan dari Tugas Akhir ini.
BAB II Tinjauan Pustaka
Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian ini. BAB III Metodologi Penelitian
Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir dari penelitian.
BAB IV Hasil dan Pembahasan
Bab ini mencakup hasil penelitian berupa penejelasan transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat.
BAB V Kesimpulan dan Saran
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Teori Gravitasi Newton
Beberapa teori dapat membandingkan ketelitian ramalannya dengan teori gravitasi universal Newton. Ramalan mekanika benda angkasa untuk posisi planet sesuai dengan pengamatan. Penemuan Neptunus dan Ceres adalah diantara kesuksesan spektakuler yang memberikan dukungan untuk ketelitian teori ini. Tetapi teori Newton tidak sempurna : ramalan gerak untuk planet dalam (inner) menyimpang sedikit dari nilai yang di amati. Dalam kasus merkurius kelebihan presesi perihelion sebanyak 43 detik-sudut per abad. Penyimpangan kecil ini diamati melalui perhitungan oleh Le Verrier pada 1845 dan diperhitungkan kembali oleh Newcomb pada 1882. Penjelasan dari presesi adalah salah satu kesuksesan awal dari teori gravitasi relativistik Einstein. (Hans C. Ohanian, 1976)
2.1.1 Hukum Gravitasi Universal Newton
Hukum gravitasi Newton bersama dengan hukum gerak Newton telah diaplikasikan untuk memprediksi dan menghitung secara teliti gerak planet, bulan, satelit, dan objek lain di alam semesta. Berdasarkan Newton, hukum yang menentukan interaksi gravitasi adalah ”Gaya tarik gravitasi antara setiap dua benda di alam semesta secara langsung sebanding pada perkalian massanya dan berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak antara kedua benda ”. Jika salah satu massa berada pada titik asal dan yang lain berada pada suatu jarak radial r , maka persamaan gaya mengambil bentuk matematika :
�= −���
′
�2 �� (2.1)
dengan G = 6,67 x 10-11 N m2/Kg2 , �� adalah vektor satuan. Gaya gravitasional termasuk gaya sentral yaitu gaya yang bergantung pada jarak radial dan beraksi sepanjang arah radial. (Atam P. Arya, 1990)
Berdasarkan hukum Newton, gravitasi adalah aksi pada suatu jarak: massa pada suatu titik beraksi secara langsung dan seketika pada massa lain, bahkan walaupun massa tersebut tidak bersentuhan dengannya. Newton mempunyai rasa khawatir yang serius tentang tarik-menarik khayal yang demikian dari massa yang jauh dan menyarankan bahwa interaksi akan disampaikan oleh material medium. Pandangan modernnya adalah bahwa gravitasi beraksi secara lokal melalui medan: suatu massa pada suatu titik menghasilkan suatu medan, dan medan ini beraksi pada massa apapun yang berhubungan dengannya. Medan gravitasi mungkin dipandang sebagai material medium yang dicari Newton; medan adalah material karena memiliki suatu rapat energi. Gambaran interaksi dengan memakai medan lokal mempunyai keuntungan lanjutan yang membimbing pada teori relativistik yang mana efek gravitasional merambat pada kecepatan berhingga.
�(�) = −���′
� (2.2)
Pada umumnya, dapat dikatakan bahwa efek relativistik akan menjadi kecil, jika energi potensial jauh lebih kecil dari energi massa diam dan kecepatannya jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya. Untuk suatu massa m yang bergerak dengan kecepatan v sekitar suatu pusat massa �′ kita dapat menggambarkan kondisi ini sebagai
|�|≪ ��2 dan � ≪ �
Dimana � adalah kecepatan cahaya. Perhatikan bahwa pembentuk kondisi adalah ekuivalen pada � ≫ ��′/�2. Oleh karena itu, penyimpangan dari teori Newton diharapkan menjadi sangat kecil jika jarak dari pusat massa cukup besar dan kecepatannya cukup rendah. Untuk matahari, dengan suatu massa �′=�⊙ ≅2 × 1033� , dengan ��′/�2 ≅2 �� dan kondisi � ≫2 �� adalah dengan jelas sangat memuaskan, bahkan untuk komet dengan suatu perihelion yang begitu dekat terhadap permukaan matahari. (Hans C. Ohanian, 1976)
2.1.2 Potensial Gravitasi
Medan gravitasi yang kita pandang sebagai pembawa interaksi didefenisikan sebagai gaya persatuan massa,
�(�) = 1
� �(�) (2.3)
Potensial gravitasi yang bersesuaian didefenisikan sebagai
�(�) ≡ 1
� �(�) = − � ���
|� − ��|
�
(2.4)
persamaan (2.4), tetapi lebih baik untuk dipilih tanda ini dengan menganalogikannya terhadap elektrostatik. Untuk distribusi massa kontinu seperti persamaan dibawah ini :
�(�) = − �� �(�
′)
|� − �′|�
3�′ (2.5)
Dengan �(�′) adalah rapat massa. Persamaan (2.5) menyatakan bahwa Φ mematuhi
persamaan poisson
∇2�(�) = +4 ���(�) (2.6)
2.2 Prinsip Relativitas
Pada intinya, teori relativitas Einstein (baik teori relativitas khusus maupun teori relativitas umum) adalah teori fisika modern dari ruang dan waktu, yang telah mengganti konsep ruang dan waktu absolut Newton dengan ruang-waktu.
Semula dalam fisika, relativitas berarti penghapusan ruang absolut, suatu penyelidikan yang telah dikenal sebagaimana yang diinginkan sejak Newton. Dan ini tentu saja apa yang disempurnakan dua teori Einstein : relativitas khusus, teori ruang waktu datar, menghapuskan ruang mutlak dalam peranan Maxwellian sebagai ‘eter’ yang membawa medan elektromagnetik, dan khususnya gelombang cahaya, sedangkan relativitas umum, teori ruang-waktu lengkung, menghapuskan ruang waktu mutlak juga dalam peranan Newtonian-nya mengenai standar ada dimana-mana dan tidak dapat dipengaruhi dari gerak seragam atau diam. Anehnya, dan tidak secara terencana tetapi agak sebagai satu hasil sampingan yang tidak dapat dihindarkan, teori Einstein juga menghapuskan konsep waktu mutlak Newton.
waktu dari teori ini. Maka seperti yang akan dilihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup Galilean, relativitas khusus memiliki relativitas dari grup Poincaré (atau grup Lorentz), relativitas umum memiliki relativitas grup lengkap transformasi ruang-waktu. Dan berbagai ilmu kosmologi memiliki relativitas simetri yang bermacam-macam dengan skala besar alam semesta yang dipercaya. Bahkan suatu teori yang hanya berlaku pada ruang Euclidean mutlak, memberikan bahwa secara fisik homogen dan isotropik, akan memiliki relativitas, yang dinamakan grup rotasi dan translasi. (Wolfgang Rindler, 2006)
2.2.1 Hukum Newton Dan Kerangka Inersial
Ketika menggambarkan fenomena fisika di bumi, biasanya digunakan sistem koordinat dengan titik asal pada pusat bumi. Tetapi, sistem koordinat ini tidak ideal untuk menggambarkan gerak planet disekitar matahari. Sistem koordinat dengan titik asal pada pusat matahari lebih natural. Karena matahari bergerak sekitar pusat galaksi, tidak ada yang spesial tentang sistem koordinat dengan titik asal pada pusat matahari.
Kerangka acuan fundamental Newton disebut ‘ruang mutlak’. Sifat geometri dari ruang ini diberikan oleh geometri Euclidean biasa. Ruang ini dapat didekati oleh sistem koordinat kartesian. Kerangka acuan non-rotasi yang diam, atau yang bergerak secara seragam dalam ruang mutlak disebut kerangka acuan Galilean. Dengan memilih titik asal dan orientasi, sistem telah ditetapkan. Newton juga mengenalkan waktu universal yang berdetik pada laju yang sama pada semua posisi dalam ruang. (Grøn Ø., Hervik S., 2007)
Relatif terhadap kerangka acuan Galillean, semua mekanika berkelakuan berdasarkan tiga hukum Newton:
(i) Partikel bebas bergerak dengan vektor kecepatan konstan.
� = ��
dengan r adalah vektor posisi.
(ii) Vektor gaya pada suatu partikel sama dengan hasil kali massanya dengan vektor percepatan : F = m.a
(iii) Gaya dari aksi dan reaksi adalah sama dan berlawanan; sebagai contoh, jika partikel A memberikan gaya F pada partikel B, maka B memberikan suatu gaya –F pada A.
Hukum fisika biasanya dinyatakan relatif terhadap kerangka acuan, yang mengijinkan kuantitas fisika seperti kecepatan, medan listrik dan lain-lain, untuk didefinisikan. Diantara kerangka yang lebih disukai adalah kerangka tegar yang inersial. Selanjutnya hukum Newton diaplikasikan didalamnya.
Hukum pertama Newton menyajikan untuk memilih kerangka inersial di antara kerangka tegar : kerangka tegar disebut kerangka inersial jika partikel bebas bergerak tanpa percepatan relatif terhadapnya. Dan selama kehadirannya, hukum Newton digunakan secara sama dalam semua kerangka inersial. Bagaimanapun, Newton mempostulatkan keberadaan dari ruang mutlak dimana dia berpikir pusat massa dari sistem tata surya adalah dalam keaadaan diam dan baginya, ini adalah daerah utama untuk mekanikanya. Bahwa hukum-hukum yang secara sama sah dalam semua kerangka acuan lain yang bergerak secara seragam terhadap ruang mutlak (kerangka inersial) adalah teorema yang menarik baginya. (Wolfgang Rindler, 2006)
2.2.2 Relativitas Newton
kecepatan konstan dalam �′, dapat dilihat bahwa semua partikel bebas dalam S bergerak secara seragam dalam �′, yang oleh karena itu juga inersial. Dengan kata lain, hanya kerangka yang bergerak secara seragam relatif ke S yang dapat menjadi inersial. Untuk titik tetap dalam setiap kerangka inersial adalah partikel bebas potensial, sehingga semuanya harus bergerak secara seragam relatif terhadap S.
S v
(x,y,z,t) (x’,y’,z’,t’)
Y’
X’ y
x
x’ vt
x
S’
z Z’
O O’
Gambar 2.1 Kerangka S′ Bergerak dengan Kecepatan Konstan Terhadap Kerangka S. (Ronald Gautreau, 2002)
Dalam transformasi koordinat Galilean, hubungan antara pengukuran (�,�,�,�)
milik O dengan pengukuran (�′,�′,�′,�′) milik O’ untuk sebuah kejadian tertentu dipeoleh dengan mengkaji gambar (2.1) diatas adalah :
�′= � − �� ; �= �′ ; �′= � ����= �′ (2.7)
Dalam mekanika Newton, dianggap bahwa massa inersial dari benda tidak bergantung pada kecepatan benda. Maka massa benda di S sama seperti di �′. Sehingga gaya �′, diukur dalam �′ adalah
�′= ���′ ��′ = �
��
�� =� (2.8)
Oleh karena itu, gaya di �′ sama seperti di S. Hasil ini mungkin digambarkan dengan mengatakan bahwa hukum kedua Newton invarian dibawah transformasi Galliean; yaitu ditulis dalam cara yang sama dalam setiap kerangka acuan Galilean (inersial). Dengan kata lain, prinsip relatvitas Newtonin (Galilean) menyatakan bahwa ‘setiap sistem mekanika akan berkelakuan dalam cara yang sama dalam semua kerangka Galilean (inersial)’. (Grøn Ø., Hervik S., 2007)
2.3 Teori Relativitas Umum Einstein
Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada sistem pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan gerak sistem akan memiliki bentuk yang tetap (tidak berubah) di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat kovarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.
Teori relativitas umum adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang waktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori yang indah memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematika berupa analisis tensor. Karena itu akan disajikan analisis tensor sebagai jembatan untuk memahami teori relativitas umum.
2.3.1 Analisis Tensor
Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan besaran vektor seperti halnya vektor adalah perluasan besaran skalar. Yang terakhir disebut ini adalah besaran yang hanya ditentukan oleh angkanya saja, seperti harga barang, ukuran panjang, suhu dan lain-lain. Sedangkan vektor adalah besaran yang selain ditentukan oleh besar (angkanya) dan juga oleh arahnya. Misalnya kecepatan, kekuatan tarik, gaya, dan lain-lain. Sebagai contoh bila kita mengatakan tiupan angin yang berkecepatan sepuluh kilometer per jam, maka kita harus menyebut pula angin itu bertiup dari mana kemana, misalnya dari arah barat ke timur. Jadi faktor arah juga harus disertakan untuk melengkapi pernyataan kecepatan. Begitu juga dengan gaya, kita harus menyebut pula kemana arah dorongannya. Sedangkan tensor lebih luas dari vektor, yaitu besaran yang selain ditentukan oleh besar (angkanya) dan arahnya juga ditentukan oleh sejumlah faktor lain.
didalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat kovarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelah sistem fisis. Didalam analisis tensor ada tiga indeks yang digunakan, yang jika semua indeks berada diatas disebut dengan tensor kontravarian, sebaliknya jika semua indeks berada dibawah disebut dengan tensor kovarian dan apabila indeks berada diatas dan dibawah disebut dengan tensor campuran. Jumlah indeks menyatakan rank dari tensor.
Teori Relativitas Umum (TRU) merupakan teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang waktu dan jagad raya. Teori ini merupakan salah satu teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis tensor, karena itulah sangat dibutuhkan analisis tensor sebagai jembatan untuk memahami teori relativitas umum. Namun demikian, tensor juga dapat dibedakan berdasarkan hukum transformasi yang dimilikinya yaitu :
1. Vektor Kontravarian
Fungsi �� dalam sistem koordinat (�1,�2, … ,��) disebut vektor kontravarian jika pada suatu transformasi koordinat �� → ��, sehingga fungsi �� akan ditransformasikan menjadi
��→ ��� =����� ����
� , �= 1, 2, … ,� �
�=1
dimana ��� merupakan fungsi dalam sistem koordinat (�1, ��2, … ,���).
��� =���� ����
� (2.9)
2. Vektor Kovarian
Fungsi �� dalam sistem koordinat (�1,�2, … ,��) disebut vektor kovarian jika pada suatu transformasi koordinat �� → ��, sehingga fungsi �� akan ditransformasikan menjadi
�� → ��� = �������
��� , �= 1, 2, … ,� �
�=1
dimana ��� merupakan fungsi dalam sistem koordinat (��1, ��2, … ,���).
��� =������
��� (2.10)
disebut komponen vektor kovarian atau tensor kovarian rank satu atau order satu.
3. Invarian
Suatu fungsi �= � (�1,�2, … ,��) disebut invarian jika pada suatu transformasi koordinat �� → ��, sehingga fungsi � akan ditransformasikan menjadi
� (��) → �� (���) = � (��) (2.11)
4. Tensor Campuran
Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovarian kuat maupun kontravarian kuat. Fungsi ��� dalam sistem koordinat (�1,�2, … ,��) disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravarian rank satu dan komponen kovarian rank satu. Jika pada suatu transformasi koordinat �� → ��, maka fungsi ��� ditransformasikan menjadi
��� → ���� = � ������� �
��� ���� �
�=1 �
�=1
dimana ����merupakan fungsi dalam sistem koordinat (��1,��2, … ,���). Diperoleh
���� = ������ �
��� ���� ��
� (2.12)
yang menyatakan komponen tensor campuran.
Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan bahwa ��� juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan transformasi berikut
�̅�� = ������ �
��� ���� ��
�
�̅��= ������ �
���
����
�̅�� = ��� (2.13)
dimana ���= {01, , �≠��=� dan �̅�� = {10, , ��≠=��. Jadi diketahui bahwa ��� merupakan tensor campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa dinamakan dengan delta kronecker.
2.3.1.1 Transformasi Koordinat
Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus (x, y, z) dari sebarang titik dinyatakan sebagai fungsi-fungsi sehingga
�= �(�1,�2,�3), �=�(�1,�2,�3), �= �(�1,�2,�3) (2.14)
Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk �1,�2,�3 dalam �,�,�, yakni
Fungsi-fungsi dalam persamaan (2.14) dan (2.15) dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sehingga kaitan (�,�,�) dengan (�1,�2,�3) adalah tunggal.
Misalkan diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus (�,�,�)
maka dari persamaan (2.14) dapat diasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat
(�1,�2,�3) yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan persamaan (2.14) dan (2.15) mendefenisikan suatu transformasi koordinat.
y
x z
Gambar 2.2 Kurva-kurva dan garis koordinat. (J. D. Anand, 2003)
Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dan membahas sifat-sifat transformasi daripada ruang tersebut.
Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif, adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur,
� = (�1,�2, … ,��) (2.16)
kurva �1
P
kurva �2 kurva �3
�3=�3
�1=�1
dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu. Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x yang memenuhi n buah persamaan, yaitu �� = ��(�), dimana t adalah parameter dan �= 1, 2, … ,�. Jika �� dianggap sebagai subruang dari �� (n < N) maka �� ditunjukkan oleh
��= ����1,�2,… ,��� dengan ��,�= 1, 2, … ,� menyatakan n buah parameter dan
�= 1, 2, … ,�.
Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu
�1,�2,�3,�4 yang membentuk sistem koordinat di ��. Setiap �̅= (�1,�2, … ,��)
menyatakan titik pada ruang ��. Misalkan ada transformasi dari suatu sistem koordinat ke sistem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sebagai berikut:
�1′ =�1′(�1,�2,�3,�4)
���′ = ����
dimana �1,�2,�3 adalah konstanta, disebut permukaan-permukaan koordinat, dan setiap pasangan permukaan-permukaan ini berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut kurva-kurva dan garis-garis koordinat (Gambar 2.2). Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegak lurus, maka sistem koordinatnya disebut ortogonal. Kurva-kurva koordinat �1,�2����3 dari sistem kurvalinear ini analog dengan sumbu-sumbu koordinat (�,�,�) dalam sistem koordinat tegak lurus.
2.3.1.2 Vektor Satuan dalam Sistem Koordinat Kurvalinier
Misalkan �= ���+���+�̂� adalah vektor kedudukan dari sebuah titik P. maka persamaan
masing-masing adalah vektor singgung terhadap kurva dengan koordinat: �1,�2,�3. Maka vektor-vektor satuan dalam masing-masing arah koordinat kurvalinier ini adalah:
dengan
ℎ1 = �����
1�, ℎ2 =� ��
��2� , ℎ3 =� �� ��3�
adalah panjang vektor-vektor singgung yang bersangkutan atau disebut juga sebagai faktor skala.
Uraian di atas memberikan bentuk pernyataan untuk sistem koordinat ortogonal yang ditinjau dengan berlaku syarat:
ê1. ê2 = ê2. ê3 = ê3. ê1 = 0 (2.20)
yang ketiga vektor satuan ê1, ê2, ê3 ini membentuk himpunan vektor satuan koordinat kurvalinier (Gambar 2.3). Dalam hal seperti ini penggunaan sistem koordinat kurvalinier yang sesuai seperti koordinat bola ternyata mengalihkan persoalan menjadi sederhana untuk ditangani.
2.3.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum
z
y
x
u1
u2 er
eφ
eθ
θ
φ
r
P(r,ө,Ф)
Dari �= �(�1,�2,�3) kita peroleh
Untuk sistem-sistem kurvalinier yang tak ortogonal maka bentuk ��2 tidak akan memiliki bentuk yang sederhana seperti sebelumnya. Tapi secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
��2 = �11��12+�12��1��2+�13��1��3+�21��2��1+�22��22+
�23��2��3+ �31��3��1+�32��3��2+�33��33
dimana komponen ��� pada persamaan merepresentasikan koefisien-koefisien yang muncul dalam perhitungan ��2+��2+��2. Bentuk ��2 dapat juga disederhanakan
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan
��2 = (��
2.3.3 Prinsip Ekuivalensi
Salah satu ciri kerangka inersial adalah suatu partikel diam akan tetap diam bila tidak ada gaya yang bekerja padanya. Biasanya gravitasi dianggap gaya, tetapi gravitasi memiliki sifat yang unik, karena semua partikel dan energi akan terkena gravitasi, dan semua partikel yang memiliki kecepatan awal yang sama akan memiliki lintasan yang sama dalam medan gravitasi, tak bergantung pada susunan internal partikelnya. Untuk gaya-gaya lain seperti gaya-gaya elektromagnetik, interaksi kuat, interaksi lemah beberapa partikel ada yang kena dan ada yang tidak. Misalnya gaya elektromagnetik hanya terkena pada partikel bermuatan.
Pada partikel netral tidak terkena gaya ini, jadi untuk gaya-gaya ini selalu dapat didefinisikan secara eksperimen bagaimana lintasan partikel yang tidak terkena gaya. Tetapi tidak halnya untuk gravitasi, tidak ada partikel untuk membedakan lintasan partikel yang tidak terkena medan gravitasi (karena semua pasti terkena dan tidak ada yang terbedakan). Tetapi ada kerangka dimana partikel-partikel memiliki kecepatan yang seragam. Kerangka ini jatuh bebas dalam medan gravitasi dan semua partikel bebas akan memiliki kecepatan relatif sama terhadapa kerangka ini.
terbedakan (indistinguisable) satu sama lain”. Konsekuensinya adalah bahwa tidak ada lagi kerangka acuan inersial.
2.3.4 Prinsip Kovariansi Umum
Akibat prinsip ekuivalensi massa yang menyebabkan tidak adanya kerangka acuan inersial, maka prinsip relativitas khusus menyatakan bahwa hukum-hukum fisika berlaku sama pada kerangka acuan inersial tidaklah berlaku umum. Oleh karena itu, Einstein merumuskan postulat keduanya yang terkenal dengan nama Prinsip Kovariansi Umum yang menyatakan bahwa,”Semua hukum-hukum fisika berlaku sama pada semua kerangka acuan tanpa kecuali”. Konsekuensinya adalah setiap besaran fisika haruslah dinyatakan dalam bentuk umum dan tidak bergantung pada koordinat dimana ia didefenisikan. Artinya semua besaran fisika harus dinyatakan dalam bentuk tensor. Seperti telah dinyatakan sebelumnya dalam relativitas khusus, hukum-hukum gerak dinyatakan dalam bentuk yang invarian terhadap transformasi Lorentz dengan konsekuensi diperkenalkannya konsep ruang dan waktu dimensi 4 dengan metrik Minkowski. Generalisasinya, teori relativitas umum menyatakan bahwa hukum-hukum fisika harus invarian terhadap transformasi umum dengan konsep ruang-waktu 4 dimensi.
2.3.5 Kelengkungan Ruang-Waktu
persamaan transformasi” yang melukiskan hubungan antara cara-cara pengukuran jarak – juga cara-cara pengukuran waktu – yang menyangkut dua pengamat yang mempunyai kerangka acuan yang berbeda dan berada dalam keadaan bergerak secara lurus, yang saling mendekati.
Di sini didapatkan sebenarnya jarak merupakan sekedar ukuran untuk menentukan ruang, demikianpun dengan transformasi dengan waktu dan hubungannya dengan ruang tidak akan pernah diketahui waktu secara tepat apabila tidak memperhitungkan koordinat ruang dan sebaliknya tidak akan diketahui ruang dari suatu obyek bila tidak memperhitungkan koordinat waktu. Sesungguhnya tidak ada waktu yang bersifat mandiri/mutlak, tidak ada ruang yang terpisah dari waktu atau waktu yang terpisah dari ruang yang ada hanyalah ruang-waktu. Akhirnya mulai saat ini kita harus memandang ruang dan waktu secara kontinum, jalin-menjalin secara tidak terpisahkan yang satu tidak mungkin ada tanpa yang lainnya. Keduanya merupakan satu kesatuan yang menyebabkan timbulnya segenap kenyataan. Dengan demikian waktu, ruang merupakan sekedar matra dari ruang-waktu.
Dari teori relativitas khusus, baik waktu atau ruang adalah bergerak relatif terhadap gerak pengamat dengan interval panjang dan waktu diukur oleh seorang pengamat secara umum tidak sama dengan interval panjang dan waktu yang diukur oleh pengamat yang berbeda. Karena panjang dan waktu relatif dan keduanya bergantung pada gerak relatif pada lintasan yang sama maka perlu untuk menyatakan kembali bahwa ruang berdimensi 3 dan 1 dimensi waktu tidak terpisah, dan lebih dari itu juga keduanya merupakan komponen yang setara dari suatu ruang-waktu 4 dimensi yang tunggal. Untuk menggambarkannya memang sulit tapi kita masih dapat merepresentasikannya secara matematis dengan menggunakan pertimbangan persamaan yang sesuai.
yang ditunjukkan dalam 1 dimensi tidak cukup dan memerlukan 2 dimensi untuk mengilustrasikannya lebih lanjut. Gambar 2.5 menyajikan suatu ruang 2 dimensi dan ilustrasi bagaimana ruang itu dilihat jika dibengkokkan.
(a)
(b)
Gambar 2.4 Ruang 1 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung. (Rinto Anugraha, 2005)
(a) (b)
Gambar 2.5 Ruang 2 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung. (Rinto Anugraha, 2005)
2.4 Asas Kesetaraan
benda tersebut akan berada pada keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan yang arah atau besarnya tetap.
Einstein mengemukakan asas kesetaraan pada tahun 1911 yang mengatakan bahwa: dalam sistem pengamatan yang jatuh bebas dalam gaya berat (sistem ketaklemabaman), hukum fisika tetap berlaku seperti halnya dalam sistem pengamatan tanpa medan gaya berat (Sistem kelembaman) dan bahwa gaya kelembaman (atau khayal) setara dengan gaya berat. Karena gaya kelembaman bergantung pada massa ukuran dan gaya berat bergantung pada massa ukuran berat , maka asas kesetaraan diatas mengungkapkan bahwa kedua jenis massa ini sebenarnya adalah setara, atau lebih tegas lagi sama besar.
2.4.1 Asas kesetaraan dan geodesik ruang waktu lengkung
Asas kesetaraan Einstein dengan demikian mempertegas kembali hasil percobaan Galileo Galilei mengenai peristiwa jatuh bebas, bahwa semua benda bergerak dengan percepatan yang sama dibawah pengaruh gaya berat, yakni percepatan gaya berat, yang sama sekali tidak bergantung pada massanya masing-masing. Jadi dapat kita lihat bahwa gerak benda yang secara geometri dinyatakan oleh geodesik ruang waktu lengkung, padanan fisikanya adalah gerak dibawah pengaruh medan gaya berat. Nah, karena melengkungnya ruang waktu mengakibatkan geodesiknya berupa garis lengkung dan dipihak lain percepatan gaya berat disebabkan oleh gaya berat.
Ketergantungan tensor metrik ini pada titik dalam ruang waktu tidaklah dipilih seenaknya, melainkan harus memenuhi suatu aturan atau persamaan medan Einstein yang sangat terkenal dalam teori kerelatifan umumnya. Persamaan ini adalah merupakan suatu persamaan tensor yang menyatakan hubungan antara penyebaran materi disuatu pihak dan kelengkungan ruang waktu yang dinyatakan melalui tensor Riemannya dipihak lain. Jadi didalam persamaan medan Einstein memperlihatkan bahwa setiap benda bermassa mengakibatkan ruang waktu disekitarnya melengkung, yang didalam fisikanya dinyatakan bahwa disekitar benda bermassa akan timbul medan gaya berat atau gravitasi. (Hans. J. W, 1978 )
2.4.2 Metrik Schwarzschild
Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein secara eksak pada tahun 1916, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik � dari kuadrat metriknya ��2 ruang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein. Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Schwarzschild juga mempunyai hubungan yang sangat erat dengan teori lubang hitam. Lubang hitam adalah sebuah pemusat gaya
teoritis, lubang hitam dapat memliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati.
Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 ole bernama umum dari Pada saat ini banyak astronom seperti charis yang percaya bahwa hampir semua galaksi dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaks pada tahun 1967 yang memberikan nama Lubang Hitam sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam, akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertarik/tersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh jutaan lubang hitam.
Lubang Hitam tercipta ketika suatu objek tidak dapat bertahan dari kekuatan tekana pernah menjadi lubang hitam. Tekanan gravitasi pada matahari dan bumi tidak mencukupi untuk melampaui kekuatan atom da melawan tekanan gravitasi. Tetapi sebaliknya untuk objek yang bermassa sangat besar, tekanan gravitasilah yang menang.
Kita dapat mengambil salah satu contoh bayangka hitam dengan massa yang sama. Kegelapan akan menyelimuti ada pancaran cahaya dari lubang hitam, tetapi bumi akan tetap mengelilingi lubang hitam itu dengan jarak dan kecepatan yang sama dengan saat ini dan tidak terhisap masuk kedalamnya. Bahaya akan mengancam hanya jika bumi kita berjarak 10 mil dari lubang hitam, hal ini masih jauh dari kenyataan bahwa bumi berjarak 93 juta mil dari matahari. Lubang hitam juga dapat bertambah massanya dengan cara bertubrukan dengan lubang hitam yang lain sehingga menjadi satu lubang hitam yang lebih besar.
2.4.2.1 Teori Relativitas Umum dalam Metrik Schwarzschild
Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :
�µ�−
1
2�µ�� =− � 8��
�4 � �µ� (2.24)
Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala alam. Pertama kali akan diturunkan solusi persaam gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi berupa tiga dimensi koordinat ruang polar ( r ,� ,� ) dan satu dimensi koordinat waktu (t), yang dikenal sebagai solusi Schwarzschild.
Berikut ini akan diturunkan metrik yang mendiskripsikan medan gravitasi isotropik statik. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang waktu 4 dimensi ( 3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu ) akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Dalam koordinat bola, 3 koordinatnya adalah
�� = (�1 ,�2 ,�3) = ( r ,� ,� ) (2.25)
Metrik ruang waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh
Dalam mengikuti penulisan Weinberg, nilai c sementara diisikan sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi
��2 = −��2+��2+�2��2+�2���2���2 (2.27)
Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini untuk komponen ��� dan ��� hanya merupakan fungsi radial �. Bentuk metriknya menjadi
��2 =−�(�)��2+�(�)��2+�2(��2+���2���2) (2.28)
Dimana metrik diatas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi dilenyapkan. Dari metrik diatas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah
��� = −�(�), ���= �(�), ��� ,��� = �2, ��� =�2���2� (2.29)
Mengingat �µ� bersifat diagonal, komponen tensor metrik kontravarian bernilai
��� = − 1 �(�) ,�
�� = 1
�(�) ,�
�� = 1
�2 ,��� =
1
�2���2� (2.30)
Selanjutnya determinan matriks yang menyajikan komponen tensor metrik adalah g yang bernilai
�=−�(�)�(�) �4���2� (2.31)
2.4.2.2 Medan gravitasi dalam ruang waktu Schwarzschild like
��2 = �(�)�2��2− �(�)−1��2− �2��2− �2���2���2 (2.32)
Dimana kita tau
�(�) =�1−���� (2.33)
Untuk metrik Schwarzschild, menggambarkan ruang waktu disekitar sebuah sumber massa yang statik, yang tak berotasi dan tak bermuatan. Misalkan sebuah bintang masif yang tak berotasi dan tak bermuatan, sebagai salah satu contoh matahari. Maka untuk persaamaan metrik Reissner-Nordstrom adalah
�(�) =�1−�� +� ��22� (2.34)
Persaaman metrik diatas menggambarkan ruang waktu disekitar sebuah sumber massa bermuatan yang statik, tak berotasi. Maka untuk persamaan metrik De-Sitter adalah
�(�) =�1−Ʌ3�2� (2.35)
Dan untuk persamaan metrik Schwarzschild-De Sitter adalah
�(�) =�1−���−Ʌ3�2� (2.36)
Sedangkan persamaan sebuah metrik untuk Reissner-Nordstrom-De Sitter adalah
�(�) =�1−�� +� ��22−Ʌ 3�
2� (2.37)
Sedangkan ruang waktu yang menggambarkan disekitar sebuah sumber massa bermuatan yang statik, dan tak berotasi adalah
�� = 2���2 dan �2 =
��2
4��0�4 (2.38)
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Diagram Alir Penelitian
Berikut adalah diagram alir penelitian transformasi metrik Schwarzschild dalam sistem dua koordinat.
Gambar 3.1 Diagram alir penelitian transformasi metrik Schwarzschild Persamaan Metrik Schwarzschild
Transformasi Koordinat
Pendiferensialan Persamaan Koordinat
Dikuadrat jumlahkan Persamaan Diferensial
Transformasi koordinat, Diferensial Persamaan koordinat, Kuadrat jumlah Persamaan Diferensial disubstitusikan ke persamaan Metrik Schwarzschild
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konsekuensi Prinsip Kesetaraan
Prinsip kesetaraan tersebut membawa konsekuensi pada kesamaan antara massa gravitasi (mG) dan massa inersial (mI ) (Wospakrik, 1987). Misalnya sebuah benda bermassa m jatuh di dalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar g. Dengan memilih koordinat (z, t), menurut Newton persamaan gerak benda tersebut adalah
�� � 2�
��2 = ��� (4.1)
Melalui transformasi
�′= � −1 2��
2����′ =� (4.2)
Pada koordinat (�′,�′), persamaan (4.2) diatas menjadi
�� � 2�′
��′2 +�� = �� � (4.3)
Karena massa inersial sama dengan massa gravitasi maka,
�� � 2�′
Jadi kita dapat memilih kerangka acuan inersial (z',t') untuk menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (z,t) . Atau dengan kata lain, kerangka (z,t) adalah kerangka dipercepat dengan percepatan sebesar g terhadap kerangka inersial (z',t') pada daerah tanpa medan gravitasi.
Salah satu aplikasi prinsip ini adalah keadaan orang yang melemparkan sebuah benda yang berada dalam lift yang putus talinya. Ketika lift tersebut jatuh bebas (demikian pula dengan orang tersebut), orang tersebut di kerangka lokalnya akan melihat bahwa benda yang ia lepaskan akan diam (inersial) terhadap dirinya. Seorang pengamat dalam lift tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan rehat (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap rehat. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas di dalam medan gravitasi. Hal ini membawa kita pada asas kovariansi umum yang berbunyi, “Hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sebarang pemilihan transformasi koordinat”.
Implikasi dari penerapan kedua asas ini akan menuntun kita pada beberapa ramalan yang mengubah cara pandang kita tentang ruang waktu. Dengan konsep yang baru, Teori Relativitas Umum benar-benar memberikan pandangan yang baru sama sekali mengenai ruang-waktu. Konsep bahwa ruang waktu dapat melengkung jika di dalamnya terdapat materi massif memberikan beberapa implikasi baru. Salah satunya adalah jika cahaya bintang melewati sebuah benda langit massif seperti matahari, maka ramalan teori relativitas umum adalah cahaya bintang tersebut akan dibelokan di sekitar matahari tersebut. Membeloknya cahaya bintang tersebut bukan disebabkan oleh tertariknya cahaya bintang karena pengaruh gaya gravitasi matahari, melainkan ruang waktu di sekitar matahari tersebut melengkung.
dinyatakan dalam ruang spatial berkoordinat bola. Dari ruang berkoordinat bola tersebut dilakukan transformasi ke dalam koordinat kartesan dengan titik awal di koordinat (0,0,R) .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ungkapan metrik Schwarzschild tersebut mengandung dua suku : (1) suku pertama berkorespondensi dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat beraturan dalam ruang- waktu datar (flat space- time) (2) suku kedua mengandung unsur kelengkungan (curvature) yang dihubungkan dengan penyimpangan geodesik.
4.2TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD
Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk partikel simetri bola statik, tak berotasi, tak bermuatan diberikan dalam bentuk metrik Schwarzschild. Metrik tersebut dalam koordinat−4 �� =(ct, r ,� ,� ) dinyatakan dalam bentuk
�2��2 = − �1−2�
� � �2��2+�1−
2�
� � −1
��2+�2(��2+���2���2) (4.5)
Dengan
�=��
�2 (4.6)
Y Z
X
Ф
ө
r (r,ө,Ф) R
Gambar 4.1 Koordinat Bola
�= ��������� ,�= �sin� ���� ,�=����� − � (4.7)
Persamaan (4.7) diatas dapat ditulis menjadi
�= �(�2 +�2) + (�+�)2 (4.8)
Dengan mengambil diferensialnya, diperoleh
��= �
� ��+ � � ��+
�+�
� �� (4.9)
Yang jika dikuadratkan menghasilkan
��2 = �2��2+�2��2+(�+�)2��2+2������+2�(�+�)����+2�(�+�)����
�2+�2+(�+�)2 (4.10)
Dengan mendiferensialkan persamaan (4.7) maka diperoleh
�� =����������+����������� − �����������
��= ����������+�����������+����������� (4.11)
��= ������ − �������
��2+��2+��2 − ��2 =�2(��2+���2���2) (4.12)
Dengan mengisikan pers. (4.8), (4.10) dan (4.12) ke dalam pers. (4.5) diperoleh
−�2��2 =− �1− 2�
Jika pada pecahan dalam bentuk di atas masing-masing pembilang dan penyebut dibagi dengan R, maka bentuk di atas dapat dituliskan menjadi
Selanjutnya ditinjau daerah kecil (lokal) di sekitar pusat serta diasumsikan bahwa R cukup besar sehingga |�/�|, |�/�| dan |�/�| << 1. Namun dalam hal ini tidak diasumsikan m/R << 1 sehingga tidak digunakan pendekatan medan lemah. Dengan mengabaikan suku orde kedua dalam |�/�|, |�/�| dan |�/�| pada pers. (4.14), diperoleh ungkapan orde pertama
Dari metrik (4.15) di atas, tampak bahwa metrik tersebut mengandung dua bagian yaitu bagian tensor metrik diagonal yang nantinya akan ditunjukkan sama dengan elemen garis kerangka dipercepat seragam.
Serta bagian tensor metrik tak diagonal yang menyumbang pada kelengkungan.
4�
Ditinjau kerangka dipercepat (accelerating frame) untuk dilakukan perbandingan dengan pendekatan pertama metrik Schwarzschild (4.15). Untuk tujuan tersebut, ada dua persyaratan yang harus dipenuhi :
1. Sebuah partikel bebas di kerangka dipercepat harus memiliki percepatan yang sama dengan gerak partikel secara radial pada ruji R pada metrik Schwarzschild.
Untuk gerakan murni radial dalam metrik Schwarzschild, percepatan sebuah partikel bebas pada ruji r = R diberikan sebagai
�2�
untuk 0 < R < ∞ serta tak bergantung pada kecepatan partikel. Oleh karena itu, dengan sumbu z sebagai arah percepatan, sebuah partikel yang bergerak bebas sepanjang sumbu z dalam kerangka dipercepat akan memiliki percepatan
�2� ��2 =−
��2
�2 (4.17)
Dan tak gayut kecepatan partikel.
Misalkan sebuah metrik memiliki bentuk
−�2��2 =−�2(�)�2��2 +��2+��2+�2(�)��2 (4.18)
dengan fungsi �(z) dan � (z) ditentukan oleh persyaratan pada pers. (4.17). Pemilihan bentuk (4.18) ini tentu saja sedemikian rupa agar dapat kita dapat memanfaatkan prinsip kesetaraan untuk menghubungkan kedua metrik. Metrik (4.18) dapat dituliskan menjadi
��2 = �2(�)��2 − �−2(��2+��2+�2(�)��2) (4.19)
Ditinjau gerakan partikel bebas yang memenuhi persamaan geodesik
2 �
Partikel yang bergerak jatuh bebas ini adalah partikel uji, dengan massa yang amat kecil sehingga efeknya pada kelengkungan ruang akibat keberadaannya dapat diabaikan. Ditinjau gerakan pada sumbu z (dx = dy = 0), sehingga metrik (4.18) menjadi
yang jika masing-masing ruas dibagi dengan ��2 kemudian diatur, dapat dituliskan
Dengan komponen tensor metrik dari persamaan (4.21) adalah
��� =�11 =�2 dan ��� =�22= −�−2�2
Dengan menggunakan persamaan (4.20), sehingga persamaan geodesik untuk z dapat dihitung. Maka persamaan geodesik untuk ��� adalah
2 �
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.22) ke dalam (4.23) akhirnya diperoleh
�
Dengan menyamakan persamaan (4.17) dan (4.24), diperoleh
−���22 =− �
Dan dengan mengasumsikan bahwa �1
�
1
Dengan mengintegralkan persamaan terakhir diatas
� ��� =��
dengan � adalah tetapan integrasi. Dengan mensubstitusikan persamaan (4.29) ke dalam persamaan (4.19) diperoleh metrik
Selanjutnya dipilih untuk tetapan integrasi � adalah
�= 1−2�
Sehingga persamaan (4.30) menjadi −�2��2 =− �1−2�
� + 2��
�2� �2��2+��2+��2+�1−
2�
� +
2�� �2 �
−1
��2 (4.32)
Jika kita lihat, tampak bahwa metrik (4.32) di atas sama dengan bagian diagonal dari metrik (4.15). Ini menunjukkan bahwa bagian diagonal metrik (4.15) berkorespondensi dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat beraturan dalam ruang- waktu datar seperti yang terdapat pada metrik (4.32). Adapun bagian tak diagonal dari metrik (4.15) yaitu suku
4�
� �1−
2�
� +
2��
�2 � −1
�� ����� +�
� ����� (4.33)
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Teori Relativitas Umum Einstein memandang konsep metrik Schwarzschild dan massa gravitasi sebagai suatu kesatuan.
2. Pada prinsip kesetaraan telah disebutkan adanya konsekuensi prinsip kesetaraan yaitu kesamaan antara massa gravitasi dengan massa inersial. Dari prinsip inilah disinggung hubungan antara efek lokal gravitasi dari metrik Schwarzschild pada ruang lengkung yang ditransformasi dari koordinat spasial polar ke koordinat tegak lurus dengan kerangka dipercepat seragam dalam ruang waktu datar.
3. Hubungan antara keduanya adalah dapat dipilih suatu metrik sebagai solusi persamaan geodesik pada kerangka dipercepat seragam sedemikian sehingga memiliki bentuk yang sama pada bagian diagonal metrik transformasi Schwarzschild di koordinat XYZ. Namun demikian, bagian tak diagonal pada metrik Schwarzschild tersebut tidak memiliki padanan pada metrik kerangka dipercepat. Ini menunjukkan bahwa bagian tak diagonal tersebut memiliki kontribusi pada penyimpangan geodesik.
kecepatan konstan c namun merupakan fungsi z. Kedua metrik akan kembali ke metrik Minkowski jika m = 0.
5. Tensor metrik Schwarzschild membuktikan kebenaran Teori Relativitas Umum dan adanya kesetaraan antara massa gravitasi dan massa inersial yang ditujukan oleh suku pertama dan kedua dari hasil transformasi pada persamaan (4-32) dan (4-33).
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Anand, J. D. 2003. Mathematical Physics. 1�ℎ Editon. Printed In India : Pvt Ltd and Printed at H.S. Offset Printers.
Anugraha, R. 2005. Pengantar Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta: Gajah Mada University Press.
Arya, A.P. 1990. Introduction to Classical Mechanics. New Jersey: Prentice-Hall.
Dirac, P. A. M. 2008. Teori Relativitas Umum. Terjemahan Miftahul Hadi. USA : Florida State University.
Frizha, M. 2012. Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol Christoffel Jenis I dan II. Skiripsi. Medan : Universitas Sumatera Utara.
Gautreau, Ronald. 2002. Fisika Modern. Edisi Kedua. Jakarta : Erlangga.
Grøn, ø. and Hervik, S. 2007. Einstein’s General Theory of Relativity. New York: Springer.
Hasan, Nailul. 2005. Osilasi Neutrino dalam Medan Gravitasi. Jurnal Pengajaran Fisika Bumi.
Krane, Kenneth S. 1983. Modern Physics. USA: John Wiley & Sons.
Lawden, D. F, 1982, An Introduction to Tensor, Relativity and Cosmology, 3-rd Edition, John Wiley and Sons.Ltd., New York.
Ohanian, H.C. 1976. Gravitation and Space Time. New York: W.W. Norton & Company. Ramadhan S. D. 2005. Pendekatan Geometri Differensial dalam Teori Relativitas Umum
dan Solusi 2 Soliton Persamaan Medan Einstein Axisimetrik. Skripsi. Depok : UI.
Rindler, W. 2006. Relativity: Special, General and Cosmological. Second Edition. New York: Oxford University Press.
Russel, B. 2006. Teori Relativitas Einstein. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
Spiegel, Murray R. 1991. Analisis Vektor dan Suatu Pengantar Analisis Tensor. Terjemahan Hans J. Wospakrik. Jakarta : Erlangga.
Weinberg, Steven. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Aplications of The General Theory Relativity. USA: John Wiley & Sons.
Wospakrik, Hans J. 1978. Berkenalan dengan Teori Kerelatifan Umum Einstein & Biografi Albert Einstein. Bandung: ITB.
LAMPIRAN A
(Beberapa Besaran Fisika, Faktor konversi dan Alfabet Yunani)
Beberapa Tetapan dan Besaran Fisika
Massa matahari = 1,99 × 1030 kg Jari-jari matahari = 6,9599 × 105 km Massa bumi = 5,98 × 1024 kg Kecepatan cahaya = 3 × 108 m/s
Konstanta gravitasi = 6,67 × 10−11 m3/s2kg
Alfabet Yunani
Alpha Α � Nu Ν �
Beta Β � Xi Ξ �
Gamma Γ � Omicron Ο �
Delta Δ � Pi Π �
Epsilon Ε � Rho Ρ �
Zeta Ζ � Sigma Σ �
Eta Η � Tau Τ �
Theta Θ � Upsilon Υ �
Iota Ι � phi Φ �,�
Kappa Κ � Chi Χ �
Lambda Λ � Psi Ψ �
LAMPIRAN B
PENYELESAIAN METRIK SCHWARZSCHILD
Penyelesaian Schwarzschild
Hubungan affine (affine connection) atau lambang Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula :
Dengan rumus diatas dan metrik yang diberikan oleh persamaan (2.29) dan (2.30), komponen lambang Christoffel yang tak lenyap bernilai
Lebih lanjut, dibutuhkan besaran tensor Ricci yang dirumuskan sebagai
Dari lambang-lambang Christoffel diatas, komponen-komponen tensor Ricci diberikan sebagai
Pada persamaan-persamaan diatas, tanda aksen berarti turunan/derivative ke r. Dari hasil diatas, komponen ���,���,������������ lenyap , serta ��� =������2� yang menunjukkan konsekuensi dari invarinasi terhadap transformasi rotasi pada metrik tersebut. Sementara itu ��� lenyap akibat konsekuensi adanya invariasni bentuk metrik ketika dilakukan transformasi pembalikan waktu � → −�.
Dengan menerapkan persamaan ���= 0, maka persamaan diatas menjadi
�′ � = −
�′
� (�. 5)
Atau
�(�)�(�) =������� (�. 6)
Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk � → ∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali kebentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola, yang berarti
lim
�→∞�(�) = lim�→∞�(�) = 1 (�. 7)
Dengan syarat batas ini hubungan antara A(r) dan B(r) dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk
�(�) = 1
�(�) (�. 8)
Adapun komponen tensor Ricci yang lain pada persamaan ��������� dapat dituliskan menjadi
��� = −1 +�′(�) +�(�) (�. 9)
Dan
��� =� ′′
2�+
�′ �� =
���
2�� (�. 10)
Yang dengan mengingat bahwa ��� = 0 maka
��′+�= �
��(��) = 1 (�. 11)
Solusi persamaan diferensial diatas adalah
