KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZCHILD DALAM DUA KOORDINAT

Sabtu, 19 November 2016

Bale Sawala Kampus Universitas Padjadjaran, Jatinangor

KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZCHILD DALAM DUA KOORDINAT

ALMIZAN RIDHO ^* , TUA RAJA SIMBOLON, SYAHRUL HUMAIDI, SABAM PARSIHOLAN SIMBOLON, WIDYA NAZRI AFRIDA, GIBSON HUTAGALUNG, RUSSELL ONG

Prodi Fisika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara Medan Center for Theoretical and Mathematical Physics

Jl.Bioteknologi No.1, Kampus USU, Medan 20155

Abstrak. Telah dilakukan kajian teoritis mengenai transformasi metrik Schwarzchild dalam sistem dua koordinat, pengkajian transformasi metrik Schwarzchild dalam sistem dua koordinat ini, yaitu koordinat kartesian dan ruang – waktu dipercepat seragam dalam ruang waktu datar serta efek lokal suatu medan gravitasi pada ruang lengkung. Medan gravitasi pada ruang lengkung ini dipilih medan Schwarzchild yang biasanya dinyatakan dalam ruang spatial bola. Melalui transformasi tersebut, metriknya mengandung dua suku : (1) suku yang berhubungan dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat seragam, dan (2) suku yang berhubungan dengan kelengkungan serta berkaitan dengan penyimpangan geodesik yang merupakan efek dari kelengkungan ruang waktu. Sehingga dari hasil yang diperoleh memperlihatkan adanya kesamaan antara massa gravitasi dan massa inersial yang kaitannya dengan teori relativitas umum dapat menjelaskan efek lokal dalam suatu medan gravitasi.

Kata kunci :transformasi, koordinat, metrik Schwarzschild

Abstract. Theoretical studies have been made regarding the transformation of the Schwarzschild metric in two coordinates, the Schwarzschild metric transformation study in two coordinates: coordinates Cartesian and one kind accelerated time-space in flat time spaces as well as local effects of a gravitational field in curved space. The gravitational field in curved space is chosen the Schwarzschild field which is usually expressed in spatial spherical space. Through these transformations, their metrics contain two parts: (1) the part whichis associated with line elements within the framework of one kind accelerated, and (2) the part which is associated with curvature as well as geodesic deviation that are the effect fromcurvature of space time.

Theobtained results show us that there are similarities between inertial mass and gravitational mass that related to the theory of general relativity that can explain local effect in the gravitational field.

Keywords: Transformation, coordinates, Schwarzschild’s metric

1. Pendahuluan

Salah satu fondasi teori relativitas umum adalah prinsip kesetaraan (principle of equivalence). Ohanian (1977) menyatakan bahwa ada dua jenis prinsip kesetaraan.

Jenis pertama adalah prinsip kesetaraan lemah (weak principle of equivalence)

yang menyatakan bahwa dalam suatu medan gravitasi, seluruh partikel uji dengan

kecepatan awal yang sama akan jatuh dengan percepatan yang sama. Jenis yang

kedua adalah prinsip kesetaraan kuat (strong principle of equivalence) yang

berbunyi, dalam seluruh laboratorium yang jatuh bebas serta tak berotasi, hasil-

hasil dari sembarang percobaan lokal adalah sama, tidak tergantung dari medan gravitasi yang berada di sekitar laboratorium tersebut [1]. Prinsip kesetaraan tersebut membawa konsekuensi pada kesamaan antara massa gravitasi dan massa inersial[2].

Salah satu aplikasi prinsip ini adalah keadaan orang yang melemparkan sebuah benda yang berada dalam lift yang putus talinya. Ketika lift tersebut jatuh bebas (demikian pula dengan orang tersebut), orang tersebut di kerangka lokalnya akan melihat bahwa benda yang ia lepaskan akan diam (inersial) terhadap dirinya.

Seorang pengamat dalam lift tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan rehat (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap rehat.

Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas di dalam medan gravitasi. Hal ini membawa kita pada asas kovariansi umum yang berbunyi,

“Hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sembarang pemilihan transformasi koordinat”[3].

Defenisi yang lebih modern dan positif dari relativitas telah disusun dari teori relativitas yang sebenarnya. Berdasarkan pandangan ini, relativitas dari setiap teori fisika menggambarkan dirinya sendiri dalam grup transformasi yang menentukan hukum teori invariant dan oleh karena itu menggambarkan kesimetrian, sebagai contoh ruang dan waktu dari teori ini. Maka seperti yang akan dilihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup Galilean, relativitas khusus memiliki relativitas dari grup Poincaré (atau grup Lorentz), relativitas umum memiliki relativitas grup lengkap transformasi ruang-waktu. Dan berbagai ilmu kosmologi memiliki relativitas simetri yang bermacam-macam dengan skala besar alam semesta yang dipercaya. Bahkan suatu teori yang hanya berlaku pada ruang Euclidean mutlak, memberikan bahwa secara fisik homogen dan isotropik, akan memiliki relativitas, yang dinamakan grup rotasi dan translasi [4].

Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :

𝑅 _"# − ^% _& 𝑔 _"# = −( ^*+, _{- .} )𝑇 _"# (1)

Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala alam.

Salah satunya adalah solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat empat dimensi berupa 3 dimensi koordinat polar (r, θ, ϕ) dan satu koordinat waktu (t) yang nantinya dikenal sebagai metrik Schwarzchild [3].

Metrik Schwarchildz juga seharusnya memenuhi prinsip kesetaraan yang telah

diutarakan Ohanian. Oleh sebab itu, kami akan menstransformasikan koordinat

Schwarzchild dari koordinat bola kedalam dua koordinat yang berbeda untuk

mengamati massa inersial dan massa gravitasinya.

2. Metode Penelitian

Penelittian dilakukan dengan mentransformasikan metrik Schwarzchild dari koordinat bola ke koordinat kartesian dan koordinat ruang waktu dipercepat seragam. Hasil dari kedua koordinat tersebut akan dibandingkan untuk membuktikan apakah teori prinsip kesetaraan juga berlaku untuk metrik Schwarzchild. Pembuktian ini didapat berdasarkan metrik yang diperoleh dari kedua koordinat tersebut.

3. Hasil dan Pembahasan

Kami akan menunjukkan bahwa ungkapan metrik Schwarzschild tersebut mengandung dua suku : (1) suku pertama berkorespondensi dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat beraturan dalam ruang- waktu datar (flat space- time) (2) suku kedua mengandung unsur kelengkungan (curvature) yang dihubungkan dengan penyimpangan geodesik.

Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk partikel simetri bola statik, tak berotasi, tak bermuatan diberikan dalam bentuk metrik Schwarzschild. Metrik tersebut dalam koordinat−4 𝑥 ^𝜇 =(ct,r ,𝜃 ,𝜙 ) dinyatakan dalam bentuk

𝑐 ^& 𝑑𝜏 ^& = − 1 − ^&9

: 𝑐 ^& 𝑑𝑡 ^& + 1 − ^&9

:

=% 𝑑𝑟 ^& + 𝑟 ^& 𝑑𝜃 ^& + 𝑠𝑖𝑛 ^& 𝜃𝑑𝜙 ^& (2)

Dengan

𝑚 = ^,C _{- D} (3)

dan M adalah massa partikel statik bersimetri bola di O. Jika massa partikel tersebut dilenyapkan (M = 0), metrik akan kembali ke bentuk metrik ruang- waktu Minkowski. Metrik Minkwski ini merupakan metrik ruang-waktu datar karena dengan melakukan transformasi dari koordinat bola ke koordinat Kartesian akan diperoleh metrik dengan tensor metrik sama dengan delta Kronecker. Selanjutnya dilakukan transformasi ke koordinat kartesian (x, y, z) dengan pusat di sumbu z pada jarak R dari O yang dirumuskan sebagai

𝑥 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙, 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑅 (4) Persamaan (4) diatas dapat ditulis menjadi

𝑟 = (𝑥 ^& + 𝑦 ^& ) + (𝑧 + 𝑅) ^& (5) Yang jika diferensialnya dikuadratkan menghasilkan

𝑑𝑟 ^& = ^{J D KJ D LM D KM D L(NLO) D KN D} L&JMKJKML&J(NLO)KJKNL&M(NLO)KMKN

J ^D LM ^D L(NLO) ^D (6)

𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝜙

𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 (7)

Yang jika kita mengkuadratkan jumlah persamaan (7) diperoleh

𝑑𝑥 ^& + 𝑑𝑦 ^& + 𝑑𝑧 ^& − 𝑑𝑟 ^& = 𝑟 ^& (𝑑𝜃 ^& + 𝑠𝑖𝑛 ^& 𝜃𝑑𝜙 ^& ) (8)

Dengan mengisikan pers. (5), (6) dan (8) ke dalam pers. (2) dan masing-masing pembilang dan penyebut dibagi dengan R diperoleh

−𝑐 ^& 𝑑𝜏 ^& = − 1 − ^&9/O

%L ^DQ _R L ^SDTUDTQD RD

𝑐 ^& 𝑑𝑡 ^& + 𝑑𝑥 ^& + 𝑑𝑦 ^& + 𝑑𝑧 ^& + 1 + ^&N _O +

J ^D LM ^D LN ^D O ^D

=% −1 + 1 − ^&9/O

%L ^DQ _R L ^SDTUDTQD RD

=%

× ^{J D}

O ^D 𝑑𝑥 ^& + ^{M D}

O ^D 𝑑𝑦 ^& + 1 + ^N

O

&

𝑑𝑧 ^& +

&JM

O ^D 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ^&J

O 1 + ^N

O 𝑑𝑥𝑑𝑧 + ^&M

O 1 + ^N

O 𝑑𝑦𝑑𝑧 (9)

Selanjutnya ditinjau daerah kecil (lokal) di sekitar pusat serta diasumsikan bahwa R cukup besar sehingga |𝑥/𝑅|, |𝑦/𝑅| dan |𝑧/𝑅| << 1. Namun dalam hal ini tidak diasumsikan m/R << 1 sehingga tidak digunakan pendekatan medan lemah.

Dengan mengabaikan suku orde kedua dalam |𝑥/𝑅|, |𝑦/𝑅| dan |𝑧/𝑅| pada pers. (9), diperoleh ungkapan orde pertama metrik Schwarzschild sebagai

−𝑐 ^& 𝑑𝜏 ^& = − 1 − ^&9 _O + ^&9N _{O D} 𝑐 ^& 𝑑𝑡 ^& + 𝑑𝑥 ^& + 𝑑𝑦 ^& + 1 − ^&9 _O + ^&9N _{O D} ^=% 𝑑𝑧 ^& + ^W9 _O 1 − ^&9 _O +

&9N O ^D

=% J

O 𝑑𝑥𝑑𝑧 + ^M _O 𝑑𝑦𝑑𝑧 (10)

Dari metrik (10) diatas, tampak bahwa metrik tersebut mengandung dua bagian yaitu bagian tensor metrik diagonal yang nantinya akan sama dengan elemen garis dipercepat seragam serta bagian tensor metrik tak diagonal yang menyumbang pada kelengkungan.

Pada kerangka dipercepat seragam, misalkan sebuah metrik memiliki metrik :

𝑑𝜏 ^& = 𝛼 ^& (𝑧)𝑑𝑡 ^& − 𝑐 ^=& (𝑑𝑥 ^& + 𝑑𝑦 ^& + 𝛽 ^& (𝑧)𝑑𝑧 ^& ) (11)

Ditinjau gerakan pada sumbu z (dx = dy = 0), sehingga metrik (11) menjadi

𝑑𝜏 ^& = 𝛼 ^& 𝑑𝑡 ^& − 𝑐 ^=& 𝛽 ^& 𝑑𝑧 ^& (12)

sebuah partikel yang bergerak bebas sepanjang sumbu z dalam kerangka dipercepat akan memiliki percepatan

K

^D

N

KZ

^D

= − ^9- _O

_D^D

(13)

Dengan komponen tensor metrik adalah

𝑔 _[[ = 𝑔 _%% = 𝛼 ^& dan 𝑔 _NN = 𝑔 _&& = −𝑐 ^=& 𝛽 ^& (14) Maka akan diperoleh

−

^9-_OD^D

= −

_\]^-D_D^K\_KN

−

^%_\^K\_KN

+

^%_]^K] _KN ^KN_KZ ^&

(15)

Dan dengan mengasumsikan bahwa _\ ^{% K\} _KN + _] ^{% K]} _KN = 0, maka diperoleh

% \

K\

KN = ^9] _O

_D^D

(16)

Sehingga menghasilkan persamaan akhir

𝛼 𝑑𝛼 = _O ⁹ _D 𝑑𝑧 (17)

Dengan mengintegralkan persamaan diatas maka didapat

𝛼 ^& = ^&9N _{O D} + 2𝐾 _% (18)

Dengan 2𝐾 _% = 𝐾, maka

𝛼 ^& = 𝛽 ^=& = 𝐾 + ^&9N _{O D} (19)

dengan 𝐾 adalah tetapan integrasi. Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke dalam persamaan (11) diperoleh metrik

𝑑𝜏

^&

= − 𝐾 +

^&9N_OD

𝑐

^&

𝑑𝑡

^&

+ 𝑑𝑥

^&

+ 𝑑𝑦

^&

+ 𝐾 +

^&9N_OD ^=%

𝑑𝑧

^&

(20)

Selanjutnya dipilih untuk tetapan integrasi 𝐾 = 1 − ^&9 _O

Sehingga persamaan (20) menjadi

−𝑐 ^& 𝑑𝜏 ^& = − 1 − ^&9

O + ^&9N

O ^D 𝑐 ^& 𝑑𝑡 ^& + 𝑑𝑥 ^& + 𝑑𝑦 ^& + 1 − ^&9

O + ^&9N

O ^D

=% 𝑑𝑧 ^& (21)

Jika kita lihat, tampak bahwa metrik (21) di atas sama dengan bagian diagonal dari metrik (10). Ini menunjukkan bahwa bagian diagonal metrik (10) berkorespondensi dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat beraturan dalam ruang- waktu datar seperti yang terdapat pada metrik (21). Adapun bagian tak diagonal dari metrik (10) yaitu suku

W9

O 1 − ^&9

O + ^&9N

O ^D

=% J

O 𝑑𝑥𝑑𝑧 + ^M

O 𝑑𝑦𝑑𝑧 (22)

berhubungan dengan kelengkungan ruang yang berimplikasi pada penyimpangan

geodesik.

4. Kesimpulan

Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:

1. Teori Relativitas Umum Einstein memandang konsep metrik Schwarzschild dan massa gravitasi sebagai suatu kesatuan.

2. Pada prinsip kesetaraan telah disebutkan adanya konsekuensi prinsip kesetaraan yaitu kesamaan antara massa gravitasi dengan massa inersial. Dari prinsip inilah disinggung hubungan antara efek lokal gravitasi dari metrik Schwarzschild pada ruang lengkung yang ditransformasi dari koordinat spasial polar ke koordinat tegak lurus dengan kerangka dipercepat seragam dalam ruang waktu datar.

3. Hubungan antara keduanya adalah dapat dipilih suatu metrik sebagai solusi persamaan geodesik pada kerangka dipercepat seragam sedemikian sehingga memiliki bentuk yang sama pada bagian diagonal metrik transformasi Schwarzschild di koordinat XYZ. Namun demikian, bagian tak diagonal pada metrik Schwarzschild tersebut tidak memiliki padanan pada metrik kerangka dipercepat. Ini menunjukkan bahwa bagian tak diagonal tersebut memiliki kontribusi pada penyimpangan geodesik.

4. Mengingat tensor metrik pada persamaan (21) merupakan fungsi z, maka koordinat z tidak mengukur jarak pribadi pada arah z dalam ruang-waktu datar.

Juga, sebuah foton (dt = 0) yang bergerak sepanjang sumbu z tidak memilikikecepatan konstan c namun merupakan fungsi z. Kedua metrik akan kembali ke metrik Minkowski jika m = 0.

5. Tensor metrik Schwarzschild membuktikan kebenaran Teori Relativitas Umum dan adanya kesetaraan antara massa gravitasi dan massa inersial yang ditujukan oleh suku pertama dan kedua dari hasil transformasi pada persamaan (21) dan (22).

Ucapan terima kasih

Terimakasih kepada ko Russell Ong, S.Si. yang telah membimbing dan mengajarkan pemakalah tentang penyusunan jurnal. Terimakasih juga kepada rekan-rekan Medan Center for Theoretical and Mathematical Physics (MCTMP) yang telah bersama-sama menyelesaikan jurnal ini. Kepada dekanat dan rektorat Universitas Sumatera Utara yang telah berkontribusi secara moril dan materil diucapkan apresiasi yang sebesar-besarnya.

Daftar Pustaka

1. O. Hans, Gravitation and Space Time, W.W. Norton & Company, 1976.

2. W, Hans Jacobus, Berkenalan dengan Teori Kerelatifan Umum dan Biografi Albert Einstein, ITB Press, 1987.

3. A. Rinto, Pengantar Teori Relativitas dan Kosmologi, Gadjah Mada University Press, 2005.

4. O. Gron. and S. Hervick, Einstein’s General Theory of Relativity, Springer,

2007.